Выбранный для просмотра документ урок теорема Виета.doc
Цель: Применение теоремы Виета и ей обратной теоремы при нахождении коэффициентов в квадратных уравнениях, разобрать приёмы устного решения квадратных уравнений.
Воспитательные задачи: cпособствовать формированию умений, применять приемы сравнений, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию творческих способностей. Побуждать учащихся к самоконтролю и взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.
Оборудование: компьютер, экран, видеопроектор, интерактивная доска.
Урок сопровождается слайд-фильмом (Приложение 1)
1. Организационный момент.
Учитель: Сегодня мы продолжаем работать по теме “Квадратные уравнения” и в ходе урока обнаружим свойства корней квадратного уравнений, которые в дальнейшем будем использовать.
2. Актуализация. Устная работа.
Учащиеся отвечают на вопросы учителя:
3. Введение нового материала.
Дома вы решили три квадратных уравнения и нашли сумму и произведение их корней. Попробуйте найти закономерность между корнями и коэффициентами приведённых квадратных уравнений.
|
Уравнения |
D |
Х |
Х |
Х |
Х |
|
Х |
169 |
1 |
14 |
15 |
14 |
|
Х |
36 |
-7 |
-1 |
-8 |
7 |
|
Х |
121 |
4 |
7 |
3 |
-28 |
После выполнения этих заданий начинается фронтальная работа учителя с классом. Три – четыре представителя разных групп рассказывают о своих результатах, высказывают предположения; формируют закономерность между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.
Учитель: Действительно, высказанные вами (учащимися) предположения, найденные вами равенства, не случайны, а являются свойствами корней квадратных уравнений. Эти свойства сформулированы и доказаны французским математиком Франсуа Виетом в 1591 году.
Теорема звучит так: Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение коней равно свободному члену.
Доказательство: Рассмотрим приведенное квадратное уравнение.
Обозначим второй коэффициент буквой p, а свободный член -буквой q:
х²+pх+q=0
Дискриминант этого уравнения: Д= p² -4q.
Пусть Д >0.Тогда это уравнение имеет два корня:
Найдем сумму и произведение корней:
 |
 |
Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное
уравнение имеет один корень, просто в этом случае считают, что уравнение имеет
два одинаковых корня:
Используя теорему Виета, можно выразить сумму и
произведение корней произвольного квадратного уравнения через его
коэффициенты. Пусть квадратное уравнение ах²+вх+с=0 имеет корни х1
и х2. Равносильное ему приведенное квадратное уравнение имеет вид:  |
 |
Историческая справка (сообщение
учащегося о жизни и деятельности математика Франсуа Виета ).
Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции. Отец Виета был прокурором.
Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1563
году он оставляет юриспруденцию и становится учителем в знатной семье. Именно
преподавание побудило в молодом юристе интерес к математике.
Виет переезжает в Париж, где легче узнать о достижениях ведущих математиков
Европы. С 1571 года Виет занимает важные государственные посты, но в 1584 году
он был отстранен и выслан из Парижа. Теперь он имел возможность всерьез
заняться математикой.
В 1591 году он издает трактат «Введение в аналитическое искусство», где
показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, применимый к любым
соответствующим величинам. Знаменитая теорема была обнародована в том же году.
Громкую славу получил при Генрихе lll во время Франко-Испанской войны. В течение двух недель, просидев за
работой дни и ночи, он нашел ключ к Испанскому шифру.
Умер в Париже в 1603 году, есть подозрения, что он был
убит.
4. Формирование умений.
Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена.
Так, находя корни квадратного уравнения x2 – 7x + 10 = 0, можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 10) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 7. Это разложение очевидно: 10 = 5 × 2, 5 + 2 = 7. Отсюда должно следовать, что числа 2 и 5 являются искомыми корнями.
Задание1.
Решить уравнения: 1)Х2+3Х-10=0; 2) Х2+8Х+15=0.
Основные этапы рассуждений при решении приведенного квадратного уравнения с помощью теоремы Виета:
1. записать утверждение теоремы Виета (первым равенством рекомендуется записывать произведение корней);
2. определить знаки корней уравнения (Если произведение и сумма корней – положительные, то оба корня – положительные числа. Если произведение корней – положительное число, а сумма корней – отрицательное, то оба корня – отрицательные числа. Если произведение корней – отрицательное число, то корни имеют разные знаки. При этом, если сумма корней – положительная, то больший по модулю корень является положительным числом, а если сумма корней меньше нуля, то больший по модулю корень – отрицательное число);
3. подобрать пары целых чисел, произведение которых дает верное первое равенство ;
4. из найденных пар чисел выбрать ту пару, которая при подстановке во второе равенство даст верное равенство;
5. указать в ответе найденные корни уравнения.
