Конспект занятия Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме.

Конспект урока

Дисциплина: Математика

Тема: Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме.

Цели:

Образовательные: расширить понятие числа, ввести понятие комплексного числа, действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

Воспитательные: прививать интерес к математике, ознакомить учащихся с историей развития комплексных чисел.

Развивающие: развивать творческое мышление, пространственное мышление, научить применять теоретические знания при решении практических задач, формировать активность и самостоятельность при работе в группах.

Используемые технологии и методы: 1) дифференцированная технология, 2) личностно-ориентированная технология, 3) проблемный диалог, 4) групповая технология, 5) информационно- коммуникационные технологии, 6)информационно-иллюстративный метод, 7) технология практико-ориентированного обучения

Вид занятия: усвоение новых знаний.

План занятия:

1.     Организационный момент.

2.     Проверка домашнего задания.

3.     Определение темы занятия и постановка целей.

4.     Изучение нового материала.

5.     Закрепление нового материала.

6.     Контроль и самопроверка знаний.

7.     Рефлексия.

8.     Домашнее задание.

Ход занятия:

1.     Организационный момент.

Приветствие студентов, перекличка и отметка отсутствующих в журнале.

2.     Проверка домашнего задания.

Группа делится по два варианта, меняются тетрадями и сверяют правильность выполнения домашней работы, а один студент выносит решение на доску.

3.     Определение темы занятия и постановка целей.

«Комплексные числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием». Джон фон Нейман

Скажите, а как вы понимаете данное высказывание?

Перед нами открывается новое множество чисел. Сформулируйте тему нашего занятия.

4.     Изучение нового материала.

После того как мы определили тему занятия, давайте послушаем краткую историю возникновения комплексных чисел. Выступает студент с сообщением (Приложение 1, примерный текст сообщения). Остальные делают записи в тетрадях.

После того как все прослушали сообщение выступающего, предлагается ответить на вопросы:

1.     В каком веке появилась необходимость извлечение квадратного корня из отрицательного числа?

2.     Кто ввел в обиход понятие «мнимые» числа?

3.     Кто изменил название «мнимые числа» на «комплексные»?

Разделимся на 4 группы.

Запишем в тетрадях:

Определение: комплексными числами называются числа вида , где а и b- действительные числа, а число i, определяемое равенством i² = –1, называется мнимой единицей.

Запись комплексного числа в виде , называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Определение: комплексное число  называется комплексно-сопряженным с числом  и обозначается 

Определение: Модулем комплексного числа , называется число 

Правило сложения:

Придумайте пример к этому правилу (задание 1 группе)

(3+5i)+(6+3i)=9+8i

 Правило вычитания:

Придумайте пример к этому правилу (задание 2 группе)

 (4+2i)–(1+5i)=3–3i

Правило умножения:

Придумайте пример к этому правилу (задание 3 группе) (2+5i)·(4+2i)=8+4i+20i+10i²=8+24i–10=–2+24i

Правило деления:

Придумайте пример к этому правилу (задание 4 группе)

Результаты выносят представители групп на доску, а остальные записывают в тетрадях. Все рассаживаются по своим местам.

Теперь разберем еще один пример:

Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел

9+2ix+4iy=10i+5x–6y

9+(2x+4y)i=5x–6y+10i

Решаем методом Крамера:

∆х=96

∆у=32

х=3, у=1

Решить самостоятельно на оценку (первые 3 человека)

1.     2ix+3iy+17=3x+2y+18i

2.     5x–2y+(x+y)i=4+5i

5.     Закрепление нового материала.

Тренировочные упражнения №1 (Приложение 2).

Выполняется у доски, желающие делают самостоятельно на оценку, в конце пары сдаются тетради на проверку.

6.     Контроль и самопроверка знаний.

Самостоятельная работа

Раздаются карточки с заданиями для самостоятельной работы.

6 вариантов (Приложение 3)

7.     Рефлексия.

О каком множестве чисел вы сегодня узнали?

Кто ввел понятие «комплексные числа»?

Можно ли вычислить корень из отрицательного числа?

8.     Домашнее задание.

1.   Найти модуль комплексного числа: 

2.   Решить уравнение:

3.    Выполнить деление: 

Приложение 1.

Примерное сообщение студента

История развития числа уходит корнями в древние времена. В VIII в. Ученые знали, что у положительного числа существует два квадратных корня: один –положительное число, другой – отрицательное, но считали, что из отрицательных чисел нельзя извлекать квадратный корень.

В XVI в. В связи с изучением решений кубических уравнений возникла необходимость извлечения квадратных корней из отрицательных чисел. В 1545 г. итальянский математик Дж. Кардано (1501-1576) опубликовал работу «Великое искусство», в которой привел формулу корней кубического уравнения, для которой понадобились числа новой природы, которые он назвал «чисто отрицательными» или «софистически отрицательными» и считал их бесполезными.

Однако, уже в 1572 г. в книге другого итальянского математика Р. Бомбелли (1530-1572) были изложены правила арифметических действий над комплексными числами в том виде, в каком они известны и нам. В те времена комплексные числа называли мнимыми. Такое название ввел в обиход Р.Декарт, а обозначать буквой i предложил в 1777 г. Л.Эйлер. В математической литературе символ i широко стал использоваться после публикации в 1831 г. работы немецкого математика К. Гаусса (1777-1855) «Теория биквадратных остатков». В этой работе Гаусс заменил название «мнимых чисел» на комплексные и окончательно закрепил для науки геометрическую интерпретацию комплексного числа как точки координатной плоскости. Позднее комплексные числа также стали изображать с помощью векторов на координатной плоскости.

Так же значительный вклад в развитие теории функций комплексной переменной внести видные отечественные математики М.В. Келдыш, М.А. Лаврентьев, Н.Н. Боголюбов и др.

Приложение 2.

Тренировочные упражнения

1.     Найти действительные числа х и у, если:

1.     6х+3уi=4+2i

2.     х-3уi=-5-i

3.     х-(4-у)i=-i

4.     х-(х+у)i=3+2i

5.     (х+у)+(х-у)i=8+2i

2.     Найти сумму комплексных чисел:

1.     (1+i)+(-1-i)

2.    

3.    

4.     (-2i)+()

5.     (-4+3i)+(4-3i)

3.     Найти произведение комплексных чисел:

1.     (-5+i)(-6-3)

2.    

3.    

4.     (5-3i)(2-5i)

5.     (4+7i)(2-i)

4.     Найти разность комплексных чисел:

1) 

2) ()-(2)

3) (7+2i)-(3+2i)

4) (4+i)-(-5+i)

5) (4+3i)-(4-3)

5. Найти частное двух комплексных чисел:

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

6. Найти модуль и главное значение аргумента:

1) z=i 2) z=-5i 3) z=-1+i 4) z=2-2i 5) z=3 6) z=-3 7) z=3i 8) z=-3i

9) z=-2-2i 10) z=1+i 11) z=1-i 12) z=i 13) z=-1+i

14) z=i

7. Решить уравнение:

1) (2+3i)+z=-4+i 2) (-1+2i)+z=5 -i

3)  4) 6-i=z+(5-)i

Приложение 3.

Самостоятельная работа

Вариант № 1

1.     Даны комплексные числа: .

Вычислить: а) , б), в), г) , д), е)

2.     Упростить выражение:

1.     (a+2bi)+(a-3bi)

2.     (2a+3bi)(2a-3bi)

3.     Найти частное комплексных чисел:

1.    

2.    

Вариант № 2

1.     Даны комплексные числа: .

Вычислить: а) , б), в), г) , д), е)

2.     Упростить выражение:

1.     (4a+5bi)+(-3a-5bi)

2.     (2a+3bi)(3b+2ai)

3.     Найти частное комплексных чисел:

1.    

2.    

Вариант № 3

1.     Даны комплексные числа: .

Вычислить: а) , б), в), г) , д), е)

2.     Упростить выражение:

1.     (a+5bi) (-3a-bi)

2.     (4a+3bi)(5b+ai)

3.     Найти частное комплексных чисел:

1.    

2.    

Вариант № 4

1.     Даны комплексные числа: .

Вычислить: а) , б), в), г) , д), е)

2.     Упростить выражение:

1.     (4-3i)-(1+2i)(2-3i)

2.     (1+i)(2-3i)

3.     Найти частное комплексных чисел:

1.    

2.    

Вариант № 5

1.     Даны комплексные числа: .

Вычислить: а) , б), в), г) , д), е)

2.     Упростить выражение:

1.     (1-2i)- (5+7i)(2-i)

2.     (-4+2i)(5+i)

3.     Найти частное комплексных чисел:

1.    

2.    

Вариант № 6

1.     Даны комплексные числа: .

Вычислить: а) , б), в), г) , д), е)

2.     Упростить выражение:

1.     (2-i)(2+i)-(3-2i)+7

2.     (1+5i)(2-i)

3.     Найти частное комплексных чисел:

1.    

2.