Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока "Задачи с параметром"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект урока "Задачи с параметром"

библиотека
материалов

Урок. «Задачи с параметром». Алгебра и начала анализа.11 класс Мордкович А.Г.,

Цели:

  1. Знать, что такое уравнение с параметрами, что значит решить такое уравнение.

  2. Уметь решать простейшие уравнения с параметрами.

  3. Развивать интерес к заданиям исследовательского характера.

Ход урока

Устные упражнения.

1) Определите тип уравнения. Сколько корней у него может быть? Решите его.

а) 2х – 6 = 0, 0х = 6, 0х = 0.

Повторим основные сведения:

ах = в - линейное

а http://festival.1september.ru/articles/415111/img1.gif0 х = http://festival.1september.ru/articles/415111/Image64.gif- один корень,

а = о, в http://festival.1september.ru/articles/415111/img1.gif0 - нет корней,

а = 0, в = 0 - х – любое число.

б) Определите количество корней 2х2 – 3х + 8 = 0 (т.к. Д < 0, то нет корней.)

Измените условие так, чтобы полученное уравнение имело два корня.

Повторим основные сведения:

ах2 + вх + с = 0 , а http://festival.1september.ru/articles/415111/img1.gif0 - квадратное

1. Если Д > 0, то 2 корня,

2. Если Д = 0, то 1 корень,

3. Если Д < 0, то нет корней.

в)http://festival.1september.ru/articles/415111/Image65.gif = 5

Измените условие так, чтобы полученное уравнение не имело корней.

г) lхl = 10

Измените условие так, чтобы полученное уравнение не имело корней.

2) Чем отличаются уравнения ах = 6 и 3х = 6, ах2 + 7х + с = 0 и 2х2–3х+6 = 0?

(Ответ учащихся: в первом и третьем уравнениях не числовые коэффициенты).

Учитель: Действительно, в уравнениях ах = 6 и ах2 + 7х + с = 0 не числовые коэффициенты, а буквенные. Именно такие уравнения и станут предметом нашего изучения на уроке.

3. Изучение нового материала.

1) Определение. Уравнение, в котором помимо переменной содержится буквенное выражение, называется уравнением с параметрами.

Примеры: аx + в = 0 (x – переменная, а и в – параметры),

аx2 + вx + с = 0 (x – переменная, а, в и с – параметры).

2) Чаще всего встречаются две постановки задач.

Первая: для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения.

Вторая: найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям.

Определение. Решить уравнение с параметром – значит, для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения.

Решение уравнений. (Учащиеся привлекаются к поиску ответов).

1). Простые уравнения без ветвлений:

а) x – а = 0 Ответ: при а http://festival.1september.ru/articles/415111/img3.gif( - http://festival.1september.ru/articles/415111/img4.gif, + http://festival.1september.ru/articles/415111/img4.gif) х = а.

б) 5x = а Ответ: при аhttp://festival.1september.ru/articles/415111/img3.gif ( - http://festival.1september.ru/articles/415111/img4.gif, + http://festival.1september.ru/articles/415111/img4.gif) х = http://festival.1september.ru/articles/415111/Image66.gif.

в) x : 8 = а Ответ: при а http://festival.1september.ru/articles/415111/img3.gif(- http://festival.1september.ru/articles/415111/img4.gif, + http://festival.1september.ru/articles/415111/img4.gif) х = 8а.

2). Простые уравнения с ветвлениями:

а) аx = 10 Ответ: при а http://festival.1september.ru/articles/415111/img1.gif0 х = http://festival.1september.ru/articles/415111/Image68.gif, при а = 0 решений нет.

б) 0x = а Ответ: при а http://festival.1september.ru/articles/415111/img1.gif0 корней нет, при а = 0, х – любое число.

в) [х] = а Ответ: при а < 0 корней нет, при а = 0 х = 0, при а > 0, х = а.

г) (а2 – 4)x = а2 + а – 6

Решение г). Если а2 – 4 http://festival.1september.ru/articles/415111/img1.gif0, т.е. а http://festival.1september.ru/articles/415111/img1.gif± 2, то х = http://festival.1september.ru/articles/415111/Image69.gif.

При а = -2 уравнение имеет вид: 0х = -4, т.е. не имеет корней.

При а = 2 исходное уравнение принимает вид: 0х = 0, т.е. х – любое число.

Ответ: при а http://festival.1september.ru/articles/415111/img1.gif± 2  х = http://festival.1september.ru/articles/415111/Image70.gif,

при а = - 2 корней нет,

при а = 2 х – любое число.

4. Закрепление. (Коллективный поиск решения, оформление решения на доске и в тетрадях учащихся).

1) Решить уравнение а (а – 1) = а – 1.

Решение. Перед нами линейное уравнение, имеющее смысл при всех допустимых значениях а. Будем решать его «как обычно»: делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном. Но всегда ли возможно деление? (Нет. Делить на ноль нельзя.)

Придется рассмотреть отдельно случай, когда коэффициент при неизвестном равен 0. Получим:

  1. а = 1, тогда уравнение примет вид 0·х = 0, где х – любое число;

  2. а = 0, тогда 0∙х = - 1 – уравнение корней не имеет;

  3. а http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image002.gif0, а http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image002_0000.gif1, тогда а (а – 1)·х = а – 1 http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image005.gifх = http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image007.gif.

Ответ: 1) если а http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image002_0001.gif0, а http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image002_0002.gif1, то х = http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image009.gif;

2) если а = 1, то х – любое число;

3) если а = 0, то корней нет.

2) Решить уравнение (а – 1)х2 + 2 (2а – 1)х + 4 а + 3 = 0.

Решение. Рассмотрим два случая:

  1. а = 1 – получим линейное уравнение 2х + 7 = 0, откуда х = - 3,5;

  2. а http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image002_0003.gif1 – получим квадратное уравнение.

Рассмотрим дискриминант: D = (2а – 1)2 – (а – 1)(4а + 3) = - 3а + 4.

Далее, если а > http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image011.gif, то D < 0 и уравнение корней не имеет.

Если же а http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image013.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image011_0000.gif, то х1,2 = http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image016.gif.

Ответ: 1) если а > http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image011_0001.gif, то корней нет;

2) если а = 1, то х = - 3,5;

3) если а http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image013_0000.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image011_0002.gifи аhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image002_0004.gif1, то х1,2 = http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image016_0000.gif.

3) При каких значениях а уравнение sin 2xa sin x=0 имеет решения для каждого а, указать их?

Решение.

2sin x cos x – a sin x = 0;

sin x (2 cos x-a) = 0

Sin x = 0 или 2cos x – a = 0

  1. xn при любом значении а


  1. cos x = a/2, есть решения, если |а|/2≤1, -2≤а≤2

x = ± arccos a/2 + 2πm, m € Z

Итак, при а € (-∞;+ ∞), х = πn, nZ

при а € [-2;2], х = ± arcos a/2 + 2πm, mZ

Ответ: а € (-∞;+ ∞), х = πn, nZ

а € [-2;2], х = ± arcos a/2 + 2πm, m € Z

Примеры заданий на исследование уравнений.

Особенно часто встречаются задачи на расположение корней квадратного уравнения. При их решении хорошо «работают» графические иллюстрации. Расположение корней относительно заданных точек плоскостью определяется направлением ветвей соответствующей параболы, координатами вершины, а также значениями в заданных точках.

Например.

1) При каких значениях параметра а уравнение (а2 + а + 1)х2 + (2а – 3)х + а – 5 = 0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1?

Решение. Пусть f(х) = (а2 + а + 1)х2 + (2а – 3)х + а – 5. Так как а2 + а + 1 >0, то для квадратичной функции f(х) условие задачи может выполняться только при условии f (1) < 0.

http://festival.1september.ru/articles/531229/img3.gif

Решая неравенство f(1) = а2 + 4а – 7 < 0, получим, что -2 - http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image043.gif< а < - 2 + http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image043_0000.gif.

