1160170
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 1.410 руб.;
- курсы повышения квалификации от 430 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 90%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до конца апреля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

ИнфоурокМатематикаКонспектыКонспект урока "Задачи с параметром"

Конспект урока "Задачи с параметром"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Урок. «Задачи с параметром». Алгебра и начала анализа.11 класс Мордкович А.Г.,

Цели:

  1. Знать, что такое уравнение с параметрами, что значит решить такое уравнение.

  2. Уметь решать простейшие уравнения с параметрами.

  3. Развивать интерес к заданиям исследовательского характера.

Ход урока

Устные упражнения.

1) Определите тип уравнения. Сколько корней у него может быть? Решите его.

а) 2х – 6 = 0, 0х = 6, 0х = 0.

Повторим основные сведения:

ах = в - линейное

а http://festival.1september.ru/articles/415111/img1.gif0 х = http://festival.1september.ru/articles/415111/Image64.gif- один корень,

а = о, в http://festival.1september.ru/articles/415111/img1.gif0 - нет корней,

а = 0, в = 0 - х – любое число.

б) Определите количество корней 2х2 – 3х + 8 = 0 (т.к. Д < 0, то нет корней.)

Измените условие так, чтобы полученное уравнение имело два корня.

Повторим основные сведения:

ах2 + вх + с = 0 , а http://festival.1september.ru/articles/415111/img1.gif0 - квадратное

1. Если Д > 0, то 2 корня,

2. Если Д = 0, то 1 корень,

3. Если Д < 0, то нет корней.

в)http://festival.1september.ru/articles/415111/Image65.gif = 5

Измените условие так, чтобы полученное уравнение не имело корней.

г) lхl = 10

Измените условие так, чтобы полученное уравнение не имело корней.

2) Чем отличаются уравнения ах = 6 и 3х = 6, ах2 + 7х + с = 0 и 2х2–3х+6 = 0?

(Ответ учащихся: в первом и третьем уравнениях не числовые коэффициенты).

Учитель: Действительно, в уравнениях ах = 6 и ах2 + 7х + с = 0 не числовые коэффициенты, а буквенные. Именно такие уравнения и станут предметом нашего изучения на уроке.

3. Изучение нового материала.

1) Определение. Уравнение, в котором помимо переменной содержится буквенное выражение, называется уравнением с параметрами.

Примеры: аx + в = 0 (x – переменная, а и в – параметры),

аx2 + вx + с = 0 (x – переменная, а, в и с – параметры).

2) Чаще всего встречаются две постановки задач.

Первая: для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения.

Вторая: найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям.

Определение. Решить уравнение с параметром – значит, для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения.

Решение уравнений. (Учащиеся привлекаются к поиску ответов).

1). Простые уравнения без ветвлений:

а) x – а = 0 Ответ: при а http://festival.1september.ru/articles/415111/img3.gif( - http://festival.1september.ru/articles/415111/img4.gif, + http://festival.1september.ru/articles/415111/img4.gif) х = а.

б) 5x = а Ответ: при аhttp://festival.1september.ru/articles/415111/img3.gif ( - http://festival.1september.ru/articles/415111/img4.gif, + http://festival.1september.ru/articles/415111/img4.gif) х = http://festival.1september.ru/articles/415111/Image66.gif.

в) x : 8 = а Ответ: при а http://festival.1september.ru/articles/415111/img3.gif(- http://festival.1september.ru/articles/415111/img4.gif, + http://festival.1september.ru/articles/415111/img4.gif) х = 8а.

2). Простые уравнения с ветвлениями:

а) аx = 10 Ответ: при а http://festival.1september.ru/articles/415111/img1.gif0 х = http://festival.1september.ru/articles/415111/Image68.gif, при а = 0 решений нет.

б) 0x = а Ответ: при а http://festival.1september.ru/articles/415111/img1.gif0 корней нет, при а = 0, х – любое число.

в) [х] = а Ответ: при а < 0 корней нет, при а = 0 х = 0, при а > 0, х = а.

г) (а2 – 4)x = а2 + а – 6

Решение г). Если а2 – 4 http://festival.1september.ru/articles/415111/img1.gif0, т.е. а http://festival.1september.ru/articles/415111/img1.gif± 2, то х = http://festival.1september.ru/articles/415111/Image69.gif.

При а = -2 уравнение имеет вид: 0х = -4, т.е. не имеет корней.

При а = 2 исходное уравнение принимает вид: 0х = 0, т.е. х – любое число.

Ответ: при а http://festival.1september.ru/articles/415111/img1.gif± 2  х = http://festival.1september.ru/articles/415111/Image70.gif,

при а = - 2 корней нет,

при а = 2 х – любое число.

4. Закрепление. (Коллективный поиск решения, оформление решения на доске и в тетрадях учащихся).

1) Решить уравнение а (а – 1) = а – 1.

Решение. Перед нами линейное уравнение, имеющее смысл при всех допустимых значениях а. Будем решать его «как обычно»: делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном. Но всегда ли возможно деление? (Нет. Делить на ноль нельзя.)

Придется рассмотреть отдельно случай, когда коэффициент при неизвестном равен 0. Получим:

  1. а = 1, тогда уравнение примет вид 0·х = 0, где х – любое число;

  2. а = 0, тогда 0∙х = - 1 – уравнение корней не имеет;

  3. а http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image002.gif0, а http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image002_0000.gif1, тогда а (а – 1)·х = а – 1 http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image005.gifх = http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image007.gif.

Ответ: 1) если а http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image002_0001.gif0, а http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image002_0002.gif1, то х = http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image009.gif;

2) если а = 1, то х – любое число;

3) если а = 0, то корней нет.

2) Решить уравнение (а – 1)х2 + 2 (2а – 1)х + 4 а + 3 = 0.

Решение. Рассмотрим два случая:

  1. а = 1 – получим линейное уравнение 2х + 7 = 0, откуда х = - 3,5;

  2. а http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image002_0003.gif1 – получим квадратное уравнение.

Рассмотрим дискриминант: D = (2а – 1)2 – (а – 1)(4а + 3) = - 3а + 4.

Далее, если а > http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image011.gif, то D < 0 и уравнение корней не имеет.

Если же а http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image013.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image011_0000.gif, то х1,2 = http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image016.gif.

Ответ: 1) если а > http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image011_0001.gif, то корней нет;

2) если а = 1, то х = - 3,5;

3) если а http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image013_0000.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image011_0002.gifи аhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image002_0004.gif1, то х1,2 = http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image016_0000.gif.

3) При каких значениях а уравнение sin 2xa sin x=0 имеет решения для каждого а, указать их?

Решение.

2sin x cos x – a sin x = 0;

sin x (2 cos x-a) = 0

Sin x = 0 или 2cos x – a = 0

  1. xn при любом значении а


  1. cos x = a/2, есть решения, если |а|/2≤1, -2≤а≤2

x = ± arccos a/2 + 2πm, m € Z

Итак, при а € (-∞;+ ∞), х = πn, nZ

при а € [-2;2], х = ± arcos a/2 + 2πm, mZ

Ответ: а € (-∞;+ ∞), х = πn, nZ

а € [-2;2], х = ± arcos a/2 + 2πm, m € Z

Примеры заданий на исследование уравнений.

Особенно часто встречаются задачи на расположение корней квадратного уравнения. При их решении хорошо «работают» графические иллюстрации. Расположение корней относительно заданных точек плоскостью определяется направлением ветвей соответствующей параболы, координатами вершины, а также значениями в заданных точках.

Например.

1) При каких значениях параметра а уравнение (а2 + а + 1)х2 + (2а – 3)х + а – 5 = 0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1?

Решение. Пусть f(х) = (а2 + а + 1)х2 + (2а – 3)х + а – 5. Так как а2 + а + 1 >0, то для квадратичной функции f(х) условие задачи может выполняться только при условии f (1) < 0.

http://festival.1september.ru/articles/531229/img3.gif

Решая неравенство f(1) = а2 + 4а – 7 < 0, получим, что -2 - http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image043.gif< а < - 2 + http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image043_0000.gif.

Ответ: -2 - http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image043_0001.gif< а < - 2 + http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image043_0002.gif.

2) При каких значениях параметра m корни уравнения (m – 1)х2 – 2mх + m + 3 = 0 положительны?

Решение. Пусть f(х) = (m-1)х2 - 2 mх + m + 3 тогда:

1) если, m = 1,то -2х + 4=0, х= 2- корень положителен;

2) если m http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image002_0005.gif1, то с помощью рисунка можно получить следующие соотношения:
http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image047.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image005_0000.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image050.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image005_0001.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image052.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image054.gif

http://festival.1september.ru/articles/531229/img4.gif

Рассмотрим 2 случая:

1) если m-1 < 0 ( рис. а)), тогда из 2 и 3 неравенств последней системы получим m + 3 < 0, т.е. окончательно m < -3.

2) если m -1> 0, ( рис. б)), тогда из 2 и 3 неравенств последней системы получим, что m > 1, т.е. окончательно 1,5 http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image056_0000.gifm > 1;

Ответ: m http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image059.gif(-http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image061.gif; -3) http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image063.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image065.gif

Рассмотрим задачи на установления числа корней уравнения.

При каких значениях а уравнение hello_html_m2ec5ed70.gif имеет единственный корень?

Решение. В силу свойств показательной функции данное показательное уравнение равносильно уравнению

(а-1)х² +2(а+3)х + а = -2,

т.е. исходное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда уравнение

(а-1)х² +2(а+3)х + а +2 = 0; имеет единственный корень.

При а=1 имеем hello_html_6e8fa42c.gif;

При а ≠ 1 квадратное уравнение имеет один корень если Д=0. Д= 5а + 11 ; а=-2.2

Итак, исходное показательное уравнение имеет один корень только при а = 1 и

при а = -2,2

Ответ: а=-2,2, а=1.


Пример 1. При каких значениях параметра, а уравнение 2 cos2x – (2а + 9)cosx + 9а = 0 не имеет корней.

Решение. Пусть у = cosх, тогда исходное уравнение примет вид 2у2 – (2 а + 9)у + 9а = 0, корни которого у1 = а, у2 = 4,5.

Уравнение cosх = 4,5 корней не имеет, а уравнение cosх = а не имеет корней, если http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image067.gif> 1.

Ответ: (- http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image061_0000.gif; -1) http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image063_0000.gif(1; http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image061_0001.gif).

Задачи на нахождение общего корня двух уравнений.

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение х2 + 3х + 7а -21 =0 и х2 +6х +5а -6 =0 имеют общий корень?

Решение. Исключим параметр а из полученной системы.

Для этого первое уравнение умножим на (-5), второе умножим на 7, а результаты сложим.

Получим: 2 + 27х +63 =0, корни которого х1 = -3, х2 = -10,5.

Подставим корни в одно из уравнений и найдем значение параметра а.

Ответ: 3 и – 8,25.

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение х2 – ах + 2 = 0 и 3х2 + (а - 9)х+ 3=0 равносильны?

Решение. Как известно уравнения равносильны, если множество их корней совпадают. Рассмотрим 2 случая.

1) Уравнения не имеют корней (множество корней пусто). Тогда их дискриминанты отрицательны:

http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image108.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image005_0006.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image111.gif

Система неравенств решений не имеет.

2) Уравнения имеют общие корни. Тогда http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image113.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image005_0007.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image116.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image005_0008.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image119.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image005_0009.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image122.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image005_0010.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image125.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image005_0011.gifhttp://festival.1september.ru/articles/531229/full_image128.gif

Следовательно, данные уравнения могут иметь общие корни только при а = 3 или а = http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image130.gif.

Проверить самостоятельно!

Задачи с применением геометрической интерпретации.

Решение задач с параметрами может существенно облегчить использование графиков.

Пример 1. Укажите количество корней в зависимости от параметра а: http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image132.gif.

Решение.

Построим график функции а =http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image137.gif.
Количество корней можно увидеть на рисунке:

http://festival.1september.ru/articles/531229/img5.gif


Ответ: 1) если а < 0, то корней нет;

2) если а = 0, а > 4, то 2 корня

3) если 0 < a < 4, то 4 корня.

4) если а = 4, то 3 корня

Итог урока. Самостоятельную работу можно предложить учащимся как в классе, так и в качестве домашней контрольной работы по теме.































Реши самостоятельно 1 вариант

Реши самостоятельно 2 вариант

1) Решите уравнение: 0 · х = а

1) Решить уравнение: а х = а.

2) Решит уравнение: (в – 2)·х = 5 + в.

2) Решите уравнение (в + 1)·х = 3 – в.

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

с·(с + 1)·х = с2 – 1.

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

2 – 4)·х = (с – 2)·(с+ 1).

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image167.gif.

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image169.gif.

5) Решить уравнение http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image171.gif.

5) Решить уравнение http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image177.gif.

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

2 + 4х + (5 – n) = 0.

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

2 + 4х + (3 + n) = 0

Реши самостоятельно 1 вариант

Реши самостоятельно 2 вариант

1) Решите уравнение: 0 · х = а

1) Решить уравнение: а х = а.

2) Решит уравнение: (в – 2)·х = 5 + в.

2) Решите уравнение (в + 1)·х = 3 – в.

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

с·(с + 1)·х = с2 – 1.

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

2 – 4)·х = (с – 2)·(с+ 1).

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image167.gif.

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image169.gif.

5) Решить уравнение http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image171.gif.

5) Решить уравнение http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image177.gif.

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

2 + 4х + (5 – n) = 0.

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

2 + 4х + (3 + n) = 0

ОТВЕТЫ

1 вариант

2 вариант

1) Решите уравнение: 0 · х = а

Ответы: при а = 0, х http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image059_0001.gifR, при а ≠ 0 корней нет


1) Решить уравнение: а х = а.

Ответы: при а ≠ 0, х = 1, при а = 0, х http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image059_0002.gifR


2) Решит уравнение: (в – 2)·х = 5 + в.

Ответы:

при в = 2 нет корней; при в ≠2, х = http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image159.gif;


2) Решите уравнение (в + 1)·х = 3 – в.

Ответы:

при в = -1 нет корней, при в ≠ - 1 http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image163_0000.gif

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

с·(с + 1)·х = с2 – 1.

Ответ: при с = -1, х http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image059_0004.gifR

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

2 – 4)·х = (с – 2)·(с+ 1).

Ответ: при с = 2, х http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image059_0008.gifR

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image167.gif.

Ответы: при m = 7 нет корней;

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image169.gif.

Ответы: при m = 8 нет корней.

5) Решить уравнение http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image171.gif.

Ответы: при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = hello_html_m40c92af2.gif;

5) Решить уравнение http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image177.gif.

Ответы: при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image173_0000.gif;

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

2 + 4х + (5 – n) = 0.

Ответы: при n= 0, х = - http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image187.gif;

при n = 1, х = - 2; при n =4, х = - http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image185_0000.gif.

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

2 + 4х + (3 + n) = 0.

Ответы: при n = 0, х = -http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image183_0000.gif;

при n = 1, х = 2; при n = - 4, х = http://festival.1september.ru/articles/531229/full_image185_0001.gif;




Краткое описание документа:

На сегодняшний день задачи с параметрами – неотъемлемая часть ЕГЭ по математике, поэтому учителю, прежде всего, необходимо познакомить учеников с приемами решения этих задач.

Цели урока:

  1. Знать, что такое уравнение с параметрами, что значит решить такое уравнение.
  2. Уметь решать простейшие уравнения с параметрами.
  3. Развивать интерес к заданиям исследовательского характера.

Работа содержит основные сведения по теме. Рассматриваются примеры с различными подходами к решению, приветствуется коллективный поиск решения. В конце урока предлагается самостоятельная работа.

Общая информация

Номер материала: 280399

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.