Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект заняття "Логарифмічна функція"

Конспект заняття "Логарифмічна функція"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов


КВНЗ «Донецький педагогічний коледж»


Циклова комісія фізико-математичних дисциплін



Конспект заняття з математики


hello_html_m7598a68b.jpghello_html_2a3e5eab.gifhello_html_m2de4f459.jpg


hello_html_m3d8fa422.png

Викладач: Третьякова І.С.





2012

































Тема: Логарифмічна функція, її властивості та графіки


Мета:

  • дати визначення поняттю логарифмічна функція, формувати вміння будувати графік логарифмічної функції, досліджувати її властивості, ознайомити студентів з використанням логарифмічної функції при вивченні явищ навколишнього світу;

  • розвивати творче мислення, математичне мовлення, функціональне мислення;

  • виховувати вміння працювати в парі, почуття відповідальності, культуру спілкування.

Вид заняття. практичне

Обладнання: індивідуальні картки «Логарифмічна функція», тестові завдання, таблиці, комп’ютер, слайди, виконані в Power Point.


Перебіг заняття


1. Організація початку заняття

2. Актуалізація опорних знань студентів, мотивація навчальної діяльності

2.1 Фронтальне опитування

2.2 Повторення правил

2.3 Усні обчислення

3.Повідомлення теми і завдань заняття

3.1 Повідомлення студентів з теми «Використання логарифмів та логарифмічної функції у різних галузях науки»

4. Первинне сприйняття та усвідомлення нового матеріалу

4.1 Робота в парах

4.2. Перевірка роботи

4.3. Основні властивості логарифмічної функції

5. Закріплення та осмислення вивченого матеріалу

6. Самостійна робота (тестування)

7. Рефлексія , підсумок заняття, оцінювання студентів

8. Домашнє завдання


Література


1. Шкіль М.І. та ін.. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 – 11 кл. загальноосвіт.навч.закладів / М.І. Шкіль, З.І. Слєпкань, О.С. Добинчук. – К.: Зодіак-ЕКО, 2002.

2. Бевз Г.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 – 11кл. загальноосвіт.навч.закладів. - К.: Освіта, 2006.

3. А.М. Колмогоров, О.М. Абрамов та ін. Алгебра та початки аналізу: Учеб. для 10-11 кл. серед шк. – М.: Просвещение, 1993.

4. Математика: Підручник/ О.М. Афанасьєва, Я.С. Бродський, О.Л. Павлов, А.К. Сліпенко. – К.: Вища шк., 2001. – 447 с.

5. Роганін О.М. Алгебра і початки аналізу: 10 клас: Плани-конспекти уроків. - Х.: Світ дитинства, 2002.- 256с.

6. Чекова А.М. Алгебра в таблицях. 7 – 11 класи. Навч. посібник. Науково-методичний центртм, 2003. – 168 с.

7. Пособие по математике для поступающих в вузы: Учеб. Пособ. Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х.; под ред. Г.Н. Яковлева. – Мю: Наука, 1985. – 480с.

8. Генденштейн Л.Э., Ершова А.П. Математика. Наглядный справочник с примерами для школьников и абитуриентов. – Х.: «Гимназия», - 2002

Перебіг заняття

1. Організація початку заняття

У кожного на партах лежать картки самооцінювання, протягом заняття у відповідний стовпчик студент ставить певний бал, а на прикінці заняття отримує відповідну оцінку.

.


Прізвище, ім’я студента______________________________група__________________

Усна відповідь


(2б)

Доповнення

  


(1б)

Розв'язування біля дошки  


(4б)

Розв'язання індивідуальних завдань

(5б)

Тести

 

 

(5б)







2. Актуалізація опорних знань студентів, мотивація навчальної діяльності

- Сьогодні на занятті ми будемо говорити про такі речі:

hello_html_46756f7f.jpghello_html_m5598d24e.jpghello_html_m2de4f459.jpg




hello_html_6018e1c1.jpghello_html_m234a71d8.jpg

hello_html_764d4d45.jpg






Я розумію ваше здивування. Виникають запитання:

  • Що об’єднує ці малюнки?

  • Чому вони присутні у нас на уроці?

  • Як їх можна пов’язати з темами, що ми вивчаємо, і з математикою взагалі?

Але, щоб все це пояснити, та докорінно у всьому розібратися, давайте пригадаємо основний матеріал, який ми вивчаємо.


2.1 Фронтальне опитування


  • Дайте визначення логарифма числа.

  • Назвіть властивості логарифма.

  • Назвіть основну логарифмічну тотожність.

Назвіть властивості логарифмів.

  • Яку функцію називають оборотною? Функція f, яка має обернену, називається оборотною.

  • Назвіть достатню умову існування оберненої функції. Достатньою умовою існування оберненої функції для даної функції є її монотонність, тобто зростання або спадання на всій області визначення.

hello_html_22d5e05c.gif

2.2 Повторення правил

Перевірка знань за картками.

hello_html_m5e90d656.png


2.3 Усні обчислення (робота з таблицею)

hello_html_a7843ad.png


3.Повідомлення теми і завдань заняття

- Під час вивчення теми «Логарифмічна функція» ви познайомитеся з графіком та властивостями логарифмічної функції.


hello_html_m15f5166e.gif


hello_html_m6dd5351b.gif


hello_html_m4fd21281.gif


3.2 Повідомлення студентів з теми «Використання логарифмів та логарифмічної функції у різних галузях науки» (див. Додаток А)


4. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу


4.1 Робота в парах (5-7хв.) Виконання завдань

(Додаток Б)

hello_html_3eca2d2c.gif


hello_html_m541408af.gif


4.2. Перевірка роботи


hello_html_m44104d24.gif


hello_html_mbe6939c.gif

    • До якого висновку ви прийшли?

hello_html_2931e1b7.gif

Визначення 1. Функція hello_html_29e957.png, hello_html_2b8d6883.png

 називається логарифмічною функцією.

Логарифмічна функція hello_html_29e957.png є оберненою стосовно показникової функції hello_html_6dc55eba.png hello_html_m30f0f2d0.png. Тому їхні графіки симетричні щодо бісектриси I й III координатних кутів.

hello_html_3e94842c.png

hello_html_m87e8f87.gif





4.3. Основні властивості логарифмічної функції

1)    Область визначення: hello_html_4156a5c0.png.

2)    Область значень функції: hello_html_2eb5cc2.png.

3)    Функція ні парна, ні непарна.

4)  Функція hello_html_29e957.png, hello_html_m6d334442.png зростає на проміжку hello_html_5755e918.png  При цьому, логарифми чисел, більші одиниці, додатні, а менші одиниці - від’ємні.

5)  Функція hello_html_29e957.png, hello_html_63a30af6.png спадає на проміжку hello_html_5755e918.png. При цьому, логарифми чисел, менші одиниці, додатні, а більші одиниці - від’ємні.

6) Графік проходить через т (1,0)

7) х=0 – асимптота.

hello_html_5fea5104.gif





5. Закріплення та осмислення вивченого матеріалу

5.1. Знайти область визначення виразу.

hello_html_78c9629d.gif

hello_html_4c0023a9.gif

hello_html_m65a0c728.gif

5.2. Застосовуючи властивості логарифмічної функції, необхідно визначити що більше:

(підручник 1 № 215)

hello_html_m127fe2eb.gif

hello_html_2a56cdf4.gif



5.3. Зобразити схематично графік функції:

hello_html_m559e30e7.gif

hello_html_626bf055.gif

5.4. Побудувати графік функцій:

hello_html_m28ae0e88.gif











6. Самостійна робота (тестування)

(див. Додаток В)

hello_html_m3e95632.gif

- Зробіть перевірку та прочитайте отримане слово.

hello_html_5ca24e3.gif


7. Рефлексія (підсумок заняття, оцінювання студентів)

  • Дати визначення логарифмічної функції.

  • Назвати область визначення та область значень логарифмічної функції.

  • Коли логарифмічна функція зростає, коли спадає?

  • Навести приклади логарифмічної функції.

hello_html_310e54d7.gifhello_html_2d35faf2.gif

8. Домашнє завдання

[1] § 22 № 212, 215, 224 розв’язати, вивчити властивості логарифмічної функції



























Додаток А


Приклади доповідей студентів з теми «Застосування логарифмів та логарифмічної функції у різних галузях науки»


МАТЕМАТИКА


Логарифм – з грецької означає “логос”- відношення і “аритмос”- число.

Його винахід пов’язаний з двома постатями: швейцарцем Іобстом Бюргі(1552-1632), знаним годинникарем і майстром майстром астрономічних інструментів, і шотландцем Джоном Непером (1550-1617), який теж не був математиком за професією, астрономія була його «хобі». А Бюргі працював разом з астрономом Іоганном Кеплером. Саме величезний обсяг необхідних в астрономії обчислень і спонукав Бюргі і Непера шукати шляхів для їх спрощення. 20 років присвятив Непер своїм логарифмічним таблицям, аби, за його словами, «позбутися нудних і тяжких обчислень, відлякують зазвичай багатьох від вивчення математики». Обидва автори прийшли до своїх таблиць незалежно один від одного. Вони склали таблиці так званих натуральних логарифмів. Бюргі працював над таблицями 8 років і видав їх у 1620 році під назвою «Арифметична і геометрична таблиця прогресії». Проте його таблиці не отримали широкого поширення, бо Непер видав свій «Опис дивовижної таблиці логарифмів» на 6 років раніше. Тому і визнали число e неперовим числом.

Ідея десяткових логарифмів виникла у професора лондонського коледжу Генрі Брігса(1561-1630) після ознайомлення з таблицями Непера. Він двічі побував у Непера, здружився з ним і в процесі спільних занять обидва розробили нову, практично зручнішу десяткову систему, засновану на порівнянні прогресії.

Брігс взявся розробити велику таблицю десяткових логарифмів. Уже в 1617 р. він опублікував восьмизначні таблиці логарифмів від 1 до 103, а в 1624 році спромігся видати «Логарифмічну арифметику», що містила чотирнадцятизначні таблиці логарифмів для чисел 1-20000 і 90000-100000.

Понад три з половиною сторіччя з тих пір, як у 1614 році були опубліковані Непером перші логарифмічні таблиці, вони вірою і правдою служили астрономам і геодезистам, інженерам і морякам, скорочуючи час на обчислення і, як сказав французький вчений Лаплас (1749-1827), продовжуючи життя обчислювачам.

Ще донедавна важко було уявити собі інженера без логарифмічної лінійки в кишені. Винайдена в 1624 році англійським математиком Едмундом Гунтером (1581-1626), вона дозволяла швидко одержувати відповідь з достатньою для інженера точністю до трьох значущих цифр. І хоч тепер її витіснили калькулятори і комп’ютери, проте можна сміливо сказати, що без логарифмічної лінійки не було і перших комп’ютерів.

hello_html_7310a6ac.png

Лhello_html_7310a6ac.pngогарифмічна спіраль – це крива, яка перетинає всі кути, що виходять із однієї точки О, під одним і тим же кутом α.

Рівняння (в полярних координатах) має вигляд: hello_html_m41d3e7a1.gif.


Таку криву описує рухома точка, відстань від полюса якої росте в геометричній прогресії, а кут, що описується її радіусом-вектором, - в арифметичній.

Характерні особливості логарифмічної спіралі:

  • Має нескінченну кількість витків як при розкручуванні так і при скручуванні;

  • Не проходить через свій полюс;

  • Її називають рівнокутною спіраллю;

  • В будь-якій точці спіралі кут між дотичною до неї та її радіус-вектором зберігає постійне значення;

  • При різних перетвореннях (гомотетії, повороті) вона залишається незмінною.

  • Має широке застосування в технічних приладах.

  • Властивості цієї кривої так вразили Якоба Бернуллі, що він назвав її spira mirabilis (чудова спіраль) і заповів зобразити її на його могилі з написом Eatemmutata resurgo (перетворювана, відроджуюся знову).


