Конспект урока "Решение показательных уравнений" 11 класс.

Открытый урок

по алгебре и началам анализа

Тема: « Решение показательных

уравнений»

 

Тип: повторительно- обобщающий  в форме рейтинга.

Класс: 11 «А»

Школа:  МОУ «Новопокровская сош»

Учитель: Ерохина Н.Е.

Цели: обобщение изученного материала при решении показательных уравнений.;  проверить  уровень самоконтроля  и самооценки  учащихся, продолжить формирование навыков самостоятельной работы; воспитание  у учащихся самоанализа при выборе индивидуальных заданий;  воспитать самостоятельность и ответственность,   продолжить развитие у учащихся интереса к изучению предмета.

Оборудование: индивидуальные карточки – задания; карточки «Рейтинговая таблица учащегося»; карточки с буквами для устного счета, переносная доска с готовыми ответами.

План урока

1.         Устный счет в форме тестирования.

2.         Блиц – опрос  по теме «Свойства показательной функции» +  индивидуальная работа по карточкам.

3.         Сообщение учителя о применении показательной функции.

4.         решение задачи с использованием частично-поискового метода.

5.         дифференцированная самостоятельная работа  в форме рейтингового зачета.

6.         Задание на дом.

7.         Подведение итогов урока

Ход урока.

1.     Устный счет (фронтально)

Тесты написаны на доске . На каждый вопрос  предлагается  три варианта ответа , учащиеся выбирают  номер ответа  и показывают  соответствующую карточку. Если ученик не знает ответа  , он карточку не поднимает . Каждый  правильный  ответ  оценивается  одним баллом , который учащиеся  вносят в индивидуальные карточки рейтинга.

Рейтинговая таблица учащегося.

Фамилия, имя учащегося.	Устный счет.	Фронтальный опрос.	Работа по карточкам	Рейтинговый зачет	Итого  баллов	оценка

«5»- 20 баллов и более;

«4» от 15 до 20 баллов;

«3» от 10 до 15 баллов;

«2» -менее 10 баллов.

Найдите значения  х :

1.     3^х-1 = 27.

А)3   б) 2    в) 4

2. 4^х = 2.

А)-2      б)1/2     в)2

3. (1/125)^х = 5.

А)-1/2       б)-1/3         в)3

4. 2^х *3^х = 36

А)2      б)1     в) √2.

5. 5^2х-1 = 1/5

А)1     б) -1      в)0

6. 3 : 3^х+2 = 1

А)-3    б)-1     в) -2

7. (2/3)^х * (3/2)^х = 1.

А)0   б)1   в)R

8. 5^IxI = 25

А) 1   б)-2   в) нет решения .

9. Установите область определения функции :

F(x) = √(1812^x – 1945^x)

А)R    б) (0; ∞)      в) (-∞; 0).

2.     Блиц – опрос по теме «Свойства показательной функции».

Четверо желающих  вызываются к доске , им предлагаются карточки  с формулами  или определениями , которые нужно дополнить . За каждый правильный ответ  начисляется один балл.

   Когда учащиеся, работавшие у доски , выполняют задание , вызываются четверо желающих для проверки ответов . ( знаками «+» или «-« ) , за каждый верно оцененный ответ  начисляется по 0,5 балла.

Карточка №1.

Вместо точек напишите свой ответ.

Каждый верный ответ оценивается в 1 балл.

Функция У=ах. Область определения	Функция У=ах возрас- тает при	График функции у=ах при 0‹а‹1 имеет вид	ах *ау =	(а/в)х =	(ах)у =
…	…		…	…	…

Если Вы согласны с написанным ответом, поставьте знак (+) , если нет – знак (-).

Каждый верно оцененный ответ  оценивается в 0,5 балла.

Карточка №2.

Вместо точек напишите свой ответ.

Каждый верный ответ оценивается в 1 балл.

Функция У=ах. Область значений	Функция у=ах  убывает при	График функции у=ах при  а›1  имеет вид	ах/ау =	(ав)х =	х√ау =
…	…		…	…	…

Если Вы согласны с написанным ответом, поставьте знак (+) , если нет – знак (-).

Каждый верно оцененный ответ  оценивается в 0,5 балла.

Карточка №3.

Вместо точек напишите свой ответ.

Каждый верный ответ оценивается в 1 балл.

Функция У=ах возрас- тает при	Функция У=ах. Область значений	График функции у=ах при  а›1  имеет вид	ах/у =	ах /вх =	ах+у=
…	…		…	…	…

Если Вы согласны с написанным ответом, поставьте знак (+) , если нет – знак (-).

Каждый верно оцененный ответ  оценивается в 0,5 балла.

Карточка №4.

Вместо точек напишите свой ответ.

Каждый верный ответ оценивается в 1 балл.

Функция У=ах. Область определения	Функция у=ах  убывает при	График функции у=ах при 0‹а‹1 имеет вид	аху =	ах *вх =	ах-у =
…	…		…	…	…

Если Вы согласны с написанным ответом, поставьте знак (+) , если нет – знак (-).

Каждый верно оцененный ответ  оценивается в 0,5 балла.

  Одновременно  вопросы к классу  ( правильный ответ  - 1 балл).

 Спрашивают того ученика , который первый поднял руку.

Верно ли , что функция  у=а^х :

1)      имеет экстремумы ? ( нет, она монотонная )

2)      принимает наибольшее значение в точке  х₀ ? (нет)

3)      является четной ? ( нет)

4)       принимает в некоторой точке значение . равное нулю ? (нет)

5)      функция  у=а^х является четной или нечетной ?  (четная)

6)      имеет ли функция  у= (1/2)^{sin x}  наибольшее и наименьшее  значения ? (да).  Найдите их ( 2 и ½ ) .

7)      Найдите область значений  функции  у= 4^IxI . (  [1; ∞)).

2.      Показательная функция находит  важнейшие применения  при изучении  природных  и общественных явлений . Известно , например,  что при распаде радиоактивного  вещества  его масса m₀ уменьшается за равные промежутки времени  в одинаковое число раз .

              Пусть  t₀ – период полураспада. ( время, необходимое для того, чтобы от первоначальной массы  осталась ее половина.) . Тогда , через  t лет  ,  оставшаяся масса будет  равна m = m₀ * (1|2 )t/t₀ , то есть, радиоактивный распад  совершается по закону,  выраженному показательной функцией .

       Если взять, к примеру,  Уран – 236 , то для него период полураспада  - 4,5 млрд лет. Поскольку, возраст Земли   5-7  млрд лет, то можно утверждать,  что в наши дни не распалась и  половина всех запасов этого вещества.

     К показательной функции прибегают  так же при описании  размножения живых организмов , при определении концентраций  реагентов  в различных химических реакциях . в технике и во многих других областях.

    Существует бесконечное множество   различных показательных уравнений . Мы их условно разделили на   несколько типов  и определили способы их решений . Но не все уравнения можно решить  стандартными методами .

3.      Решение задачи с использованием частично- поискового метода .

 Уравнения подобного типа  очень часто встречаются на экзаменах  при поступлении в ВУЗы . а так же  и на ЕГЭ в части В и С.

     Решить уравнение : 2^x + 2^-x = 2 cos 2x.

Это комбинированное уравнение  . Мы будем решать его ,  используя элементарные алгебраические формулы.

( вначале выслушиваются  предложения учащихся , за верные предложения  начисляются баллы).

Умножим обе части на 2^х. так как ^2х не  равно нулю.

 2^х * 2^х + 2^-х * 2^х = 2*2^х * cos 2х;

2^2х +1 = 2*2^х * cos 2x;

2^2х – 2*2^х * cos 2х +1 = 0;

Это квадратное уравнение относительно 2^х. Решим его.  Найдем дискриминант.

Д=сos² 2х  -1.

2^х_1,2 =cos 2x + √cos²2x – 1 ;

2^х_1,2 =  cos 2x + √-sin²2x.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным , т.е. ≥0.

-sin²2x ≥0 ,

Sin²2x ≤0,

Sin²2x = 0,

Sin2x=0,

 2x = πn/ n  принадлежит Z

X = πn/2 , n  принадлежит  Z,

2^x = cos 2x,

Cos 2x = cos 2(πn/2) = cos πn = +1.

То есть  2^х = +1.

2^х = -1 – решений нет .

2^х = 1 ,

2^х = 2⁰ ,

Х = 0.

       Ответ : 0.

4.      Рейтинговый зачет .

( зачет проводится по вариантам ).

Самостоятельная работа в форме рейтингового зачета  содержит по 7 заданий  разного уровня сложности . Рядом с каждым заданием указано  количество баллов , в которые оно оценивается . Так же указано , какое количество баллов  необходимо для получения определенной оценки .

Рейтинговый зачет.

Вариант 1.

Решите уравнения:

1)      (1балл)  5^х = 625.

2)      (1балл) (4/7)^х *(35/36)^х = 25/81.

3)      (2 балла) 3^х+4*3^х+1 = 13.

4)      (2 балла) 9^х-6*3^х -27 =0.

5)      (3 балла) 0,2^х-16х-37,5 = 5√5.

6)      (3 балла) 3*4^х + 2*9^х =5*6^х.

7)      (3 балла) ⁵√8^х-3х-5 =128*(1/16).

Зачет оценивается по баллам :

9 баллов и более – оценка «5»

6-8 баллов – оценка «4»

4-5 баллов – оценка «3».

Рейтинговый зачет .

Вариант 2.

Решите уравнения.

1)      (1 балл) 2^х = 64.

2)      (1 балл) (5/7)^х  *(14/15)^х = 8/27.

3)      (2 балла) 2^х+2 +2^х =5.

4)      (2 балла) 4^х-14*2^х – 32 =0.

5)      (3 балла) 2^х-3 *5^х-3 =0,01*(10^х-1)³.

6)      (3 балла) 5^3х+1 +34*5^2х – 7*5^х =0.

7)      ( 3 балла) 0,5^х-20х+61,5 = 8/√2.

Зачет оценивается по баллам :

9 баллов и более – оценка «5»

6-8 баллов – оценка «4»

4-5 баллов – оценка «3».

            На переносной доске  написаны ответы  к заданиям зачета . Если ответы учащихся совпадают  с правильными ,  то ученик начисляет себе баллы.

Учащиеся получают так же и отдельную оценку за зачет .

5.     В конце урока учащиеся  сдают тетради  и индивидуальные карточки  рейтинга учителю  для анализа ошибок .

6.      Домашнее задание : п. 36 , № 167 ( со страницы 286).