Тема урока: Графики функций, содержащих выражения под знаком модуля.
Цель урока: получение более широких знаний о модуле числа,
различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.
Задачи урока: использование различных методов исследования:
теоретический и практический, расширение познавательного интереса к изучению
алгебры, углубление знаний по теории модуля, выходящих за пределы школьных
учебников.
Оборудование: мультимедийное оборудование, компьютер, классная
доска.
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Вступительное слово учителя.
Слово «модуль» произошло от латинского слова
«modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово , которое
имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в
физике, технике, программировании и других точных науках.
Например: В технике – это термин служит для обозначения различных коэффициентов и величин,
например модуль зацепления, модуль упругости.
+В физике - это модуль объемного сжатия, отношение нормального напряжения в
материале к относительному удлинению.
3. Повторение
Вернемся к математике, и вспомним, что называется модулем
числа.
Модулем числа а называют расстояние от начала координат
до точки А(а).
Модуль некоторого числа а
обозначается |а|
Например: если а=-3,то │-3│=АО = 3
Геометрический смысл модуля удобно использовать при
решении некоторых уравнений.
Решим уравнение |х-6| = 9. Если число 6 мы изобразим
точкой А (рис), то по определению модуля
следует, что точка х стоит от точки А на 9 единиц. Но на числовой прямой
таких точек две. Одна имеет координату х = 6 + 9 = 15, а вторая имеет
координату х = 6-9 = -3.
Следовательно, данное уравнение имеет два решения: х =
15 и х = -3.
Объяснение нового материала.
При решении уравнений, содержащих несколько выражений со
знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим определением модуля числа:
Определение. Модулем или, иначе, абсолютной величиной
отрицательного числа называется противоположное ему положительное число,
модулем положительного числа и числа «нуль» называется само это число.
Кратко это
определение можно записать так:
По определению получается, что решая уравнение содержащие
выражение под знаком модуля, мы должны записать это уравнение без знака модуля,
но рассмотреть при этом два случая: первый выражение неотрицательное, а второй
выражение положительное.
Например: решить уравнение |х-6| = 9
Получается, что для уравнений, содержащих два выражения
под знаком модуля, получается четыре комбинации, а для уравнений, содержащих
три выражения со знаком модуля, получается восемь комбинаций, а потом
обязательно проверить, какие из найденных значений х удовлетворяют данному
уравнению. Согласитесь это неудобно, но можно упростить решение таких
уравнений.
Пример. Решим
уравнение |2х-12|+|6х+48|=160.
Решение. Найдем корни (нули) каждого выражения,
содержащего знак модуля:
2х-12=0, х=6;
6х+48=0, х= -8.
Нанесём найденные корни на числовую прямую.
Найденные значения х разбивают числовую прямую на три
промежутка:
х<-8, -8≤ х <6, х≥6 (рисунок ).
Решение этого уравнения рассматривается в каждом
промежутке отдельно.
В промежутке х<-8
оба выражения, стоящие под знаком модуля, отрицательны. Поэтому в этом
промежутке при записи уравнения без знаков модуля знаки этих выражений меняем
на противоположные. Получим уравнение –(2х-12) –(6х+48)=160.
-2х+12-6х-48=160
-8х-36=160
-8х=196
х=-24,5
Проверяем это значение принадлежит ли оно рассматриваемому
промежутку. Значит, оно является решением данного уравнения.
Во втором промежутке -8≤х<6
первое выражение отрицательно, а второе положительно. Следовательно, в этом
промежутке уравнение запишется так:
-(2х-12)+(6х+48)=160.
-2х-12+6х+48=160
4х+60=160
4х=100
х=25
, проверяем не принадлежит промежутку.
В третьем промежутке х≥6
оба выражения положительны. Следовательно, в этом промежутке уравнение
запишется так:
(2х-12)+(6х+48)=160.
2х-12+6х+48=160
8х+36=160
8х=124
х=15,5, проверяем, принадлежит.
Значит, решением данного уравнения будут значения х =-24,5
и х=15,5
Для построения графиков функций, содержащих выражения под
знаком модуля, как и при решении уравнений, сначала находят корни выражений,
стоящих под знаком модуля. Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки.
График строят в каждом промежутке отдельно.
В простейшем случае, когда только одно выражение стоит
под знаком модуля и нет слагаемых без знака модуля, можно построить график
функции, опустив знак модуля, и затем часть графика, расположенную в области
отрицательных значений у,
отобразить симметрично относительно оси Ох.
Это вытекает из определения модуля числа.(например. Построить график функции у=|0,5х|.
Решение. Строим график функции у=0,5х и часть графика,
расположенную ниже Ох, отображаем симметрично относительно Ох.
А теперь построим график функции у=|2х-4|+|6+3х|.
1.)Находим корни каждого выражения, стоявшего под знаком
модуля:
2х –
4 = 0; х=2; 6 + 3х = 0, х = -2.
В результате ось Ох разбиваем на три промежутка. В каждом
промежутке выражение, стоящее перед знаком модуля, имеет определенный знак.
Опускаем знаки модуля, берём выражение в каждом промежутке с соответствующим
знаком:
1.
х<-2, у = -(2х-4)-(6+3х)=-5х-2;
2.
–2≤ х < 2, у= -( 2х-4)+(6+3х)=х+10;
3.
х≥ 2, у = 2х-4+6+3х = 5х+2
Получили в каждом промежутке выражение функции без знака
модуля. Строим график функции в промежутке. При правильном построении в области
определения график должен представлять непрерывную линию (рис).
5. Итог урока.
Построить функцию у=|х+1|-|х-1|-х.
6. Домашнее задание.
1)Решить уравнение:
а)│2Х - 5│ = 39
б)│56 – 8Х│+ │36Х + 144│ = 356
2)Построить график функции:
а) у = │3х + 1│
б) у = │х + 1│- │х - 1│ - х
Литература.
1.
Детская энциклопедия. М.,
«Педагогика», 1990.
2.
Дынкин Е.Б., Молчанова С.А.
Математические задачи. М., «Наука», 1993.
3.
Петраков И.С. Математика для
любознательных. М., «Просвещение», 2000.
4.
Талочкин П.Б. Неравенства и
уравнения. М., «Просвещение», 1989.
Домашнее задание.
1)Решить уравнение:
а)│2Х - 5│ = 39
б)│56 – 8Х│+ │36Х + 144│ = 356
2)Построить график функции:
а) у = │3х + 1│
б) у = │х + 1│- │х - 1│ - х
|
Домашнее задание.
1)Решить уравнение:
а)│2Х - 5│ = 39
б)│56 – 8Х│+ │36Х + 144│ = 356
2)Построить график функции:
а) у = │3х + 1│
б) у = │х + 1│- │х - 1│ - х
|
Домашнее задание.
1)Решить уравнение:
а)│2Х - 5│ = 39
б)│56 – 8Х│+ │36Х + 144│ = 356
2)Построить график функции:
а) у = │3х + 1│
б) у = │х + 1│- │х - 1│ - х
|
Домашнее задание.
1)Решить уравнение:
а)│2Х - 5│ = 39
б)│56 – 8Х│+ │36Х + 144│ = 356
2)Построить график функции:
а) у = │3х + 1│
б) у = │х + 1│- │х - 1│ - х
|
Домашнее задание.
1)Решить уравнение:
а)│2Х - 5│ = 39
б)│56 – 8Х│+ │36Х + 144│ = 356
2)Построить график функции:
а) у = │3х + 1│
б) у = │х + 1│- │х - 1│ - х
|
Домашнее задание.
1)Решить уравнение:
а)│2Х - 5│ = 39
б)│56 – 8Х│+ │36Х + 144│ = 356
2)Построить график функции:
а) у = │3х + 1│
б) у = │х + 1│- │х - 1│ - х
|
Домашнее задание.
1)Решить уравнение:
а)│2Х - 5│ = 39
б)│56 – 8Х│+ │36Х + 144│ = 356
2)Построить график функции:
а) у = │3х + 1│
б) у = │х + 1│- │х - 1│ - х
|
Домашнее задание.
1)Решить уравнение:
а)│2Х - 5│ = 39
б)│56 – 8Х│+ │36Х + 144│ = 356
2)Построить график функции:
а) у = │3х + 1│
б) у = │х + 1│- │х - 1│ - х
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.