Тема
урока: Вычисление площади криволинейной трапеции
«Единственный путь,
ведущий к знанию,
– это деятельность»
Б.Шоу
Цель
урока:
1)Закрепить
умение выделять криволинейные трапеции из ряда геометрических фигур и
отработать навык вычислений площадей криволинейных трапеций;
познакомиться
с понятием плоской фигуры;
научиться
вычислять площадь плоских фигур;
2) способствовать
развитию логического мышления, грамотной математической речи, аккуратности при
построении чертежей;
3) воспитывать
интерес к предмету, к оперированию математическими понятиями и образами,
воспитать волю, самостоятельность, настойчивость при достижении конечного
результата.
Тип
урока:
комбинированный.
Оборудование:
P компьютерный класс,
P интерактивная доска,
P карточки-задания.
Демонстрационный материал:
P презентация PowerPoint;
Ход
урока:
I.
Организационный момент
Приветствие
класса. Сообщение учащимся целей урока.
Понятие
определенного интеграла является одним из основных понятий математики. К концу
17 в. Ньютоном и Лейбницем был создан аппарат дифференциального и интегрального
исчисления, который составляет основу математического анализа.
На
предыдущих занятиях мы научились вычислять определенные интегралы. Но
гораздо важнее применение определенного интеграла. Мы знаем, что с его помощью
можно вычислять площади криволинейных трапеций. Сегодня мы ответим на вопрос:
“Как это сделать?”
II. Актуализация
опорных знаний учащихся
Тема нашего урока: Вычисление площадей фигур с помощью
определенного интеграла
Какое
слово в этой теме является ключевым?
Логическая структура содержания нашей темы состоит
из следующих учебных элементов содержания:
1)Расставьте эти элементы в правильном порядке:
1.Интеграл
2.Определенный интеграл
3.Формула Ньютона-Лейбница
4.Геометрический
смысл определенного интеграла
5.Криволинейная трапеция
6.Площадь
криволинейной трапеции
2) Дайте
определение каждому элементу содержания темы.
3)
Какие еще знания необходимы для успешного вычисления интегралов и площадей
фигур?
Формула
Ньютона-Лейбница… Откуда взялась эта формула? Ответ на этот вопрос узнаем из
исторической справки.
Интеграл,
интегрирование, интеграция… Однокоренные слова, к тому же вышедшие за пределы
математики и ставшие почти обиходными. В газетах читаем об интеграции наук,
культур, в политике и экономике ведут речь об интегральных процессах.
Любопытно, что идеи интегрального исчисления возникли задолго до появления идей
дифференциального исчисления. Греческие математики Эвдокс и Архимед (4;3 века
до нашей эры) для решения задач вычисления площадей и объемов придумали
разбивать фигуру на бесконечно большое число бесконечно малых частей и искомую
площадь вычисляли как сумму площадей полученных элементарных кусочков.
Символ интеграла введен Г. Лейбницем в 1675
г. Этот знак является изменением латинской буквы «S» (первой буквы слова «сумма»). Само
слово «интеграл» придумал в 1690 г. Я. Бернулли. Вероятно, оно происходит от
латинского «integero», которое переводится как
«приводить в прежнее состояние, восстанавливать». Действительно, операция
интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой была
получена подынтегральная функция. В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц
согласились с предложением Я.Бернулли , и с 1696
г. появилось название новой ветви математики –«интегральное исчисление».
Понятие «неопределенный интеграл» выделил Г.Лейбниц, а «определенный интеграл»
ввел К. Фурье. Связь операций дифференцирования и интегрирования независимо
друг от друга установили И.Ньютон и Г.Лейбниц.»
III. Формирование новых знаний и
способов действий
Определенный
интеграл служит для вычисления площадей криволинейных трапеций. Но на практике
чаще встречаются фигуры, которые таковыми не являются и нам необходимо
научиться находить площади именно таких фигур.
Обратите
внимание на экран. Что изображено на рисунке слева? Справа?
Плоская фигура - это фигура
ограниченная прямыми x = a, x = b и графиками непрерывных функций y = f(x), y =
g(x), причем на отрезке [a; b] выполняется неравенство g(x)< f(x).
Площадь S фигуры, ограниченной
прямыми x = a, x = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на
отрезке [a; b] и таких, что для всех х из отрезка [a; b]выполняется неравенство
g(x) < f(x), вычисляется по
формуле:
S=
Сформулируем и запишем алгоритм нахождения
площадей плоских фигур:
1.Построить графики данных линий. Определить
искомую фигуру.
2.Найти пределы интегрирования.
3.Записать площадь искомой фигуры с помощью
определенного интеграла.
4.Вычислить полученный интеграл.
Рассмотрим,
как при решении практических заданий используется этот алгоритм
Пример: Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y = x, y = 5 – x, x = 1, x = 2.
Решение: Построим на координатной плоскости
графики функций y = x, y = 5 – x, x = 1, x = 2. Заштрихуем площадь фигуры,
площадь которой надо найти.
Воспользовавшись формулой , получим
S=
Ответ: S = 2.
IV. Применение знаний, формирование умений
А) Вычислить площадь фигуры, ограниченной
прямой y = x – 2 и параболой y = x2 – 4x + 2.
Решение:
Построим прямую y = x – 2 по точкам, например
(2; 0) и (0; -2).
Для построения параболы найдем координаты
вершины по формулам ;
Xb=- yв
= y(xв). Имеем: x=2 y=-2
Значит, вершиной параболы служит точка (2;
-2). Возьмем пару дополнительных точек, например (0; 2), (4; 2) и построим
график данной квадратичной функции.
Найдем абсциссы точек пересечения прямой и
параболы, для чего решим уравнение
X2 – 4х + 2 =
х – 2
Находим последовательно: х2 – 5х + 4 = 0;
х1 = 1; х2 = 4.
Фигура, площадь которой надо найти, ограничена
линиями y = x2 – 4x + 2
(снизу) и y = x – 2 (сверху). С боков эта фигура ограничена прямыми х = 1 и х =
4.
Для вычисления площади фигуры можно применить
изученную сегодня формулу. Тогда площадь данной фигуры:
S=
Ответ: S = 4,5.
Б) Работа по индивидуальным карточкам:
Обучающая карточка
Справа - решённое задание, слева - необходимо
решить аналогичную задачу.
С помощью интеграла вычисли площадь фигуры,
ограниченную линиями
у=
х2 и у = 4
|
у=
х2 и у = 1
|
Решение:
|
Решение:
|
1.
Построим
фигуру:
|
|
2.Найдём
пределы интегрирования:
х2
= 4
х
= 2 или х = -2
|
|
S=
|
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.