Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект занятия на тему «Понятие предела. Предел последовательность. Вычисление пределов»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект занятия на тему «Понятие предела. Предел последовательность. Вычисление пределов»

библиотека
материалов

hello_html_25a5c143.gifhello_html_4532c8f1.gifКонспект занятия на тему «Понятие предела. Предел последовательность. Вычисление пределов»


Цели:

  • Изучить понятие числовая последовательность, способы ее задания и свойства числовых последовательностей;

  • изучить понятие предела последовательности, учить вычислять пределы последовательности;

Дидактический материал: опорный конспект, карточка-консультант, математическая карта темы, обучающий видеокурс «Математика 7-11».

Математический дневник (8)


План урока

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация знаний.

  3. Изучение нового материала:

    1. Понятие числовой последовательности;

    2. Способы задания числовой последовательности;

    3. Свойства числовой последовательности;

    4. Понятие предела последовательности;

    5. Правила вычисления предела последовательности;

    6. Вычисление предела последовательности.

  4. Закрепление изученного материала.

  5. Работа с математическим словарем.

  6. Подведение итогов.

  7. Домашнее задание.

  8. Рефлексия.



Ход урока


  1. Организационный момент

Мы приступаем к изучению нового раздела математики, который обычно называют «Математический анализ». Он начинается с темы «Производная», которая является основой для изучения дальнейших тем раздела.

  1. Актуализация знаний

- В школьном курсе алгебры вы изучали последовательности. Какие? (арифметическую и геометрическую прогрессию)

- Что же такое последовательность?

Последовательность- это занумерованный ряд объектов.

Можно строить последовательности чисел, функций, векторов, рассматривать последовательности событий, утверждений и т.п.

Приведите пример последовательности.

  1. Изучение нового материала

- Тема сегодняшнего урока «Понятие предела. Предел последовательность. Вычисление пределов».

3.1. Понятие числовой последовательности

- Запишем определение числовой последовательности.

Опр 1:Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие действительное число: числу 1 соответствует число а, числу 2 – а2…….числу n – число аn и т.д. Тогда говорят, что задана числовая последовательность, и пишут а1, а2,…,аn или (аn), где а1, а2,…,аn – члены последовательности.

Опр 1/ :Занумерованный ряд чисел а1, а2,…, аn,…называется числовой последовательность.


3.2. Способы задания числовой последовательности

(на каждой парте лежит карта теоретического материала, в процессе беседы учащимся предлагается перевернуть соответствующий лист)

- Какими способами можно задать числовую последовательность?

(учащиеся высказывают свои мнения)

- Вы правы. Наиболее простой способ задания последовательности – это ее задание с помощью формулы общего члена, т.е. формулы, явно выражающей зависимость n-го члена последовательности от n.

Например, формула аn=2n задает последовательность четных чисел 2,4,6,8,… .

Другим важным способом задания последовательности является рекуррентный способ, при котором задается выражение, связывающее nчлен последовательности с одним или несколькими предыдущими.

Слово рекуррентный происходит от латинского слова recurrens, что означает «возврат». Вычисляя новый, очередной член последовательности, мы как бы возвращаемся назад и используем уже вычисленные предыдущие члены.

Например, рекуррентное соотношение an=an-1+2 вместе с уравнением a1=1 задает арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 2:1, 3, 5, 7,.. . Это не что иное, как последовательность нечетных чисел.

Так же последовательность может быть задана словесным описанием, в котором определяется процесс построения членов последовательности.

- Прочитайте и выделите в математической карте главный материал.

3.3. Свойства числовой последовательности

- Числовые последовательности могут обладать свойствами, которые мы рассматривали при изучении обычных функций.

Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего, иными словами, если для всякого hello_html_73083296.gif верно неравенство hello_html_m57863aba.gif .(аналогично дается определение убывающей числовой последовательности)

Например 1, 3, 5, 7 2n -1,... — возрастающая последовательность.

Например hello_html_1567cd5a.gif — убывающая последовательность.

Последовательность называется монотонной, если она является либо возрастающей, либо убывающей.

Последовательность а1, а2,…,аn .. называется ограниченной, если для ее членов можно указать общую границу, т.е. если существует такое число С, что неравенство hello_html_m44400db2.gif выполняется для всех номеров n.

Иными словами, последовательность (yn) ограничена сверху, если существует число М такое, что для любого n выполняется неравенство

уnhello_html_m54ea4251.gifМ. Число М называют верхней границей последовательности.

Например, последовательность-1, -4, -9, -16,..., —п2 , ... ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взять число -1 или любое число, которое больше, чем -1, например 0.

Последовательность n) ограничена снизу, если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство упhello_html_6bab9a22.gif. Число m называют нижней границей последовательности.

Например, последовательность 1, 4, 9, 16, ..., п2, ... ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 1 или любое число меньше 1.

- Прочитайте и выделите в теоретической карте главный материал.

- А сейчас я хотела бы поговорить с вами о пределе последовательности и функции.

3.4. Понятие предела последовательности

- Как вы думаете, что означает слово предел? (учащиеся высказывают свои мнение)

- Хорошо, сформулируем ваши мнения на математическом языке.

1. Определение предела последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности п) и п).

n):1,3, 5,7,9, ...,2n-1,...; (xn):hello_html_1567cd5a.gif

Изобразим члены этих последовательностей точками на координатной прямой (рис. 1 для п) и рис. 2 для (хп)). Замечаем, что члены второй последовательности n) как бы « сгущаются» около точки 0, а у первой последовательности п) такой «точки сгущения» нет. В подобных случаях математики говорят так: последовательность (хn) сходится, а последовательность п) расходится.


Рис. 2

Рис. 1

hello_html_m3e2fe198.pnghello_html_m54571b07.png

Возникает естественный вопрос: как узнать, является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности. Чтобы ответить на данный вопрос, введем новый математический термин.

Опр 1. Пусть а — точка прямой, а r— положительное число. Интервал (а-r, а +r) называют окрестностью точки а (рис. 3), а число r— радиусом окрестности.

Какова окрестность точки 6, если радиус этой окрестности равен 0,02? Ответ: (5,98; 6,02), так как 6-0,02˂ 6 ˂ 6+0,02

a-r ˂ a ˂ a+r

Рис. 3

hello_html_m347dcf12.png

Теперь мы можем ответить на поставленный выше вопрос. Но термин «точка сгущения для членов заданной последовательности» обычно заменяют термином «предел последовательности».

Опр 2. Число b называется пределом последовательности (yn), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Пишут либо так: уп hello_html_6ab8aa1c.gif b (читают: уп стремится к b или уп сходится к b), либо так:

hello_html_7923ada1.gif

(читают: предел последовательности уп при стремлении п к бесконечности равен b; но обычно слова «при стремлении п к бесконечности» опускают).

3.5. Правила вычисления пределов последовательности

- Запишем правила вычисления пределов последовательности:

Пример 1: Дана последовательность (yn): hello_html_1bc2454b.gif

- Как вы считаете, чему равен предел данной последовательности?

Докажем, что

hello_html_m44c8f379.gif

Рис. 4

hello_html_m27487b52.png

Возьмем любую окрестность точки 0, пусть ее радиус равен r (Рис.4). Ясно, что всегда можно подобрать натуральное число n0 так, чтобы выполнялось неравенство hello_html_6be75e7.gif . Если, например r=0.001,то в качестве n0 можно взять 1001, поскольку hello_html_m5a233da2.gif; если r=hello_html_m35e9a0e9.gif, то в качестве n0 можно взять 5774, поскольку hello_html_m460d95ec.gif, и т.д. Но это значит, что член последовательности yn с номером n0 , т.е. hello_html_4dc7fcb2.gif , попадает в выбранную окрестность точки 0. Тем более в этой окрестности будут находится все последующие члены заданной убывающей последовательности hello_html_2e1d8409.gif.

hello_html_ma63fdc6.gif

Пример 2: Найти предел последовательности hello_html_m1be100b2.gif

Здесь последовательность сходится к 0: hello_html_m3adbd93e.gif или

hello_html_m45e97419.gif

Результат, полученный в примере 2, является частным случаем общего утверждения: если hello_html_m18a78139.gif

hello_html_5b50146b.gif

А что будет с последовательностью hello_html_675073cd.gif, если hello_html_m1baf779d.gif? Пусть, например, q=2, т.е. речь идет о последовательности 2,22,23,…,2n,… Эта последовательность явно не имеет предела (нет «точки сгущения»). Вообще, справедливо утверждение: если hello_html_m1baf779d.gif, то последовательностьhello_html_675073cd.gif расходится.


hello_html_24b7e1b1.gif

Например:

hello_html_1d872448.gif

hello_html_m273fb0ed.gif

Просмотрим видеокурс «Математика 7-11» в котором мы узнаем об основных арифметических операциях нах пределами.

(В процессе просмотра преподаватель записывает теоремы об арифметических операциях на доске)


Теоремы об арифметических операциях над пределами: если

hello_html_m156d940.gif

hello_html_19af0c0a.gif

hello_html_42a7f5db.gif

hello_html_m7a58804b.gif

hello_html_165ae70.gif


- Перенесите данные теоремы в тетради.

- Решим несколько заданий основываясь на правила и теоремы о пределах последовательности.

hello_html_70a98702.gif

- Предел последовательности вычисляется путем почленного деления числителя и знаменателя на неизвестную в наибольшей степени.

- Какая наибольшая степень из предложенных нам дана? (2)

- Разделим почленно на п2, получим:

- Каким правилом и теоремой воспользуемся?


hello_html_1e230176.gif


- Кому не понятно, как мы нашли предел последовательности, задавайте вопросы.


3.6. Вычисление предела последовательности

(сильным учащимся предлагается решить задания самостоятельно и сверить свои результаты с доской, слабо успевающих учащихся вызывают к доске с пошаговым комментирование решения )

- Решим несколько заданий на доске.

Вычислите

hello_html_6f3df7d0.gif

hello_html_302840e9.gif

hello_html_m10281f3.gif


- рассмотрим предел последовательности, когда х стремится к предельному значению.

hello_html_508bae55.gif


- Простейшим способом вычисления предела является подстановка предельного значения (конкретного числа) в подпредельное выражение, т.е. подставляем число 4 вместо х.

hello_html_625d6992.gif


-Есть ли у вас вопросы по вычислению данного предела.

- Перед вами лежит карточка-консультант по вычислению пределов последовательности. Рассмотрите ее внимательно. Как построена карточка-консультант?

В карточке отражены правила вычисления пределов последовательности, арифметические операции над пределами и подробное решение примера.

Пользуясь карточкой-консультантом вычислите следующие пределы:


Вычислите

hello_html_454ec10d.gif

hello_html_78666ca6.gif

hello_html_m4fee4257.gif

hello_html_m203b42bc.gif

  1. Закрепление изученного материала.

(Учащиеся разбиваются на группы по 4 человека. Решив задания в карточке группа подносит решения на проверку. Верные задания выносятся на доску.)

hello_html_5e878415.jpg


  1. Работа с математическим словарем

- Возьмите карты теоретического материала. Выделите основные понятия и правила, перенесите их в словарь. Составьте математическую карту данной темы.

6. Подведение итогов

- Что нового вы узнали на уроке?

- Что такое последовательность?

- Какие виды последовательностей вы знаете?

 - Как задаётся числовая последовательность?

- Что мы называем пределом последовательности?

- Как найти предел последовательности, при hello_html_m6202822.gif? Приведите пример.

- Как найти предел при hello_html_7fd9e402.gif к конкретному числу? Приведите пример.

- Сформулируйте теоремы о пределах.

Выставление оценок за работу на уроке.

7. Домашнее задание

- Выучить основные понятия и теоремы

-В рабочих тетрадях выполнить №1-3

1.

hello_html_2236c297.png

2.

3.

hello_html_m750d6130.png



8. Рефлексия

Откройте и заполните свои математические дневники.

Заполните колонку «Рекомендации себе» ответами на следующие вопросы:

  1. Что Вам понравилось на уроке?

  2. Довольны ли Вы своей работай на уроке?

  3. Устали ли Вы за урок?

  4. Был ли материал урока, для Вас, понятен, полезен, интересен?

  5. Какой материал необходимо повторить?




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 06.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров2433
Номер материала ДВ-128565
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх