Конспект урока в 9 классе "Решение рациональных уравнений в ходе подготовки к ОГЭ"

Конспект урока математики в 9 классе

Тема урока: Решение рациональных уравнений в ходе подготовки к ОГЭ.

Цели урока:

Образовательные   • Обобщение и систематизация знаний учащихся;

    • Формирование практических умений и навыков по      осознанному применению        полученных знаний.

Развивающие     • Развитие математической речи;

 • Развитие познавательной активности, умения анализировать и делать    выводы;

                          • Развивать логическое мышление, сообразительность;

Воспитательные:       • Воспитание культуры слушать своего одноклассника;

•Формирование аккуратности и внимания в письменной         математической речи.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, тесты.

Ход урока:

1.     Организационный момент (1 мин)

Сообщение темы и целей урока.

Слайд 1. Эпиграф урока  "Ничего не делается само собой, без усилий и    воли, без труда".   А.И. Герцен

2.     Систематизация знаний. (Фронтальный опрос, решение тестов)

Ребята, предлагаю вам перечень уравнений (Слайд 2) :

1.      =    + 

     2.   3х² – 5х + 2 = 0                                                 

      3.   0,7∙(2х-5) = 17 – 2∙ (0,3 + 7,25)

4.      9х² – 1 = 0

5.   х² + 7х + 12 = 0

6.  2х - 3 ∙ (х + 5) = -12

7.  х² + 4х – 5 = 0

8.    х² – 5х = 0

9.  7х² + 13х + 6 = 0

10.   х⁴ – 26 х² + 25 = 0

11.  3х² + 8х + 5 = 0

Все эти уравнения рациональные.

Какие уравнения называются рациональными ?  

  ( уравнения, левая и правая часть которых явл. рациональными выражениями, называются рациональными.)

 Мы рассмотрели три вида рациональных уравнений: линейные, квадратные и дробно-рациональные.

1. Линейные уравнения.

                Какие из приведенных уравнений являются линейными ?      (3 и 6)

Вспомним алгоритм решения линейного уравнения.

Слайд 3. Алгоритм решения линейного уравнения.

Алгоритм решения линейного уравнения	2х – 3(х + 5)=-12
1.Раскрыть  скобки. 2. Перенести слагаемые с неизвестными  в левую часть уравнения, а известные слагаемые в правую часть уравнения. Переносят слагаемые из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. 3.Привести подобные слагаемые. 4.Найти неизвестный множитель. 5. Записать ответ.	2х – 3х – 15 = -12               2х – 3х = -12 + 15                     -х = 3                    х = 3 : (- 1)                        х = -3                     Ответ:  -3

Решите уравнение №3  (на доске) b карточки на решение линейных            уравнений  

 = 17 – 2∙(0,3 + 7,25)         1) 5х – 3 =4х – (2х + 1)       Ответ: 2/3

1,4х - 3,5 = 17 - 0,6х - 14,5             2) 9х + 2 = 3∙(7 – 2х) – 4     Ответ: 1

1,4х + 0,6х = 17 – 14,5 + 3,5            3) 3х – 1 = 5∙(х – 2) – х        Ответ: 3

2 х = 6

х=6 : 2

х=3           Ответ: 3

Найдем корни уравнения  №6  (устно)         

                     2.Квадратные уравнения.

1. Какие  из предложенных уравнений являются квадратными ?   

2.Общий вид квадратного уравнения.      ах² + вх + с = 0

3.Назовите полные квадратные уравнения.

4. Назовите коэффициенты в уравнении №11.

5.Какие квадратные уравнения называются приведенными ?   (а = 1)

           Назовите эти уравнения.     (5, 7, 10)  

      6. От чего зависит количество корней  квадратного уравнения.                   (от D = b²- 4ac)

Слайд 4.  Алгоритм решения квадратного уравнения.

  ax²+bx+c = 0

1.     Вычислить дискриминант  D = b²- 4ac.    

2.     Сравнить D с нулем:                                                                                                    если D>0, то уравнение   имеет  два корня                                

                    x₁ =     и    x₂ =   . 

если D=0, то уравнение имеет   единственный корень                        х =   

           если D<0, то уравнение не имеет корней.

Применяя алгоритм решения квадратного уравнения по вариантам выполнить тесты

     №9 и №2.

 к доске вызвать 2 учеников для контроля, решают молча и самостоятельно.

А)   № 9 Найдите сумму корней уравнения 7х² + 13х + 6 = 0.

            D = b²- 4ac  =  13²  - 4∙7∙6 = 169 – 168 = 1, D>0, 2к.,  = 1

           x₁ =   =   =         x₂ =  =    =-1  

                x₁ + x_{2 =} - 1                      Ответ:  - 1                      

    Проверить № 9,

    Каким свойством обладают коэффициенты этого уравнения?

       b = a + c,  x₁ = -1,  x₂ = -c/a.

Какое еще уравнение обладает этим свойством?       ( № 11)

Слайд 5.     Если   b = a + c , то уравнение  ax² + bx + c = 0 имеет корни      x₁ = -1, x₂ = -c/a.  

          Используя свойство коэффициентов квадратного уравнения,

               найдите наибольший корень уравнения № 11

                                         3х² + 8х + 5 = 0

                                устно по компьютеру рассказать решение.

 b = a + c,   8 = 3 + 5   значит x₁ = -1, x₂ =  =    = - 1                               x₁ ∙  x₂ = -1 ∙ (- 1 )  = 1

б)  № 2. Найдите наибольший корень уравнения 3х² – 5х + 2 = 0.                     

                 D = b²- 4ac  =  (-5)²  - 4∙3∙2 = 25 – 24 = 1, D>0, 2к.,  = 1

                  x₁ =   =   =   = 1      x₂ =  =    =  =     

Ответ:   1                     

             Проверить № 2, Обратите внимание на коэффициенты этого квадратного уравнения. 

                                 a + b + c = 0,  x₁ = 1,  x₂ = c/a.

Какое еще уравнение обладает этим свойством?       ( № 7)

Слайд 6.   Если  a +b + c = 0, то уравнение  ax² + bx + c = 0 имеет корни    x₁ = 1, x₂ = c/a            

 Используя свойство коэффициентов квадратного уравнения,

              Найдите наименьший корень уравнения  х² + 4х – 5 = 0

             устно по компьютеру рассказать решение.                                                                         a +b + c = 0,  1 + 4 – 5 = 0   значит   x₁ = 1,   x₂ =  =   = -5               Ответ: -5 

 в)  Большой вклад в науку внес французский математик Франсуа Виет.

 Сформулируйте теорему Виета:                                                                                                     (Если приведенное квадратное уравнение имеет неотрицательный дискриминант, то сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.)

                                     x² + рх + q = 0       x₁+ x₂ = -p       x₁∙ x₂ =q

При решении квадратных уравнений применяется теорема, обратная теореме Виета.

Слайд 7.  

Тест №5   Найдите наибольший корень уравнения  х² + 7х + 12 = 0.

По теореме, обратная теореме Виета,     x₁+ x₂ = -p= -7        и       x₁∙ x₂ =q = 12.  

Подбором найдем, что  x₁ = -4      x₂ =- 3.            Ответ: -3.

 г) Назовите неполные квадратные уравнения.   (№4 и №8)  

           Почему они так называются ?     (b=о или c=0)                                                 №4 и №8 на доске самостоятельно 2 ученика.

№4  Найдите сумму корней уравнения 9х² – 1 = 0.

Решение: 9х² – 1 = 0, 9х² = 1, х² = 1/9,   x₁ =        x₂ = -    , их сумма равна 0. Ответ: 0 

Слайд 8  Если  в уравнении  ax² + bx + c = 0  коэффициент b = 0, то уравнение ax² + c = 0     имеет корни противоположные корни  x=±       (-c/a>0).    

Определите при каком значении параметра n корни уравнения       2х² – ( 5n -2)х – 1 =0    равны по модулю ?                                             (отвечает устно)                                                                Решение: Корни уравнения  2х² – ( 5n -2) – 1 = 0  равны по модулю, если  b = 0.

5n -2 = 0,    n = 0,4                                                                           Ответ: Корни уравнения  2х² – ( 5n -2) – 1 = 0  равны по модулю               при n = 0,4.

   №8   Найдите произведение корней  уравнения     х² – 5х = 0 .            

 Решение: х² – 5х =0 , х∙( х - 5) = 0,    х = 0 и х = 5.     0 ∙ 5 = 0                     Ответ: 0

Слайд 9.  Если  в уравнении  ax² + bx + c = 0  коэффициент с = 0, то уравнение ax² + bx   = 0      имеет 2 корня   x₁ = 0  и    x₂ = -  . 

              Определите при каком значении параметра n один из корней уравнения   х² + 8х + n² – 6n + 5 = 0  равен нулю ?

(отвечает устно)

Решение: один из корней уравнения     х² + 8х + n² – 6n + 5 = 0  равен нулю, когда  с = 0

     n² – 6n + 5 = 0,      a +b + c = 0,  1 + (-6) + 5 = 0, значит n = 1  и   n =  -  = 5.

Ответ: Один из корней уравнения   х² + 8х + n² – 6n + 5 = 0  равен нулю                при n = 1  и   n =  5.

д) Как называется уравнение №10 ?   (биквадратное).

№ 10.  Найдите наибольший корень уравнения   х⁴ – 26 х² + 25 = 0. 

  Решает у доски, отдельные учащиеся получают карточку  

Ученик у доски объясняет решение уравнения        х4 – 26 х2 + 25 = 0.  х2=t,  t2 – 26t + 25 =0  D =b²-4ac=(-5)2 -4∙3∙2=25–24=1, D>0,2к.,       t1 =1,   t2 =25 1) х2=1  x = ±1      2) х2=25  x = ±5  Ответ:5.

Решить уравнение самостоятельно: 1) х4 – 7 х2 – 18=0        Ответ: -3;3 2) х4 + 3 х2 - 4 = 0       Ответ: √7;  -√7. 3) х4 – 7 х2 - 18 = 0          Ответ: -1; 1. 4) х4 - 14 х2 + 24 = 0                              Ответ: √2; -√2,√12;-√12

Выполните тест №2. (3мин)

                                    3.Дробно-рациональные уравнения

Среди предложенных уравнений мы не коснулись только № 1.

Как оно называется ?   (дробно-рациональное)

Вспомним алгоритм его решения.

Слайд 10.  Алгоритм  решения дробно-рационального уравнения.

1.Привести уравнение к виду    =0.

2.Найти О.Д.З., исключив значения х, при которых знаменатель дроби равен нулю.

3. Решить уравнение Р(х) = 0.

4.Определить корни уравнения, удовлетворяющие О.Д.З., записать ответ.

№1.      Решаем на доске        18/(х²-9)  = х/(х+3) + 4/(х-3)

             18/(х²-9) - х/(х+3) - 4/(х-3) = 0

             О.Д.З.  (х+3)(х-3)≠0,  х≠ -3,  х≠3

            18 – х(х-3) – 4(х+3) =0

             -х₂ –х + 6 =0

              х₂ + х- 6 =0   по т. Виета  x₁+ x₂ = -p= -1        и       x₁∙ x₂ =q = -6,

                Подбором найдем, что  x₁ = 2      x₂ =- 3 (не удовл)     Ответ: 2.

С помощью дробно-рациональных уравнений решают задачи.

Слайд 10. (Устно) Катер, собственная скорость которого 18 км/ч  прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения за 3 часа. Найдите скорость течения реки.

Пусть скорость течения реки равна х км/ч.

Выберите уравнение для решения задачи   1) 50(х-3) - 8(Х+3) =18

                                                                    2)  50/(18+х)  +8/(18-х) =3

                                                                    3)  50/(х+18)  +8/(х-18)=3

3.Тест

Вариант 1	Вариант 2
1.Решите уравнение   3х+16=120-х                  Ответ:________	1.Решите уравнение   4-х=3х+96 Ответ:________
2.Соотнесите каждое квадратное уравнение    А)х2-9=0           Б)2х -х2=0        В) х2-3х-4=0         и его корни 1)0 и 2   2)-3 и3   3)-1 и 4   4) -4 и 1 А Б В	2.Соотнесите каждое квадратное уравнение    А)х2-4=0           Б)2х +х2=0        В) х2+9=0            и его корни 1)0 и -2   2)-2 и 2  3)-3 и 3   4) нет корней А Б В
3. Катер, собственная скорость которого 15 км/ч  прошел 40 км по течению реки и 18 км против течения за 4 часа. Найдите скорость течения реки. Пусть скорость течения реки равна х км/ч. 1)    15(х-4) - 18(х+4) =40 2)         +     = 4       3)      +     = 4	3. Катер, собственная скорость которого 20 км/ч  прошел 18 км по течению реки и 20 км против течения за 2 часа. Найдите скорость течения реки. Пусть скорость течения реки равна х км/ч. 1)    20(20+х) - 18(20-х) =2 2)             +     = 2 3)      +       = 2

 4. Домашнее задание.    № 272, № 285.      

5.  Подведение итогов урока. Рефлексия.

 Объявить оценки за урок. Выслушать мнения учащихся о прошедшем уроке.

Слайд 11.

Продолжите предложения

“Сегодня на уроке                       

Я повторил …                                                                                                                                                                                           Мне понравилось…                                                                                                                                                                                                         Я затруднялся…                                                                                                                                                                                                                        У меня получилось…                                                                                                                                                                                                       Я могу…                                                                                                                                                                                                                                                                 Я попробую…                                                                                                                                                                                          Меня удивило…

Используемая литература

1.Учебник «Алгебра 9 класс», Никольский С.М.

2.Учебник «Алгебра 8 класс», Никольский С.М.

3.ГИА9. Типовые тестовые задания, Ященко И.В.

4.ГИА. Математика, практикум. Лаппо Л.Д.

5.ГИА.Математика ( тренировочные тесты), Гришина И.В.