6. Задание2 . Решите квадратные уравнения. После решения полученные точки нанесите на координатную плоскость и последовательно соедините все точки отрезками. При правильном выполнении вы получите рисунок. (Приложение 1)
Задание3. В уравнение х2+рх-35=0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент р.
Задание4. №967(а,в).Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
а) Х1=4;Х2=2; б) Х1=3;Х2=-5.
Приёмы устного решения квадратных уравнений. (Приложение 1)
5. Подведение итогов урока. Учащиеся формулируют применение теоремы Виета.
Теорема Виета применяется:
Один из учащихся рассказывает стихотворение.
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойстве корней теорема Виета.
Что проще, скажи постоянства такого?
Умножишь ты корни, и дробь уж готова!
В числителе с, в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта – что за беда?!
В числителе в, в знаменателе а.
Выставление оценок учащимся.
Запись домашнего задания, его комментирование. П.24, №964,968,969.
7 Рефлексия проводится с помощью интерактивной доски.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Урок1.ppt
Скачать материал "Конспект и презентация к уроку "Теорема Виета""
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Квадратные уравнения.
2 слайд
Квадратным уравнением называется уравнение вида ах2 +вх+с=0,где х-переменная , а,в,с-некоторые числа , причем аǂ0 .
Квадратные уравнения
бывают
Полные
Неполные
3 слайд
Полные квадратные уравнения-это уравнения,у которых все три коэффициента отличны от 0.
Квадратные уравнения, в которых первый коэффициент равен 1, называются приведенными квадратными уравнениями.
ах2+вх+с=0 ,
D= b2-4ac
X=
Примеры. 3х2-7х+4=0, 5х2+2=11х, 0,7х2=1,3х+2, х2-8х+15=0
ПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
4 слайд
Количество корней полного квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта
Дискриминант
Д>0
2корня
Д=0
1корень
Д<0
Нет корней
5 слайд
Неполные квадратные уравнения
Если в квадратном уравнении один из коэффициентов В или С равен 0,или В=С=0,то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.
Неполные
Квадратные уравнения
С=0
ax2+bx=0
B=0
ax2+c=0
B=C=0
ax2=0
6 слайд
ЕСЛИ С=0
ax2+bx=0
X(ax+b)=0
X=0 или х=-a/b
18х2+27х=0
Пример: 18х2+27х=0
9х(2х+3)=0
9х=0 или 2х+3=0
Х=0 или х=-1,5
7 слайд
Если В=0
ах2+с=0
х2=-с:а , -с:а>0
2 корня
Пример: 4х2-100=0
Пример: 4х2-100=0
4х2=100 х1=5 ,х2=-5
8 слайд
Если В=0 и С=0
ах2=0
х=0
Примеры:
а) 157х2=0, х=0
б) -298х2=0 , х=0
в) 53,7х2=0 , х=0
9 слайд
10 слайд
11 слайд
12 слайд
13 слайд
14 слайд
Если х1 и х2 – корни приведенного квадратного уравнения
х2 + рx + g = 0, то
x1 + x2 = - p,
x1 ∙ x2 = g.
Теорема Виета
15 слайд
Теорема:
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту,
взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Доказательство: рассмотрим приведенное квадратное уравнение.
Обозначим второй коэффициент буквой p, а свободный член-буквой q:
х²+pх+q=0
Дискриминант этого уравнения: Д= p² -4q.
Пусть Д >0.Тогда это уравнение имеет два корня:
Найдем сумму и произведение корней:
16 слайд
Итак
Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень, просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня:
Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты.
Пусть квадратное уравнение ах²+вх+с=0 имеет корни х1 и х2.Равносильное ему приведенное квадратное уравнение имеет вид
По теореме Виета
17 слайд
Выполните проверку корней,
найденных при решении квадратных уравнений
х2+9х+20=0
х1=-5; х2=-4.
х2-5х+6=0
х1=-6;х2=1.
Правильный ответ:х1=3;х2=2.
18 слайд
(Обратная) Если m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х²+pх+q=0.
Доказательство:
По условию m+ n = -p,
m ∙ n =q. Значит, уравнение х²+pх+q=0
можно записать в виде
х²-(m+n)х+mn=0.
Подставив вместо х число m, получим:
m²-(m+n)m+mn=m²-m²-mn+mn=0. Значит число m является корнем уравнения.
Аналогично можно показать, что число n также является корнем уравнения.
19 слайд
Франсуа Виет
Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции. Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1563 году он оставляет юриспруденцию и становится учителем в знатной семье. Именно преподавание побудило в молодом юристе интерес к математике.
Виет переезжает в Париж, где легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. С 1571 года Виет занимает важные государственные посты, но в 1584 году он был отстранен и выслан из Парижа. Теперь он имел возможность всерьез заняться математикой.
В 1591 году он издает трактат «Введение в аналитическое искусство», где показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, применимый к любым соответствующим величинам. Знаменитая теорема была обнародована в том же году.
Громкую славу получил при Генрихе lll во время Франко-Испанской войны. В течение двух недель, просидев за работой дни и ночи, он нашел ключ к Испанскому шифру.
Умер в Париже в 1603 году, есть подозрения, что он был убит.
20 слайд
Пример
Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена.
Так, находя корни квадратного уравнения
x2 – 7x + 10 = 0,
можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 10) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 7.
21 слайд
Решение
Это разложение очевидно:
10 = 5 × 2,
5 + 2 = 7.
Отсюда должно следовать, что числа 2 и 5 являются искомыми корнями.
22 слайд
Решить уравнения
х2+3х-10=0
2) х2+8х+15=0
23 слайд
1) Ответ:-5;2
2)Ответ:-5;-3.
24 слайд
основные этапы рассуждений при решении приведенного квадратного уравнения с помощью теоремы Виета:
записать утверждение теоремы Виета (первым равенством рекомендуется записывать произведение корней);
определить знаки корней уравнения (Если произведение и сумма корней – положительные, то оба корня – положительные числа. Если произведение корней – положительное число, а сумма корней – отрицательное, то оба корня – отрицательные числа. Если произведение корней – отрицательное число, то корни имеют разные знаки. При этом, если сумма корней – положительная, то больший по модулю корень является положительным числом, а если сумма корней меньше нуля, то больший по модулю корень – отрицательное число);
подобрать пары целых чисел, произведение которых дает верное первое равенство ;
из найденных пар чисел выбрать ту пару, которая при подстановке во второе равенство даст верное равенство;
указать в ответе найденные корни уравнения.
25 слайд
Пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения.
Решите уравнения, и зная, что х1<х2, запишите корни данного уравнения в указанном порядке
26 слайд
Ответы
1) (-3;7)
2) (3;7)
3) (3;4)
4) (6;0)
5) (4;-8)
6) (5;-11)
7) (-5;-11)
8) (-4;-8)
9) (-6;0)
10) (-3;4)
27 слайд
y
x
28 слайд
В уравнение х2+рх-35=0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент р.
№967(а,в)
29 слайд
Приёмы устного решения решения квадратных
уравнений
, то
Например:
Если
Приём №1
30 слайд
приём №2
Если b = a + c, то
Приём №2
Например:
31 слайд
Решить уравнение
32 слайд
Квадратные уравнения с большими
коэффициентами
1.
2.
3.
4.
33 слайд
Решаем устно
Его корни 10 и 1, и делим на 2.
Ответ: 5;
Приём №3
![Приём "переброски"Корни 9 и (-2).
Делим числа 9 и ( -2) на 6:Ответ:](https://documents.infourok.ru/17f34f15-cefd-4ffe-baf4-836f62c564ff/1/slide_34.jpg "Приём "переброски"Корни 9 и (-2).
Делим числа 9 и ( -2) на 6:Ответ:")
34 слайд
Приём "переброски"
Корни 9 и (-2).
Делим числа 9 и ( -2) на 6:
Ответ:
35 слайд
Решить уравнение
15х2-11х+2=0
Ответ:1/3; 2/5
36 слайд
По праву достойна в стихах быть воспета свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова?
В числителе с , в знаменателе а.
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда.
В числителе в, в знаменателе а.
Это интересно
37 слайд
Теоремы
38 слайд
Домашнее задание:
П.24, №964,968,969.
39 слайд
Спасибо за урок !
40 слайд
Рефлексия
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Конспект и презентация к уроку
Цель: Формирование знаний о Франсуа Виете, его знаменитой теореме, умений в осуществлении исследовательской деятельности в рамках темы, приводящей к научному открытию, первоначальных навыков в решении( устном) квадратных уравнений.
Задачи:1. Сформировать интерес к личности Франсуа Виета и его великой теореме.
2. Проверить уровень умений учащихся в решении квадратных уравнений по формуле корней.
3. Через анализ полученных в группах решений уравнений, подвести учащихся к выдвижению гипотезы о связи корней и коэффициентов, обучение учащихся самостоятельно делать выводы и маленькие открытия.
на доске высказывания Аристотеля "Познание начинается с удивления" и высказывание «Чтобы удивиться, достаточно одной минуты. Чтобы сделать удивительную вещь, нужны многие годы» Клода Адриана Гельвеция.
6 663 033 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Марьяш Ольга Валерьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
3 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.