Конспект урока в 9 классе "Сумма первых членов ГП"

Учитель: Стадник Н.В., МБОУ «Шубинский УВК»

Предмет: алгебра

Класс: 9

Урок № 70                                                              

Дата: 28.02.2022

Тема: Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Цели: создать условия для изучения формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии, формирования умения применять эту формулу при решении упражнений.

Планируемые результаты:

Предметные: умеют применять формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии при решении упражнений.

Метапредметные: познавательные – уметь читать математический текст и находить информацию в учебнике по заданной теме, уметь работать по правилу, алгоритму, образцу; регулятивные – уметь ставить цели, планировать свою деятельность, осуществлять самоконтроль и самооценку; коммуникативные – уметь вести диалог, аргументированно высказывать свои суждения.

Личностные: формировать ответственное отношение к успешной учебной деятельности.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование: доска, мел, учебник, презентация, ноутбук, проектор.

Ход урока.

I.                   Организационный этап.

II.                Актуализация знаний. Проверка домашнего задания.

Проверить выполнение домашнего задания.

Фронтальный опрос:

1.      Определение ГП.

2.      Понятие знаменателя ГП.

3.      Формула n-го члена ГП.

III.             Определение темы,  постановка цели урока.

Легенда (слайды 1-2, видеоролик с сайта https://etudes.ru/etudes/geometric-progression-chess/ ).

Давным-давно в Индии жил да был один очень жадный и жестокий раджа, захвативший  много соседних земель и возомнивший себя могущественным завоевателем. И потому он пришел в ярость, когда ему передали слова бедного мудреца, сказавшего однажды, что без своего народа раджа не смог бы одержать ни одной победы. Раджа велел привести мудреца во дворец. «Если не докажешь свои слова – будешь казнен. Даю тебе на раздумья одну ночь», – приказал раджа.

Но мудрец подтвердил свою правоту. Он принес радже игру собственного изобретения – шахматы, из правил которой следовало, что один лишь король без помощи своих фигур выиграть партию не может.

Радже так понравились шахматы, что он предложил изобретателю любую награду. И каково же было удивление повелителя, когда мудрец попросил не золото, не драгоценности, а простое пшеничное зерно! Вернее, столько зерен, сколько поместится на всех клетках шахматной доски, если на первую положить одно зерно, на вторую – два, на третью – четыре, на четвертую – восемь и т.д.

Думая, что речь идет о нескольких мешках пшеницы, раджа велел придворным подсчитать, сколько потребуется зерна. Оказалось, что если даже собрать урожай со всего мира, то и тогда не хватит зерна для мудреца.

Как вы думаете, почему? Что нам нужно знать для подсчета количества зёрен?

- Итак, тема урока «Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии» (записать тему в тетрадь) (слайд 3).

- Каковы цели урока? (слайд 4)

1. Изучить формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии.

2. Научиться применять её при решении задач.

IV.             Изучение нового материала.

1.      Вывести формулу (слайды 5-7).

 – геометрическая прогрессия,

 – знаменатель геометрической прогрессии (),

 - сумма первых членов геометрической прогрессии

Умножим обе части этого равенства на :

Учитывая, что

получим

Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1):

Так как  то

Отсюда при

V.                Первичная проверка понимания.

Посчитаем, сколько зерен пшеницы должен был выдать раджа мудрецу (слайды 8-9):

Понадобилось бы 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 миллиарда 709  миллионов 551 тысяча 615 зёрен.

В единицах массы: если принять, что одно зёрнышко пшеницы имеет массу примерно 0,065 грамма, тогда общая масса пшеницы на шахматной доске составит 1200 миллиардов тонн.

VI.             Закрепление материала.

С. 161, № 648(а), 649(а,б,г), 650(а), 651(б,в), 652(а,в,г).

VII.          Итоги урока. Объяснение домашнего задания.

Повторить формулу для вычисления суммы первых членов ГП.

Домашнее задание: П. 28, № 648(б), 649(в), 650(б), 651(а).

VIII.       Рефлексия.

Продолжите высказывание об уроке:

- Самым интересным на уроке для меня было…

- Я научился(-ась)…

- Я хотел(-а) бы еще узнать…

• 1 слайд

  Легенда о шахматной доске
  

• 2 слайд

• 3 слайд

  Формула суммы
  первых n членов геометрической прогрессии
  

• 4 слайд

  Цели урока:
  Изучить…
  Научиться…
  

• 5 слайд

  Вывод формулы
  ( 𝑏 𝑛 ) – геометрическая прогрессия,
  𝑞 – знаменатель геометрической прогрессии,
  𝑞≠1
  𝑆 𝑛 - сумма первых 𝑛 членов геометрической прогрессии
  
  𝑆 𝑛 = 𝑏 1 + 𝑏 2 +…+ 𝑏 𝑛−1 + 𝑏 𝑛 .
  Умножим обе части этого равенства на 𝑞:
  𝑆 𝑛 𝑞= 𝑏 1 𝑞+ 𝑏 2 𝑞+…+ 𝑏 𝑛−1 𝑞+ 𝑏 𝑛 𝑞.
  (1)
  

• 6 слайд

  Учитывая, что
  𝑏 1 𝑞= 𝑏 2 , 𝑏 2 𝑞= 𝑏 3 ,…, 𝑏 𝑛−1 𝑞= 𝑏 𝑛 ,
  получим
  𝑆 𝑛 𝑞= 𝑏 2 + 𝑏 3 +…+ 𝑏 𝑛 + 𝑏 𝑛 𝑞.
  Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1):
  𝑆 𝑛 𝑞− 𝑆 𝑛 = 𝑏 2 + 𝑏 3 +…+ 𝑏 𝑛 + 𝑏 𝑛 𝑞 −
  − 𝑏 1 + 𝑏 2 +…+ 𝑏 𝑛−1 + 𝑏 𝑛 = 𝑏 𝑛 𝑞− 𝑏 1 .
  Так как 𝑏 𝑛 = 𝑏 1 𝑞 𝑛−1 , то
  𝑆 𝑛 𝑞− 𝑆 𝑛 = 𝑏 1 𝑞 𝑛 − 𝑏 1 ,
  𝑆 𝑛 𝑞−1 = 𝑏 1 𝑞 𝑛 −1 .
  Отсюда при 𝑞≠1
  𝑆 𝑛 = 𝑏 1 𝑞 𝑛 −1 𝑞−1 .
  
  
  (2)
  

• 7 слайд

  Формула суммы
  первых n членов геометрической прогрессии
  

• 8 слайд

  𝑏 1 =1, 𝑞=2, 𝑛=64
  
  𝑆 64 = 1∙( 2 64 −1) 2−1
  
  𝑆 64 =18 446 744 073 709 551 615
  

• 9 слайд

  18 446 744 073 709 551 615
  
  Понадобилось бы 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615 зёрен.
  В единицах массы: если принять, что одно зёрнышко пшеницы имеет массу примерно 0,065 грамма, тогда общая масса пшеницы на шахматной доске составит 1200 миллиардов тонн.
  

• 10 слайд

  Домашнее задание
  Пункт 28 читать, учить формулу, № 648(б), 649(в), 650(б), 651(а).
  

• 11 слайд

  Продолжите высказывание
  об уроке:
  - Самым интересным на уроке для меня было…
  - Я научился(-ась)…
  - Я хотел(-а) бы еще узнать…