Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект факультативного занятия по математике на тему "Введение в топологию. Лист Мёбиуса" (6 класс)
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 15 ДЕКАБРЯ!

Конкурс "Я люблю природу"

Конспект факультативного занятия по математике на тему "Введение в топологию. Лист Мёбиуса" (6 класс)

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Выбранный для просмотра документ Методическая разработка урока по геометрии в 6 классе лист Мебиуса.doc

библиотека
материалов

Тақырып / Тема: "Введение в топологию. Лист Мёбиуса". (1час)

Мақсат / Цель:

  1. Познакомить учащихся с листом Мёбиуса, его свойствами и применением в технике. Эстетическое значение листа Мёбиуса.

  2. Развить внимание, наблюдательность, умение обоснованно делать выводы, а также познавательный интерес учащихся. Развить навыки групповой работы.

  3. Воспитание аккуратности, внимательности и чувства взаимовыручки.

Құрал-жабдықтар, көрнекті құралдар / Оборудование, наглядные пособия: интерактивная доска, готовая презентация к уроку, раздаточный материал, бумага, ножницы, фломастер и клей.

Оқулық / Учебник: «Наглядная геометрия 5-6», И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева, издательский дом «Дрофа» 1999 г.

Сабақ түрі / Тип урока: урок-практикум получения новых знаний.

Методические замечания:

К занятию, посвященному листу Мёбиуса, полезно подготовить достаточное количество бумажных лент, с которыми будут проводиться эксперименты. Хороши ленты, у которых длина примерно в 4 раза больше ширины. При разрезании листов Мёбиуса, склеенных из более узких лент, получатся слишком тонкие "кольца". Предложите набор лент, клей и ножницы каждому школьнику для экспериментальной работы сначала параллельно с учителем, а потом самостоятельно.

Сабақ барысы / Ход урока:

Организационный момент.

Девизом нашего урока я взяла слова Козьмы Пруткова «Глядя на мир, нельзя не удивляться».

У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое "поверхность". Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Ответ на этот вопрос мы постараемся получить сегодня на уроке, тема урока « Введение в топологию. Лист Мёбиуса».

ТОПОЛОГИЯ (по-другому - "геометрия положения") является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии. Чтобы получить некоторое представление о топологии, рассмотрим несколько топологических опытов с поверхностями, полученной из бумажной полоски.

Изготовление и знакомство с листом Мёбиуса.

Смотрите, я беру бумажную ленту АВСD, разделенную по ширине пополам пунктирной линией. Прикладываю ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваю. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой D, а точка B с точкой С. Перед склейкой я перекрутила ленту один раз. Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо. У него есть даже особое название - "Лист Мёбиуса". Изучение листа Мёбиуса - хорошее введение к элементам топологии.

1.Сколько сторон у листа Мёбиуса?

У ленты, из которой сделан лист Мёбиуса, две стороны. А у него самого, оказывается, есть только одна сторона!

Попробуйте покрасить одну сторону листа Мёбиуса - кусок за куском, не переходя за край ленты. И что же? Вы закрасите весь лист Мёбиуса!

Историческая справка.

Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик "короля математиков" Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика была обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX в. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса. Лист Мёбиуса - один из объектов области математики под названием "топология". В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины). Сама топология, можно сказать началась именно с листа Мёбиуса. Слово это придумал Иоган Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета, который почти в тоже время, что и его лейпцигский коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам, единожды перекрученную, ленту.

Эксперименты для всех.

Опыт №1 и №2. Возьмем нами приготовленный лист Мёбиуса и разрежем склеенную ленту посередине, вдоль пунктирной линии. Как вы думаете, что получится? Конечно, если бы мы не перекрутили ленту перед склейкой, все было бы просто: из одного широкого кольца получилось бы два узких (это тоже лучше продемонстрировать). А что сейчас?

Получилось не два кольца, а одно, вдвое уже, но зато вдвое длиннее. К тому же перекручено оно не один раз, а два. Предлагаю детям результат эксперимента занести в таблицу.

Число полуоборотов

Результат разрезания

Свойства

Рисунок

0

2 кольца

Длина окружности кольца та же, но кольцо в 2 раза уже

hello_html_3e70744a.jpg

1

1 кольцо

Кольцо перекручено на 2 полуоборота, длина его окружности в 2 раза больше, и кольцо уже исходного

hello_html_3e70744a.jpg

2

2 сцепленных кольца


Кольцо перекручено на 2 полуоборота, длина его окружности та же, но кольца в 2 раза уже


hello_html_3a7bb650.png

3

1 кольцо

1 кольцо вдвое длиннее и уже с множеством перегибов.





Продолжаю эксперименты

Опыт №3 Дважды перекрученное кольцо. А ну-ка, разрежем это кольцо еще раз посередине. Получится два сцепленных друг с другом кольца, каждое из которых дважды перекручено (заносим результат в таблицу).

Опыт№4 Возьмем кольцо с тремя перекрутами и разрежем опять посередине. получим одно кольцо вдвое длиннее и уже с множеством перегибов.

Может быть кто-то сумеет их пересчитать? (Заканчиваем заполнение таблицы).

(если успеем)

Опыт N 5 Склейте два кольца- одно простое и лист Мёбиуса. Разрежьте каждое из них пополам вдоль. Что у Вас получилось:

2 простых и 1 кольцо Мёбиуса

1 простoе и 2 кольца Мёбиуса

Опыт N 6

Попробуйте прорезать в полосе щель и продеть сквозь нее один конец полосы. (как показанно на рисунке) А теперь попробуйте продолжить разрез вдоль всей ленты. Что у вас получилось, если не секрет:

Два кольца Мёбиуса

Вывернутое но простое кольцо

Топология как наука.

Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, который в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. С точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и то же. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар - разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Применение листа Мёбиуса в технике и его эстетическое значение.

Полоса ленточного конвейера выполненная в виде ленты Мёбиуса, позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается. Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Если у ременной передачи ремень сделать в виде ленты Мёбиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у обычного кольца. Это дает ощутимую экономию. Лист Мёбиуса привлек к себе внимание не только ученых, но и художников, скульпторов, филателистов.

Үйге тапсырма беру / Задание на дом : Эксперимент на дом.

а) На обеих сторонах ленты на равном расстоянии от краев провести по две пунктирные линии.

Склеить лист Мёбиуса. Разрезать по пунктирным линиям. Описать полученный результат.

(Получается 2 кольца. Одно из них вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекручено. Оно получилось из краев исходной ленты. Другое - лист Мёбиуса - состоит из центральной части исходного листа Мёбиуса.

Прошу дать прогноз для подобного эксперимента, но когда лента не была перекручена. (Два тонких кольца и центральная часть).

б) Приготовьте ленту шириной 5 см, на которой нанесите пунктир, отступив от края на

1 см, 2 см, 3 см и 4 см. Сделайте из неё лист Мёбиуса. Что получится, если разрезать его по пунктиру?

Получим 3 кольца:

кольцо - лист Мёбиуса - 1 перекрут, ширина 1 см, длина равна длине исходного кольца.

II, III - кольца кольца с двумя перекрутами, ширина 1 см, длина в 2 раза больше исходного листа.

II и III кольцо сцеплены с I кольцом и между собой.

Можно ставить еще немало экспериментов по разрезанию лент. Попросите учеников придумать и поставить свой эксперимент, суть которого отразить на отдельном листе бумаги.

Урок хочу завершить стихотворением автор Юрий Юркий

Лист Мёбиуса

Лист Мёбиуса. Мёбиуса лента,

Что некая туманность между звёзд,

Полна чудес, как старая легенда.

Извив змеи, во рту держащей хвост.

В науке точной мистики нет места.

Лист Мёбиуса замкнут, как темляк.*

Пересекать не надо край – известно:

В любую точку попадёшь и так.

"Конец" в единой точке и "начало"...

Парадоксален Мёбиуса лист!

Нас эта лента меж собой связала.

Был путь к любви и долог и тернист!

Подведение итогов урока.

Мы много интересного узнали о листе Мёбиуса, но конечно же главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета.

Выбранный для просмотра документ лист мебиуса 2.pptx

библиотека
материалов
Козьма Прутков Глядя на мир, нельзя не удивляться.
Тақырып / Тема: Введение в топологию. Лист Мёбиуса.
Изготовление модели Возьмём бумажную полоску в форме прямоугольника ABCD (рис...
Автор листа Мёбиуса Поверхность называемая листом или лентой Мёбиуса, открыта...
Количество его краёв Лист Мёбиуса имеет ОДИН край. Чтобы убедиться в этом, ну...
Сколько у него сторон Лист Мёбиуса имеет только ОДНУ сторону. Убедиться в его...
Муравью, ползущему по листу Мёбиуса, не надо переползать через его край, чтоб...
Разрезание листа Мёбиуса Проведём на листе Мёбиуса среднюю линию и ответим на...
2 кольца Длина окружности кольца та же, но кольца в 2 раза уже 1 кольцо Кольц...
С точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и то же
Использование ленты Мёбиуса в технике
Работа неизвестного художника
Александр Эткало. Парадокс и совершенство. ( Лента Мебиуса и шар). Бронза, зм...
Кулон «Лента Мёбиуса»
Юрий Юркий «Лист Мёбиуса» Лист Мёбиуса. Мёбиуса лента, Что некая туманность м...
16 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Козьма Прутков Глядя на мир, нельзя не удивляться.
Описание слайда:

Козьма Прутков Глядя на мир, нельзя не удивляться.

№ слайда 2 Тақырып / Тема: Введение в топологию. Лист Мёбиуса.
Описание слайда:

Тақырып / Тема: Введение в топологию. Лист Мёбиуса.

№ слайда 3 Изготовление модели Возьмём бумажную полоску в форме прямоугольника ABCD (рис
Описание слайда:

Изготовление модели Возьмём бумажную полоску в форме прямоугольника ABCD (рис. 1) Если перед склеиванием противоположных сторон одну из них повернуть на 180 градусов и соединить точку А с точкой D, а точку В с точкой С (рис. 2), то получиться лист Мёбиуса.

№ слайда 4 Автор листа Мёбиуса Поверхность называемая листом или лентой Мёбиуса, открыта
Описание слайда:

Автор листа Мёбиуса Поверхность называемая листом или лентой Мёбиуса, открыта в 1858 г. немецким астрономом и математиком А. Ф. Мёбиусом (1790 - 1868).

№ слайда 5 Количество его краёв Лист Мёбиуса имеет ОДИН край. Чтобы убедиться в этом, ну
Описание слайда:

Количество его краёв Лист Мёбиуса имеет ОДИН край. Чтобы убедиться в этом, нужно выбрать в любом месте края листа Мёбиуса точку и перемещать её вдоль края. В результате мы придём в то же самое выбранное место.

№ слайда 6 Сколько у него сторон Лист Мёбиуса имеет только ОДНУ сторону. Убедиться в его
Описание слайда:

Сколько у него сторон Лист Мёбиуса имеет только ОДНУ сторону. Убедиться в его односторонности можно закрашиванием листа с любого места перемещаясь по поверхности. В результате вся поверхность окажется закрашенной.

№ слайда 7 Муравью, ползущему по листу Мёбиуса, не надо переползать через его край, чтоб
Описание слайда:

Муравью, ползущему по листу Мёбиуса, не надо переползать через его край, чтобы попасть на противоположную сторону.

№ слайда 8 Разрезание листа Мёбиуса Проведём на листе Мёбиуса среднюю линию и ответим на
Описание слайда:

Разрезание листа Мёбиуса Проведём на листе Мёбиуса среднюю линию и ответим на вопрос: “ Что получится если лист Мёбиуса разрезать по средней линии?” Кажется, что лист должен распаться. Однако это не так: при разрезании листа Мёбиуса по средней линии получается дважды перекрученная лента, в чем легко убедиться разрезав лист Мёбиуса.

№ слайда 9 2 кольца Длина окружности кольца та же, но кольца в 2 раза уже 1 кольцо Кольц
Описание слайда:

2 кольца Длина окружности кольца та же, но кольца в 2 раза уже 1 кольцо Кольцо перекручено на 2 полуоборота, длина его окружности в 2 раза больше, и кольцо уже исходного 2 сцепленных кольца Кольцо перекручено на 2 полуоборота, длина его окружности та же, но кольца в 2 раза уже Число полуоборотов Результатразрезания Свойства Рисунок 0 1 2

№ слайда 10 С точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и то же
Описание слайда:

С точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и то же

№ слайда 11 Использование ленты Мёбиуса в технике
Описание слайда:

Использование ленты Мёбиуса в технике

№ слайда 12
Описание слайда:

№ слайда 13 Работа неизвестного художника
Описание слайда:

Работа неизвестного художника

№ слайда 14 Александр Эткало. Парадокс и совершенство. ( Лента Мебиуса и шар). Бронза, зм
Описание слайда:

Александр Эткало. Парадокс и совершенство. ( Лента Мебиуса и шар). Бронза, змеевик 1991г.

№ слайда 15 Кулон «Лента Мёбиуса»
Описание слайда:

Кулон «Лента Мёбиуса»

№ слайда 16 Юрий Юркий «Лист Мёбиуса» Лист Мёбиуса. Мёбиуса лента, Что некая туманность м
Описание слайда:

Юрий Юркий «Лист Мёбиуса» Лист Мёбиуса. Мёбиуса лента, Что некая туманность между звёзд, Полна чудес, как старая легенда. Извив змеи, во рту держащей хвост. В науке точной мистики нет места. Лист Мёбиуса замкнут, как темляк. Пересекать не надо край – известно: В любую точку попадёшь и так. "Конец" в единой точке и "начало"... Парадоксален Мёбиуса лист! Нас эта лента меж собой связала. Был путь к любви и долог и тернист!

Краткое описание документа:

Полный конспект с презентацией факультативного занятия по математике для учащихся 6 класса. Цель: Познакомить учащихся с листом Мёбиуса, его свойствами и применением в технике. Эстетическое значение листа Мёбиуса. Развить внимание, наблюдательность, познавательный интерес учащихся. Уметь обоснованно делать выводы. Развить навыки групповой работы. 

К занятию, посвященному листу Мёбиуса, полезно подготовить достаточное количество бумажных лент, с которыми будут проводиться эксперименты. Хороши ленты, у которых длина примерно в  4 раза больше ширины. При разрезании листов Мёбиуса, склеенных из более узких лент, получатся слишком тонкие "кольца". Предложите набор лент, клей и ножницы каждому школьнику для экспериментальной работы сначала параллельно с учителем, а потом самостоятельно. 

Общая информация

Номер материала: 121072

Похожие материалы