Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока "Решение тригонометрических уравнений"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект урока "Решение тригонометрических уравнений"

библиотека
материалов


Государственное бюджетное образовательное учреждение

школа № 561 Калининского района Санкт-Петербурга


Учитель математики

Свеженцева М.П.


ПЛАН ОТКРЫТОГО ЗАНЯТИЯ

по теме «Решение тригонометрических уравнений»

занятие спаренное (2 по 45 минут)

Преподаватель: Свеженцева М.П.

I. Цели занятия:

Основная цель занятия: Обобщение и систематизация, имеющиеся у студентов знания о методах решения тригонометрических уравнений.



Цели по уровням познавательной деятельности


Формулировка целей и задач занятия

1.

Знать

-общие методы решения уравнений

-формулы корней простейших тригонометрических уравнений

2.

Понимать

определять вид тригонометрического уравнения

3.

Применять

алгоритмы решения тригонометрические уравнения

4.

Анализировать

анализировать и находить общие решения

5.

Синтезировать

применять имеющиеся знания для решения новых видов уравнений

6.

Оценивать

оценивать полученный результат


II. Оборудование:

  1. Технические средства: мультимедийный комплекс

  2. Дидактический материал: таблицы, карточки, справочный материал

  3. Литература:

  1. Богомолов И.В., Сергиенко Л.Ю. «Сборник дидактических заданий по математике. М., Высшая школа, 2007

  2. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. «Контрольные и проверочные работы по алгебре 10-11 классы» М., Дрофа, 2001

  3. Ивлев Б.М. «Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа». М., Просвещение, 2008

  4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. «Дидактические материалы по алгебре и началам анализа. 10 класс». М., Просвещение, 2008

  5. Мордкович А.Г. «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» М., Мнемозина, 2001

  6. Щукина В. «Репетитор. Математика. Физика» М., НПО Перспектива, 1993

  7. http://www.falto.ru/article/article4_1.html



III. Ход занятия.


3.1. Организационный момент (2 мин)

Приветствие. Рассаживание по группам. Распределение ролей в группе.


3.2. Сообщение темы урока и плана работы ( 3 мин.)


- Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений»

-Сегодня мы повторяем, приводим в систему знания по решению тригонометрических уравнений. И ваша задача – показать свои знания и умения по их решению.

- план занятия

Этап и примерное время

Форма работы

Повторение темы: (20мин. )


Устная работа

Основная часть занятия (35мин

Работа вгруппах

Закрепление материала.(20мин

Индивидуальная с/р

Домашнее задание (5 мин)


Подведение итогов работы на занятии (5 мин)


Обсуждение



3.3. Повторение темы: (23мин)

3.3.1. Вводно-мотивационная часть


Задачи этапа: актуализировать опорные знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.

Форма этапа: устная работа в игровой форме

Содержание этапа:


Задание-1

Первый вопрос адресуется студенту первой группы, если он правильно отвечает на вопрос, то он называет следующего отвечающего из второй группы, если отвечающий затрудняется ответить на вопрос, то он передает его другому студенту, назвав его имя (правильно ответивший на вопрос, в лист контроля ставит 1балл)

Вопросы для учащихся

Предполагаемые ответы

Какие уравнения называют тригонометрическими?

Уравнения, в которых переменная стоит под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.

Приведите примеры простейших тригонометрических уравнений?

cos x = a; sin x = a; tg x = a; ctg x = a

Сколько корней может иметь тригонометрическое уравнение?

Тригонометрические уравнения имеют множество корней в силу периодичности тригонометрических функций.

Что значит решить тригонометрическое уравнение?

Найти множество корней или убедиться что корней нет.

В уравнениях cos x = a; sin x = a; оцените число а?

Если hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_1dc77eca.gif>1, то корней нет

Если hello_html_1dc77eca.gif≤1, формула корней

Как решаются простейшие тригонометрические уравнения.

Для решения простейшего тригонометрического уравнения применяем формулы нахождения корней.

По какой формуле находятся корни уравнения cos x = a?

Корни уравнения cos x = a находятся по формуле

x = hello_html_41a86681.gif arccos a + 2hello_html_796052b5.gif; nhello_html_m3811b48.gif Z

По какой формуле находятся корни уравнения sin x = a?

