Конспект урока "Решение показательных уравнений"

«Решение показательных уравнений»

Цель урока: обучить решению показательных уравнений

Задачи:

  Образовательные:

 познакомить учащихся с определением показательного уравнения и основными методами и приемами решения показательных уравнений.

  Развивающие:

развивать познавательный интерес к предмету через содержание учебного материала,  применять сформированные знания, умения и навыки в конкретных ситуациях, развивать логическое мышление, самостоятельную деятельность обучающихся, правильно формулировать и излагать мысли

  Воспитательные:

воспитывать трудолюбие, аккуратность ведения записей, умение объективно оценивать результаты  своей работы, прививать желание иметь глубокие знания, воспитывать умение работать в коллективе, культуры общения, взаимопомощи, воспитывать такие качества характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

ХОД УРОКА

1.Организационный момент. Урок я хочу начать притчей “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: «Я принимаю радость в мою жизнь» Но радости в моей жизни нет. Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил «Назови, что ты выбираешь из них». «Ложку», - ответил юноша. Произнеси это 5 раз.».  «Я выбираю ложку», послушно произнес юноша 5 раз.  «Вот видишь, - сказал мудрец, повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…» Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку. Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.

2. Актуализация опорных знаний.

Сегодня у нас новая тема, для того чтобы успешно усвоить тему выполним несколько заданий

Что такое уравнение?(это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти.)

 Что называется корнем уравнения?

Что значит решить уравнение?

Функцию какого вида называют показательной?

При каком значении а показательная функция возрастает (убывает)?

Область значений показательной функции.

Что называется корнем уравнения?

А эпиграфом к нашему уроку станут слова С. Коваля: «Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы». Т.е другими словами можно сказать, что если вы будите уметь решать уравнения, то экзамена по математике вам не стоит бояться

Тема нашего урока Решение показательных уравнений

Запишите число тему

Задачи

Познакомиться с видами показательных уравнений.

Рассмотреть способы решений показательных уравнений различных видов.

Отработать навыки и умения решения показательны уравнений.

4. Изложение нового материала.

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное х входит только в показатели степени при некоторых постоянных основаниях.

Так как показательная функция а^х   монотонна и ее область значений (0,∞), то простейшее показательное уравнение а^х=в имеет корень при в . Именно к виду а^х=в надо сводить более сложные уравнения.

«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть и в последствии подтвердить это, то следуя этому методу мы достигнем цели». Лейбниц

 1.Простейшие уравнения:(устно)

а)2^х-5=16

Приведение обеих частей к общему основанию:

2^х-5=2⁴

            Данное уравнение равносильно уравнению:

            х-5=4,

            х=9.

            Ответ: 9.

           б)3^х=-9

           Так как показательная функция принимает только положительные значения, то данное уравнение не имеет решений.

           Ответ: нет решений.

1.     Уравнения, решаемые с помощью вынесения общего множителя за скобки.

7^х + 7^х+2  = 350

7^х + 7^х7² = 350

7^х(1+ 49) = 350

7^х =350:50

7^х= 7

х=1

Ответ: х=1.

3.Уравнения, решаемые с помощью ведения новой переменной.

16^х - 174^х + 16 = 0

Пусть  4^х = t, где t , тогда уравнение примет вид:

t² -17t + 16 = 0

            t₁=1, t₂=16

            Если t₁=1, то 4^х =1, 4^х= 4⁰, х₁=0.

            Если t₁=16, то 4^х =16, 4^х= 4², х₂=2

            Ответ: х₁=0,  х₂=2.

5.Графический метод.

Решить уравнение: 4^х = 5-х

В одной координатной плоскости строят графики функций у = 4^х  и  у =5-х

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков функций

 у = 4^х  и  у =5-х

            Проверка: х=1, 4¹= 5-1, 4=4 (верно)

            Ответ: х=1.

5. Закрепление  изученного  материала

М. В. Ломоносов говорил «Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того,  и умения» (портрет ученого вывешивается на доску)

И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений.

 Работа в группах.

Самостоятельно в группах решить уравнения.

1 группа  

2 группа 

Итак, корнями последних уравнений стали числа 11 и 19, 15 и 21.

Об этих числах можно сказать следующее:

11 часов - время наивысшей трудоспособности;

15 часов - время наибольшего утомления;

19 часов - вечерний подъем трудоспособности;

21 час - время прекращения всякой трудоспособности.

Использование полученных знаний о биологических ритмах при составлении режима позволит достичь максимальной трудоспособности и повысить сопротивляемость организма к утомлению, так что «будьте здоровы и не утомляйтесь!».

Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что «математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед». Поэтому будем сейчас работать самостоятельно.

Самостоятельная работа

ВАРИАНТ 1 1) 3х = 27 а) 3; б) 9; в) 4; 2) 5х-2 = 25 а) 2; б) 4; в) 5; 3) 6х-1 = -6 а) -1; б) 5; в) корней нет; 4) 3х+2 + 3х = 90 а) 2; б) 44; в) 1; 5) 100х – 11 * 10х + 10 = 0 а) 10;1; б) 0 ;1; в) 1;

ВАРИАНТ 2 1) 2х = 32 а) 16; б) 5; в) 6. 2) 6х-3 = 36 а) 5; б) 2; в) 4. 3) 9х-1 =-9 а) -1; б) корней нет; в) 2. 4) 3х+1+ 3х =108 а) 2; б) 3,5; в) 3. 5) 4х + 2 * 2х- 80 = 0 а) 3; б) 3;5; в) 8;-10.

Ответы к тесту:

1 вариант

№ задания	1	2	3	4	5
№ ответа	а	б	в	а	б

 2 вариант

№ задания	1	2	3	4	5
№ ответа	б	а	б	в	а

8. Домашняя самостоятельная работа

  На «отлично»

а)12;     б) ();      в) 2  

На «хорошо»

а)4;     б) 3;    в) 3

На «удовлетворительно»

а)5;        б) 2;      в) 4

Итог урока. Выставление оценок.

Какие уравнения называются показательными?

Какие виды решений показательных уравнений рассмотрели?

Сколько решений может иметь показательное уравнение?

Когда оно не имеет корней?

Итак,  мы познакомились с методами решения показательных уравнений. К чувствам мы можем отнести различного рода переживания. В этом году одной из причин ваших и моих переживаний является успешная сдача ЕГЭ и, как следствие, поступление в ВУЗ. Очень хочется, чтобы преобладали положительные эмоции. Должна быть уверенность, а это наши знания и навыки. Сегодня на уроке мы внесли очередной вклад в вашу  подготовку к ЕГЭ.

А. Энштейн говорил так: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по –моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».(портрет ученого) И решать их нужно правильно.

Резерв.

Кроссворд «И в шутку и всерьез».

По горизонтали: 1.Есть у любого слова, у растения и может быть у уравнения.

По вертикали:

2. Зависимая переменная величина 3.Исчезающая разновидность учеников. 4.Проверка учеников на выживание. 5. Был одним из самых великих математиков всех времен. Он разработал основы современной теории чисел и алгебры, топологии, исчисления вероятности и комбинаторики, интегрального исчисления, теории дифференциального исчисления и дифференциальной геометрии, вариационного исчисления, открыл связь между тригонометрическими и экспоненциальными функциями. 6.Другое название независимой переменной в функции.

Ответы:      1.Корень.   2 функция. 3.Отличник. 4.Контрольная. 5.Эйлер. 6.Аргумент.

На доске написаны 5 уравнений:

2.3^х-1 -3^х + 3^х+1=63

3.3^-х = -

4.64^х – 8^х -56=0

5.3^х +4^х =5^х ( устно)

К доске выходят решать  данные уравнения учащиеся.

                                                                              Так как 31, то

 = 0

По теореме Виета получаем:

{х₁ + х₂= 9

  х_{1 ·} х₂ =20

  х₁₌4, х₂=5.

Ответ:  х₁₌4, х₂=5.

2. 3^х-1 -3^х + 3^х+1=63

Применяя соответствующие формулы свойства степеней, получим:

3^х 3^-1 – 3^х +3^х 3 =63

Выносим общий множитель за скобки:

3^х(

3^х

3^х =

3^х =27

3^х  =3³

х=3

Ответ: х=3.

3.3^-х = -

Решением этого уравнения является точка пересечения графиков функций у = 3^-х и у = -

Ответ: х=-1.

4.64^х – 8^х -56=0

(8²)^х - 8^х -56 = 0 или

(8^х)² - 8^х -56 = 0

Введем новую переменную t =8^х, тогда уравнение примет вид:

t² – t -56 = 0

По теореме Виета:

t₁+ t_{2 =}1

t₁ t_{2 = -} 56

t₁=8,  t₂=-7(не удовлетворяет, так как показательная функция принимает только положительные значения)

Если t₁=8,  то 8^х=8, 8^х=8¹, х=1

Ответ: х=1.

5.3^х +4^х =5^х ( устно)

Ответ: х=2

  На «отлично»

а)12;     б) ();      в) 2  

На «хорошо»

а)4;     б) 3;    в) 3

На «удовлетворительно»

а)5;        б) 2;      в) 4

  На «отлично»

а)12;     б) ();      в) 2  

На «хорошо»

а)4;     б) 3;    в) 3

На «удовлетворительно»

а)5;        б) 2;      в) 4

  На «отлично»

а)12;     б) ();      в) 2  

На «хорошо»

а)4;     б) 3;    в) 3

На «удовлетворительно»

а)5;        б) 2;      в) 4

На «отлично»

а)12;     б) ();      в) 2  

На «хорошо»

а)4;     б) 3;    в) 3

На «удовлетворительно»

а)5;        б) 2;      в) 4

На «отлично»

а)12;     б) ();      в) 2  

На «хорошо»

а)4;     б) 3;    в) 3

На «удовлетворительно»

а)5;        б) 2;      в) 4