ФІЗИКА


Фізика завжди вимагає математичних розрахунків, тому знання математики у фізиці завжди необхідне. Ось декілька формул, де використовуються логарифми.


  • Робота, яку виконує газ при ізотермічному процесі

hello_html_4ed2dc5f.gif

m – маса газу;

µ - молярна маса газу;

R – універсальна газова стала;

Т – температура за Кельвіном;

V - об’єм газу;

P – тиск газу.

  • ємність циліндричного конденсатора:

hello_html_m4b1413e6.gif

L – висота циліндра;

R, r – радіуси внутрішнього та зовнішнього циліндра;

e – техн. характеристики конденсатора;

  • Ємність дільниці одиничної довжини двох провідної лінії

hello_html_m1db3c57e.gif

r – радіус провідника

  • Зв’язок між сталою розпаду, середнім часом життя і періодом піврозпаду Т

hello_html_m2870e92a.gif

t – середній час життя;

Т – період піврозпаду;

  • Рівень інтенсивності звуку

hello_html_m1d6250ec.gif

hello_html_m1aa002df.gif - умовно нульовий рівень

  • Ентропія

S=kln

К – стала Больцмана;

Ω - термодинамічна імовірність ;

S – ентропія;


  • Зміна ентропії при ізотермічному стисканні газу

hello_html_m796a374c.gif

R – універсальна газова стала

µ - молярна маса газу

m – маса газу;

V – об’єм газу

У техніці часто застосовуються ножі, що обертаються. Сила, з якою вони тиснуть на матеріал, що розрізається, залежить від кута розрізання, тобто кута між лезом ножа і напрямом швидкості обертання. Для того, щоб тиск був сталим, потрібно щоб залишався сталим кут розрізання, а це буде у тому випадку, коли леза ножів будуть окреслені по дузі логарифмічної спіралі. Завдяки цьому лезо ножа сточується рівномірно.


Якщо літак буде летіти, дотримуючись весь час одного курсу, тобто перетинаючи всі меридіани під одним і тим самим кутом, то його шлях зобразиться на карті логарифмічною спіраллю.


hello_html_20ec6ae2.jpgУ гідротехніці по логарифмічній спіралі вигинають трубу, що підводить потік води до турбіни. Завдяки такій формі труби втрати енергії при зміні напряму течії в трубі виявляються мінімальними і напір води використовується з максимальною продуктивністю.


ХІМІЯ


Розчини в природі можуть мати різну реакцію середовища: кислу, лужну, нейтральну,що характеризується різною концентрацією йонів Гідрогену С( Н+).Для зручності датським біохіміком С.Сьоренсеном у 1909 році було введено термін «водневий показник» (рН), –це значно спростило роботу багатьом поколінням хіміків.

Водневий показник - це від'ємний десятковий логарифм концентрації йонів Гідрогену

рН= - lg С( Н+)

Значення рН може змінюватись від 1 до 14

Наприклад, С( Н+)=10-7,рН=7;

С( Н+)=10-2 ,рН=2.

У нейтральному – рН=7.

У кислому середовищі рН<7, у лужному рН>7,


Показник рН в біологічних розчинах



Рідина

рН

Рідина

рН

Шлунковий сік

1,4

Сеча

6,0

Сік лимона

2,1

Слина,молоко

7,4-8

Сік яблук "Антонівка"

2,5

Сльоза

7,0

Томатний сік

4,1

Кров

7,4

З таблиці видно, що різні розчини в людському організмі мають різний рН, його відхилення від норми спричиняє захворювання і навіть загибель організму. Людям з підвищеною кислотністю шлункового соку рекомендується пити мінеральну воду з меншою концентрацією йонів Н+ (тобто з вищим рН),а зі зниженою кислотністю - "кислішу" воду(з нижчим рН).

Використовуючи різні засоби особистої гігієни, креми для шкіри, ліки, необхідно враховувати значення рН. Більшість рідких косметичних засобів має рН 5,5. Відповідний вміст у них катіонів Н+ оптимальний для нашої шкіри.

hello_html_m2d6909f8.jpghello_html_758167e5.jpghello_html_355761ed.jpg

У сільському господарстві кислотність ґрунтового розчину є одним із головних чинників, що впливають на врожай. Так, картопля найкраще росте на слабокислих ґрунтах (рН≈5), а буряк на нейтральних (рН≈7).



