Конспект урока: "Решение нестандартных показательных уравнений".

• 1 слайд

  Решение нестандартных показательных уравнений.
  Подготовила и провела учитель математики Бишевской средней общеобразовательной школы Апастовского района Республики Татарстан Безрукова Валентина Викторовна.
  

• 2 слайд

  Цели урока:
  рассмотреть использование свойств функций (особенно показательной функции) при решении нестандартных показательных уравнений, так называемых трансцендентных уравнений.
  развивать потребность в нахождении рациональных способов решений.
  воспитывать самостоятельность учащихся.
  

• 3 слайд

  Функция, заданная формулой у=а ͯ (где а›0, а≠1), называется показательной функцией с
  основанием а.
  
  Основные свойства показательной функции:
  1. Область определения- множество R действительных чисел.
  2. Область значений- множество R˖ всех положительных
  действительных чисел.
  3. При а˃1 функция возрастает на всей числовой прямой;
  при 0<а<1 функция убывает на множестве R.
  4. При любых действительных значениях х и у справедливы
  равенства:
  аͯ аͭ = аͯ ΅ ͭ ; аͯ/аͭ = аͯ ̅ ͭ ; (аb)ͯ = аͯ bͯ ; (а/b)ͯ = аͯ /bͯ ; (аͯ )ͭ = аͯ ͭ .
  

• 4 слайд

  1)Сумма возрастающих функций- есть функция…(возрастающая на их общей области определения).
  2) Сумма убывающих функций- есть функция…(убывающая на их общей области определения)
  3) Разность возрастающей и убывающей функций- есть функция…(возрастающая на их общей области определения).
  
  

• 5 слайд

  4) Разность убывающей и возрастающей функций- есть функция…(убывающая на их общей области определения).
  5) Если функция состоит из дроби: числитель – постоянное положительное число, а знаменатель – возрастающая функция – то эта функция…(убывающая).
  6) Если функция состоит из дроби: числитель- постоянное положительное число, а знаменатель – убывающая функция - то эта функция…(возрастающая).
  

• 6 слайд

  Самостоятельная работа (вариант по выбору учащихся).
  
  Вариант 1. (1 уровень)
  
  Решите уравнения:
  №1. 3х + 4х = 5х
  №2. (6х)х : 2-15 = 3-15 : 612-12х.
  
  Вариант 2. (2 уровень)
  
  Решите уравнения:
  №1. 12 ˣ + ( √5 )²ˣ = 13ˣ
  №2. При каких значениях параметра «а» уравнение
  4ˣ – (5а – 3) * 2ˣ + 4а² – 3а = 0
  имеет единственное решение?
  

• 7 слайд

  
  
  Спасибо
  за урок!
  
  

МОбУ: Бишевская СОШ

Учитель математики Безрукова Валентина Викторовна

Урок математики в 11 классе «Решение нестандартных показательных уравнений».

Цели урока: рассмотреть использование свойств функций (особенно показательной функции) при решении нестандартных показательных уравнений, так  называемых

трансцендентных уравнений. Развивать потребность в нахождении рациональных способов решений. Воспитывать самостоятельность учащихся.

                                        Ход урока:

Актуализация знаний.

1. Проверка домашней работы.

2. Повторение теоретического материала.

Фронтальный опрос учащихся.

-Какая функция называется показательной?

-Какими свойствами обладает показательная функция?

-Какова её область определения?

-Возрастает или убывает функция:

а) у =(5/2)^х  ;  б) у = 16/5^х  ;  в)  у = (3/4)^х  ;   г) у = 20/0,5^х ?

-Сформулируйте теорему о корне.

-Повторим свойства функций. Закончите предложения.

1) Сумма возрастающих функций- есть функция…(возрастающая на их общей области определения).

2) Сумма убывающих функций- есть функция…(убывающая на их общей области определения).

3) Разность возрастающей и убывающей функций- есть функция…(возрастающая на их общей области определения).

4) Разность убывающей и возрастающей функций- есть функция…(убывающая на их общей области определения).

5) Если функция состоит из дроби: числитель – постоянное положительное число, а знаменатель – возрастающая функция – то эта функция…(убывающая, например,

 у = (3/4)^х).

6) Если функция состоит из дроби: числитель- постоянное положительное число, а знаменатель – убывающая функция - то эта функция…(возрастающая, например,

у = 20/0,5^х)

      3. –Повторим методы решения простейших показательных уравнений на конкретных примерах. Решите уравнения:

1) 4^х = 8.                       

2) 3^х+1 + 3^х-1 = 14.         

3) 4^х – 5 * 2^х + 4 = 0.

4) 5^{sin х} = -1/3.

5) 5^{sin х} = 1.

Формирование новых знаний, умений и навыков учащихся.

  Решите уравнения:

1) 7^х + 8^х =15^х

Решение:

7^х + 8^х = 15^х   /:15^х

(7/15)^х + (8/15)^х = 1 , уравнение имеет не более1 корня, х = 1.

Ответ: х = 1.

2) 5^х – 3^х =16

Решение:

5^х = 16 + 3^х  /:3^х

(5/3)^х = 1+ 16/3^х , уравнение имеет единственный корень, х = 2.

Ответ: х = 2.

3) 2^х + 3^х +4^х =9^х

Решение: 1способ:                                                   2способ:

2^х + 3^х = 9^х - 4^х                                                        2^х/9^х + 3^х/9^х +4^х/9^х = 1

2^х + 3^х = (3²)^х – (2²)^х                                                (2/9)^х + (3/9)^х + (4/9)^х = 1

2^х + 3^х = (3^х – 2^х )* (3^х + 2^х)                                    х = 1

1 – 3^х + 2^х = 0                                                         Ответ: х = 1.

1 + 2^х = 3^х

(1/3)^х + (2/3)^х = 1

х = 1

Ответ: х = 1.

4) *(3*5^2sinx-1 – 2*5^sinx-1-0,2) = 0

Решение:

ОДЗ: х  

6х – х² – 5 = 0                     или              3*5^2sinx-1 – 2*5^sinx-1 -0,2 = 0

х₁ = 1       х₂ = 5                                      (3/5)*t² – (2/5)*t – (1/5) = 0    

                                                              3t² - 2t – 1 = 0

                                                                 t₁ = 1           t₂ = - (1/3)

                                                                 5^sinx = 1      5^sinx = -(1/3)

                                                                 Sin x = 0      решений нет

                                                                 х =n, nz.

           Ответ: 1;  ; 5.

5) При каких значениях параметра «в» уравнение 3^2х -2*(3в-2)*3^х + 5в² – 4в = 0

имеет два различных корня.

Решение:  Замена 3^х = р

р² – 2*(3в-2)*р + 5в² – 4в = 0    -приведённое квадратное уравнение.

Для того, чтобы корни уравнения р₁ и р₂ были положительны и различны, необходимо и достаточно:

Ответ: (0,8;1) и (1;).

Закрепление знаний, умений и навыков.

  Самостоятельная работа  (вариант по выбору учащихся).

      Вариант 1. (1 уровень)

Решите уравнения:

№1.      3^х + 4^х = 5^х                           (Ответ: 2.)

№2.     (6^х)^х : 2^-15 = 3^-15 : 6^12-12х.       (Ответ: 3; 9.)

      Вариант 2. (2 уровень)

Решите уравнения:

№1.      12^х + ()^2х = 13^х               (Ответ: 2.)

№2.       При каких значениях параметра «а» уравнение  4^х – (5а – 3)*2^х + 4а² – 3а = 0

имеет единственное решение?       (Ответ: 1.)

(Анализ самостоятельной работы на следующем уроке).

Итог урока.

 Мы рассмотрели примеры решений трансцендентных уравнений.

 Домашнее задание: №164 а),в), №167 а), в).

 Спасибо за урок!

  Используемая литература:

1. А.Н.Колмогоров, А.М..Абрамов, Ю.П.Дудницин, Б.М.Ивлев, С.И.Шварцбурд.

Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. Москва «Просвещение» 2008г.

2. Н.М.Ляшова, Е.Н.Кумскова, О.Л.Безрукова, Г.И.Ковалёва, Н.Ю.Должикова,

      А.М.Бембеева, Л.В.Осипова, Н.Л.Кудрявцева,Н.С.Морозова. Математика: открытые         

      уроки. 5,6,7,9,11 классы. Волгоград: Учитель, 2007г.