Конспект урока в 8 классе "Теорема Пифагора и ее применение"

Открытый урок

по геометрии

в 8 классе

Тема: «Теорема Пифагора

и ее применение».

Учитель математики

Сафарова

Лариса
Александровна

Гимназия №1562

План урока

№	Структура урока	Время
1.	Подготовительный этап. Мотивационно-ориентировочная часть.	4
2.	Изучение нового материала. а) Объяснение нового материала б) Первичное закрепление. (задача на доске)	5 + 4
3.	Закрепление (работа в группах)	5
4.	Закрепление (самостоятельная работа)	4
5.	Работа на единую цель (математическое лото)	4
6.	Подведение итогов	4

Тема урока: «Теорема Пифагора и ее применение».

Тип урока: Изучение нового материала и первичное 

                     закрепление

Цели урока:

Развивающая цель:

а) Развитие психических процессов: памяти, внимания, мышления, воображения.

б) Повышение мотивации обучения учащихся.

в) Расширение кругозора учащихся и обогащение словарного запаса. Развитие познавательного интереса.

г) Осуществление межпредметной связи геометрии с алгеброй, географией, историей, биологией, литературой, трудом.

Обучающая цель:

Формирование общеучебных математических навыков и умений: доказательство и формулировка теоремы Пифагора, умение решать задачи с помощью теоремы Пифагора.

Воспитывающая цель:

Обучение детей трудолюбию и аккуратности.

Эпиграф урока

«…Геометрия владеет двумя сокровищами –

теоремой Пифагора и золотым сечением…»

Иоганн Кеплер

Прогнозируемый результат:

     1.  Знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника.

           2. Уметь доказывать теорему Пифагора.

     3. Уметь применять теорему Пифагора для решения задач.

Оборудование:

-- Компьютер

-- Большой прямоугольный треугольник и три квадрата

-- Прямоугольный треугольник и три квадрата у каждого ученика на парте

-- Ножницы

-- Карточки для работы в группах

-- Математическое лото

-- Таблица квадратов натуральных чисел

-- Портрет Пифагора

-- Чертежные инструменты

-- Плакат с надписью: «…Геометрия владеет двумя  сокровищами –

                                          теоремой     Пифагора и     золотым сечением…»  

                                                                                                   Иоганн Кеплер

ХОД УРОКА.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся
1.Мотивационно-ориентировочная часть.
Здравствуйте, дети!  Сегодня я предлагаю вам отправится в Х- педицию.  Дети, сейчас вы выступите в качестве исследователей. Прежде, чем познакомиться с новой темой, выполним некоторые задания.    1.Найдите пропущенное число: (рис.1)           5      5                         11     11                   12   12              25                               121                           ?                      Какая здесь закономерность?       2. Назовите два следующих числа 36.49,64,81,100, 121, … Назовите фигуры, которые вы видите на экране (рис.2) -- Какие бывают треугольники? --Какой треугольник называется прямоугольным?	-- 144 -- Произведение двух одинаковых чисел   - 144, 169. Каждое число – это произведение двух одинаковых чисел -- Треугольники -  -- Остроугольные,прямоугольные, тупоугольные. -- Прямоугольным называется треугольник у которого один из углов прямой (равен 90º).
- А какая фигура называется квадратом?	- Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
- Как мы находим его площадь.	- Площадь квадрата равна квадрату стороны.
- Ребята, наша исследовательская деятельность продолжается. Назовите элементы прямоугольного треугольника?	- Стороны, прилежащие к прямому углу – катеты, а третья сторона – гипотенуза.
/на боковой доске даны изображения треугольников с указанными длинами сторон/
- Обратите внимание на левую доску. Что нам дано?	-- На боковой доске даны изображения прямоугольных треугольников с указанными длинами сторон.
- Давайте на основе данных рисунков заполним соответствующую таблицу. В этой таблице нам надо записать квадраты длин катетов и гипотенузы для каждого из данных треугольников. 3 треугольника, соответственно 3 строки таблицы и заполним.
Дети выходят к доске и заполняют таблицу
№ a 2 b 2 c 2 1. 64 225 289 2. 144 25 169 3. 16 9 25
- Итак, Определите, как связаны катеты и гипотенуза в каждом из треугольников (Как связаны квадраты катетов с квадратом гипотенузы).	– Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
2. Изучение нового материала
- Совершенно верно. Такая связь действительно существует. Есть соответствующая теорема. И сегодня на уроке мы найдем и изучим эту связь. Тема нашего урока – «Теорема Пифагора».Теорема эта отражает связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике. На доске появляется тема урока. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. - На экране компьютера портрет Пифагора  и формулировка теоремы.  Один ученик читает вслух, другие про себя. Далее ученик повторяет, не глядя на экран.	.
– Правильно. Отметьте у себя в тетрадях тему нашего занятия. И сейчас мы докажем эту теорему. Записываем после формулировки теоремы – дано.
/правая боковая сторона доски с треугольником/ Дано:АВС-прямоугольный            тр-к ; ВС= a , АС= b и АВ=с,                                                                                    ------------------------------------ доказать: с 2 = a 2 + b 2
- Нам дан прямоугольный треугольник АВС, ВС= a , АС= b и АВ=с, как показано на доске. Зарисуйте его себе в тетрадях. Теперь запишем, что нам надо доказать.	с 2 = a 2 + b 2
/У. под диктовку ХХХ на доске, а дети в тетрадях записывают то, что надо доказать/
- Итак, записываем:  Доказательство: (рис.3)    Построим на катете прямоугольного треугольника (длиной 4 квадрата) квадрат со стороной, равной этому катету, на втором катете (длиной три квадрата) построим квадрат со стороной, равной этому катету, и, аналогично, на гипотенузе построим квадрат со стороной, равной гипотенузе.                                                  с2           а2                                       в2 Чему равна площадь квадрата со стороной а? Чему равна площадь квадрата со стороной в? Чему равна площадь квадрата со стороной с? У вас у каждого на парте лежат треугольник  и квадраты. Достали ножницы из чехлов… Теперь положите квадрат с площадью а2     на квадрат с площадью    с2 . Разрежьте квадрат с площадью  в2  на девять равных квадратиков и заполните ими свободное пространство на квадрате с2   . Мы наглядно показали , что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.  –Что и требовалось доказать Соблюдение  техники безопасности – ножницы в чехлы.	S1 = а2  S2 = в2  S3 = с2 S3 = S1 + S2 с 2 = a 2 + b 2
Учитель: Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воз- зрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он «за- прещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы». В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: «… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанно- го из пшеничного теста». (на экране читается текст стихотворения) Эти стихи написал немецкий писатель-романист А. Шамиссо в начале XIX в., участвуя в кругосветном путешествии на русском корабле «Рюрик». Пребудет вечной истина, как скоро    Ее познает слабый человек!    И ныне теорема Пифагора    Верна, как и в его далекий век.    Обильно было жертвоприношенье    Богам от Пифагора. Сто быков    Он отдал на закланье и сожженье    За света луч, пришедший с облаков.    Поэтому всегда с тех самых пор,    Чуть истина рождается на свет,    Быки ревут, ее почуя ,вслед.    Они не в силах свету помешать ,    А могут лишь закрыв глаза дрожать    От страха, что вселил в них Пифагор. Показать быков (рис.4) Смотрите, а вот и «Пифагоровы штаны во все стороны равны» и «Пифагорова невеста»  (рис. 5). 3.Закрепление нового материала. ( на экране задача и рисунок к ней на доске) (рис.6) У египтян была известна задача о лотосе. "На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну».   З а м е ч а н и е. Из курса алгебры известно, что уравнение АВ2 = 25  имеет два корня: АВ = ±100 ,   АВ = - 5 не удовлетворяет условию задачи, так как длина стороны треугольника всегда положительна. Значит АВ = 5. Давайте договоримся, что в дальнейшем, при решении уравнений в подобных задачах, будем ограничиваться только положительными корнями и каждый раз не будем пояснять . почему отрицательные корни отбрасываются.
3. Работа в группах
--- Трем группам из четырех человек даются карточки  в виде прямоугольных треугольников с заданиями и табло с ответами.	--- Каждый  ученик решает свою задачу и ставит свой треугольник на свое место. В результате в группах получаются – карта Древней Греции, карта Древнего Египта и карта древней Италии. Капитаны выходят к доске со своими картами.
На экране компьютера появляется карта Древнего мира.  (рис.7). Если соединить города, где жил Пифагор отрезками, то получиться прямоугольный треугольник. Учитель: О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове. Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки. Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги – в образе полулюдей - полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки. Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду. Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне. Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю. Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:1) теорема о сумме внутренних углов треугольника; 2) построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них; 3) геометрические способы решения квадратных уравнений; 4) деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел; 5) доказательство того, что 2 не является рациональным числом; 6) создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое. Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев. Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд. А теперь закрыли глаза, если вы мысленно проведете отрезки от тех мест, где родился и жил Пифагор, то получим тот самый прямоугольный треугольник, над которым мы с вами сегодня и работаем. (рис. 8) Откройте глаза. Мы с вами совершили еще одно открытие и продвинулись дальше в нашей исследовательской деятельности.
4.  Самостоятельная работа 6 16 17 20 24 5 г о т и к а А теперь, дети, каждый из вас попробует совершить открытие самостоятельно. На экране появляются задачи на теорему Пифагора. (рис. 9) Решая задачу, дети вписывают букву в таблицу против получившегося ответа. Дети получают слово «готика» В зданиях готического стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны 1.        ширине окна (b) для наружных дуг 2.        половине ширины, (b/2) для внутренних дуг Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоватися вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.   Учитель: Перед вами задачи на теорему Пифагора. Правильно решив их, вы получите названия стиля в архитектуре, где применяется теорема Пифагора
Показать  Собор Парижской богоматери (рис. 10) Учитель: Готика – это такой художественный стиль, получивший распространение в Европе в XII – XVI вв. В готике отражаются все изменения в структуре средневекового общества, уже начавшего переход к Возрождению. Наиболее ярко готика проявилась в архитектуре. Яркий образец готической архитектуры – известный Собор Парижской Богоматери (Notre Dame de Paris). Здесь и особая каркасная система со стрельчатыми арками, и высота, и витражи, и стремящиеся вверх башни, и стрельчатые окна. Общая черта готики – отражение новых духовных устремлений человека.	Дети решают задачи на теорему Пифагора И получают слово «Готика»
5.Математическое лото
Учитель: А теперь каждый попробует совершить свое открытие в нашей исследовательской деятельности. Кстати, с теоремой связан интересный факт. Хоть она и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В древних текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё не знали её доказательство, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путём, как и мы его сейчас установили. В какой стране и при строительстве какого сооружения применялась теорема Пифагора? Сейчас мы с вами узнаем. У вас у каждого на парте лежит задание на обратной стороне фигур, с которыми мы работали. Вы каждый самостоятельно решаете свои задачи и находите ответ на математическом лото на даске. Сейчас мы получим великое сооружение, в строительстве которого еще задолго до жизни Пифагора использовались знания о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Учитель: Удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий, был известен с древних времён.. Этот способ, по – видимому, применявшийся ещё тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся как 3:4:5, согласно теореме Пифагора, - прямоугольный, так как 32 + 42 = 52. Поэтому треугольник с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называют “египетским”. На экране –пирамида Пифагора (рис.11)	Дети решают задачи и находят их место на полотне, где вырисовывается египетская пирамида – одно из великих чудес света.
6. Подведение итогов
Какое открытие мы сегодня совершили?
Для чего мы делали это открытие?
Давайте попробуем повторить формулировку теоремы Пифагора. Итак, сегодня на уроке мы познакомились с одной из главных теорем геометрии - теоремой Пифагора и её доказательством, с некоторыми сведениями из жизни учёного, имя которого она носит, решили несколько простейших задач. Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. К следующему уроку вы должны выучить теорему Пифагора с доказательством, так как мы будем учиться применять её к решению более сложных задач. Популярность теоремы столь велика, что её доказательства встречаются даже в художественной литературе, например в рассказе известного английского писателя Хаксли «Юный Архимед». Такое же доказательство, но для частного случая равнобедренного прямоугольного треугольника приводится в диалоге Платона «Менон». Для тех, кто желает больше узнать о Пифагоре, прочитать о нём легенды,выяснить, почему союз пифагорейцев был тайным, почему авторство работ приписывалось учителю и о многом другом, советую прочитать книгу А.В. Волошинова «Пифагор», которая имеется в вашей школьной библиотеке. А познакомившись с материалами «раскладушки», вы можете узнать о нравственных заповедях пифагорейцев, прочитать несколько легенд, связанных с именем Пифагора, попробовать решить несколько исторических задач и разгадать пифагорову головоломку. А за Великое открытие,  которое мы совершили сегодня на уроке, каждый из вас получает вот такой папирус о том, что он являлся участником окружного конкурса «Учителя года», успешно усвоил теорему Пифагора и еще раз убедился в связи математики с другими науками.(рис.12) -- Итак наша Х-педиция закочилась. Мы сделали еще один шаг в познание природы. Спасибо за хорошую работу. Давайте вместе прочтем мудрые слова Галилея: «Великая книга истории написана математическими символами» .(рис.13)	Папирус участника Настоящим  папирусом подтверждается, что ----------------------------------- успешно усвоил теорему Пифагора, выполнил все задания, стал участником урока в  окружном конкурсе «Учитель года - 2006»,  и еще раз убедился в связи математики с другими науками.

ЛИТЕРАТУРА

1. Акимова С. Занимательная математика, серия «Нескучный учебник». –

Санкт-Петербург.: «Тригон», 2003.

2. Волошинов А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. – М.: Про-

свещение, 1993.

3. Газета «Математика» № 17, 2006.

4. Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян,

В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 13-е изд. - М. : Просвещение, 2002.

5. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1981.

6. Еленьский Ш. По следам Пифагора. М., 1961.

7. Журнал «Квант» № 2, 2002.

8. Журнал «Математика в школе» № 4, 2005.

9. Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.

10. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в сред-

ней школе. М., 1963.

11. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. учрежде-

ний. – 2 -е изд.– М.: Просвещение, 2003.

12. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М., 2000.

13. Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике. Минск, 2001.

14. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин. – 3-е

изд., испр. и доп. - М.: Педагогика–Пресс, 1997.

15. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / Глав. ред. М.Д. Аксёнова. -

М.: Аванта+, 2001.

16. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. – М., 1997.