БІОЛОГІЯ


Можна сказати, що спіраль є математичним символом співвідношення форми і зростання.

Великий німецький поет Йоганн-Вольфганг Гете вважав її символом життя і духовного розвитку.

Логарифмічна функція виникає у зв'язку з найрізноманітнішими природними формами. По логарифмічних спіралях розташовуються квітки в суцвіттях соняшника, закручуються раковини молюска Nautilus, роги гірського барана і дзьоби папуг. Один з павуків, епейра, сплітаючи павутиння , закручує нитки навколо центра по логарифмічним спіралям.

hello_html_3cd672ef.jpghello_html_1723a18c.jpghello_html_m3b1630ff.jpghello_html_m4992ae60.jpghello_html_m7598a68b.jpg


Нhello_html_5b4c3c2e.gifічні метелики, які пролітають величезні відстані, орієнтуючись по паралельним промінням місяця, інстинктивно зберігають прямий кут між напрямом руху і променем світла. Якщо вони орієнтуються на точкове джерело світла, інстинкт їх підводить, і метелики потрапляють в полум’я по логарифмічної спіралі, що скручується.

МУЗИКА


Розкопуючи одне з поселень кам’яного віку на території України, археологи знайшли кілька кісток мамонта, призначення яких було їм не зрозуміле. Лише уважний аналіз показав, що на цих кістках залишилися сліди ударів - це були залишки шумового оркестру, під звуки якого стародавні люди виконували магічні танці. Пізніше помітили, що більш приємні звуки можна отримати, зробивши барабан або просвердливши шматок дерева, щоб вийшла сопілка. А звучання тятиви лука? Воно навело на думку про створення струнних інструментів.

Піфагор був не тільки великим математиком, а й хорошим музикантом. Він встановив, що приємні сполучення звуків відповідають певним співвідношенням між довжинами струн, що коливаються, або відстаням між дірочками сопілки. Саме він створив першу математичну теорію музики, і хоча музиканти не дуже люблять перевіряти „алгеброю гармонію”, вони весь час мають справу з математикою, бо сучасна гама ґрунтується на логарифмах.

Будемо називати найнижчу октаву нульовою; а кількість коливань ноти do цієї октави за 1 секунду приймаємо за 1.Тоді нота do першої октави буде робити в два рази більше коливань. Позначимо всі ноти хроматичної гами номерами р , приймаючи за нульовий перший тон кожної гами. Тоді тон sol буде 7-й, la -9-й, 12-й тон буде знову do, тільки октавою вище.

Тому кожен наступний тон в hello_html_7cfa1f2d.gif разів має більше коливань, ніж попередній.

Позначимо Npm – кількість коливань тону з номером р із m-ї октави.

Nmp=2hello_html_65dfafdf.gif ( hello_html_7cfa1f2d.gif)hello_html_7e1fda18.gif=2hello_html_65dfafdf.gif·2hello_html_10b39e38.gif= 2hello_html_65dfafdf.gif+hello_html_10b39e38.gif

Про логарифмуємо обидві частини останньої нерівності:

loghello_html_m4bcd60e4.gifNmp= m+ hello_html_7fa05649.gif

Звідси видно, що номери клавіш рояля являють собою логарифми кількості коливань відповідних звуків. Номер октави – характеристика ( тобто ціла частина) логарифма, а номер звука в даній октаві - його мантиса ( тобто дробова частина).




















Додаток Б

Приклади карток для роботи в парах

Картка №1

hello_html_m4de4444.png

Картка №2

hello_html_m2e04891.png


Додаток В

Приклали тестових завдань


Варіант 1

hello_html_73f416d.png




Варіант 2


hello_html_m6cda05a2.png












































hello_html_m4d466bb7.png


Общая информация

Номер материала: ДВ-231799

Похожие материалы