Корни уравнения sin x = a находятся по формуле

x=(-1)karcsin a + hello_html_2cb25144.gifkhello_html_m3811b48.gif Z

По какой формуле находятся корни уравнения tgx = a?

Корни уравнения tg x = a находятся по формуле

x = arctg a + hello_html_796052b5.gif; nhello_html_m3811b48.gif Z

По какой формуле находятся корни уравнения ctgx = a?

Корни уравнения sin x = a находятся по формуле

x = arcctg a + hello_html_796052b5.gif; nhello_html_m3811b48.gif Z

Как называются уравнения вида

hello_html_m39e932e3.gif и

hello_html_72a7a174.gif?

Уравнения данного вида называются однородными тригонометрическими уравнениями.



Задание-2

Найти ошибки в решениях тригонометрических уравнений:

(hello_html_3b54a6dc.gif±) hello_html_m67689195.gif (-1k) hello_html_m7433bbf.gifπ k)

hello_html_m53d4ecad.gif


hello_html_3a318ffa.gif (верно) hello_html_m4378706a.gifk)

Ответы сверяются с образцом (за каждый верный ответ 1балл) и вносятся заработанные баллы в листок учета знаний.



Задание –3

Используя основные формулы тригонометрии, упростите выражение:

На экране проецируется задание, затем появляются ответы


А) (sin a – 1) (sin a + 1)

Б) sin2 a – 1 + cos2 a

В) sin2 a + tg a ctg a + cos2 a

Г) √1- 2 tgх + tg2 х

Ответы

- cos2 a

0

2

|1- tg х|


Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

Задачи этапа: обеспечивать развитие у учащихся общеучебных умений и навыков: умение анализировать, синтезировать, сравнивать, обобщать, поиск способов решения, отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора разноуровневого задания.

Содержание этапа:

Вспомним свойства четности и нечетности тригонометрических функций, значения тригонометрических функций для различных углов поворота, применение формул приведения

Студенты формулируют свойства четности и нечетности, правило применения формул приведения, называют значения тригонометрических функций для различных углов поворота.

Предлагается самостоятельная работа в 2 вариантах с последующей взаимопроверкой правильности ее выполнения.

  1. Найдите значения тригонометрических выражений:

На экране проецируется задание.

1 вариант

2 вариант


sin (-π/3)

cos 2π/3

tg π/6

ctg π/4

cos (-π/6)

sin 3π/4

Ответы

- √3/2

- 1/2

√3/3

1

√3/2

√2/2


cos (-π/4 )

sin π/3

ctg π/6

tg π/4

sin (-π/6)

cos 5π/6

Ответы

√2/2

√3/2

√3

1

- 1/2

- √3/2

Проверка ответов и оценка своей работы согласно шкале:

количество верных ответов

Критерий оценивания

6

+

5

+

-

4

_

+

< 4

-

На экране проецируются ответы

Вспомним определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Студенты дают определения обратных тригонометрических функций, обращая внимание на область определения и множество значений.

Выполняем следующую работу также самостоятельно.

  1. Вычислите:

На экране проецируется задание.

1 вариант

2 вариант


arcsin √2/2

arccos 1

arcsin (- 1/2 )

arccos (- √3/2)

arctg √3

Ответы

π/4

0

- π/6

5π/6

π/3


arccos √2/2

arcsin 1

arccos (- 1/2)

arcsin (- √3/2)

arctg √3/3

Ответы

π/4

π/2

2π/3

- π/3

π/6


Учитель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:

количество верных ответов

Критерий оценивания

5

+

4

+

-

3

_

+

< 3

-

На экране проецируются ответы



3.4. Основная часть занятия

Задача этапа: систематизировать и обобщить известные методы решения тригонометрических уравнений

Форма этапа: работа в группах

Напомните, пожалуйста, формулы решения уравнений вида sinx =а, cosx = а, tg х=а.

Студенты называют формулы решения простейших тригонометрических уравнений

sinx

х = (-1)karcsin а + π k, k hello_html_m289d78ff.gifZ


cosx = а

х = ± arccos а + 2 π k, k hello_html_m289d78ff.gifZ


tg х = а

х = arctg а + π k, k hello_html_m289d78ff.gifZ.


Каждая группа получает карточки с уравнениями одного вида.

Задания:

  1. Решить уравнения, сверить результаты с информационным листом преподавателя и оформить решения.

  2. Записать алгоритм решения и оформить.

  3. Подготовить и продумать представление «продукта»


Первая группа:

 2cos2 xcos x – 1 = 0.

2sin2 x + sin x – 1 = 0.

2cos2 x + cos x – 1 = 0.

4sin2 x – 4sin x + 1 = 0.


Вторая группа:

hello_html_m1f564ed9.gif

sin 2x = –cos 2x.

 sin 2x + cos 2x = 0.

cos x – 3sin x = 0.


Третья группа:

sin2 x – 4sin x cos x + 3cos2 x = 0.

sin2 x + 4sin x cos x + 3cos2 x = 0.

2sin2 x + 2sin x cos x = 1.

2sin2 x – 5sin x cos x + 3cos2 x = 0.


Четвертая группа:

hello_html_5773fe7e.gif

hello_html_m49c060d2.gif

hello_html_m115f8b32.gif

hello_html_40614dd4.gif


После окончания работы каждая группа представляет результат своей работы.

Обсуждается разработанный алгоритм решения данного вида уравнения, который записывается в памятки.

    1. Закрепление материала (20мин)

Задача этапа: практическое применение приобретенных умений и навыков.

Форма этапа: индивидуальная самостоятельная работа


На экране проецируется задание.


1 вариант

2 вариант


2 cos2х + 5 sin х - 4=0


cos 2х + cos х =0



√2 sin (x/2) + 1 = cos х

Ответы

(-1)kπ/6 + πk, k hello_html_m289d78ff.gif Z


π + 2πk, k hello_html_m289d78ff.gif Z

± π/3 + 2 πn, n hello_html_m289d78ff.gif Z


2 πk, k hello_html_m289d78ff.gif Z

(-1)k π/2+2πn,n hello_html_m289d78ff.gif Z


3 sin x - 2 cos2x =0


cos 2x + sin x =0



√2cos(x/2) + 1=cos x


Ответы

(-1)kπ/6 + πk, k hello_html_m289d78ff.gif Z


π/2 + 2πk, k hello_html_m289d78ff.gif Z

(-1)k+1 π/6 + πn, n hello_html_m289d78ff.gif Z


π + 2πk, k hello_html_m289d78ff.gif Z

± π/2 + 4πn, n hello_html_m289d78ff.gif Z


На экране проецируются ответы


3.6. Домашнее задание (5 мин)

Информация о домашнем задании.

Задачи этапа: сообщить учащимся о домашнем задании, обеспечить понимание цели, содержания и способов решения.

Содержание этапа:

  1. Составить опорный конспект «Решение тригонометрических уравнений».

  2. Для закрепления навыков решения тригонометрических уравнений выполните задания следующего содержания:


1 вариант

2 вариант

3 sin x+ 5 cos x = 0

5 sin2 х - 3 sinх cos х - 2 cos2х =0

3 cos2х + 2 sin х cos х =0

5 sin2 х + 2 sinх cos х - cos2х =1

2 sin x - 5 cos x = 3

1- 4 sin 2x + 6 cos2х = 0

2 cos x+ 3 sin x = 0

6 sin2 х - 5 sinх cos х + cos2х =0

2 sin2 x – sin x cosx =0

4 sin2 х - 2sinх cos х - 4 cos2х =1

2 sin x - 3 cos x = 4

2 sin2 х - 2sin 2х +1 =0


  1. Для желающих:

1. введением нетрадиционной замены решите симметричное тригонометрическое уравнение cos6х + sin6 х = 16 sin2 х cos2х ;

2. выражение sin3 х + 3 sin х - 4 разложить на множители различными способами;

3. методом разложения на множители решите тригонометрическое уравнение

sin3 х + 3 sin х - 4 = 0


3.7. Подведение итогов работы на занятии (выставление оценок, комментарии преподавателя) (5мин)

Рефлексивно-оценочная часть урока.

Задачи этапа: дать качественную оценку работы каждого ученика по выполнению самостоятельной работы и оценку работы группы.


3.7.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

Содержание этапа:

Оцените свою работу на уроке. Вы самостоятельно выполнили упражнений:

1 – находили значения тригонометрических функций;

2 – находили значения обратных тригонометрических функций;

3 – решение уравнений по известным алгоритмам;

Найдите сумму баллов.

      1. Обсуждение результатов групповой работы.






















3.8. Приложения (наглядный, дидактический материал, раздаточный материал, структура презентации)

Приложение-1


Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение

а

Формулы решения

Частные случаи

sin x=a

|a|hello_html_55c0dd28.gif

Нет решения

-

|a|hello_html_m2e130f51.gif

х=(-1)n arksin a+ hello_html_139905d2.gif

sin x=0; x=hello_html_139905d2.gif

sin x =1; x=hello_html_466bcb02.gif

sin x =-1;

x=hello_html_m56b0e4ab.gif

cos x=a

|a|hello_html_55c0dd28.gif

Нет решения

-

|a|hello_html_m2e130f51.gif

x=±arccos a + πk,khello_html_me30ab82.gif

cosx=0, x=hello_html_m64fc6054.gif

cosx=1, x=hello_html_32ecb14c.gif

cosx=-1, x=π+hello_html_32ecb14c.gif

tgx=a

a-любое число

x=arctg x +πk, khello_html_me30ab82.gif

-

ctgx=a

a-любое число

x=arcctg x +πk, khello_html_me30ab82.gif

-



Приложение-2


Виды тригонометрических уравнений и способы их решения


Тригонометрические уравнения


hello_html_m289f11e2.gifhello_html_70300d12.gifhello_html_m2df47aa7.gifhello_html_2246d31e.gif

Уравнение содержит только синусы или

косинусы вида

asin2f(x)+bsin2f(x) +c;

acos2f(x)+bsinf(x)+c=0…

Однородное уравнение 1 степени вида

аhello_html_34049003.gif

(а≠0,b≠0)

Однородное уравнение2 степени вида

asin2f(x)+ bsinf(xhello_html_m18bdf455.gif+

k cos2f(x)=0



Уравнение вида

a tgx+b ctgx +c=0

Способ решения:

уравнение сводится к квадратному(биквадратному) относительно синуса (косинуса)

Способ решения:

деление обеих частей на hello_html_26761305.gif

Получаем:

a tgx + b=0


Способ решения:

Деление обеих частей на hello_html_m660e35b6.gif

Получаем :

atg2x+btgx +c=0

Способ решения:

Уравнение сводится к квадратному относительно тангенса заменой

ctg x=hello_html_3a63162e.gif


hello_html_m2df47aa7.gifhello_html_m2df47aa7.gifhello_html_m2df47aa7.gifhello_html_m2df47aa7.gif
















Приложение-3

Значения тригонометрических функций

некоторых углов


аhello_html_2e6a3705.gifргумент





функция


0

hello_html_67ca2e91.gif

hello_html_m5ca8d762.gif


hello_html_m2903d3e7.gif


hello_html_m2fbbe6cd.gif


hello_html_m52cc47f0.gif


hello_html_m64c6d6d3.gif


hello_html_4dd8e528.gif


hello_html_4550f894.gif

hello_html_4e08f625.gif


hello_html_6ac20e0e.gif

00

300

450

600

900

1200

1350

1500

1800

2700

3600


sin



0


hello_html_40941da2.gif


hello_html_1d715ac7.gif


hello_html_6f5b50fd.gif


1


hello_html_6f5b50fd.gif


hello_html_1d715ac7.gif


hello_html_40941da2.gif


0


-1


0


cos



1


hello_html_6f5b50fd.gif


hello_html_1d715ac7.gif


hello_html_40941da2.gif


0


-hello_html_m4567f88d.gif



-hello_html_m5b35150b.gif


-hello_html_447721c9.gif

-1


0



1


tg



0


hello_html_m45b4eb06.gif


1


hello_html_7e0cefbb.gif


-


hello_html_2930fd36.gif


-1


- hello_html_m35745c60.gif


0


hello_html_m7d0e0d18.gif


0


ctg



-


hello_html_7e0cefbb.gif


1


hello_html_m45b4eb06.gif


0


- hello_html_m35745c60.gif


-1


hello_html_2930fd36.gif


-


0


-



Приложение-4


Формулы половинных, тройных и четверных углов


Аргумент


Функция

hello_html_4758d20d.gif

hello_html_m5e0b961a.gif



±hello_html_660db750.gif

3hello_html_79adaa9b.gif

4hello_html_5f213225.gifsinhello_html_m481a0d54.gif

4coshello_html_3e172c6c.gif

Cos



±hello_html_me8db233.gif

4hello_html_2c84c4e2.gif coshello_html_m2945cfd8.gif

hello_html_m4df5d4dc.gif












Приложение-5

Рекомендации по решению тригонометрических уравнений

  1. Если аргументы функций одинаковые, попробовать получить одинаковые функции, использовав формулы без изменения аргументов.

  2. Если аргументы функций отличаются в два раза, попробовать получить одинаковые аргументы, использовав формулы двойного аргумента.

  3. Если аргументы функций отличаются в четыре раза, попробовать их привести к промежуточному двойному аргументу.

  4. Если есть функции одного аргумента, степени свыше первой, попробовать понизить степень, используя формулы понижения степени или формулы сокращенного умножения. Например,
    hello_html_m27cba13b.gif

  5. Если есть сумма одноименных функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2,3), попробовать преобразовать сумму в произведение для появления общего множителя.

  6. Если есть сумма разноимённых функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2, 3), попробовать использовать формулы приведения, получить затем случай 5.

  7. Если в уравнении есть произведение косинусов (синусов) различных аргументов, попробовать свести его к формуле синус двойного аргумента, умножив и разделив это выражение на синус (косинус) подходящего аргумента:

hello_html_4feb1438.gif

  1. Если в уравнении есть числовое слагаемое (множитель), то его можно представить в виде значений функции угла. Например:

hello_html_59653ad8.gif





Приложение-6

Лист планирования


Номер группы


Тема


Роли учащихся в группе

Руководитель группы

Служба учета времени


Организатор (менеджер проекта)


Оформители


Докладчик







Приложение-7

Оценочный лист




1-я группа

2-я группа

3-я группа

4-я группа

Защита

Докладчик владеет терминологией, которую использует





Докладчик смог доказать, что разработанный группой алгоритм оптимален для решения поставленной задачи





Группа смогла ответить на все вопросы, поставленные конкурентами и преподавателем





Положительные моменты работы группы





Недостатки в работе группы





Пожелания










Лекционный материал к занятию


Основные методы решения тригонометрических уравнений.

А) Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.

а) тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:

A sin2 х + В sin х + С =0 или

A sin2 х + В cos х + С =0

Решим уравнение:

sin2 х + 5 sin х - 6 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin х = z, решая квадратное уравнение

z2 + 5 z - 6 = 0, находят z1 = 1; z2 = -6

Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π/2 +2 π k, khello_html_m289d78ff.gifZ.

Уравнение sin х = - 6 не имеет решения, так как -6 не принадлежит Е ( sin х ),

т.е. -6 не принадлежит [-1; 1]

Учитель: При решении уравнения вида A sin2 х + В cos х + С =0 вводим замену sin2 х = 1 - cos2 х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.

Решите уравнение 2 sin2 х + 3 cos х -3 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin2 х = 1 - cos2 х, получили

2 (1 - cos2 х) +3 cos х -3 =0.

- 2 cos2 х + 3 cos х - 1 = 0 | (-1)

2 cos2 х - 3 cos х + 1 = 0

Замена cos х= t

Решая квадратное уравнение 2 t 2 - 3t +1 = 0,

находят t1 = 1; t2 = 0,5

Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k, k hello_html_m289d78ff.gifZ.

Решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида х = ± arccos 0,5+ 2π n, n hello_html_m289d78ff.gifZ.


На экране проецируется задание.

На оценку

1 вариант

2 вариант


«3»


«4»




«5»


2 cos2х + 5 sin х - 4=0


cos 2х + cos х =0



√2 sin (x/2) + 1 = cos х

Ответы

(-1)kπ/6 + πk, k hello_html_m289d78ff.gif Z


π + 2πk, k hello_html_m289d78ff.gif Z

± π/3 + 2 πn, n hello_html_m289d78ff.gif Z


2 πk, k hello_html_m289d78ff.gif Z

(-1)k π/2+2πn,n hello_html_m289d78ff.gif Z


3 sin x - 2 cos2x =0


cos 2x + sin x =0



√2cos(x/2) + 1=cos x


Ответы

(-1)kπ/6 + πk, k hello_html_m289d78ff.gif Z


π/2 + 2πk, k hello_html_m289d78ff.gif Z

(-1)k+1 π/6 + πn, n hello_html_m289d78ff.gif Z


π + 2πk, k hello_html_m289d78ff.gif Z

± π/2 + 4πn, n hello_html_m289d78ff.gif Z

На экране проецируются ответы


б) однородные тригонометрические уравнения.

Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени: A sin x+ B cos x = 0. Разделив обе части уравнения на cos x ≠ 0, получим уравнение вида tg x = С.

Решите уравнение 2 sin x+ 3 cos x = 0.

Учащиеся решают уравнение.

2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0

2 tg x + 3 =0

tg x = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk, k hello_html_m289d78ff.gifZ или х = - arctg 1,5 + πk, k hello_html_m289d78ff.gifZ

Теперь рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение второго порядка: А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = 0. Разделив обе части уравнения на cos2x ≠ 0, получим уравнение вида А tg 2x + В tg x + С = 0. Такого вида уравнения мы уже рассматривали.

Решите уравнение 2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0

Решение уравнения: 2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0

2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0 | : cos2х ≠ 0

2 tg 2x - 3 tg x - 5 = 0

замена tg x = t

2 t2 – 3 t – 5 =0

t1 = -1; t2 = 2,5

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = -π/2 + πk , k hello_html_m289d78ff.gifZ.

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn, n hello_html_m289d78ff.gifZ.

К однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = D, преобразуем данное уравнение А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х =D (sin2 х + cos2х)

или (А –D) sin2 х + В sinх cos х + (С-D) cos2х =0.

Уравнение A sin x+ B cos x = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

A sin x+ B cos x = С

A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2) = С

2 A sin(x/2) cos(x/2) + В (cos2(x/2) - sin2(x/2) )= С (sin2(x/2) + cos2(x/2)). А теперь выберите два уравнения и самостоятельно решите их.




На экране проецируется задание.

1 вариант

2 вариант

3 sin x+ 5 cos x = 0

5 sin2 х - 3 sinх cos х - 2 cos2х =0

3 cos2х + 2 sin х cos х =0

5 sin2 х + 2 sinх cos х - cos2х =1

2 sin x - 5 cos x = 3

1- 4 sin 2x + 6 cos2х = 0

2 cos x+ 3 sin x = 0

6 sin2 х - 5 sinх cos х + cos2х =0

2 sin2 x – sin x cosx =0

4 sin2 х - 2sinх cos х - 4 cos2х =1

2 sin x - 3 cos x = 4

2 sin2 х - 2sin 2х +1 =0


На экране проецируются ответы


1 вариант

2 вариант

«3»



«4»



«5»


- arctg 5/3+ πk, k hello_html_m289d78ff.gif Z.

π/4 + πk; - arctg 0,4 + πn, k, n hello_html_m289d78ff.gif Z.


π/2 + πk; - arctg 1,5 + πn, k, n hello_html_m289d78ff.gif Z.

π/4 + πk; - arctg 0,5 + πn, k, n hello_html_m289d78ff.gif Z.


arctg ( - 1 ±√5) + πk, k hello_html_m289d78ff.gif Z.

π/4 + πk; arctg 7 + πn, k, n hello_html_m289d78ff.gif Z.

- arctg 2/3+ πk, k hello_html_m289d78ff.gif Z.

arctg 1/3+ πk; arctg 0,5 + πn, k, n hello_html_m289d78ff.gif Z.


πk; arctg 0,5 + πn, k, n hello_html_m289d78ff.gif Z.

-π/4 + πk; - arctg 5/3 + πn, k, n hello_html_m289d78ff.gif Z.


arctg ( 2 ± √11) + πk, k hello_html_m289d78ff.gif Z.

π/4 + πk; arctg 1/3 + πn, k, n hello_html_m289d78ff.gif Z.


Б) различные алгоритмы решения уравнений вида A sin x+ B cos x = С

1) переход к половинному аргументу мы рассмотрели ранее.

2) использование универсальной подстановки

2 tg x/2 1 - tg2x/2

sinх = ------------------- , cos х = -----------------------

1 + tg2 x/2 1 + tg2 x/2

3) введение вспомогательного угла

A sin x+ B cos x = С | : √A2 + B2 ≠ 0

A sin x + В cos x = С .

√A2 + B2 √A2 + B2 √A2 + B2


Если A = cos β, то A = sin β, получим

√A2 + B2 √A2 + B2

cos β · sin x + sin β · cos x = С , откуда sin (x + β) = С или

√A2 + B2 √A2 + B2

x = (-1)k arcsin С - β + πk, k hello_html_m289d78ff.gif Z.

A2 + B2

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Задачи этапа: организовать деятельность учащихся по применению знаний, умений и навыков при решении тригонометрических уравнений незнакомыми способами.

Содержание этапа:

А) введением нетрадиционной замены при решении симметричных тригонометрических уравнений

Введем понятие симметричного уравнения

Пусть R (х; у) – выражение, которое рационально зависит от х и у. Такое выражение называют симметричным, если R (х; у) = R (у; х).

Рассмотрим уравнение 4 sinх - 6 sinх cos х + 4 cosх + 1 = 0 ,

т.к. (sin x + cos x)2 = 1 + 2 sin x cos x, то sinx ·cos x = (sin x + cos x)2 - 1 , получим

2

4 sin х + 4 cosх - 6 (sin x + cos x)2 - 1 + 1 = 0 ,

2

4 sin х + 4 cosх - 3 ( (sin x + cos x)2 – 1) + 1 = 0 ,

Введем обозначение t = sin x + cos x, получим

4 t – 3 (t2 -1) + 1 = 0

– 3 t2 + 4 t + 4 = 0

3 t2 - 4 t - 4 = 0 . Решая квадратное уравнение, найдем t 1 = 2, t 2 = -2/3, после чего переходим к решению уравнений sinх + cosх = 2 и sinх + cosх = -2/3

Б) методом разложения на множители.

Вспомним использование данного метода при решении известного вида уравнений:

sinх + sin3 х + sin5 х = 0

сгруппируем слагаемые:

(sinх + sin5 х) + sin3 х = 0

2 sincos 2х + sin3х = 0

sin3х ( 2 cos 2х + 1 ) = 0

переходим к решению простейших тригонометрических уравнений:

sin3х = 0 или 2 cos 2х + 1 = 0

cos 2х = - 1/2

Рассмотрим более сложное уравнение, решаемое методом разложения на множители:

4 sin 3 х + 3 sinх - 7 = 0.

Легко можно заметить, что 4 + 3 = 7 или 4 ·1 3 + 3 · 1 - 7 = 0.

Выполним преобразование

4 sin 3 х + 3 sinх - 7 – (4 · 1 3 + 3 · 1 - 7 ) = 0

или 4 ( sin 3 х - 1 ) + 3 ( sinх - 1 ) = 0 .

Разложим на множители: 4 ( sinх - 1 ) ( sin 2 х + sinх +1 ) + 3 ( sinх - 1 ) =0

( sinх - 1 ) ( 4 ( sin 2 х + sinх + 1) + 3 ) = 0

( sinх - 1 ) ( 4 sin 2 х + 4 sinх + 4 + 3 ) = 0

( sinх - 1 ) ( 4 sin 2 х + 4 sinх + 7 ) = 0, откуда

sinх - 1 = 0 или 4 sin 2 х +4 sinх + 7 = 0

х = π/2 + 2пk, k hello_html_m289d78ff.gif Z решений нет


В) методом оценки левой и правой частей.

Рассмотрим уравнение sin x/4 + 2 cos (x- 2 π)/3 = 3

Вспомним, что – 1 ≤ sin ≤ 1

– 2 ≤ 2 cos (x-2 π)/3 ≤ 2

-----------------------------------

– 3 ≤ sin x/4 + 2 cos(x-2 π)/3 ≤ 3.

Исходное уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства:

sin x/4 = 1 и 2 cos (x-2 π)/3 = 2 или

shello_html_61b638da.gifin x/4 = 1

cos (x-2 π)/3 = 1 . Решая уравнение sin x/4 = 1 , получим х = 2 π+ 8πn, n hello_html_m289d78ff.gif Z.

Решая уравнение cos (x-2 π)/3 = 1 , имеем (x-2 π)/3 = (2 π+ 8πn - 2 π)/3. Или (x-2 π)/3 = 8πn /3. Итак, cosn /3 = 1.

Это возможно только в тех случаях, когда, n делится нацело на 3, т.е. n = 3 k, k hello_html_m289d78ff.gif Z.

Значит, решением исходного уравнения являются числа вида х = 2 п + 24 п k, k hello_html_m289d78ff.gif Z.




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 23.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров310
Номер материала ДВ-280851
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх