Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект занятия "Обратные тригонометрические функции"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект занятия "Обратные тригонометрические функции"

библиотека
материалов

Тема: Обратные тригонометрические функции. Примеры использования обратных тригонометрических функций.

Цель: формирование алгоритма вычислений значений тригонометрических выражений, в которых участвуют обратные тригонометрические функции и применение алгоритма для решения более сложных задач.

Задачи:

  1. Научить применять определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса для нахождения значений выражений, содержащих аркфункции.

  2. Составить алгоритм вычисления синуса, косинуса, косинуса, тангенса и котангенса то арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

  3. Формировать способность оценивать поставленную задачу и по результатам анализа научить составлять алгоритм действий по решению новой задачи.

Ход занятия:

I. Актуализация знаний.

1. На уроках мы с вами занимались изучением обратных тригонометрических функций.

  • Какие обратные тригонометрические функции вы знаете?

(y=arcsin x, x hello_html_51ba074f.gif [-1;1]; y=, x hello_html_51ba074f.gif [-1;1]; y=arctg x, x hello_html_51ba074f.gif [-hello_html_m692965a4.gif;+hello_html_m692965a4.gif]; y=arcctg x, x hello_html_51ba074f.gif [-hello_html_m692965a4.gif;+hello_html_m692965a4.gif])

  • Дайте определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа a.

(arcsin a=?, где ahello_html_51ba074f.gif [-1;1], аhello_html_51ba074f.gif [-hello_html_57031312.gif/2; hello_html_57031312.gif/2]; arccos a= ?, где ahello_html_51ba074f.gif [-1;1], а  hello_html_51ba074f.gif [0; hello_html_57031312.gif]; arctg a= hello_html_596b83f4.gif, где ahello_html_51ba074f.gif [-hello_html_m692965a4.gif;+hello_html_m692965a4.gif], а hello_html_596b83f4.gif hello_html_51ba074f.gif [-hello_html_57031312.gif/2; hello_html_596b83f4.gifhello_html_57031312.gif/2]; arcctg a = hello_html_596b83f4.gif, где ahello_html_51ba074f.gif [-hello_html_m692965a4.gif;+hello_html_m692965a4.gif], а hello_html_596b83f4.gif hello_html_51ba074f.gif [0; hello_html_57031312.gif])

  • Перечислите формулы для арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по группам.

    • (sin (arcsin a)=a, ahello_html_51ba074f.gif [-1;1]; cos(arccos a)=a, ahello_html_51ba074f.gif [-1;1]; tg(arctg a)=a, ahello_html_51ba074f.gif [-hello_html_m692965a4.gif;+hello_html_m692965a4.gif]; ctg(arcctga)=a, ahello_html_51ba074f.gif [-hello_html_m692965a4.gif;+hello_html_m692965a4.gif]).

    • arcsin(sin hello_html_596b83f4.gif)= hello_html_596b83f4.gifhello_html_596b83f4.gifhello_html_51ba074f.gif [-/2; hello_html_57031312.gif/2];arccos(cos hello_html_596b83f4.gif)= hello_html_596b83f4.gifhello_html_596b83f4.gifhello_html_51ba074f.gif [0; hello_html_57031312.gif]; arctg(tg hello_html_596b83f4.gif)= hello_html_596b83f4.gifhello_html_596b83f4.gifhello_html_51ba074f.gif [-hello_html_57031312.gif/2; hello_html_57031312.gif/2]; arcctg(ctg hello_html_596b83f4.gif)= hello_html_596b83f4.gifhello_html_596b83f4.gifhello_html_51ba074f.gif [0; hello_html_57031312.gif].

2. Распределите данные выражения на 2 группы, при решении которых может быть использована та или иная группа формул.

hello_html_53e20434.gif

Значения каких выражений могли бы найти устно? Каких нет? Почему? Какова же цель нашего урока? (Цель: нахождение способа решений выражений синуса, косинуса, тангенса и котангенса, аргументами, которых являются арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.)

II. Формирование алгоритма по решению задач нового типа:

hello_html_m123d0087.gif

III. Решение задач повышенной сложности

Обратные тригонометрические функции имеют широкое применение в математическом анализе. Однако у большинства старшеклассников задачи, связанные с данным видом функций, вызывают значительные затруднения. В основном это связано с тем, что во многих учебниках и учебных пособиях задачам такого вида уделяется слишком мало внимания. И если с задачами на вычисление значений обратных тригонометрических функций учащиеся хоть как-то справляются, то уравнения и неравенства, содержащие такие функции, в большинстве своем ставят ребят в тупик. На самом деле, в этом нет ничего удивительного, ведь практически ни в одном учебнике не объясняется методика решения даже самых простейших уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

Рассмотрим несколько уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции, и решим их с подробным объяснением.    

Пример 1.

Решить уравнение: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

Решение.

Выразим из уравнения обратную тригонометрическую функцию, получим:

arccos (2x + 3) = 5π/6. Теперь воспользуемся определением арккосинуса.

Арккосинусом некоторого числа a, принадлежащего отрезку от -1 до 1, является такой угол y из отрезка от 0 до π, что его косинус и равен числу x. Поэтому можно записать так:

2x + 3 = cos 5π/6.

Распишем правую часть полученного уравнения по формуле приведения:

2x + 3 = cos (π – π/6).

Имеем:

2x + 3 = -cos π/6;

2x + 3 = -√3/2;

2x = -3 – √3/2.

Приведем правую часть к общему знаменателю.

2x = -(6 + √3) / 2;

x = -(6 + √3) / 4.

Ответ: -(6 + √3) / 4.

Пример 2.

Решить уравнение: cos (arccos (4x – 9)) = x2 – 5x + 5.

Решение.

Так как cos (arcсos x) = x при x принадлежащем [-1; 1], то данное уравнение равносильно системе:

{4x – 9 = x2 – 5x + 5,
{-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.

Решим уравнение, входящее в систему.

4x – 9 = x2 – 5x + 5.

Оно квадратное, поэтому получим, что

x2 – 9x + 14 = 0;

D = 81 – 4 · 14 = 25;

x1 = (9 + 5) / 2 = 7;

x2 = (9 – 5) / 2 = 2.

Решим двойное неравенство, входящее в систему.

-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Прибавим ко всем частям 9, будем иметь:

8 ≤ 4x ≤ 10. Разделим каждое число на 4, получим:

2 ≤ x ≤ 2,5.

Теперь объединим полученные ответы. Легко видеть, что корень x = 7 не удовлетворяет ответу неравенства. Поэтому единственным решением уравнения будет x = 2.

Ответ: 2.

Пример 3.

Решить уравнение: tg (arctg (0,5 – x)) = x2 – 4x + 2,5.

Решение.

Так как tg (arctg x) = x при всех действительных числах, то данное уравнение равносильно уравнению:

0,5 – x = x2 – 4x + 2,5.

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта, предварительно приведя его в стандартный вид.

x2 – 3x + 2 = 0;

D = 9 – 4 · 2 = 1;

x1 = (3 + 1) / 2 = 2;

x2 = (3 – 1) / 2 = 1.

Ответ: 1; 2.

Пример 4.

Решить уравнение: arcctg (2x – 1) = arcctg (x2/2 + x/2).

Решение.

Так как arcctg f(x) = arcctg g(x) тогда и только тогда, когда f(x) = g(x), то

2x – 1 = x2/2 + x/2. Решим полученное квадратное уравнение:

4x – 2 = x2 + x;

x2 – 3x + 2 = 0.

По теореме Виета получим, что

x = 1 или x = 2.

Ответ: 1; 2.

Пример 5.

Решить уравнение: arcsin (2x – 15) = arcsin (x2 – 6x – 8).

Решение.

Так как уравнение вида arcsin f(x) = arcsin g(x) равносильно системе

{f(x) = g(x),
{f(x) € [-1; 1],

то исходное уравнение равносильно системе:

{2x – 15 = x2 – 6x + 8,
{-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.

Решим полученную систему:

{x2 – 8x + 7 = 0,
{14 ≤ 2x ≤ 16.

Из первого уравнения по теореме Виета имеем, что x = 1 или x = 7. Решая второе неравенство системы, получаем, что 7 ≤ x ≤ 8. Поэтому в окончательный ответ подходит только корень x = 7.

Ответ: 7.

Пример 6.

Решить уравнение: (arccos x)2 – 6 arccos x + 8 = 0.

Решение.

Пусть arccos x = t, тогда t принадлежит отрезку [0; π] и уравнение принимает вид:

t2 – 6t + 8 = 0. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета, получим, что t = 2 или t = 4.

Так как t = 4 не принадлежит отрезку [0; π], то получим, что t = 2, т.е. arccos x = 2, а значит x = cos 2.

Ответ: cos 2.

Пример 7.

Решить уравнение: (arcsin x)2 + (arccos x)2 = 5π2/36.

Решение.

Воспользуемся равенством arcsin x + arccos x = π/2 и запишем уравнение в виде

(arcsin x)2 + (π/2 – arcsin x)2 = 5π2/36.

Пусть arcsin x = t, тогда t принадлежит отрезку [-π/2; π/2] и уравнение принимает вид:

t2 + (π/2 – t)2 = 5π2/36.

Решим полученное уравнение:

t2 + π2/4 – πt + t2 = 5π2/36;

2t2 – πt + 9π2/36 – 5π2/36 = 0;

2t2 – πt + 4π2/36 = 0;

2t2 – πt + π2/9 = 0. Умножим каждое слагаемое на 9, чтобы избавиться от дробей в уравнении, получим:

18t2 – 9πt + π2 = 0.

Найдем дискриминант и решим полученное уравнение:

D = (-9π)2 – 4 · 18 · π2 = 9π2.

t = (9π – 3π) / 2 · 18 или t = (9π + 3π) / 2 · 18;

t = 6π/36 или t = 12π/36.

После сокращения имеем:

t = π/6 или t = π/3. Тогда

arcsin x = π/6 или arcsin x = π/3.

Таким образом, x = sin π/6 или x = sin π/3. То есть x = 1/2 или x =√3/2.

Ответ: 1/2; √3/2.

Пример 8.

Найти значение выражения 5nx0, где n – количество корней, а x0 – отрицательный корень уравнения 2 arcsin x = - π – (x + 1)2.

Решение.

Так как -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, то -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. Кроме того, (x + 1)2 ≥ 0 при всех действительных x, 
тогда -(x + 1)
2 ≤ 0 и  -π – (x + 1)2 ≤ -π.

Таким образом, уравнение может иметь решение, если обе его части одновременно равны –π , т.е. уравнение равносильно системе:

{2 arcsin x = -π,
{-π – (x + 1)
2 = -π.

Решим полученную систему уравнений:

{arcsin x = -π/2,
{(x + 1)
2 = 0.

Из второго уравнения имеем, что x = -1, соответственно n = 1, тогда 5nx0 = 5 · 1 · (-1) = -5.  

IV. Итог занятия

Автор
Дата добавления 15.06.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров438
Номер материала ДБ-123218
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх