Конспект занятия математического кружка на тему: «Теорема Эйлера для многогранников», 11 класс

Конспект занятия математического кружка на тему: «Теорема Эйлера для многогранников»

Цели: формулировка теоремы Эйлера для многогранников, её доказательство.

Оборудование: проектор, бумага, модели выпуклых многогранников, карандаш, линейка, угольник.

План занятия:

1)    организационный момент;

2)    рассказ учителя;

1)    исследовательская работа (работа с наглядными пособиями);

2)    подведение итогов;

3)    домашнее задание.

В начале урока ребятам дается задание рассмотреть предложенные им различные многогранники (произвольные и правильные тетраэдры, кубы, призмы, пирамиды, параллелепипеды).

- К какому виду вы можете отнести данные многогранники?  (они выпуклые);

- Рассмотрите тетраэдры и ответьте  на вопрос: сколько граней они имеют? (четыре);

- Что можно сказать об их гранях? (представляют собой  треугольники);

- Какое количество рёбер сходится к каждой вершине произвольного и правильного тетраэдра? (три);

- Аналогичным образом охарактеризуйте куб и параллелепипед. (У куда грани – квадраты, к каждой вершине сходится три ребра, у параллелепипеда грани – прямоугольники (параллелограммы), к каждой вершине сходится три ребра);

По отмеченным нами свойствам можно дать определение топологически правильного многогранника.

Определение: Назовём простой многогранник топологически правильным, если все его грани имеют одно и тоже число вершин, а все многогранные углы – одно и тоже число граней.

-Какие из данных многогранников будут топологически правильными?

Примером топологически правильного многогранника является любой тетраэдр или любой параллелепипед.

- Рассмотрите произвольный и правильный тетраэдр. Чему равно число граней, рёбер и вершин? (Граней – 4, рёбер – 6, вершин - 4);

- Аналогично подсчитайте количество граней, рёбер и вершин у куба. (Граней – 6, рёбер – 12, вершин – 8);

- Чему равно количество граней, ребер и вершин у параллелепипеда? (Граней – 6, рёбер – 12, вершин – 8);

- Те же действия выполните при рассмотрении октаэдра. (Граней – 8, рёбер – 12, вершин – 6).

 - Какой вывод вы можете сделать, если сравнить сумму граней и вершин с числом рёбер? (оно отличается на 2).

На основе вышесказанного можно сформулировать и доказать теорему Эйлера:

 Теорема Эйлера для многогранников:

В любом простом многограннике сумма числа вершин и числа граней на две единицы больше числа его рёбер.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный многогранник F и обозначим через , ,  соответственно число вершин, рёбер, граней этого многогранника. Грани многогранника F образуют клеточное разложение его границы в (F), и поэтому эйлеровая характеристика x(в(F)) граница в (F) равна - + . Но по определению простого многогранника x(в(F))=2. Таким образом,    -+ =2 или + =+2.

Пусть F топологически правильный многогранник. Обозначим через n число вершин каждой грани, через g число граней каждого его многогранного угла, а через ,  и  соответственно число вершин, рёбер и граней.

Каждое ребро многогранника F является общей стороной двух его граней, а каждая грань содержит  рёбер. Поэтому

n = 2    (1)

Каждая вершина многогранника F является общим концом g рёбер. Значит,

g = 2     (2)

По теореме Эйлера + =+2. Подставив сюда значение  и  из (1) и (2), получаем:

       (3)

Отсюда следует, что

         (4)

Так как g и n, то из неравенства (4) получаем

поэтому g < 6. Аналогично получаем, что n < 6. Таким образом, ,  , т. е. g и n могут принимать только значения 3, 4 и 5. Из неравенства (4) следует, что числа g и n одновременно не могут быть больше трёх, т. е. хотя бы одно из чисел g или n равно 3. Таким образом, возможны следующие пять комбинаций этих чисел: 1) g=n=3; 2) g=3, n=4; 3) g=3, n=5; 4) g=4, n=3; 5) g=5, n=3. В каждом из этих случаев, используя формулу (3), находим , а по формулам (1) и (2) находим  и .

Итак, любой топологически правильный многогранник принадлежит к одному из следующих пяти типов, представленных в таблице.

Мы доказали, что существует не более пяти типов топологически правильных многогранников.

Кроме топологически правильных многогранников рассматриваются метрически правильные многогранники. Слово «метрически» обычно опускают и говорят просто «правильный многогранник».

Таблица

№	Название многогранника	g	n
1 2 3 4 5	Тетраэдр (четырехгранник) Гексаэдр (шестигранник) Додекаэдр (двенадцатигранник) Октаэдр (восьмигранник) Икосаэдр (двадцатигранник)	3 3 3 4 5	3 4 5 3 3	4 8 20 6 12	6 12 30 12 30	4 6 12 8 20

Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многогранники, а многогранные углы при вершинах имеют одно и тоже число граней. По теореме, выпуклые многогранники являются простыми, поэтому правильные многогранники представляют собой частный случай топологически правильных многогранников. Выше мы доказали, что топологически правильных многогранников может существовать не более пяти типов. Следовательно, и правильных многогранников может существовать не более  пяти типов. Свойства этих многогранников будут рассмотрены на следующих уроках.