Конспект урока "Сложение и умножение и числовых неравенств" 9 класс

Урок в 9 классе  по алгебре на тему

"Сложение и умножение и числовых неравенств"

Учебник: «Алгебра. 8 класс» (авт. А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир) 

Цель:

рассмотреть теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств; сформировать навыки применения их к решению простейших задач на оценку выражений; закрепить свойства неравенств.

привитие интереса к изучаемому предмету;

формирование математического мышления и умения учащихся воспроизводить мысли устной и письменной речью.

Планируемые образовательные результаты:

Личностные: развивать находчивость при решении задач. Критически оценивать полученный ответ, осуществлять самоконтроль.  Готовность учиться самостоятельно.  Доброжелательно и уважительно относиться к другим людям, уметь работать в режиме диалога.

Метапредметные:

 Познавательные:   Принимать учебную проблемную ситуацию и рассматривать ее как начальный этап ее последующего обсуждения и разрешения. Выдвигать гипотезы и их обосновывать. Использовать знаково-словесные способы кодирования информации. Структурировать знания.  Осознанно строить речевое высказывание в устной форме.

Регулятивные: Планировать и корректировать собственные учебные действия. Осваивать навыки самоконтроля. Находить и исправлять ошибки (своих собственных и  допущенных другими). Прогнозировать результат вычисления. Оценивать себя.

Коммуникативные: Планирование учебного сотрудничества, определение цели, функций участников и способы взаимодействия. Умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении

Предметные: Уметь читать числовые неравенства; знать  свойства числовых, уметь доказывать их  и применять их на практике.   Уметь оценивать значение выражения, используя свойства числовых неравенств.

Тип урока:  урок изучения и первичного закрепления новых знаний

План урока:

1. Организационный этап;
2. Проверка д.з.
3. Актуализация опорных знаний и умений учащихся (повторение ранее пройденного материала);
4. Создание проблемной ситуации и поиск путей решения проблемы
5. Формулировка целей урока
6. Формирование новых знаний;
7. Разминка для глаз
8. Применение теоретических положений в условиях выполнения упражнений. Формирование и отработка навыков и умений, изученных в ходе урока;
9. Самостоятельное использование сформированных умений и навыков Самостоятельная работа
10. Домашнее задание
11.  Итоги урока.
12.  Рефлексия деятельности

ХОД УРОКА

1.Организационный момент 

Сообщить девиз урока: «Слушать и слышать.

                                            Смотреть и видеть.

                                           Думать и рассуждать.       

2. Проверка домащнего задания 

Решение показывается с помощью проектора и компьютера.

3. Актуализация опорных знаний и умений учащихся (повторение ранее пройденного материала) 

Устная работа:  Сформулируйте теоремы, выражающие основные   свойства числовых неравенств.        

Устно (условия заданий проектируются на экране, работа проходит фронтально, при выполнении заданий учащиеся поясняют, какие теоремы применяли, т.е., что можно делать с обеими частями неравенства)

- Теоремы, выражающие основные свойства числовых неравенств.

Теорема 1. Если а>b, то b <а; если а<b , то b > а  

Теорема 2. Если а<b и b < с, то а < с

Теорема 3. Если a<b и с– любое число, то а + с < b + c

(Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и тоже число, то получится верное неравенство)

Теорема 4(1). Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число, то получится верное неравенство

Теорема 4(2). Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

Следствие из теоремы: если а и b – положительные числа

и a < b, то.        2 < 5, значит   >

Повторим на конкретных примерах, как действуют эти правила.

1.Найди ошибку ( устно)  ( если неверно поднимаете руку вверх)

Пусть x > y, выберите верные неравенства:

1)      x – 3 < y – 3  

2)       5x  > 5 y

3)       8 + x > y + 8

4)       −7x > −7y

5)       10 – x < 10 – y

2.Блиц-опрос (устно)  . Пусть a < b. Какой знак > или < надо поставить вместо * , чтобы получилось верное неравенство?

1) a + 4 * b + 4

2) −3,5a * −3,5b   

3) 10,5a * 10,5b

4) b – 6 * a – 6

 5)  6 b *  6 a

3. (письменно)  Оцените значение выражений и заполните пропуски, напишите знаки сравнения.

  Если 7 < x < 11 , то     4x,  – 3 + x,    – x,  1/x

   4* 7 <4* x < 4*11 ;           28 < 4x < 44 
  7-3 <-3+ x < 11-3 ;              4 <-3+ x <  8

     -7 > -x >-11;                    -11  < -7  

 >  >  ;                                     <

4.Создание проблемной ситуации и поиск путей решения проблемы  ( мотивация учащихся к изучению новой темы) 

Часто значения величин, являющихся результатами измерений, не точны. Измерительные приборы, как правило, позволяют лишь установить границы, между которыми находится точное значение.

Предложить обучающимся задачу

«Измеряя длину а и ширину b прямоугольного участка,  (в метрах), нашли

что 20 < a < 23  и  9 < b < 11. Оцените длину изгороди вокруг этого участка и его площадь».

Возможные наводящие вопросы :

1.       Как найти периметр и площадь прямоугольника.

2.      Что нужно сделать, чтобы оценить площадь и периметр?

3.      Достаточно ли знания изученных ранее свойств для решения задачи?

Дети:  Читают задачу, анализируют. Выдвигают свои способы (гипотезы) для решения поставленной задачи. Отвечают на вопросы :

1.      Р=2*(а+b)

S=a*b.

2.      Для оценки периметра нужно почленно сложить неравенства, а затем все части неравенства умножить на 2.

Для оценки площади необходимо умножить неравенства почленно.

Не знаем свойств когда неравенства почленно  перемножаются и складываются

5.Формулировка темы урока.

 Формулировка целей урока.

6. Изучение нового материала

Теперь давайте рассмотрим теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств.

Теорема 5.  

Если a < b и  c < d, то a + c < b + d

Доказательство
Прибавим к обеим частям неравенства a < b  число c, получим  a + c < b + c
Прибавим к обеим частям неравенства c < d  число b, получим               b + c < b + d
Из неравенств a + c < b + c и b + c < b + d  следует, что                 a + c    <     b + d.

Вывод: Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

Пример 1. Сложите числовые неравенства:

Например: -7<15                      -10>-13

                  ⁺  7<12                           ⁺  7 >  2

                     0< 27 верно            -3> -11 верно

Теорема 6.   Если  a < b и  c < d, где a, b, c, d – положительные числа, то aс < bd.

Доказательство

Умножим обе части неравенства a < b  на положительное число c, получим aс < bd. 

Умножим обе части неравенства c< d  на положительное число b, получим bс < bd.

Из неравенств ac < bc и  bc< bd,  следует, что aс < bd

Вывод: Если перемножить почленно верные неравенства одного знака, левые и правые части которых – положительные числа, то получится верное неравенство.

Пример 2. Перемножьте числовые неравенства:  

Например:

                    7<15                       10>6                           -3<-5

                  ^*  3<10                      ^* 7 >  2                        – 4< 6

                   21< 150 верно         70>12 верно              12< -30 неверно  (почему?)

Следствие. :

Если числа а и b положительные и а <b, то aⁿ < bⁿ  ( n– натуральное   число)

Например:           3 > 2, значит 3³ > 2³            

                                                    27 > 8 верно

Заметим, что все рассмотренные свойства неравенств справедливы и в случае нестрогих неравенств:

если a > b и c  > d, то a + c > b + d;
если a > b, c > d и a, b, c, d – положительные числа, то ac > bd;
если a > b и a, b – положительные числа, то , где n – натуральное число.

Учащиеся решают (устно)
Задания из дидактического материала:

1. Сложите почленно неравенства:

 -5< 24 и 15< 35           -42<0 и -6<-1         9>-25 и -2> -5      78>33 и -22>-23     32>-1  и 14>7     

2. Перемножьте почленно неравенства:

5<24 и 8<10         4,2<0  и  5<49        9>5  и  4>3        5>3,5  и  6>2         2>1  и  4>3

Возвращаемся к проблемной задаче.        

Решают задачу №2.

Обучающиеся решают задачу.

20 м <  a < 23 м  и 

 9 м <  b < 11 м

29 м< a+b < 34 м

58 м <  P  < 68 м

Тогда с помощью теоремы 6 можно оценить площадь прямоугольника. Имеем:

 20*9м² <ab< 23*11м²

  180 м² < S < 253 м²

Вообще, если известны значения границ величин, то, используя свойства числовых неравенств, можно найти границы значения выражения, содержащего эти величины, т. е. оценить его значение.

Разминка (для глаз) - Не поворачивая головы, обведите взглядом стену класса по периметру по часовой стрелке, классную доску по периметру против часовой стрелки, прямоугольник, изображенный на слайде по часовой стрелке(красной) и следующий против часовой стрелки. Пробегите взглядом по  жёлтой линии , затем по голубой. Поверните голову налево и посмотрите на линию горизонта, а теперь на кончик своего носа. Закройте глаза, сосчитайте до 5, откройте глаза и продолжим работу

6. Закрепление изученного материала

1.Решает учитель

Пример:     Зная, что     7≤ x ≤9

                                        2 ≤ y ≤ 5                 Оцените:  x+y , x-y , xy ,

Решение:   7 ≤ x ≤ 9                               7  ≤ x  ≤ 9    

                 ⁺ 2 ≤ y ≤ 5                              -5 ≤ -y ≤ -2

                  9 ≤х+у≤14                              2≤ x-y ≤ 7

                   7≤ x ≤9                                     7≤x≤9 

                       ^*2 ≤ y ≤ 5                                 ≤≤

                        14≤xy≤45                               ≤≤

№ 65. Выполняют учащиеся

Выполним а), в), затем б), г)   

7. Самостоятельная работа (с выставлением оценки)

Организация и контроль за процессом решения задач. Организация самоконтроля по готовому решению

Самостоятельно работают над заданиями. (слайд на доске)  Проверяют себя по шаблону (слайд на доске)

    

8. Итоги урока 

1. Сформулируйте теорему о почленном сложении числовых неравенств.
2. Сформулируйте теорему о почленном умножении числовых неравенств.
3. Как вы думаете, данные теоремы справедливы только для двух числовых неравенств?
4. Что значит оценить значение выражения?

9. Домашнее задание : Изучить п.3 учебника(выучить правила), №61,63, 66                     

10. Рефлексия

Ученикам предлагается закончить предложения:

Я сегодня познакомился с ...
У меня сегодня получилось ...

Какие вопросы остались для меня неясными?

Ребята, готовясь к уроку, я нашла интересный факт, связанный с неравенствами. Оказывается в книгопечатании знаки > и < появились раньше, чем знак =. Как вы думаете, почему? Оказывается, для знаков > и < использовалась типографская повернутая латинская буква v, а знака = тогда в типографском шрифте не было. Найдите и вы к следующему уроку интересные факты, связанные с неравенствами.