1322851
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
ИнфоурокМатематикаКонспектыКонспект урока-семинара по теме "Правильные многогранники"

Конспект урока-семинара по теме "Правильные многогранники"

библиотека
материалов

Конспект урока-семинара «Правильные многогранники»


Цели семинара.

  • создать условия, которые позволяют сформировать у учащихся представлений о связи многогранников с действительностью;

  • дать представление о пространственных фигурах на частных видах многогранников (правильные, полуправильные, звездчатые);

  • сформировать некоторые умения, связанные с построением правильных многогранников, нахождением элементов симметрии правильных многогранников, применение теоремы Эйлера, нахождение элементов многогранников и способность рецензировать ответы товарища по классу.

Диагностируемые цели урока.

Ученик:

знает:

  • о существовании 5 видов правильных многогранников;

  • о существовании симметрии в пространстве;

  • о существовании полуправильных и звездчатых многогранников;

умеет: выполнять построение некоторых видов правильных многогранников на основе куба.

Имеет представление:

  • об элементах симметрии правильных многогранников;

  • о связи между количеством граней, ребер и вершин многогранников.

Замечание.

Предполагается, что план семинара, названия докладов были вывешены за 2-3 недели до самого семинара. Все это время ученики готовились под руководством учителя.

Темы сообщений.

  1. Понятие правильного многоугольника и его элементы симметрии. (1 ученик)

  2. Понятие правильного многогранника. Виды правильных многогранников. (2 ученика)

  3. Элементы симметрии правильного многогранника. (1 ученик)

  4. Построение правильного многогранника на основе моделей куба. (1 ученик)

  5. Полуправильные и звездчатые многогранники. (1 ученик)

  6. Практическое задание: вырезать из бумаги развертки и склеить модели правильных многогранников (1-2 ученика)


Текст, помеченный * * * принадлежит учителю.

* * *

Мы заканчиваем изучать весьма большую тему – «Многогранники». В ней мы познакомились с понятием многогранника, с некоторыми видами многогранников, такими как призма, пирамида, параллелепипед. Среди этих многогранников мы выделяли их особые виды, которые называли правильными. Так мы знакомы с правильной пирамидой (и ее частным видом – правильным тетраэдром), правильной призмой, правильным параллелепипедом – кубом.

А есть ли другие многогранники, которые тоже являются правильными? Если есть, то сколько их? Это мы и будем выяснять сегодня.

В течение прошедших двух недель вы готовились (надеюсь, что усердно) к сегодняшнему уроку-семинару. Вам было предложено на выбор несколько сообщений и одно практическое задание.

Итак, тема «Правильные многогранники».

Геометрия, как и вся математика в целом, пронизана аналогиями. Так в стереометрии, которую мы сейчас с вами изучаем, много понятий, аналогичных тем, которые мы рассматривали в планиметрии.

Например, плоскость аналогична прямой, тетраэдр – треугольнику, куб – квадрату и т.д. Когда мы только начинали изучать многогранники, мы вспоминали их планиметрический аналог – многоугольники. Сейчас мы собираемся познакомиться с правильными многогранниками, поэтому для начала нужно вспомнить, что такое правильный многоугольник. В этом нам поможет сообщение Марины Серовой.

Правильные многоугольники. Их элементы симметрии.

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Примерами правильных многоугольников являются правильный треугольник и квадрат.

Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой a, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой a считается симметричной самой себе. Фигура называется симметричной относительно прямой a, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой a также принадлежит этой фигуре. Прямая a называется осью симметрии. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки O, если O – середина отрезка АА1. Точка O считается симметричной самой себе. Фигура называется симметричной относительно точки O, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией. Ось и центр симметрии называют элементами симметрии фигуры.

Рассмотрим элементы симметрии правильного треугольника и квадрата.

Треугольник имеет 3 оси симметрии – это прямые, проходящие через его медианы и не имеет центра симметрии.

(Ученик выполняет построение осей симметрии треугольника.)

Квадрат же имеет 4 оси симметрии – это прямые проходящие через диагонали (2 оси) и через середины противоположных сторон (2 оси). Кроме этого он имеет еще центр симметрии – это точка пересечения осей симметрии (диагоналей).

(Ученик выполняет построение осей и центра симметрии квадрата.)

hello_html_m6005031e.pnghello_html_4ac56fa5.png

Остальные правильные многоугольники также имеют оси симметрии (если количество углов нечетно, то они проходят через каждую вершину и середину противоположной ей стороне, а если четно, то через середины противоположных сторон). Центры же имеют только многоугольники с четным числом углов. Он совпадает с точкой пересечения осей симметрии.

Правильных многоугольников бесконечно много.

* * *

Существует такая история-байка:

Один слишком навязчивый аспирант довел своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение (пользуясь только циркулем и линейкой) правильного многоугольника с числом сторон 65537. Аспирант удалился, чтобы вернуться через 10 лет с соответствующим построением. Рукопись его, заключенная в большой ящик, до сих пор хранится в Геттингенском университете - памятником титанической усидчивости.

Как уже было сказано, понятие правильного многоугольника весьма близко понятию правильного многогранника. Учение о правильных многогранниках в XIII книге «Начал» приводит Евклид. Сначала он устанавливает существование этих многогранников, а именно показывает, как вписать в сферу правильный… Хотя, я увлеклась. Про эти замечательные фигуры поведают нам Таня Буракова и Таня Кораблева. Во время рассказа мы с вами заполним небольшую таблицу (см. приложение 1.)

(Во время выступления ученики используют плакат с выкладками доказательства теоремы Эйлера).

Понятие правильного многогранника. Виды правильных многогранников.

Определение правильного многогранника.

Определение. Многогранник называется правильным, если: 1) он выпуклый; 2) все его грани – равные друг другу правильные многоугольники; 3) в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер; 4) все его двугранные углы равны.

Примером правильного многогранника является куб: он является выпуклым многогранником, все его грани – равные квадраты, в каждой вершине сходятся три ребра, и все двугранные углы куба прямые. Правильный тетраэдр также является правильным многогранником.

Возникает вопрос: сколько существует различных типов правильных многогранников?

Пять типов правильных многогранников.

Рассмотрим произвольный правильный многогранник М, у которого В вершин, Р ребер и Г граней. Известна теорема Эйлера, которая позволяет связать количество ребер, вершин и граней многогранника. По этой теореме.

В - Р + Г = 2. (1)

Пусть каждая грань данного многогранника содержит m ребер (сторон), и в каждой вершине сходятся n ребер. Очевидно,

hello_html_m53d4ecad.gifmhello_html_m41ccde20.gif, nhello_html_m41ccde20.gif. (2)

Так как у многогранника В вершин, и каждой из которых сходятся n ребер, то получаем nhello_html_mb45dc3e.gif ребер. Но любое ребро соединяет две вершины многогранника, поэтому в произведение nhello_html_mb45dc3e.gif каждое ребро войдет дважды. Значит у многогранника имеется hello_html_m1017a422.gifразличных ребер. Тогда

hello_html_1744e03e.gif= Р hello_html_m4855e294.gifВ = hello_html_m6c38c61b.gif. (3)

Далее, в каждой грани многогранника М содержится m ребер, а число граней равно Г. Так как каждое ребро принадлежит двум смежным граням, то число различных ребер многогранника равно hello_html_m6f74bf18.gif. Тогда

hello_html_m6f74bf18.gifhello_html_m4855e294.gifГ=hello_html_b72183b.gif. (4)

Из (1), (3), (4) получаем hello_html_m6c38c61b.gif - Р + hello_html_b72183b.gif = 2, откуда

hello_html_7fa885de.gif + hello_html_374dec3.gif = hello_html_m7ad79641.gif + hello_html_m6de5d56e.gif > hello_html_m6de5d56e.gif. (5)

Таким образом, имеем

hello_html_7c752207.gif

Из неравенств 3hello_html_60427a71.gif и 3hello_html_m7325eec2.gif следует, что гранями правильного многогранника могут быть либо правильные треугольники, либо правильные четырехугольники, либо правильные пятиугольники. Причем в случаях m = n = 4; m = 4, n = 5; m = 5, n = 4; m = n = 5 приходим к противоречию с условием hello_html_5d544236.gif. Поэтому остаются возможными пять случаев: 1) m = n = 3; 2) m = 4, n = 3; 3) m = 3, n = 4; 4) m = 5, n = 3; 5) m = 3, n = 5.

Рассмотрим каждый из этих случаев, используя соотношения (5), (4) и (3).

1) m = n = 3 (каждая грань многогранника – правильный треугольник. Это – известный нам правильный тетраэдртетраэдр» означает четырехгранник).

2) m = 4, n = 3 (каждая грань квадрат, и в каждой вершине сходятся три ребра). Имеем

hello_html_m31b3f6aa.gifР = 12; В = hello_html_m187f3027.gif 8; Г = hello_html_m5916368a.gif 6.

Получаем правильный шестигранник, у которого каждая грань – квадрат. Этот многогранник называется правильным гексаэдром и является кубом («гексаэдр» -- шестигранник), любой параллелепипед – гексаэдр.

3) m = 3, n = 4 (каждая грань –правильный треугольник, в каждой вершине сходятся четыре ребра). Имеем

hello_html_203783de.gifР = 12; В = hello_html_73bcf6d1.gif=6; Г = hello_html_m3d660f4.gif=8.

Получаем правильный восьмигранник, у которого каждая грань – правильный треугольник. Этот многогранник называется правильным октаэдром («октаэдр» -- восьмигранник).

4) m = 5, n = 3 (каждая грань – правильный пятиугольник, в каждой вершине сходятся три ребра). Имеем:

hello_html_3a875a29.gifР = 30; В = hello_html_52008e56.gif= 20; Г = hello_html_m6d46eb27.gif= 12.

Получаем правильный двенадцатигранник, у которого каждая грань – правильный пятиугольник. Этот многогранник называется правильным додекаэдромдодекаэдр» -- двенадцатигранник).

5) m = 3,n = 5 (каждая грань – правильный треугольник, в каждой вершине сходятся пять ребер). Имеем

hello_html_m417c8271.gifР = 30; В = hello_html_m6d46eb27.gif=12; Г = hello_html_52008e56.gif= 20.

Получаем правильный двадцатигранник. Этот многогранник называется правильным икосаэдром икосаэдр» - двадцатигранник).

Таким образом, мы получили следующую теорему.

Теорема. Существует пять различных ( с точностью до подобия) типов

правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный гексаэдр

(куб), правильный октаэдр, правильный додекаэдр и правильный икосаэдр.

К этому заключению можно прийти несколько иначе.

Действительно, если грань правильного многогранника – правильный треугольник, и в одной вершине сходятся k ребер, т.е. все плоский углы выпуклого k-гранного угла равны hello_html_2e18105.gif, то hello_html_m43fac5f2.gif. Следовательно, натуральное число k может принимать значения: 3;4;5. при этом Г = hello_html_m25f0a968.gif, Р = hello_html_m5abcc7eb.gif. На основании теоремы Эйлера имеем: В+hello_html_m25f0a968.gif-hello_html_m5abcc7eb.gif= 2 или В hello_html_57fe94a1.gif( 6 – k ) = 12. Тогда

при k = 3 получаем: В = 4, Г = 4 , Р = 6 (правильный тетраэдр);\

при k = 4 получаем: В = 6, Г = 8, Р = 12 (правильный октаэдр);

при k = 5 получаем: В = 12, Г = 20, Р = 30 (правильный икосаэдр).

Если грань правильного многогранника – правильный четырехугольник , то hello_html_m528bbc12.gif. Этому условию соответствует единственное натуральное число k = 3. Тогда: Г = hello_html_1092529b.gif , Р= hello_html_m5abcc7eb.gif; В + hello_html_1092529b.gif - hello_html_m5abcc7eb.gif = 2 или hello_html_m1fad465d.gif. Значит, В = 8, Г = 6, Р = 12 – мы получаем куб (правильный гексаэдр).

Если гранью правильного многогранника является правильный пятиугольник, то hello_html_m244c5e65.gif. Этому условию соответствует тоже только k = 3 и Г = hello_html_m3e735aa3.gif; Р = hello_html_m5abcc7eb.gif. Аналогично предыдущим вычислениям получаем: hello_html_m47ba68ce.gifи В = 20, Г = 12, Р = 30 (правильный додекаэдр).

Начиная с правильных шестиугольников, предположительно являющихся гранями правильного многогранника, плоские углы становятся не меньше hello_html_m6bf546dd.gif, и уже k = 3 их сумма становится не менее hello_html_m55d45eee.gif, что невозможно. Следовательно, существует всего пять видов правильных многогранников.

* * *

Расскажу вам шутку про Евклида:

«Евклид (3 в. до н. э.) вовсе и не собирался выпускать систематический учебник геометрии. Он задался целью написать сочинение о правильных многогранниках, рассчитанное на начинающих, в силу чего ему пришлось изложить все необходимые сведения» - это шутка известного английского естествоиспытателя и геометра Томпсона, как и всякая хорошая острота , содержит зерно истины. Ведь согласно Проклу, Евклид считал венцом всех тринадцати книг своих «Начал» предложенные им спосоды построения пяти Платоновых тел – недаром он их поместил в последнюю . тринадцатую книгу.

Ну, вот, вроде бы мы познакомились с правильными многогранниками, выяснили, сколько их существует… Правда, выяснили мы это только теоретически. А практически их существование еще не доказали. А как это сделать? Нужно построить их модели. Понятно, что мы легко можем построить модель куба. А вот как построить модель, какого-нибудь другого правильного многогранника? Оказывается, что все правильные многогранники довольно легко строятся с помощью того же самого куба. Как? Нам об этом расскажет Наташа Исаенкова.


Построение правильных многогранников на основе куба.

Одним из способов построения правильных многогранников, а именно правильных тетраэдра, октаэдра, икосаэдра и додекаэдра, является построение их на основе куба.

Задача 1. Построить правильный тетраэдр.

Решение. Пусть дан куб ABCDA1В1С1D1 . Рас­смотрим какую-либо его вершину, например, А. В ней сходятся три грани куба, имеющие форму квадратов. В каждом из этих квадратов берем вершину, противопо­ложную А,— вершины куба B1, C1, D1. Точки А, В1, С1, D являются вершинами правильного тетраэдра. Действительно, каждый из отрезков АВ1 , ВС1, C1D, AD,

B1D и АС1, очевидно, служит диагональю одной из гра­ней куба, а потому все эти отрезки равны. Отсюда следу­ет, что в треугольной пирамиде с вершиной А и основани­ем B1C1D все грани - правильные треугольники, следова­тельно, эта пирамида - правильный тетраэдр. Этот тетра­эдр вписан в данный куб.

hello_html_71b6cf80.png

Полезно заметить, что другие четыре вершины куба являются вершинами второго правильного тетраэдра A1BCD1 , равного первому и также вписанного в данный куб. Следовательно, можно построить ровно два (различных, но равных друг другу) правильных тетраэдра, вписанных в данный куб.

hello_html_m6d62761e.png

Задача 2. Построить правильный октаэдр, вписанный в данный куб.

Решение.

Куб и октаэдр обладают свойством двойственности, то есть могут быть получены друг из друга простым способом: центры граней одного являются вершинами другого. Используем это свойство, а именно докажем, многоугольник с вершинами в центрах граней куба – правильный октаэдр.

Этот многогранник имеет 6 вершин (у куба 6 граней), 12 ребер, и 8 граней – треугольников. Таким образом, можно утверждать, что построенное тело – октаэдр.

Для доказательства того, что он правильный, надо установить равенство всех ребер октаэдра (чем будут доказаны правильность и равенство всех граней октаэдра) и сходимость в каждой вершине одинакового числа ребер. Проектируя ребра построенного многогранника на плоскость, проходящую через центры боковых граней куба, находим, что проекции их равны, следовательно, равны и ребра многогранника. В каждой вершине сходятся 4 ребра, так как каждый из центров граней куба можно соединить с четырьмя соседними.

Итак, мы доказали, что полученное тело - правильный октаэдр. Очевидно, задача имеет единственное решение.

hello_html_m17ec7db5.png

Используя куб, можно построить и другие правильные многогранники. На иллюстрации показано, как это делается. Икосаэдр вписывается в куб, а додекаэдр около него описывается.

hello_html_m557b8bcf.pnghello_html_m3feafc61.png

О том как построить икосаэдр нам расскажет Наташа Заусайлова.


* * *

Надо заметить, что построение правильного многогранника, вписанного в куб, весьма часто встречается в практических задачах. И кроме всего прочего, доказывает существование 4 из 5 правильных многогранников: тетраэдра, октаэдра, икосаэдра, додекаэдра. И, что самое интересное, не доказывает существование самого куба…Но его существование мы уже с вами доказали в теме :»Перпендикулярность в пространстве».


* * *

Надо добавить, что исследованием правильных выпуклых многогранников занимались многие математики и философы. Так древние ученые приписывали правильным многогранникам чудесные свойства.

Платон (427-347 гг.до н.э.) – величайший философ античности , оказавший огромное влияние на развитие всей мировой культуры. Ученик Сократа, Платон основал научную школу – Академию, которая в течение столетий оставалась центром, влекущим лучшие умы античности. Великий ученик Платона – Аристотель, 20 лет жизни провел в благотворной атмосфере Академии. Хотя сам Платон и не был математиком, он придавал огромное значение ее изучению, живо интересовался ею и требовал от своих учеников основательных знаний математики, прежде чем посвятить их в свою философию. По преданию на вратах Академии Платона было начертано: «Негеометр да не войдет!»

Ко времени Платона в античной философии уже созрела концепция четырех элементов (стихий) – первооснов материального мира: огня, воздуха, воды и земли. Атомам земли Платон придает форму куба, т.к. и земля , и куб отличаются неподвижностью и устойчивостью. Атомам воды – форму икосаэдра, т.к. вода отличается текучестью, а из всех правильных тел икосаэдр – наиболее «катящийся». Атомам воздуха – форму октаэдра, ибо воздух движется взад и вперед и и октаэдр как бы направлен одновременно в разные стороны. Атомам огня – форму тетраэдра как наидолее острого, мечущегося в разные стороны. Мировой эфир – вся вселенная, атомам которой придается форма додекаэдра, как наиболее близкого к шару – самому совершенному по форме телу.

Этим объясняются такие названия, которые получили правильные многогранники: «космические фигуры», «идеальные фигуры», «Платоновы тела».

Про Платоновы тела имеется информация на буклете.

Чем же столь интересны эти тела? Наверное, своей красотой. А красота в геометрии зачастую связана с понятием, которое сегодня уже упоминалось, - понятием симметрии. О симметрии в правильных многогранниках нам расскажет Катя Белаусова. Во время рассказа, мы с вами заполним еще одну табличку (см. приложение 2).


Элементы симметрии правильных многогранников.

Симметрия относительно плоскости (или зеркальная симметрия) - это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону плоскости, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону плоскости, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны плоскости симметрии и делятся ею пополам. Эта плоскость называется плоскостью симметрии.

Симметрия относительно точки или центральная симметрия - это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам.

Симметрия относительно прямой (или осевая симметрия) - это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону прямой, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны оси симметрии и делятся ею пополам.

Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии. Прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер, является его осью симметрии. Плоскость hello_html_7a00ba7d.gif, проходящая через ребро АВ перпендикулярно к противоположному ребру CD правильного тетраэдра ABCD, является плоскостью симметрии. Правильный тетраэдр имеет три оси симметрии и шесть плоскостей симметрии.

Куб имеет один центр – точку пересечения его диагоналей. Прямые а и b, проходящие соответственно через центры противоположных граней и середины двух противоположных ребер, не принадлежащих одной грани, являются его осями симметрии. Куб имеет девять осей симметрии. Все оси симметрии проходят через центр симметрии. Плоскостью симметрии куба является плоскость, проходящая через любые две оси симметрии. Куб имеет девять плоскостей симметрии.  

hello_html_m579df451.png

Октаэдр имеет один центр симметрии – точку пересечения его диагоналей. Прямые, проходящие через диагонали и середины противоположных ребер, не принадлежащих одной грани, являются его осями симметрии. Октаэдр имеет девять осей симметрии. Все оси симметрии проходят через центр симметрии. Плоскостью симметрии октаэдра является плоскость, проходящая через любые две оси симметрии. Октаэдр имеет девять плоскостей симметрии.

(Показ слайдов: «Симметрия в жизни»)


* * *

Вот теперь вроде бы мы узнали все о правильных многогранниках: и сколько их, и как их строить, и какие элементы симметрии они имеют…

Но, мы все время говорим о выпуклых многогранниках и незаслуженно забываем о многогранниках невыпуклых. А среди них тоже есть правильные. Кроме того, среди всего многообразия многогранников, есть ряд таких, которые вроде и не являются правильными, но очень к ним близки. Вот о таких интересных многогранниках нам сейчас и поведают Таня Демарина и Света Селезнева.


Полуправильные и звездчатые многогранники.

Помимо правильных многогранников часто рассматривают так называемые полуправильные и звездчатые многогранники.

Многогранник называется полуправильным, если в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер (как у правильных многогранников), и все его грани — правильные многоугольники, но не все равны между собой.

Эти многогранники были впервые рассмотрены Архимедом (поэтому их называют еще архимедовыми) в 111 в. до н. э. в недошедшем до нас сочинении, его работа дошла до нас только через сочинения других авторов. Все эти многогранники были вновь открыты и описаны в эпоху Ренессанса. Известный немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер (1571 — 1630) в книге «Гармония мира» в 1619 г. полностью восстановил потерянную информацию о них.

Простейшим примером архимедова многогранника может служить архимедова призма, т. е. правильная n-угольная призма с квадратными боковыми гранями.

hello_html_65e49e49.pnghello_html_m3aa7bcb8.png

Другой пример - так называемая п-угольная архимедова антипризма. Она может быть получена, если одно из оснований правильной n-угольной призмы (n>4) повернуть вокруг оси призмы на угол - и затем соединить отрезками каждую вершину этого основания с ближайшими вершинами другого основания; при этом высота призмы должна быть подобрана так, чтобы эти отрезки оказались равными стороне основания (иначе говоря, боковые грани антипризмы должны быть правильными треугольниками). Меняя n, мы получим две бесконечные серии архимедовых многогранников — призм и антипризм.

Будем относить к одному и тому же типу два полуправильных многогранника нулевого рода, если:

  1. при любом n у них одно и то же число n-угольных граней. (Одинаковое число треугольников, четырехугольников и т. д.);

  2. при любом s у них одно и то же число s-гранных углов (одинаковое число трехгранных углов, одинаковое число четырехгранных углов и т. п.).

Уhello_html_62e1148f.png таких многогранников также совпадают характеристики Г (количество граней), В (количество вершин), Р (количество ребер). Как показал Иоганн Кеплер, существуют (кроме рассмотренных выше серий призм и антипризм) еще 13 различных типов простых архимедовых многогранников.


13 полуправильных многогранников

Несмотря на то, что названия многогранников не идеальны, в них есть определенная логика. Они были созданы на основе кеплеровской латинской терминологии.

Термин "усеченный" означает, что многогранник был получен в процессе отсечения от правильного многогранника правильных пирамид с вершинами, лежащими на ребрах и в вершине многогранника (например, на рисунке внизу из куба был получен усеченный куб).


Усечение добавляет новые грани для каждой существующей вершины и превращает существующие n-угольники в 2n-угольники (например, квадраты - в восьмиугольники). Перечислим все многогранники, полученные усечением: усеченный тетраэдр, усеченный октаэдр, усеченный куб, усеченный икосаэдр, усеченный додекаэдр. Если возможно отсечь углы на такую глубину, которая превращет все грани в правильные многоугольники, что обычно подразумевается, то получится полуправильный многогранник.

Термин "курносый" означает, что каждую грань многогранника окружили треугольниками или, что каждое ребро заменили парой треугольников, а в каждой вершине добавили еще один многоугольник. Примером может служить курносый куб. Он может быть получен из куба, как видно, четырехугольные грани повернуты, а вместо вершин вставлены треугольники. Если получать курносый куб из октаэдра, то вместо вершин будут вставлены четырехугольники. Получить одну и ту же фигуру из разных многогранников можно засчет свойства двойственности (вершины одного многогранника являются центрами граней другого). Благодаря свойству двойственности существует еще два полуправильных многогранника: кубооктаэдр и икосододекаэдр. Как следует из их названий, каждый из этих многогранников имеет нечто общее с каждым из пары двойственных правильных многогранников. Их получают также как и усеченные архимедовы тела отсечением пирамид, но количество сторон в каждой грани при этом остается прежним. Например, кубооктаэдр можно получить и из куба, и из октаэдра, если соединить середины ребер (как показано на рисунке ниже).

hello_html_m4499650c.png

У кубооктаэдра 6 квадратных граней, остальные 8 граней — правильные треугольники. В каждую вершину сходятся два квадрата и два треугольника. Форму кубооктаэдра имеет кристалл аргентита (Ag2S).

Труднее получить оставшиеся четыре Архимедовых тела: ромбокубооктаэдр, ромбоикосододекаэдр, ромбоусеченный куб, ромбоусеченный додекаэдр (у некоторых авторов названия отличаются, это связано с переводами на русский язык оригинальных латинских названий). Эти многогранники можно вписать в платоновы тела, являющиеся их прооборазами, но получить их простым усечением нельзя.

Установлено, что архимедов многогранник может иметь грани не более чем трех различных наименований. Самое большое число граней у архимедова многогранника, отличного от призмы и антипризмы, равно 92: у него 80 треугольных и 12 пятиугольных граней.

Может показаться, что если два архимедова многогранника принадлежат к одному и тому же типу, а ребра у многогранников равны, то сами многогранники равны; это представляется очевидным. Однако советский геометр В. Г. Ашкинузе недавно показал, что для одного типа полуправильных многогранников это не так: два многогранника, приведенные на рисунках ниже, принадлежат к одному и тому же типу (у каждого из них по 18 квадратных и по 8 треугольных граней, по 24 вершины и по 48 ребер); но из равенства их ребер не следует равенство многогранников (т. е. не следует возможность их совмещении).

hello_html_4367f447.pnghello_html_f330ac2.png

Псевдоромбокубооктаэдр

Существует и еще один многогранник - четырнадцатый - который некоторые ученые причисляют к полуправильным, а некоторые - нет. Он называется псевдоромбокубооктаэдр. Спорный вопрос заключается в том, что в нем нарушена симметрия, поэтому он не соответствует некоторым определениям полуправильных многогранников. Именно этот многогранник изображен на рисунке выше справа.


Звездчатые многогранники.

До этого мы рассматривали только выпуклые правильные многогранники. Однако правильными могут быть также и многогранники невыпуклые. Такие многогранники называют звездчатыми из-за их соеобразной формы. Рассмотрим их виды.

Звездчатый икосаэдр

Икосаэдр имеет двадцать граней. Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено великим многообразием отсеков – частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звездчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20+30+60+20+60+120+ 12+30+60+60 отсеков десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр (см. рис) состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти.


Звездчатый икосододекаэдр

Иhello_html_5f68a6de.pnghello_html_m69844c9f.pngкосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 – правильные треугольники. Казалось бы, столь большое число граней потребует сложнейших исследований. Этот многогранник являет собой пример соединения двух платоновых тел – додекаэдра и икосаэдра; его можно так же рассматривать как первую звёздчатую форму икосододекаэдра. С него начинается так называемая "основная линия" звёздчатых форм икосододекаэдра, к которой относятся многогранники, полученные добавлением к исходному телу отсеков, полностью покрывающих его поверхность. Поэтому 12 невысоких пятиугольных пирамид и 20 маленьких треугольных пирамид закрывают внутренний икосододекаэдр.

Звездчатый кубооктаэдр.

Кубооктаэдр – полуправильный многогранник. Он строится так: в кубе проводятся отсекающие плоскости через середину ребер, выходящих из одной вершины. В результате получится полуправильный многогранник - кубооктаэдр. Его гранями являются шесть квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра. Отсюда и его название.


Звездчатый октаэдр

Оhello_html_74d84c41.pngн был открыт Леонардо Да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт И.Кеплером, и назван им &quotStella octangula" – звезда восьмиугольная. Отсюда октаэдр имеет и второе название quotstella octangula Кеплера".





Итак, давайте подведем итог сегодняшнего семинара.

Мы с вами познакомились с понятием правильного многогранника, выяснили сколько таких многогранников существует. Узнали про их элементы симметрии. Узнали способ их построения.

Мы также узнали о существовании тринадцати так называемых полуправильных (архимедовых) многогранников и четырех правильных невыпуклых или «звездчатых» многогранников.

* * *

Давайте посмотрим, как можно самим сделать правильные многогранники., об этом расскажет Настя Пищаева.

(Ученик демонстрирует развертки.)

* * *

Оказывается, что правильные многогранники повсюду, и мы, сами того не замечая, ими, просто окружены. Послушаем Валю Корсакову.

(доклад о кристаллах)

(доклад Кати Ефимовой про аномалии и Бермудский треугольник)

(доклад Миши Савина про вирусы)

Итак, давайте подведем итог сегодняшнего семинара. Что нового вы сегодня узнали? (мы познакомились с понятием правильного многогранника, выяснили сколько их существует. Узнали про их элементы симметрии, способ их построения, а также о существовании тринадцати так называемых полуправильных (архимедовых) многогранников и четырех правильных невыпуклых или «звездчатых» многогранников.

А сейчас проведем небольшую летучку.

Выдача домашнего задания.



Приложения к конспекту.

Приложение 1.

Правильный гексаэдр (куб)





 Полотно 267

Правильный октаэдр





 Полотно 254

Правильный додекаэдр





 Полотно 237

Правильный икосаэдр





 Полотно 205


Рисунок

Правильный тетраэдр

4

4

6

Правильный треугольник


Правильный гексаэдр (куб)

6

8

12

Квадрат

Группа 152

Правильный октаэдр

8

6

12

Правильный треугольник

Группа 135

Правильный додекаэдр

12

20

30

Правильный пятиугольник

Группа 103

Правильный икосаэдр

20

12

30

Правильный треугольник

Группа 71




Приложение 2.


Группа 43

Группа 29
















hello_html_m3968bcc9.png

Приложение 3.




Прямая соединительная линия 26Прямая соединительная линия 25Тетраэдр

а\/6

4

a\/6

12

a3\/2

12­­

Прямая соединительная линия 24Куб

а\/3

2

a

2

a3

Прямая соединительная линия 23Прямая соединительная линия 22Прямая соединительная линия 21Октаэдр

а\/2

2

a\/6

6

a3\/2

12­­

Прямая соединительная линия 20Прямая соединительная линия 19Прямая соединительная линия 18Прямая соединительная линия 17Прямая соединительная линия 16Прямая соединительная линия 15Прямая соединительная линия 14Прямая соединительная линия 13Додекаэдр

a

4 \/18+6\/5

1

2 25+11\/5

10

a3

4 (15+7\/5)

Прямая соединительная линия 12Прямая соединительная линия 11Прямая соединительная линия 10Икосаэдр


a

12(3+\/5)\/3

5

12 a3(3+\/5)

















Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону N273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» педагогическая деятельность требует от педагога наличия системы специальных знаний в области обучения и воспитания детей с ОВЗ. Поэтому для всех педагогов является актуальным повышение квалификации по этому направлению!

Дистанционный курс «Обучающиеся с ОВЗ: Особенности организации учебной деятельности в соответствии с ФГОС» от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (72 часа).

Подать заявку на курс

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.