Ответ: -2 - http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image043_0001.gif< а < - 2 + http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image043_0002.gif.

2) При каких значениях параметра m корни уравнения (m – 1)х2 – 2mх + m + 3 = 0 положительны?

Решение. Пусть f(х) = (m-1)х2 - 2 mх + m + 3 тогда:

1) если, m = 1,то -2х + 4=0, х= 2- корень положителен;

2) если m http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image002_0005.gif1, то с помощью рисунка можно получить следующие соотношения:
http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image047.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image005_0000.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image050.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image005_0001.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image052.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image054.gif

http://festival.1september.ru/articles/531229/img4.gif

Рассмотрим 2 случая:

1) если m-1 < 0 ( рис. а)), тогда из 2 и 3 неравенств последней системы получим m + 3 < 0, т.е. окончательно m < -3.

2) если m -1> 0, ( рис. б)), тогда из 2 и 3 неравенств последней системы получим, что m > 1, т.е. окончательно 1,5 http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image056_0000.gifm > 1;

Ответ: m http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image059.gif(-http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image061.gif; -3) http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image063.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image065.gif

Рассмотрим задачи на установления числа корней уравнения.

При каких значениях а уравнение hello_html_m2ec5ed70.gif имеет единственный корень?

Решение. В силу свойств показательной функции данное показательное уравнение равносильно уравнению

(а-1)х² +2(а+3)х + а = -2,

т.е. исходное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда уравнение

(а-1)х² +2(а+3)х + а +2 = 0; имеет единственный корень.

При а=1 имеем hello_html_6e8fa42c.gif;

При а ≠ 1 квадратное уравнение имеет один корень если Д=0. Д= 5а + 11 ; а=-2.2

Итак, исходное показательное уравнение имеет один корень только при а = 1 и

при а = -2,2

Ответ: а=-2,2, а=1.


Пример 1. При каких значениях параметра, а уравнение 2 cos2x – (2а + 9)cosx + 9а = 0 не имеет корней.

Решение. Пусть у = cosх, тогда исходное уравнение примет вид 2у2 – (2 а + 9)у + 9а = 0, корни которого у1 = а, у2 = 4,5.

Уравнение cosх = 4,5 корней не имеет, а уравнение cosх = а не имеет корней, если http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image067.gif> 1.

Ответ: (- http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image061_0000.gif; -1) http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image063_0000.gif(1; http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image061_0001.gif).

Задачи на нахождение общего корня двух уравнений.

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение х2 + 3х + 7а -21 =0 и х2 +6х +5а -6 =0 имеют общий корень?

Решение. Исключим параметр а из полученной системы.

Для этого первое уравнение умножим на (-5), второе умножим на 7, а результаты сложим.

Получим: 2 + 27х +63 =0, корни которого х1 = -3, х2 = -10,5.

Подставим корни в одно из уравнений и найдем значение параметра а.

Ответ: 3 и – 8,25.

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение х2 – ах + 2 = 0 и 3х2 + (а - 9)х+ 3=0 равносильны?

Решение. Как известно уравнения равносильны, если множество их корней совпадают. Рассмотрим 2 случая.

1) Уравнения не имеют корней (множество корней пусто). Тогда их дискриминанты отрицательны:

http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image108.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image005_0006.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image111.gif

Система неравенств решений не имеет.

2) Уравнения имеют общие корни. Тогда http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image113.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image005_0007.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image116.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image005_0008.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image119.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image005_0009.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image122.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image005_0010.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image125.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image005_0011.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image128.gif

Следовательно, данные уравнения могут иметь общие корни только при а = 3 или а = http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image130.gif.

Проверить самостоятельно!

Задачи с применением геометрической интерпретации.

Решение задач с параметрами может существенно облегчить использование графиков.

Пример 1. Укажите количество корней в зависимости от параметра а: http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image132.gif.

Решение.

Построим график функции а =http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image137.gif.
Количество корней можно увидеть на рисунке:

http://festival.1september.ru/articles/531229/img5.gif


Ответ: 1) если а < 0, то корней нет;

2) если а = 0, а > 4, то 2 корня

3) если 0 < a < 4, то 4 корня.

4) если а = 4, то 3 корня

Итог урока. Самостоятельную работу можно предложить учащимся как в классе, так и в качестве домашней контрольной работы по теме.































Реши самостоятельно 1 вариант

Реши самостоятельно 2 вариант

1) Решите уравнение: 0 · х = а

1) Решить уравнение: а х = а.

2) Решит уравнение: (в – 2)·х = 5 + в.

2) Решите уравнение (в + 1)·х = 3 – в.

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

с·(с + 1)·х = с2 – 1.

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

2 – 4)·х = (с – 2)·(с+ 1).

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image167.gif.

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image169.gif.

5) Решить уравнение http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image171.gif.

5) Решить уравнение http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image177.gif.

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

2 + 4х + (5 – n) = 0.

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

2 + 4х + (3 + n) = 0

Реши самостоятельно 1 вариант

Реши самостоятельно 2 вариант

1) Решите уравнение: 0 · х = а

1) Решить уравнение: а х = а.

2) Решит уравнение: (в – 2)·х = 5 + в.

2) Решите уравнение (в + 1)·х = 3 – в.

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

с·(с + 1)·х = с2 – 1.

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

2 – 4)·х = (с – 2)·(с+ 1).

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image167.gif.

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image169.gif.

5) Решить уравнение http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image171.gif.

5) Решить уравнение http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image177.gif.

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

2 + 4х + (5 – n) = 0.

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

2 + 4х + (3 + n) = 0

ОТВЕТЫ

1 вариант

2 вариант

1) Решите уравнение: 0 · х = а

Ответы: при а = 0, х http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image059_0001.gifR, при а ≠ 0 корней нет


1) Решить уравнение: а х = а.

Ответы: при а ≠ 0, х = 1, при а = 0, х http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image059_0002.gifR


2) Решит уравнение: (в – 2)·х = 5 + в.

Ответы:

при в = 2 нет корней; при в ≠2, х = http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image159.gif;


2) Решите уравнение (в + 1)·х = 3 – в.

Ответы:

при в = -1 нет корней, при в ≠ - 1 http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image163_0000.gif

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

с·(с + 1)·х = с2 – 1.

Ответ: при с = -1, х http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image059_0004.gifR

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

2 – 4)·х = (с – 2)·(с+ 1).

Ответ: при с = 2, х http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image059_0008.gifR

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image167.gif.

Ответы: при m = 7 нет корней;

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image169.gif.

Ответы: при m = 8 нет корней.

5) Решить уравнение http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image171.gif.

Ответы: при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = hello_html_m40c92af2.gif;

5) Решить уравнение http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image177.gif.

Ответы: при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image173_0000.gif;

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

2 + 4х + (5 – n) = 0.

Ответы: при n= 0, х = - http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image187.gif;

при n = 1, х = - 2; при n =4, х = - http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image185_0000.gif.

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

2 + 4х + (3 + n) = 0.

Ответы: при n = 0, х = -http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image183_0000.gif;

при n = 1, х = 2; при n = - 4, х = http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image185_0001.gif;





Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

На сегодняшний день задачи с параметрами – неотъемлемая часть ЕГЭ по математике, поэтому учителю, прежде всего, необходимо познакомить учеников с приемами решения этих задач.

Цели урока:

  1. Знать, что такое уравнение с параметрами, что значит решить такое уравнение.
  2. Уметь решать простейшие уравнения с параметрами.
  3. Развивать интерес к заданиям исследовательского характера.

Работа содержит основные сведения по теме. Рассматриваются примеры с различными подходами к решению, приветствуется коллективный поиск решения. В конце урока предлагается самостоятельная работа.

Автор
Дата добавления 14.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров481
Номер материала 280399
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх