Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока решения ключевых задач по теме "Второй признак равенства треугольников"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект урока решения ключевых задач по теме "Второй признак равенства треугольников"

библиотека
материалов

Второй признак равенства треугольников

(Г. 7-9; Глава II, § 3, п. 19),

урок решения ключевых задач

Анализ теоретического материала:

Второй признак равенства треугольников. Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема дана в условной форме. Доказательство основано на определении равных треугольников и используется прием наложения одного треугольника на другой (этот прием был использован при доказательстве первого признаке равенства треугольников). Теорема, обратная данной, верна.

Историческая справка: Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).

hello_html_5b089eb7.png

Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно. Предполагают, что его способ состоял в следующем: пусть A – точка берега, B – корабль на море. Для определения расстояния AB восстанавливают на берегу перпендикуляр произвольной длины AC AB; в противоположном направлении восстанавливают CE AC так, чтобы точки D (середина AC), B и E находились на одной прямой. Тогда CE будет равна искомому расстоянию AB. Доказательство основывается на втором признаке равенства треугольников (DC = DA; С = A; EDС = BDA как вертикальные).

Данная тема является важной в разделе геометрии, ведь признаки равенства треугольников применяются на протяжении всего курса геометрии; способствует формированию умения доказывать равенство данных треугольников, опираясь на изученные признаки, т.е. выделять равенство трёх соответствующих элементов данных треугольников и делать ссылки на изученные признаки.









Анализ задачного материала:

Одношаговые задачи на доказательство равенства треугольников.

121 (а).

Отрезки AB и CD пересекаются в середине O отрезка AB, . Докажите, что .

Решение:hello_html_5468278e.gif

Рассмотрим . AO=OB (по условию), (по условию), (как вертикальные), тогда по второму признаку .

122 (а).

На рисунке , . Докажите, что .

Решение:hello_html_4856d160.gif

Рассмотрим . AC – общая сторона, (по условию), (по условию), тогда по второму признаку .

Двушаговые задачи на нахождение сторон.

121 (б).

Отрезки AB и CD пересекаются в середине O отрезка AB, . Найдите BC и CO, если CD=26 см, AD=15см.

Решение:

Т.к. ( по второму признаку), тогда по определению равных треугольников: CO=OD, AD=CB, . CD=CO+OD, отсюда CO=26:2=13 см. AD=CB=15см.

122 (б).

На рисунке , . Найдите AB и BC, если AD=19 см, CD=11 см.

Решение:

Т.к. (по второму признаку), тогда из определения равных треугольников следует, что AB=CD=11 см, AD=BC=19 см.

126.

На рисунке , , AC=13 см. Найдите BD.

Решение:hello_html_3ab2da48.gif

Рассмотрим : ( поусловию), (по условию), AB – общая сторона. Тогда по второму признаку. Из определения равенства треугольников следует, что AC=DB, CB=AD. Следовательно, AC=13 см, DB=13 см.

Двушаговая задача на доказательство равенства отрезков и углов.

123.

На биссектрисе угла A взята точка D, а на сторонах этого угла – точки B и C такие, что . Докажите, что BD=CD. hello_html_45c33c1c.gif

Решение:

Рассмотрим . (по условию), (по условию), AD – общая сторона. Тогда по второму признаку , а из определения равных треугольников BD=CD.

124.

По данным рисункадокажите, что OP=OT, .

Решение:hello_html_mbf13e6e.gif

Рассмотрим : BO=OC (по условию), (по условию), (как вертикальные). Тогда по второму признаку . Из определения равных треугольников, следует, что BP=CT, PO=OT, .

125.

На рисунке , AO=BO. Докажите, что и AC=BD.

Решение:hello_html_m26655886.gif

Т.к. AO=BO, тогда - равнобедренный. Из свойства углов равнобедренного треугольника следует, что . Рассмотрим : , . Отсюда следует, что , . Значит, по второму признаку . А из определения равных треугольников следует, что AC=BD и .

128.

Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведенные к соответсвенно равным сторонам, равны.

Решение:hello_html_m67158e6c.gif

Рассмотрим и . Т.к. ABC=, то AB=, , , . Тогда по второму признаку =. А из определения равных треугольников AM=.

Задача на доказательство равенства треугольников с помощью доказательства равенства вспомогательных треугольников.

127.

В треугольниках ABC и AB=, BC=, . На сторонах AB и отмечены точки D и так, что . Докажте, что .

Решение:hello_html_m7bdd85a6.gif

Рассмотрим ABC и : AB= ( по условию), BC= (по условию), , (по условию), тогда по первому признаку ABC=. А из определения равных треугольников следует, что AC=, , . Рассмотрим : BC= (по условию), (т.к. , ), ( по условию). Тогда по второму признаку .

129.

Отрезки AC и BD пересекаются в середине O отрезка AC, . Докажите, что .

Решение: hello_html_68e20179.gif

Рассмотрим и : (по условию), AO=OC (по условию), (как вертикальные). Тогда по второму признаку =. А из определения равных треугольников следует, что BO=OD. Рассмотрим и : AO=OC (по условию), BO=OD (из определения =), (как вертикальные). Тогда по первому признаку .

130.

В и отрезки CO и - медианы, =, и . Докажите, что:
а) ;

б) .

Решение:hello_html_m7f3027d1.gif

а) Рассмотрим и : (по условию), (по условию), (по условию). Тогда по первому признаку =. А из определения равных треугольников следует, что , , .

Рассмотрим : , , (т.к. , ). Тогда по второму признаку .

б) Рассмотрим : = (по условию), (по условию), (т.к. , ). Тогда по второму признаку .

Выводы: в учебнике представлены все виды задач, дополнять систему упражнений не нужно. Для данного урока были придуманы только задачи для актуализации на применение первого признака равенства треугольников к решению задач.



Тип урока: урок решения ключевых задач

Учебник: «Геометрия 7-9» Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., С.Б. Кадомцев, 7 класс, Глава II §3 п.19

Учебная задача: выявить виды задач на использование второго признака равенства треугольников и схемы их решения.

Диагностируемые цели: В результате урока ученик :

знает: формулировку второго признака равенства треугольников,

умеет: применять второй признак равенства треугольников для решения задач на доказательство равенства отрезков (углов), нахождение величины отрезков (углов), доказательство равенства треугольников.

понимает: аналогию между видами задач на 1 и 2 признаки равенства треугольников.

Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковые, аналогия

Формы работы: фронтальная

Средства обучения: традиционные, презентация

Структура урока:

Мотивационно-ориентировочный – 12 мин.

Содержательный этап – 28 мин.

Рефлексивно-оценочный – 5 мин.



Ход урока:

Мотивационно-ориентировочный этап.

Актуализация (работа идет устно, фронтально): (слайд 1)

Учитель: Здравствуйте, ребята! На слайде изображены треугольники, найдитесреди них равные. (слайд 2)

hello_html_2200fd0c.jpg

Ученики: (по трем сторонам), (EB=EF, ED=EG, как вертикальные), (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Учитель: Молодцы! Ребята, сформулируйте второй признак равенства треугольников.

Ученик: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Учитель: как мы доказали этот признак?

Ученик: накладывали один треугольник на другой.

Учитель: А сейчас скажите, как звучит первый признак равенства треугольника?

Ученик: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Учитель: Теперь скажите, равны ли треугольники по стороне и двум углам?

hello_html_1c90185e.jpg

Ученики: Нет, потому что не выполняется условие второго признака-по двум прилежащим углам.

Учитель: А равны ли эти треугольники по двум сторонам и углу?



hello_html_m29d23a9d.png

Ученики: Нет, потому что не выполняется условие первого признака – углу между ними.

Учитель: Хорошо, молодцы! А теперь вспомните, какие задачи мы решали, используя первый признак?

Ученик: Задачи на доказательство равенства отрезков (углов), на нахождение величины отрезка (угла) и на доказательство треугольников через равенство других треугольников.

Учитель: Решим такие задачи:

  1. Даны два треугольника ABC и АDE, ВС=СД и АС=СЕ, доказать, что AB=DE, .

Решение:

как вертикальные, Значит, по первому признаку . Следовательно, AB=DE. В равных треугольниках соответственные элементы равны. Против равных сторон лежат равные углы: BC=CD, значит .hello_html_m378cc420.gif

  1. На рисунке АВ=АС,, BC=5, . Найти CD, .

Решение:hello_html_m6a5dfd6d.png

AC – общая сторона, , АВ=АС. По первому признаку . В равных треугольниках соответственные элементы равны: BC=CD=5, .





  1. . Докажите, что.

Решение:

Т.к. , то , AB=DE. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников . hello_html_m1559ef5.png



Мотивация:

Учитель: Итак, мы заметили, что признаки очень похожи, поэтому задачи на второй признак будут аналогичны по видам.

