Решение
квадратных уравнений
6 июля
2011
Квадратные
уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать
их совершенно необходимо.
Квадратное
уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c =
0, где коэффициенты a, b и c —
произвольные числа, причем a ≠ 0.
Прежде,
чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения
можно условно разделить на три класса:
1. Не
имеют корней;
2. Имеют
ровно один корень;
3. Имеют
два различных корня.
В
этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда
существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для
этого существует замечательная вещь — дискриминант.
Дискриминант
Пусть
дано квадратное уравнение ax2 + bx + c =
0. Тогда дискриминант — это просто число D = b2 −
4ac.
Эту
формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое:
по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное
уравнение. А именно:
1. Если D <
0, корней нет;
2. Если D =
0, есть ровно один корень;
3. Если D >
0, корней будет два.
Обратите
внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки,
как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:
Задача.
Сколько корней имеют квадратные уравнения:
1. x2 −
8x + 12 = 0;
2. 5x2 +
3x + 7 = 0;
3. x2 −
6x + 9 = 0.
Выпишем
коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b =
−8, c = 12;
D = (−8)2 −
4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16
Итак,
дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня.
Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b =
3; c = 7;
D = 32 −
4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.
Дискриминант
отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b =
−6; c = 9;
D = (−6)2 −
4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.
Дискриминант
равен нулю — корень будет один.
Обратите
внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго,
да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых
ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.
Кстати,
если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все
коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей
начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и
много.
Корни
квадратного уравнения
Теперь
перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D >
0, корни можно найти по формулам:
Основная формула
корней квадратного уравнения
Когда D =
0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое
и будет ответом. Наконец, если D <
0, корней нет — ничего считать не надо.
Задача.
Решить квадратные уравнения:
1. x2 −
2x − 3 = 0;
2. 15
− 2x − x2 =
0;
3. x2 +
12x + 36 = 0.
Первое
уравнение:
x2 − 2x −
3 = 0 ⇒ a =
1; b = −2; c =
−3;
D = (−2)2 −
4 · 1 · (−3) = 16.
D >
0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:
Второе
уравнение:
15 − 2x − x2 =
0 ⇒ a =
−1; b = −2; c =
15;
D = (−2)2 −
4 · (−1) · 15 = 64.
D >
0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их
x1=2+64−−√2⋅(−1)=−5;x2=2−64−−√2⋅(−1)=3.x1=2+642⋅(−1)=−5;x2=2−642⋅(−1)=3.
Наконец,
третье уравнение:
x2 +
12x + 36 = 0 ⇒
a = 1; b = 12; c = 36;
D = 122 − 4 · 1 · 36 = 0.
D
= 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу.
Например, первую:
x=−12+0–√2⋅1=−6x=−12+02⋅1=−6
Как
видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать,
проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу
отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше:
смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро
избавитесь от ошибок.
Неполные
квадратные уравнения
Бывает,
что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении.
Например:
1. x2 +
9x = 0;
2. x2 −
16 = 0.
Несложно
заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные
уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется
считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:
Уравнение ax2 + bx + c =
0 называется неполным квадратным уравнением, если b =
0 или c = 0, т.е. коэффициент при
переменной xили
свободный элемент равен нулю.
Разумеется,
возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c =
0. В этом случае уравнение принимает вид ax2 =
0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x =
0.
Рассмотрим
остальные случаи. Пусть b =
0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax2 + c =
0. Немного преобразуем его:
Решение неполного
квадратного уравнения
Поскольку
арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа,
последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a)
≥ 0. Вывод:
1. Если
в неполном квадратном уравнении вида ax2 + c =
0 выполнено неравенство (−c/a)
≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если
же (−c/a)
< 0, корней нет.
Как
видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще
нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a)
≥ 0. Достаточно выразить величину x2 и
посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там
положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет
вообще.
Теперь
разберемся с уравнениями вида ax2 + bx =
0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет
два. Достаточно разложить многочлен на множители:
Вынесение общего множителя за
скобку
Произведение
равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся
корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:
Задача.
Решить квадратные уравнения:
1. x2 −
7x = 0;
2. 5x2 +
30 = 0;
3. 4x2 −
9 = 0.
x2 −
7x = 0 ⇒ x ·
(x − 7) = 0 ⇒ x1 =
0; x2 =
−(−7)/1 = 7.
5x2 +
30 = 0 ⇒ 5x2 =
−30 ⇒ x2 =
−6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.
4x2 −
9 = 0 ⇒ 4x2 =
9 ⇒ x2 =
9/4 ⇒ x1 =
3/2 = 1,5; x2 =
−1,5.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.