Конспект урока в 10 классе "Функционально-графический метод решения показательных и логарифмических уравнений"

10 «Б» класс

Учитель: Кондратьева Татьяна Юрьевна

Тема урока «Функционально — графический метод решения логарифмических и показательных уравнений»

Цель:

• повторить определение логарифма, свойства логарифмической и показательной функции, основные способы решения логарифмических и показательных уравнений;

• расширить представления учащихся о функционально- графическом методе решения логарифмических и показательных уравнений;

• акцентировать внимание учащихся на том, в заданиях какого типа рациональнее применять функционально-графический метод;

• формировать у учащихся умения сравнивать и анализировать, сопоставлять и делать выводы.

Пояснительная записка

Данная тема является важным этапом в формировании представлений о различных способах функционально-графического метода решения логарифмических и показательных уравнений в школьном курсе алгебры и начал анализа в программе «Алгебра и начала анализа,10 класс» автора Никольского С.М.

После изучения темы «Показательная функция» учащиеся создавали кейсы своих знаний по данной теме, отражая, какими знаниями и умениями они уже овладеют. Это были видеоматериалы, презентации, учащиеся использовали программы bandicam, Jing, «Экранная камера» и др. Главным условием при создании «кейса» - его озвучивание. В данном уроке, повторяя свойства показательной функции и методы решения уравнений, были использованы некоторые фрагменты этих кейсов. Для хранения и передачи материалов используется яндекс.диск.

Так же во время урока применяется графический онлайн-калькулятор https://www.desmos.com/calculator.

Ход урока

I. Актуализация знаний учащихся.

На последних уроках вы изучали тему «Показательная функция». Что вы уже знаете по этой теме:

1)определение,

2)свойства,

3)график,

4) методы решения показательных уравнений и неравенств.

Давайте вспомним. (Предлагается посмотреть фрагмент кейса ученицы 10б класс и найти в ее рассуждениях ошибку).

Ошибка в условии возрастания показательной функции.

Почему так важно знать свойства показательной функции?
По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т.е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение в Австралии кроликов, которых там не было раньше. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием. 
В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т.е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания

На доске заранее написаны методы решения показательных и логарифмических уравнений.

Методы решения показательных уравнений:

1. уравнивание показателей

2. введение новой переменной

3. группировка

4. вынесение общего множителя за скобки

5. функционально-графический

6. почленное деление

Методы решения логарифмических уравнений:

1. по определению логарифма

2. потенцирование

3. введение новой переменной

4. функционально-графический

5. логарифмирование обеих частей уравнения

6. приведение к одному основанию

Предлагается посмотреть фрагмент кейса ученицы, где функционально-графический метод представлен, но не озвучен и фрагмент фильма с неполным объяснением сути метода.

Функционально - графический метод основан на использовании графических иллюстраций, применении свойств функции и позволяет решать многие задачи математики. 

1. Использование графических иллюстраций.

Пример. (обратить внимание на несовершенность этого способа). Область применения графического метода решения уравнений ограничена, поскольку с его помощью можно рассматривать только задания, в которых требуемые для построения графики хорошо известны, а искомые точки пересечения не выходят за пределы чертежа, кроме того, на отыскание решений влияют неизбежные погрешности чертежа.

Проверка:

Ответ: 4, 16.

2. Использование свойства монотонности функций.

Если в уравнении f(x) = g(x) на промежутке Х функция y=f(x) возрастает, y=g(x) убывает, то уравнение f(x) = g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень, который можно найти методом подбора.

Пример.

log₅ (5^x – 4)=1–х

Функция log₅ (5^x – 4) функция возрастает при x >log₅ 4, функция y = 1 – x убывает при любом x.

Если x = 1 , то log₅ (5 – 4) = 1 – 1, 0 = 0, значит, 1 – корень уравнения.

Ответ: 1.

II. Фронтальная работа

Работа с графиками, представленными на слайдах. Необходимо определить вид функций, характер их монотонности, сделать вывод о количестве точек пересечения графиков, то есть количестве корней уравнения.

Учитель: «Аристотель говорил, что ум заключается не только в знаниях, но и в умениях применять знания на деле. И действительно, любые знания ценны только тогда, когда они не только достоверны и точны, но и имеют практическую значимость для человечества в целом»

Учащиеся выдвигают гипотезу, что если y = f(x) – функция, возрастающая на некотором промежутке I, а y = g(x) – функция, убывающая на этом промежутке, тогда уравнение f(x) = g(x) имеет на промежутке I один корень.

Предлагается двум ученикам выйти к доске и решить графически следующие уравнения.

1 ученик. log₅x =

Пока ученики строят графики, класс устно решает уравнения.

2 ученик. 2^х=√(х) – 2

Проверка 1 ученика

y= log₅x, D(y):x>0. Функция возрастающая

y= , D(y):x≥0. Функция возрастающая

Точка пересечения графиков (5,1). Абсцисса точки 5 является корнем уравнения.

Ответ: 5.

Проверка 2 ученика

y= 2^х, D(y):xєR. Функция возрастающая

y= - 2, D(y):x≥0. Функция возрастающая.

Точек пересечения графиков нет. Уравнение не имеет корней.

Ученики убеждаются, что такие уравнения могут и не иметь корней.

Теорема 1. Пусть y = f(x) – функция, возрастающая на некотором промежутке I, а y = g(x) – функция, убывающая на этом промежутке. Тогда уравнение f(x) = g(x) имеет на промежутке I не более одного корня.

Есть вопросы? Мы переходим к следующему блоку «Самостоятельная работа». Для решения следующих уравнений нам необходимо вспомнить свойства монотонности функций:

1. Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.

2. Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.

3. Если функция f возрастает на промежутке I и c – любое число, то функция f + c также возрастает.

4. Если функция f возрастает на промежутке I и c > 0, то функция cf также возрастает.

5. Если функция f возрастает на промежутке I и c < 0, то функция cf убывает.

6. Если функция f возрастает и сохраняет свой знак на промежутке I, то функция 1/f убывает.

7. Если функция f возрастает и неотрицательна на промежутке I, то функция fⁿ , где nN, также возрастает.

8. Если функция f возрастает и n – нечетное число , то fⁿ также возрастает.

9. Композиция g(f(x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

Давайте обсудим способ решения каждого уравнения.

Записывают подробное решение

1.

2.

3.

Использование монотонности функций, входящих в уравнение, упрощает решение, а для некоторых уравнений это единственно возможный способ решения.

V. Домашнее задание.

6)

7)

VI. Итог.

Наш урок подходит к концу. Мы сегодня разобрали две разновидности функционально-графического метода решения показательных и логарифмических уравнений. Мы с вами конкретизировали и расширили представления о способах решения уравнений. Отрабатывали навыки сравнивать, анализировать, сопоставлять и делать выводы. Вы увидели возможность практического применения полученных на уроке знаний и взаимосвязь различных научных дисциплин. Хотелось бы, чтобы полученные знания помогали вам выстраивать образ научного познания мира.

9