Инфоурок Алгебра КонспектыКонспект занятия по алгебре и началам анализа "Методы решения тригонометрических уравнений"

Конспект занятия по алгебре и началам анализа "Методы решения тригонометрических уравнений"

Скачать материал

Тема «Методы решения тригонометрических уравнений»

 

Данное занятие проводится в 11 классе, учащиеся которого имеют средний уровень обученности.

Основной задачей занятия является подготовка учащихся 11 класса к успешной сдаче выпускного экзамена по математике.

Поэтому образовательная цель подчинена повторению и систематизации знаний учащихся по методам решения тригонометрических уравнений. Воспитательной целью является: формирование умения наблюдать, подмечать закономерности, делать выводы. Развивающая цель: развитие мышления учащихся, навыков самостоятельной деятельности.

По структуре данное занятие относится к типу совершенствования знаний, умений и навыков и, на наш взгляд, оптимально способствует достижению поставленных целей.

В течение занятия преобладают словесный, диалоговый и практический методы обучения.

 

План занятия:

1.     Организационный момент.

2.     Повторение изученного в 10 классе

3.     Решение тригонометрических уравнений предложенным методом.

4.     Выполнение самостоятельной работы (тест)

5.     Подведение итогов занятия.

6.     Задание на дом.

 

Ход занятия:

1.                               Организационный момент.

Взаимное приветствие, сообщение темы занятия, его целей и плана.

 

2.                               Устная работа (беседа с использованием мультимедийного оборудования)

·        Вспомним :

1)    Что называют уравнением?

2)    Что значит решить уравнение?

3)    Какие  тригонометрические уравнения называют простейшими?

4)    Какова общая запись корней соответствующих тригонометрических уравнений?

5)    Частные случаи для уравнений sin t = a и cos t = a, где а =0; 1; -1.

6)    Решите простейшие тригонометрические уравнения:

 

sin x = 1

cos x = -

sin x = -

cos x =

нет решений, т.к.

tg x = -1

ctg x =

 

7)    Какие уравнения называют равносильными?

8)    Придумайте 3 уравнения, равносильных уравнению sin t = 3

[нет решения; cos x = 5, sin x = - 3, sin x = 1000]

9)    Объясните, почему не равносильны уравнения

cos x  tg x = 1    и   sin x = 1?           [изменилась область определения]

 

 

3.           Работа в тетрадях и на доске

 

Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений

 

1.     Метод разложения на множители

1.1.                                                                         (1)

Решение: Перепишем исходное уравнение в виде

Множество решений уравнения (1) есть объединение множеств решений двух уравнений и  решая каждое из этих простейших уравнений, находим, что множество решений уравнения (1) состоит из двух серий решений:  и .

Обе эти серии можно объединить в одну серию .

1.2.

Решение:


2.     Метод замены переменной

 

2.1.                                                 (2)

Решение: Пусть сos x = a, где а . Тогда уравнение (2) будет иметь вид

Ответ: .

2.2. Однородные уравнения

 

Учитель: Как решаются тригонометрические уравнения, однородные относительно sin x и  cos x первой и второй степени?

Учащийся: т.к. sin x и  cos x при одном и том же значении х не обращается в нуль, то каждый член уравнения делится на sin x или  cos x в степени, равной степени данного уравнения решается полученное тригонометрическое уравнение относительно ctg x  или tg x.

а)                                      (3)

Решение:

Разделив обе части равенства (3) на , получим, что справедливо равенство

Ответ:

Однако, данное уравнение (и ему подобные) можно решить и с использованием основных тригонометрических формул. Рассмотрим другой способ решения уравнения (3).

Решение: согласно формулам приведения  и с учётом формул сложения уравнение (3) примет вид:

 

б)                    (4)

Решение: применив основное тригонометрическое тождество, уравнение (4) перепишем:

Пусть tg x= t. Тогда

Ответ:

 

2.3. Замена неизвестного .

 

 Решите уравнение                                    (5)

 

Решение:

Введем новое неизвестное , тогда уравнение (5) превращается в квадратное уравнение с неизвестным t:

Множество всех решений уравнения (5) есть объединение множеств всех решений двух уравнений:

 и .

Каждое из этих уравнений решаем способом, рассмотренным в п. 2.2.

Получим

1) ;

2)  Откуда получаем 2 серии решений

 и .

Ответ: , .

 

2.4.Универсальная подстановка (на проекционном экране формулы, выражающие sin x , cos x, ctg x  и tg x через тангенс половинного угла)

 

Решите уравнение

Решение:

Выражая sin 2x через tg x, получаем уравнение , которое приводится к кубическому уравнению относительно переменной t = tg x:

Замечание. Изложенный метод не всегда удобен, т.к. в ряде случаев он может свести решение тригонометрического уравнения к нахождению корней многочлена довольно высокой степени.

 

3.     Введение вспомогательного угла

Решите уравнение

а)                                     (6)

Решение:

Разделив обе части уравнения (6) на число , перепишем его в виде

Т.к.  и , то уравнение (6) можно записать в виде

Все решения полученного уравнения, а значит, и уравнения (6), задаются формулами  Отсюда получаем, что уравнение имеет одну серию корней

Ответ:

б)                   (7)

Решение:

Применив формулы двойного угла, перепишем уравнение (7) в виде

Разделив обе части полученного в результате преобразований уравнения  на число , перепишем его в виде

Т.к.  и , то уравнение (7) можно записать в виде  Все решения этого уравнения задаются формулами

 и  Откуда получим две серии решений

Ответ:

 

Устно:

Каков план решения уравнений:

·              [применение формул суммы и разности углов

·               тригонометрических функций ]

·                  [понижение кратности углов]

·                          [понижение степени уравнения]

 

 

 

4.     Самостоятельная работа (выполняют на листочках, после сдачи работы проверка на проекционной доске)

 

Решите уравнения

     а)

1)    нет решений,

2)    -

3)   

4)   

б)

 

1)    нет решений,

2)     

3)   

4)   

в)

1)    нет решений,

2)     

3)   

4)                                            [Ответы: а) 4, б) 4 , в) 3]

 

5. Подведение итогов занятия

·        итоги самостоятельной работы

·        вопросы на повторение:

-         какие уравнения называются тригонометрическими?

-         Что является неизвестным в тригонометрических уравнениях?

-         Что значит решить тригонометрическое уравнение?

-         Чем отличается тригонометрическое уравнение от тригонометрического тождества?

-         Сколько решений имеет тригонометрическое уравнение? Почему?

-         Какие методы решения тригонометрических уравнений мы сегодня вспомнили?

 

 

6. Задание на дом

 

№1 Решить уравнение  тремя способами:

-         с помощью формул половинного угла;

-         методом вспомогательного угла;

-         универсальной подстановкой.

 

№2 Выполните исследование функции по плану:

      а) Выразите f(x) через t, если t = sin 2x .

      б) Выразите f(x) через  v, если v = cos 4x.

      в) Вычислите значение f(x), если cos 2x = .

      г) Найдите область значения функции f(x).

      д) Решите уравнение f(x)=.

      е) Сколько корней имеет уравнение  f(x)= 0,1 на отрезке .

 

Решение домашнего задания:

 

№1

1 способ:

 

2 способ:

Разделив обе части уравнения на число , перепишем его в виде

Т.к.  и , то уравнение  можно записать в виде

Все решения полученного уравнения, а значит, и уравнения (6), задаются формулами  Отсюда получаем, что уравнение имеет одну серию корней , где .

Ответ: ,.

3 способ:

Т.к.  и , то уравнение примет вид

.

Ответ:

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Конспект занятия по алгебре и началам анализа "Методы решения тригонометрических уравнений""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Менеджер гостиничного комплекса

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Работа представляет собой конспект занятия, основной задачей которого является подготовка учащихся 11 класса к успешной сдаче выпускного экзамена по математике. Занятие ориентировано на учащихся со средним уровнем математической подготовки. По структуре данное занятие относится к типу совершенствования знаний, умений и навыков и оптимально способствует достижению поставленных целей.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 712 957 материалов в базе

Материал подходит для УМК

  • «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

    «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

    Тема

    § 18. Тригонометрические уравнения

    Больше материалов по этой теме
Скачать материал

Другие материалы

Тесты и решения задач мониторинга по математике в 10 классе 2018 года по Псковской области
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • Тема: § 18. Тригонометрические уравнения
Рейтинг: 5 из 5
  • 15.07.2018
  • 4979
  • 29
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Урок "Повторение. Тригонометрические уравнения"(11 класс)
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • Тема: § 18. Тригонометрические уравнения
Рейтинг: 4 из 5
  • 05.06.2018
  • 2939
  • 142
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Разработка урока по теме: "Тригонометрические уравнения"
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • Тема: § 18. Тригонометрические уравнения
  • 31.05.2018
  • 409
  • 0
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Урок по математике " Бенефис одного уравнения" 10класс
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • Тема: § 18. Тригонометрические уравнения
  • 20.05.2018
  • 626
  • 0
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Урок-практикум в 10 классе по теме "Применение свойства ограниченности функций"
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • Тема: § 18. Тригонометрические уравнения
  • 09.05.2018
  • 1008
  • 13
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Общие методы решений тригонометрических уравнений
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • Тема: § 18. Тригонометрические уравнения
  • 01.05.2018
  • 1081
  • 0
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Учебно-методическое пособие по алгебре "решение уравнений" (10-11 классы)
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • Тема: § 18. Тригонометрические уравнения
Рейтинг: 3 из 5
  • 26.04.2018
  • 4964
  • 90
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Презентация по алгебре на тему: "Решение тригонометрических уравнений" (10 класс)
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • Тема: § 18. Тригонометрические уравнения
  • 04.04.2018
  • 1291
  • 61
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 22.08.2018 538
    • DOCX 254 кбайт
    • Рейтинг: 5 из 5
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Лазарева Светлана Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Лазарева Светлана Викторовна
    Лазарева Светлана Викторовна
    • На сайте: 5 лет и 10 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 3295
    • Всего материалов: 4

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Мини-курс

Сельский и индустриальный туризм

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Границы и взаимодействия культур

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Психология социальных сетей: влияние на человека и общество

2 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе