Инфоурок Алгебра КонспектыКонспект урока "Вычисление площади криволинейной трапеции"

Конспект урока "Вычисление площади криволинейной трапеции"

Скачать материал

Тема урока:  Вычисление площади криволинейной трапеции 

«Единственный путь,

 ведущий к знанию,

– это деятельность»

Б.Шоу

Цель урока:

1)Закрепить умение выделять криволинейные трапеции из ряда геометрических фигур и отработать навык вычислений площадей криволинейных трапеций;

познакомиться с понятием плоской фигуры;

научиться вычислять площадь плоских фигур;

2) способствовать развитию логического мышления, грамотной математической речи, аккуратности при построении чертежей;

3) воспитывать интерес к предмету, к оперированию математическими понятиями и образами, воспитать волю, самостоятельность, настойчивость при достижении конечного результата.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование:

P  компьютерный класс,

P  интерактивная доска,

P  карточки-задания.

Демонстрационный материал:

P  презентация PowerPoint;

 

Ход урока:

I. Организационный момент

Приветствие класса. Сообщение учащимся целей урока.

Понятие определенного интеграла является одним из основных понятий математики. К концу 17 в. Ньютоном и Лейбницем был создан аппарат дифференциального и интегрального исчисления, который составляет основу математического анализа.

На предыдущих занятиях мы научились   вычислять определенные интегралы. Но гораздо  важнее применение определенного интеграла. Мы знаем, что с его помощью можно вычислять площади криволинейных трапеций. Сегодня мы ответим на вопрос: “Как это сделать?”

II. Актуализация опорных знаний  учащихся

Тема нашего урока:  Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла  

Какое слово в этой теме  является ключевым? 

Логическая структура    содержания   нашей  темы   состоит  из следующих  учебных элементов содержания: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)Расставьте   эти элементы  в правильном порядке:

1.Интеграл

2.Определенный интеграл

3.Формула Ньютона-Лейбница

4.Геометрический смысл определенного интеграла

5.Криволинейная трапеция

6.Площадь криволинейной трапеции

2) Дайте определение каждому элементу содержания темы.

3) Какие еще знания необходимы для успешного вычисления  интегралов и площадей фигур?

Формула Ньютона-Лейбница… Откуда взялась эта формула? Ответ на этот вопрос узнаем из исторической  справки.

Интеграл, интегрирование, интеграция… Однокоренные слова, к тому же вышедшие за пределы математики и ставшие почти обиходными. В газетах читаем об интеграции наук, культур, в политике и экономике ведут речь об интегральных процессах. Любопытно, что идеи интегрального исчисления возникли задолго до появления идей дифференциального исчисления. Греческие математики Эвдокс и Архимед (4;3 века до нашей эры) для решения задач вычисления площадей и объемов  придумали разбивать фигуру на бесконечно большое число бесконечно малых частей и искомую площадь  вычисляли как сумму площадей полученных элементарных кусочков.

Символ  интеграла введен Г. Лейбницем в 1675 г. Этот знак является изменением латинской буквы «S» (первой буквы слова «сумма»). Само слово «интеграл» придумал в 1690 г. Я. Бернулли. Вероятно,  оно происходит от латинского «integero», которое переводится как «приводить в прежнее состояние, восстанавливать». Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой была получена подынтегральная функция. В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я.Бернулли , и с 1696 г. появилось название новой ветви математики –«интегральное исчисление». Понятие «неопределенный интеграл» выделил Г.Лейбниц, а «определенный интеграл» ввел К. Фурье. Связь операций дифференцирования и интегрирования независимо друг от друга установили И.Ньютон и Г.Лейбниц.»

III. Формирование новых знаний и способов действий

 Определенный интеграл служит для вычисления площадей криволинейных трапеций. Но на практике чаще встречаются фигуры, которые таковыми не являются и нам необходимо научиться находить площади именно таких фигур.

Обратите внимание на экран. Что изображено на рисунке  слева? Справа?

 Плоская фигура - это фигура ограниченная прямыми x = a, x = b и графиками непрерывных функций y = f(x), y = g(x), причем на отрезке [a; b] выполняется неравенство g(x)<  f(x).

Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x = a, x = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на отрезке [a; b] и таких, что для всех х из отрезка [a; b]выполняется неравенство g(x) <  f(x), вычисляется по формуле:

 S=

Сформулируем и запишем алгоритм нахождения площадей плоских фигур:

1.Построить графики данных линий. Определить искомую фигуру.

2.Найти пределы интегрирования.

3.Записать площадь искомой фигуры с помощью определенного интеграла.

4.Вычислить полученный интеграл.

Рассмотрим, как при решении практических заданий используется этот алгоритм

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = 5 – x, x = 1, x = 2.

Решение: Построим на координатной плоскости графики функций y = x, y = 5 – x, x = 1, x = 2. Заштрихуем площадь фигуры, площадь которой надо найти.

Воспользовавшись формулой , получим  

S= 

Ответ: S = 2.

IV. Применение знаний, формирование умений

А) Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой y = x – 2 и параболой y = x2 – 4x + 2.

Решение:

Построим прямую y = x – 2 по точкам, например (2; 0) и (0; -2).

Для построения параболы найдем координаты вершины по формулам ;

Xb=-    yв = y(xв).     Имеем:  x=2   y=-2

Значит, вершиной параболы служит точка (2; -2). Возьмем пару дополнительных точек, например (0; 2), (4; 2) и построим график данной квадратичной функции.

Найдем абсциссы точек пересечения прямой и параболы, для чего решим уравнение

X2 – 4х + 2 = х – 2

Находим последовательно: х2 – 5х + 4 = 0;

х1 = 1; х2 = 4.

Фигура, площадь которой надо найти, ограничена линиями y = x2 – 4x + 2 (снизу) и y = x – 2 (сверху). С боков эта фигура ограничена прямыми х = 1 и х = 4.

Для вычисления площади фигуры можно применить изученную сегодня формулу. Тогда площадь данной фигуры:

 S=

Ответ: S = 4,5.

Б) Работа по индивидуальным карточкам:

    Обучающая карточка

Справа  - решённое задание, слева - необходимо решить аналогичную задачу.

С помощью интеграла вычисли площадь фигуры, ограниченную линиями

у= х и  у = 4

 

у= х и  у = 1

Решение:

 

Решение:

1.       Построим  фигуру:

 

2.Найдём пределы интегрирования:

х2 = 4

х = 2  или х = -2

 

 

S=

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

V. Подведение итога урока

Что сегодня изучили на уроке?

Как вычисляется площадь плоской фигуры?

Сформулируйте основные шаги вычисления площади криволинейной трапеции и плоской фигуры.

VI. Постановка домашнего задания

Домашнее задание:

Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y = x3, y = 8, y = 1;

 б) y = 4x – x2, y = 4 – x;

 в) y = x2 – 2x + 2, y = 2+ 6x – x2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Конспект урока "Вычисление площади криволинейной трапеции""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Специалист по переработке нефти и газа

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 564 материала в базе

Материал подходит для УМК

Скачать материал

Другие материалы

Методическая система работы учителя
  • Учебник: «Математика (базовый уровень) », Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
  • Тема: Глава 4. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей
  • 29.05.2019
  • 916
  • 7
«Математика (базовый уровень) », Мордкович А.Г., Смирнова И.М.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 06.06.2019 1325
    • DOCX 144.5 кбайт
    • 40 скачиваний
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Ефимова Лариса Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Ефимова Лариса Александровна
    Ефимова Лариса Александровна
    • На сайте: 7 лет и 6 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 46613
    • Всего материалов: 21

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Бухгалтер

Бухгалтер

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Применение компьютерных моделей при обучении математике и информатике в рамках ФГОС ООО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 47 человек из 24 регионов

Курс повышения квалификации

Психолого-педагогические аспекты развития мотивации учебной деятельности на уроках математики у младших школьников в рамках реализации ФГОС НОО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Аспекты преподавания самостоятельного учебного курса «Вероятность и статистика» в условиях реализации ФГОС ООО

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 275 человек из 65 регионов

Мини-курс

Практические аспекты работы логопеда: методы и приемы в логоритмике

2 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Комплексный подход к работе с детьми с тяжелыми нарушениями развития

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Современные вызовы педагогической профессии: развитие профессионализма педагогов в контексте улучшения качества образования

10 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе