Конспект занятия "Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств", 11 класс

• 1 слайд

  Учитель математики МОУ «СОШ № 42» г. Воркуты
  Курылева Эви Ростиславовна
  Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств
  

• 2 слайд

  Иероним Георг Цейтен
  (Hieronymus Georg Zeuthen)
  (15.02.1839 - 06.01.1920)
  «Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах»
  

• 3 слайд

  Что называется функцией?
  Пусть каждому числу x из множества чисел X в силу некоторого закона f поставлено в соответствие единственное число y. Тогда говорят, что задана функция y = f (x), определенная на множестве X; при этом x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y – зависимой переменной.
  Какие свойства функций вам известны?
  Область определения функции.
  Область значений (область изменения).Ограниченность функции.
  Возрастание, убывание функции. Свойство монотонности функции.
  Четность, нечетность функции.
  Периодичность функции.
  

• 4 слайд

• 5 слайд

• 6 слайд

• 7 слайд

• 8 слайд

• 9 слайд

  Подведём итоги сегодняшнего занятия.
  
  Какие неравенства мы сегодня рассматривали?
  
  2)Какими алгоритмами мы пользовались?
  
  3)Какие затруднения у вас вызвали эти методы? В чём они выражались?
  
  4)А чем понравились эти методы? Как вы думаете в чём их плюсы, а в чём - минусы?
  

• 10 слайд

  К следующему уроку выполнить следующее задание:
  Решить неравенства:
  2. Творческое задание.
  
  Подумайте, какие «внешние» признаки могут содержать уравнения или неравенства, которые бы указывали на применение рассмотренных сегодня методов.
  

• 11 слайд

  С п а с и б о
  за урок!
  

• 12 слайд

  Ответ: нет корней.
  

• 13 слайд

  ОДЗ неравенства:
  Для х из промежутка
  а
  Следовательно, все х из промежутка
  являются решениями исходного неравенства.
  Ответ:
  

• 14 слайд

  Область определения функции
  Проверка:
  Ответ: 2.
  1) х=3, тогда
  что неверно.
  2) х=2, тогда
  что верно.
  

• 15 слайд

  Ответ: -1.
  и
  

• 16 слайд

  Ответ: решений нет.
  и
  

• 17 слайд

  Ответ: корней нет.
  

• 18 слайд

  Ответ: 1.
  а
  

• 19 слайд

  Ответ: 0.
  и
  равносильно системе
  то
  Из первого уравнения:
  Из второго уравнения:
  Так как - иррациональное число, то равенство возможно, только если п = к = 0. Поэтому единственным решением исходного уравнения является х = 0.
  

• 20 слайд

  Ответ: 1.
  возрастает на своей области определения.
  возрастает на своей области определения.
  - возрастающая функция.
  имеет не более одного корня.
  

• 21 слайд

  Ответ:
  монотонно возрастает на
  Значение а легко подбирается а = 1.
  будет
  имеет не более одного решения, причем если а –решение этого уравнения, то при
  а решением данного неравенства будет
  монотонно убывает на
  

• 22 слайд

  Ответ:
  Левая часть неравенства представляет собой функцию
  
  
  монотонно убывающую на отрезке
  имеет не более одного корня.
  Уравнение
  - корень этого уравнения.
  

• 23 слайд

  Решений нет
  

• 24 слайд

• 25 слайд

  Курылева Эви Ростиславовна, 

учитель математики муниципального общеобразовательного учреждения 

«Средняя общеобразовательная школа № 42» г. Воркуты

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА

«Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств»

                                                                             Эпиграф Правильному применению методов можно научиться  только применяя 

их на разнообразных примерах. 

И. Г. Цейтен              Цели на урок: 

•       дидактические: продолжить формирование умений применять различные способы решения неравенств; совершенствовать навыки решения неравенств различными методами;

•       развивающие: развивать познавательный интерес у учащихся, логическое мышление, интеллектуальные способности; формировать математическую речь;

•       воспитательные: воспитывать у учащихся такие качества личности как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели, потребность в приобретении и углублении знаний, вырабатывать умение слушать и вести диалог, формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради.

           Тип урока: урок систематизации и обобщения изученного материала

           Структура урока:

1.      Организационный этап.

2.      Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению материала.

3.      Этап обобщения и систематизации изученного.

4.      Этап подведения итогов.

5.      Этап информации учащихся о домашнем задании.

            Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация «Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств», доска, мел, раздаточный материал для работы на уроке и домашним заданием.

Ход урока.  

Деятельность учителя	Деятельность учащихся
1. Организационный этап.
Здравствуйте, рада вас всех видеть!	Ответы учащихся: Здравствуйте!
2. Этап подготовки учащихся к активному и сознательно		му усвоени	ю материа	ла.
Эпиграфом к уроку я выбрала слова датского математика и историка математики, жившего с 1839 по 1920 года, Иеромонима Георга Цейтена: «Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах». Слайд 2  При решении практически любой математической задачи приходится производить преобразование числовых, алгебраических или функциональных выражений. Но бывают случаи, когда стандартные преобразования не позволяют получить ответ. Тогда используют нестандартные методы, суть которых – реализовать «иной взгляд» на задачу, что существенно упрощает решение некоторых задач. Таким образом, тема сегодняшнего урока… Но для начала - вопросы, ответы на которые вы должны были повторить дома.  Слайд 3 1)                 Что называется функцией? 2)                 Какие свойства функций вам известны?	«Использование неравенств». Пусть каждому числу задана функция y x зависимой переменной. Область определения функции. Возрастание, убывание функции. Четность, нечетность функции. Периодичность функции.	свойств x поставлено в соответствие единственное число  f (x), x Область значений (область изменения)	функций из множества чисел X называют независимой переменной или аргументом, а переменную  . Из определения функции следует, что функция задается вместе с	при X	решении y , определенная на множестве X; при этом Ограниченность функции.	уравнений в силу некоторого закона . Тогда говорят, что y	и f –

3)      Что называется областью определения функции? 4)      Что называется областью значения функции? 5)      Что понимается под монотонностью функции? Все определения можно ещё раз увидеть в Приложении 1, которое лежит у вас на партах.	областью определения X. Чаще всего функцию задают с помощью какойлибо формулы. При этом, если не дано дополнительных ограничений, то областью определения функции, заданной формулой, считают множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.  Область значений (область изменения) – множество всех значений функции . Функцию y  f (x), x X называют ограниченной снизу (сверху), если существует такое число M, что для любого x из области определения верно неравенство f (x)  M , ( f (x)  M ). Функция называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу. Функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Общее название этих двух понятий – монотонность.
3.Этап обобщения и систематизации изученного.
Судя по тем вопросам, которые я задала вам в начале урока, как вы думаете, какие свойства легли в основу методов, которые мы с вами сегодня будем разбирать? Слайд 3 Для более удобного рассмотрения нестандартных методов я составила для вас таблицу. Она у каждого из вас. С её помощью на сегодняшнем уроке мы разберём три метода. Учитель разбирает методы по таблице: пояснения теоретической части, разбор 1-2 примеров (какого - по желанию учащихся). Приложение 2. Слайды 4 – 7.	Область определения, ограниченность функции, её монотонность. Ученики слушают объяснения учителя, делая пометки в таблице.

А сейчас вы будете работать в группах. Каждая группа выберет себе задание. Затем представитель от группы представит решение.  Слайд 8 1  группа.  Решить уравнение sin( x3  2x2 1)  x2  2x  3. 2  группа. Решить неравенство log5 x  1 x4 . 3  группа. Решить неравенство 2х  3х  4х  3.

Учащиеся работают в группах.

Защита решений. Слайд 8

От       каждой           группы           выступает       1          человек           с             защитой          своего  решения        (решение        на        доске             кратко             записать,  пояснения по ходу решения). 1группа. sin( x3  2x2 1)  x2  2x  3. Решение: при решении используем ограниченность функций y  sin x и квадратичной функций: 1.    sin( x3  2x2 1) 1для любого х из R. 2.    x2  2x  3  (x 1)2  2  2. Таким образом мы видим, что области значений левой и правой части этого уравнения не имеют «точек соприкосновения». Значит уравнение не имеет решений. Ответ: решений нет. 2                    группа. log5 x  1 x4 . Решение: при решении используем анализ ОДЗ неравенства. 1 х4  0, ОДЗ:                    0  x 1. х  0, х=1 не является решением. Тогда при 0 x1получим, что log5 x  0, а 1x4  0. Значит решением данного неравенства являются все числа из промежутка0 x1. Ответ: 0 x1 3                    группа. 2х  3х  4х  3. Решение: при решении используем монотонность функций, входящих в неравенство. Рассмотрим функции у1  2х, у2  3х, у3  4х . Все они непрерывны и

	строго возрастают на R. значит и сумма этих функций у  2х  3х  4х тоже будет возрастающей функцией. Легко увидеть, что у(0)  3. А в силу её непрерывности и строгой монотонности получим, что при x 0 имеем2х  3х  4х  3, а при x 0имеем2х  3х  4х  3. Значит решениями являются все x 0. Ответ: x 0
4.Этап подведения итогов.
Ребята, подведём итоги сегодняшнего занятия. Слайд 9. 1)      Какие неравенства мы сегодня рассматривали? 2)      Какими алгоритмами мы пользовались? 3)      Какие затруднения у вас вызвали эти методы? В чём они выражались? 4)      А чем понравились эти методы? Как вы думаете в чём их плюсы, а в чём - минусы?	Учащиеся отвечают, используя записи; рассказывают о своих затруднениях, если они были; высказывают личное мнение о методе.
5.Этап информации учащихся о домашнем задании.
На      следующем    занятии           мы       продолжим     решать            уравнения      и неравенства, с использованием уже других свойств функций. А по теме сегодняшнего урока вам необходимо к следующему уроку выполнить следующее задание (карточки): Слайд 10 1. Решить неравенства: 1.                  (1х)(х 2)  (х5) х1; 2.                  х  3  4 9  х  3; 3.                  sin xsin 5x 2; 4. 17sin x  4x2  252 17; 5.      3x 1  x 1  6. 2. Творческое задание. Подумайте, какие «внешние» признаки могут содержать уравнения или неравенства, которые бы указывали на применение рассмотренных сегодня методов. Всем спасибо! Слайд 11

Приложение 1. 

Определение функции. Пусть каждому числу x из множества чисел X в силу некоторого закона f поставлено в соответствие единственное число y. Тогда говорят, что задана функция y  f (x), x X , определенная на множестве X; при этом x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y – зависимой переменной.

 Свойства функций. Область определения функции. Из определения функции следует, что функция задается вместе с областью определения X. Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы. При этом, если не дано дополнительных ограничений, то областью определения функции, заданной формулой, считают множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл. 

                 Область значений (область изменения) – множество всех значений функции y  f (x),x X .

 Ограниченность функции. Функцию y  f (x),x X называют ограниченной снизу (сверху), если существует такое число M, что для любого x из области определения верно неравенство f (x)  M , ( f (x)  M ). Функция называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.

 Возрастание, убывание функции. Функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Общее название этих двух понятий – монотонность.

 Четность, нечетность функции. Функцию y  f (x),x X называют четной (нечетной), если для любого значения x из множества X выполняется равенство f (x)  f (x) ( f (x)  f (x)).

 Периодичность функции. Функцию y  f (x),x X называют периодической, если существует число T  0, такое что для любого x из области определения X число (x T) X , число (x T) X и справедливо равенство f (x T)  f (x) и f (x T)  f (x). Число T  называют периодом функции f(x).

Приложение 2. 

«Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств»

применения этого метода является Решение. Заметим, что 2  2sin ²(x 1)  2, а 2^2xx2  2^{1(х1)2}  2. Следовательно, наличие в уравнении функций разной природы. 2 2sin2(x1)  22xx2 22x2x2sin2 2(x1)  2, sin(2xxx21) 1 0, x1.



                                                                                                                                                                                                             2                   

Ответ: 1.

                                                                                                                                              Пример8. Решите уравнение cos   x  cos x  2..

                                                                                                                                                 Решение. Так как       cos    x 1и      cosx 1, то уравнение cos                                                                              x  cosx  2

                                                                                                                                                                                              cos   x 1,

равносильно системе   cos x 1.

Из первого уравнения системы получим, что х  2к,кZ , а из второго, что х  2п  х  4_²п²,пZ,n  0. Следовательно, 2к  4²п²  к  2п². Так как  - иррациональное число, то равенство возможно, только если п = к = 0. Поэтому единственным решением исходного уравнения является х=0. Ответ: 0.

3 Свойство Свойства монотонных функций: Пример 9. Решите уравнение 20х  29  26 х  2. монотонности Теорема 2: Пусть y  f (x) -

Решение. Функция f (x)  20х  29 возрастает на своей области определения,

                                                      функция,                      возрастающая

(убывающая) на некотором функция g(x)  26х так же возрастает на своей области определения, значит  промежутке I. Тогда уравнение   так же является возрастающей функцией на своей f(x)=a имеет на промежутке I не  20х  29  26  х

F(x)

                                                      более одного корня.         области определения. Следовательно, уравнение F(x)  2имеет не более одного

Теорема 3: Пусть y=f(x) – функция, корня. Непосредственной проверкой убеждаемся, что F(1)  201 29  26 1  2 возрастающая на        некотором промежутке I, а y=g(x) – функция, Ответ: 1.

                                                         убывающая на этом промежутке. Пример 10. Решите неравенство       3 x  3 x. 

Тогда уравнение f(x)=g(x) имеет на Решение. Стандартный прием решения - возвести в квадрат (при условии 3x 0). промежутке I не более одного корня. Применим свойства монотонности функций, входящих в данное неравенство.  Функция f (x)  3 x монотонно возрастает при x3. Функция g(x)  3 x монотонно убывает на ;. Из этого следует, что уравнение 3 x  3 x имеет не более одного решения, причем если а – решение этого уравнения, то при

 

Литература.

1.      П. В. Чулков Материалы курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики» – М.:»Педагогический университет «Первое сентября», 2010.

2.      Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. Учимся решать задачи. 10-11 классы: Учебно-методическое пособие. – М.: Дрофа. 2002 г.

3.      Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов / сост. Г.И. Ковалева, Т.И. Бузулина, О.Л. Безрукова, Ю.А. Розка – Волгоград: Учитель, 2005.

4.      Математика. Подготовка к ЕГЭ. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: учебно-методическое пособие/ Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. – Ростов – на – Дону: Легион, 2013.

5.      В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др.; под ред. М. И. Сканави. Сборник задач по математике (с решениями) – М.: ООО»Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2005.

Замечание. По данной теме проводится ещё два урока: 2 урок – использование четности, периодичности, решение задач, 3 урок –самостоятельная работа.

Самостоятельная работа по теме

«Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств».

          

Критерии оценки заданий 4 – 7. 

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Допущена единичная вычислительная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0

Слайд 1	Слайд 2	Слайд 3
Слайд 4	Слайд 5	Слайд 6
Слайд 7	Слайд 8	Слайд 9

Слайд 10	Слайд 11	Слайд 12
Слайд 13	Слайд 14	Слайд 15
Слайд 16	Слайд 17	Слайд 18
Слайд 19	Слайд 20	Слайд 21
Слайд 22	Слайд 23	Слайд 24
Слайд 25