Постановка учебной задачи:

Итак, цель сегодняшнего урока – выявить виды задач на использование второго признака равенства треугольников и схемы их решения.

Содержательный этап:

124.

По данным рисунка докажите, что OP=OT, .

Решение:hello_html_mbf13e6e.gif

Рассмотрим : BO=OC (по условию), (по условию), (как вертикальные). Тогда по второму признаку . Из определения равных треугольников, следует, что BP=CT, PO=OT, .

Учитель: Что мы сделали, что доказать равенство сторон и углов?

Ученики: Доказали равенство треугольников, содержащих эти элементы.

Учитель: Как мы доказали равенство треугольников?

Ученики: Нашли равные элементы и воспользовались вторым признаком равенства треугольников.

Учитель: К какому типу задач относится эта?

Ученики: Это задача на доказательство равенства отрезков и углов.

Учитель: Молодцы! Следующая задача №123.

123.

На биссектрисе угла A взята точка D, а на сторонах этого угла – точки B и C такие, что , CD= 8. Найти BD. hello_html_45c33c1c.gif

Решение:

Рассмотрим . (по условию), (по условию), AD – общая сторона. Тогда по второму признаку , а из определения равных треугольников BD=CD. Следовательно, BD=8.

Учитель: Что мы сделали, чтобы найти BD?

Ученики: Доказали, что треугольники равны.

Учитель: А как мы это доказали?

Ученики: Находили равные элементы в треугольниках и смотрели, под какой признак равенства треугольников подходит данный случай.

Учитель:Какой вид задач мы рассмотрели?

Ученики: На нахождение неизвестной стороны.

Учитель: Следующая задача, которую мы решим в классе №127.

127.

В треугольниках ABC и AB=, BC=, . На сторонах AB и отмечены точки D и так, что . Докажте, что .

Решение:hello_html_m7bdd85a6.gif

Рассмотрим ABC и : AB= ( по условию), BC= (по условию), , (по условию), тогда по первому признаку ABC=. А из определения равных треугольников следует, что AC=, , . Рассмотрим : BC= (по условию), (т.к. , ), ( по условию). Тогда по второму признаку .

Учитель: Что мы сделали, чтобы доказать равенство треугольников ?

Ученики: Доказали равенство треугльников, содержащих данные.

Учитель: Как мы доказывали равенство больших треугольников?

Ученики: Нашли равные элементы и применили первый признак равенства треугольников.

Учитель: К какому виду относится эта задача?

Ученики: Доказательство данных треугольников через доказательство равенства вспомогательных треуголььников.

Рефлексивно-оценочный этап:

Учитель: какова была цель урока?

Ученик: выявить виды задач на использование второго признака равенства треугольников и схемы их решения

Учитель: мы достигли цели?

Ученик: да

Учитель: Как мы ее достигли?

Ученик: Выявили следующие виды задач на второй признак: задачи на доказательство равенства отрезков и углов, задачи на нахождение сторон треугольника и углов и задачи на доказательство треугольников, с помощью доказательства вспомогательных треугольников..

Учитель: Домашнее задание: выучить формулировку второго признака равенства треугольников, задачи из учебника: 122,126,129.

Домашняя работа:

122.

На рисунке , . Докажите, что .

Решение:hello_html_4856d160.gif

а) Рассмотрим . AC – общая сторона, (по условию), (по условию), тогда по второму признаку .

б) Т.к. ( по второму признаку), тогда по определению равных треугольников: CO=OD, AD=CB, . CD=CO+OD, отсюда CO=26:2=13 см. AD=CB=15см.

126.

На рисунке , , AC=13 см. Найдите BD.

Решение:hello_html_3ab2da48.gif

Рассмотрим : ( поусловию), (по условию), AB – общая сторона. Тогда по второму признаку. Из определения равенства треугольников следует, что AC=DB, CB=AD. Следовательно, AC=13 см, DB=13 см.

129.

Отрезки AC и BD пересекаются в середине O отрезка AC, . Докажите, что .

Решение: hello_html_68e20179.gif

Рассмотрим и : (по условию), AO=OC (по условию), (как вертикальные). Тогда по второму признаку =. А из определения равных треугольников следует, что BO=OD. Рассмотрим и : AO=OC (по условию), BO=OD (из определения =), (как вертикальные). Тогда по первому признаку .








Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 05.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров311
Номер материала ДБ-322916
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх