352313
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 6.900 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.500 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 50%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаКонспектыКонспект занятия Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме.

Конспект занятия Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме.

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Конспект урока

Дисциплина: Математика

Тема: Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме.

Цели:

Образовательные: расширить понятие числа, ввести понятие комплексного числа, действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

Воспитательные: прививать интерес к математике, ознакомить учащихся с историей развития комплексных чисел.

Развивающие: развивать творческое мышление, пространственное мышление, научить применять теоретические знания при решении практических задач, формировать активность и самостоятельность при работе в группах.

Используемые технологии и методы: 1) дифференцированная технология, 2) личностно-ориентированная технология, 3) проблемный диалог, 4) групповая технология, 5) информационно- коммуникационные технологии, 6)информационно-иллюстративный метод, 7) технология практико-ориентированного обучения

Вид занятия: усвоение новых знаний.

План занятия:

  1. Организационный момент.

  2. Проверка домашнего задания.

  3. Определение темы занятия и постановка целей.

  4. Изучение нового материала.

  5. Закрепление нового материала.

  6. Контроль и самопроверка знаний.

  7. Рефлексия.

  8. Домашнее задание.

Ход занятия:

  1. Организационный момент.

Приветствие студентов, перекличка и отметка отсутствующих в журнале.

  1. Проверка домашнего задания.

Группа делится по два варианта, меняются тетрадями и сверяют правильность выполнения домашней работы, а один студент выносит решение на доску.

  1. Определение темы занятия и постановка целей.

«Комплексные числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием». Джон фон Нейман

Скажите, а как вы понимаете данное высказывание?

Перед нами открывается новое множество чисел. Сформулируйте тему нашего занятия.

  1. Изучение нового материала.

После того как мы определили тему занятия, давайте послушаем краткую историю возникновения комплексных чисел. Выступает студент с сообщением (Приложение 1, примерный текст сообщения). Остальные делают записи в тетрадях.

После того как все прослушали сообщение выступающего, предлагается ответить на вопросы:

  1. В каком веке появилась необходимость извлечение квадратного корня из отрицательного числа?

  2. Кто ввел в обиход понятие «мнимые» числа?

  3. Кто изменил название «мнимые числа» на «комплексные»?

Разделимся на 4 группы.

Запишем в тетрадях:

Определение: комплексными числами называются числа вида , где а и b- действительные числа, а число i, определяемое равенством = –1, называется мнимой единицей.

Запись комплексного числа в виде , называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Определение: комплексное число  называется комплексно-сопряженным с числом  и обозначается 

Определение: Модулем комплексного числа , называется число 

Правило сложения:



Придумайте пример к этому правилу (задание 1 группе)

(3+5i)+(6+3i)=9+8i

Правило вычитания:



Придумайте пример к этому правилу (задание 2 группе)

(4+2i)–(1+5i)=3–3i

Правило умножения:



Придумайте пример к этому правилу (задание 3 группе) (2+5i)·(4+2i)=8+4i+20i+10i²=8+24i–10=–2+24i

Правило деления:



Придумайте пример к этому правилу (задание 4 группе)



Результаты выносят представители групп на доску, а остальные записывают в тетрадях. Все рассаживаются по своим местам.

Теперь разберем еще один пример:

Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел

9+2ix+4iy=10i+5x–6y

9+(2x+4y)i=5x–6y+10i



Решаем методом Крамера:

х=96

у=32

х=3, у=1

Решить самостоятельно на оценку (первые 3 человека)

  1. 2ix+3iy+17=3x+2y+18i

  2. 5x2y+(x+y)i=4+5i

  1. Закрепление нового материала.

Тренировочные упражнения №1 (Приложение 2).

Выполняется у доски, желающие делают самостоятельно на оценку, в конце пары сдаются тетради на проверку.

  1. Контроль и самопроверка знаний.

Самостоятельная работа

Раздаются карточки с заданиями для самостоятельной работы.

6 вариантов (Приложение 3)



  1. Рефлексия.

О каком множестве чисел вы сегодня узнали?

Кто ввел понятие «комплексные числа»?

Можно ли вычислить корень из отрицательного числа?

  1. Домашнее задание.

  1. Найти модуль комплексного числа: 

  2. Решить уравнение:

  3. Выполнить деление: 


























Приложение 1.

Примерное сообщение студента

История развития числа уходит корнями в древние времена. В VIII в. Ученые знали, что у положительного числа существует два квадратных корня: один –положительное число, другой – отрицательное, но считали, что из отрицательных чисел нельзя извлекать квадратный корень.

В XVI в. В связи с изучением решений кубических уравнений возникла необходимость извлечения квадратных корней из отрицательных чисел. В 1545 г. итальянский математик Дж. Кардано (1501-1576) опубликовал работу «Великое искусство», в которой привел формулу корней кубического уравнения, для которой понадобились числа новой природы, которые он назвал «чисто отрицательными» или «софистически отрицательными» и считал их бесполезными.

Однако, уже в 1572 г. в книге другого итальянского математика Р. Бомбелли (1530-1572) были изложены правила арифметических действий над комплексными числами в том виде, в каком они известны и нам. В те времена комплексные числа называли мнимыми. Такое название ввел в обиход Р.Декарт, а обозначать буквой i предложил в 1777 г. Л.Эйлер. В математической литературе символ i широко стал использоваться после публикации в 1831 г. работы немецкого математика К. Гаусса (1777-1855) «Теория биквадратных остатков». В этой работе Гаусс заменил название «мнимых чисел» на комплексные и окончательно закрепил для науки геометрическую интерпретацию комплексного числа как точки координатной плоскости. Позднее комплексные числа также стали изображать с помощью векторов на координатной плоскости.

Так же значительный вклад в развитие теории функций комплексной переменной внести видные отечественные математики М.В. Келдыш, М.А. Лаврентьев, Н.Н. Боголюбов и др.



















Приложение 2.

Тренировочные упражнения

  1. Найти действительные числа х и у, если:

  1. 6х+3уi=4+2i

  2. х-3уi=-5-hello_html_79727192.gifi

  3. х-(4-у)i=-hello_html_m7942bcc5.gifi

  4. х-(х+у)i=3+2i

  5. (х+у)+(х-у)i=8+2i

  1. Найти сумму комплексных чисел:

  1. (1+i)+(-1-i)

  2. hello_html_5589ee7c.gif

  3. hello_html_45b73b8d.gif

  4. (hello_html_m18ef775f.gif-2i)+(hello_html_6c16c278.gif)

  5. (-4+3i)+(4-3i)

  1. Найти произведение комплексных чисел:

  1. (-5+hello_html_79727192.gifi)(-6-3hello_html_me5f6aea.gif)

  2. hello_html_342b011f.gif

  3. hello_html_m4cbb350b.gif

  4. (5-3i)(2-5i)

  5. (4+7i)(2-i)

  1. Найти разность комплексных чисел:

1) hello_html_m6bbac218.gif

2) (hello_html_m157bee4b.gif)-(2hello_html_m75fa619d.gif)

3) (7+2i)-(3+2i)

4) (4+i)-(-5+i)

5) (4+3i)-(4-3hello_html_184c3f24.gif)

5. Найти частное двух комплексных чисел:

1) hello_html_51b29e5e.gif

2) hello_html_372708cd.gif

3) hello_html_m42eaa7c3.gif

4) hello_html_m388d30cb.gif

5) hello_html_56818ea8.gif

6. Найти модуль и главное значение аргумента:

1) z=i 2) z=-5i 3) z=-1+i 4) z=2-2i 5) z=3 6) z=-3 7) z=3i 8) z=-3i

9) z=-2-2i 10) z=1+hello_html_m18ef775f.gifi 11) z=1-hello_html_m18ef775f.gifi 12) z=hello_html_m5a6abff1.gifi 13) z=-1+i

14) z=hello_html_m5cb8f1d7.gifi

7. Решить уравнение:

1) (2+3i)+z=-4+i 2) (-1+2i)+z=5 -hello_html_m40c8ff8.gifi

3) hello_html_m40291cd0.gif 4) 6-i=z+(5-hello_html_79727192.gif)i

























Приложение 3.

Самостоятельная работа

Вариант № 1

  1. Даны комплексные числа: hello_html_m9c2780d.gif.

Вычислить: а) hello_html_m481d186f.gif, б)hello_html_3811a7e5.gif, в)hello_html_m2a1f6068.gif, г) hello_html_33c296fa.gif, д)hello_html_f613712.gif, е)hello_html_12a986ed.gif

  1. Упростить выражение:

  1. (a+2bi)+(a-3bi)

  2. (2a+3bi)(2a-3bi)

  1. Найти частное комплексных чисел:

  1. hello_html_5aec5400.gif

  2. hello_html_m5362c585.gif

Вариант № 2

  1. Даны комплексные числа: hello_html_m45582ae3.gif.

Вычислить: а) hello_html_m481d186f.gif, б)hello_html_3811a7e5.gif, в)hello_html_m2a1f6068.gif, г) hello_html_33c296fa.gif, д)hello_html_f613712.gif, е)hello_html_12a986ed.gif

  1. Упростить выражение:

  1. (4a+5bi)+(-3a-5bi)

  2. (2a+3bi)(3b+2ai)

  1. Найти частное комплексных чисел:

  1. hello_html_3a3cbde0.gif

  2. hello_html_m670c5e8c.gif

Вариант № 3

  1. Даны комплексные числа: hello_html_2945fc8b.gif.

Вычислить: а) hello_html_m481d186f.gif, б)hello_html_3811a7e5.gif, в)hello_html_m2a1f6068.gif, г) hello_html_33c296fa.gif, д)hello_html_f613712.gif, е)hello_html_12a986ed.gif

  1. Упростить выражение:

  1. (a+5bi) (-3a-bi)

  2. (4a+3bi)(5b+ai)

  1. Найти частное комплексных чисел:

  1. hello_html_m5c34d639.gif

  2. hello_html_4f831b3.gif







Вариант № 4

  1. Даны комплексные числа: hello_html_4fd8ebda.gif.

Вычислить: а) hello_html_m481d186f.gif, б)hello_html_3811a7e5.gif, в)hello_html_m2a1f6068.gif, г) hello_html_33c296fa.gif, д)hello_html_f613712.gif, е)hello_html_12a986ed.gif

  1. Упростить выражение:

  1. (4-3i)-(1+2i)(2-3i)

  2. (1+i)(2-3i)

  1. Найти частное комплексных чисел:

  1. hello_html_m51e1514.gif

  2. hello_html_58c1eeab.gif

Вариант № 5

  1. Даны комплексные числа: hello_html_m4ce81843.gif.

Вычислить: а) hello_html_m481d186f.gif, б)hello_html_3811a7e5.gif, в)hello_html_m2a1f6068.gif, г) hello_html_33c296fa.gif, д)hello_html_f613712.gif, е)hello_html_12a986ed.gif

  1. Упростить выражение:

  1. (1-2i)- (5+7i)(2-i)

  2. (-4+2i)(5+i)

  1. Найти частное комплексных чисел:

  1. hello_html_m78a1b7d4.gif

  2. hello_html_m4050f45b.gif

Вариант № 6

  1. Даны комплексные числа: hello_html_m2e399239.gif.

Вычислить: а) hello_html_m481d186f.gif, б)hello_html_3811a7e5.gif, в)hello_html_m2a1f6068.gif, г) hello_html_33c296fa.gif, д)hello_html_f613712.gif, е)hello_html_12a986ed.gif

  1. Упростить выражение:

  1. (2-i)(2+i)-(3-2i)+7

  2. (1+5i)(2-i)

  1. Найти частное комплексных чисел:

  1. hello_html_2cccc2ea.gif

  2. hello_html_3cc053b8.gif



Общая информация

Номер материала: ДБ-257136

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.