ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Введение

Длительное время до возникновения теории вероятностей объектом исследования науки были закономерные или детерминистические явления (опыты, эксперименты), т.е. такие явления, исход которых однозначно определялся некоторым комплексом условий. Например:

1)    если в основании пирамиды находится квадрат со стороной а и ее высота равна h, то объем пирамиды равен ;

2)    если тело свободно падает на земную поверхность, то путь, пройденный им за t секунд после начала падения, есть .

3)    если химически чистую воду при атмосферном давлении 760 мм рт. ст. нагреть до 100°С, то вода начнет превращаться в пар.

Однако для широкого круга явлений, с которыми приходится сталкиваться в научной и практической деятельности, наблюдается неоднозначность исхода эксперимента при сохранении основных условий его проведения. Для примера зададим несколько вопросов:

1)    какой стороной упадет монета при подбрасывании?

2)    сколько лет проживет только что родившийся младенец?

3)    как много времени придется затратить на поиск неисправности в сложном техническом устройстве?

Все эти вопросы обладают одной особенностью – на них невозможно дать однозначного ответа. Воздействие очень большого числа разнообразных причин, каждая из которых в отдельности не может заметно повлиять на ход эксперимента, приводит к тому, что этот исход не определяется однозначно. В этом случае говорят, что результат или исход опыта случаен (интересующее нас событие является случайным).

Подчеркнем, что со случайными явлениями мы вынуждены сталкиваться не время от времени, а постоянно. Так, например, в грузовой морской порт суда дальнего плавания поступают не точно по расписанию, а в моменты времени, нередко существенно отличные от запланированных. Точно так же длительность погрузо-разгрузочных работ (обработка судна) коренным образом зависит не только от погрузочных средств причала, но и от устройства трюма, характера и количества прибывших грузов, их упаковки и многих других обстоятельств. Таким образом, при организации работы грузового порта мы должны считаться с, так сказать, двойной случайностью – случайностью поступления требований (прибытие судна) на обслуживание и случайностью длительности их обслуживания.

Случайные события подчиняются некоторым закономерностям, которые называются вероятностными или стохастическими. Изучением этих закономерностей занимается теория вероятностей. Но надо отметить, что она занимается изучением не любых случайных событий, а только тех из них, которые обладают определенными свойствами.

Во-первых, теория вероятностей ограничивается изучением лишь массовых случайных событий, т.е. таких, которые могут быть осуществлены неограниченное число раз в неизменных условиях. Заметим, что теория вероятностей не занимается изучением уникальных событий, которые не допускают повторений. Так, не имеет смысла говорить о том, какова вероятность, что данный студент сдаст экзамен по теории вероятностей на ближайшей экзаменационной сессии, т.к. здесь речь идет о единичном событии, повторить которое в тех же самых условиях невозможно.

Во-вторых, теория вероятностей занимается лишь теми событиями, которые обладаю статистической устойчивостью. Пусть производится серия испытаний, состоящая из n опытов, в каждом из которых происходит или не происходит некоторое событие A. Обозначим n(A) число тех опытов, в которых это событие осуществилось. Отношение  называется относительной частотой события A в данной серии испытаний. Экспериментально установлено, что с ростом числа опытов n, проводимых в практически одинаковых условиях, относительная частота появления случайного события A стабилизируется, т.е. становится почти постоянной и лишь слегка изменяется от одной серии к другой. Таким образом, с каждым событием A можно связать некоторое число P(A), к которому стремится относительная частота. Это число служит объективной характеристикой «степени возможности» появления события A. Относительную частоту события называют также статистической вероятностью.

Таким образом, мы можем сделать вывод о том, что предметом теории вероятностей является математический анализ случайных явлений, т.е. таких эмпирических феноменов, которые – при заданном комплексе условий – могут быть охарактеризованы тем, что:

·        для них отсутствует детерминистическая регулярность (наблюдения над ними не всегда приводят к одним и тем же исходам),

и в то же самое время

·        они обладают некоторой статистической регулярностью (проявляющейся в статистической устойчивости относительных частот).

§ 1. Элементы комбинаторики

Элементарная, но не обязательно простая, часть теории вероятностей в значительной степени опирается на комбинаторику.

В этом параграфе мы будем рассматривать исключительно конечные множества и их подмножества. В частности, нас будет интересовать число тех или иных комбинаций, которые можно образовать из элементов данного конечного множества. Раздел математики, в котором изучаются подобные вопросы, называется комбинаторным анализом или комбинаторикой.

Сформулируем два важных правила, часто применяемых при решении комбинаторных задач.

Правило суммы. Если элемент а можно выбрать k способами, а элемент b – m способами, причем любой выбор элемента а отличен от любого выбора элемента b, то выбор «либо а, либо b» можно осуществить  способами.

Пример 1.1. В буфете имеется 5 видов сока и 3 сорта лимонада. Сколькими способами ученик может выбрать напиток.

Решение.

Сок (элемент а) можно выбрать 5 способами, а лимонад (элемент b) – тремя способами. В качестве напитка ученик может выбрать или сок, или лимонад. Следовательно, согласно правилу суммы, таких способов выбора будет 5 + 3 = 8.

Правило произведения. Если элемент а можно выбрать k способами, а после каждого такого выбора другой элемент b можно выбрать (независимо от выбора элемента а) m способами, то пары элементов «а и b» в указанном порядке можно выбрать  способами.

Пример 1.2. В группе 15 человек. Необходимо выбрать старосту и его заместителя. Сколько существует способов это сделать?

Решение.

Старостой (элемент а) может быть выбран любой из 15 учеников, т.е. k = 15, а затем выбрать его заместителя (элемент b) можно из оставшихся 14 человек, т.е. m = 14. Следовательно, согласно правилу произведения общее число способов выбора старосты и его заместителя равно 15×14 = 210.

Оба правила обобщаются на любое конечное число элементов.

1.1. Выборки с возвращением и без возвращения

Пусть некоторое множество содержит n элементов. Нам необходимо выбрать m элементов из этого множества, т.е. сделать m-элементную выборку из n-элементного множества. Сколькими различными способами это можно сделать? Ответ зависит от того, что понимать под словом «выбрать» и что понимается под различными результатами выбора.

Рассмотрим следующие возможности выбора.

1. Выбор с возвращением: каждый выбранный элемент вновь возвращается в исходное множество, каждый следующий элемент выбирается из полного множества. В полученном наборе из m элементов могут встречаться одни и те же элементы. Полученная таким образом выборка называется выборкой с повторениями.

2. Выбор без возвращения: выбранные элементы в исходное множество не возвращаются, и в полученном наборе каждый элемент может встречаться не более одного раза. Полученная таким образом выборка называется выборкой без повторений.

Условимся, какие результаты (m–элементные выборки) мы будем считать различными. Есть ровно две возможности.

1. Выбор с учетом порядка: две m–элементные выборки считаются различными, если они отличаются составом или порядком элементов.

2. Выбор без учета порядка: две m–элементные выборки считаются различными, если они отличаются составом элементов. Выборки, отличающиеся лишь порядком следования элементов, считаются одинаковыми.

Пример 1.3. Рассмотрим множество, состоящее из трех кубиков. Пусть на первом кубике написана буква А, на втором кубике – В, на третьем – буква С. Перечислить все возможные результаты в каждой из четырех схем при выборе двух кубиков из трех.

Решение.

1. Выбор с возвращением и с учетом порядка. В этом случае возможно девять вариантов выбора:

2. Выбор с возвращением и без учета порядка. В этом случае возможно только шесть вариантов выбора, т.к. выборки AC и CA, BC и CB, AC и CA не различаются и образуют один и тот же результат выбора.

3. Выбор без возвращения и с учетом порядка. В данном случае выборки AA, BB, CC не могут быть получены. Следовательно, без возвращения есть только шесть способов выбрать два кубика из трех.

4. Выбор без возвращения и без учета порядка. В этом случае возможных вариантов выбора будет всего три: AB, AC, BC.

1.2. Размещения, перестановки, сочетания

Определение 1.1. Упорядоченная m-элементная выборка из n-элементного множества называется размещением из n по m.

Различными считаются размещения, в которых или имеются различные элементы, или, если все элементы одни и те же, то различны порядки их расположения.

В зависимости от того, каким образом осуществляется выбор (с возвращениями или без) число размещений из n по m находят по формулам:

-       выбор без возвращения ():

                                                 ;                                          (1.1)

-       выбор с возвращением:

                                                      .                                              (1.2)

Пример 1.4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, если а) все цифры должны быть различными; б) цифры могут повторяться?

Решение.

По условию исходное множество состоит из пяти элементов.

Два числа считаются различными, если они состоят из разных цифр или в их записи цифры имеют различный порядок. Следовательно, каждое трехзначное число представляет собой упорядоченную трехэлементную выборку из пятиэлементного множества, т.е. представляет собой размещение из 5 по 3.

В случае а) выбор производится без возвращения, поэтому искомое количество трехзначных чисел можно найти по формуле (1.1):

.

В случае б) выбор производится с возвращением, следовательно, количество чисел найдем по формуле (1.2):

.

Определение 1.2. Неупорядоченная m-элементная выборка из n-элементного множества называется сочетанием из n по m.

Различными считаются сочетания, различающиеся между собой хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из n по m находят по формулам:

-       выбор без возвращения ():

                                               ;                                        (1.3)

-       выбор с возвращением:

                                                   .                                            (1.4)

Пример 1.5. Сколькими способами из 10 спортсменов можно отобрать команду из 6 человек?

Решение.

Исходное множество содержит 10 элементов.

Команды считаются различными, если они имеют различный состав игроков. Следовательно, команда представляет собой неупорядоченную шестиэлементную выборку из десятиэлементного множества, т.е. представляют собой число сочетаний из 10 по 6.

В данном случае выбор производится без возвращения, значит, количество способов, которыми можно отобрать команду, можно найти по формуле (1.3):

.

Пример 1.6. В кондитерской продаются пирожные четырех сортов. Сколькими способами можно сделать покупку 7 пирожных.

Решение.

Исходное множество содержит 4 элемента.

Покупки отличаются, если они отличаются по составу купленных пирожных. Следовательно, набор пирожных представляет собой неупорядоченную семиэлементную выборку из четырехэлементного множества, т.к. выбор производится с повторением.

Искомое число покупок найдем по формуле (1.4):

.

Определение 1.3. Упорядоченная n-элементная выборка из n-элементного множества называется перестановкой.

Если все элементы множества различны, то число перестановок рассчитывается по формуле:

                                                       .                                               (1.5)

Если n-элементное множество состоит из k различных элементов, причем 1-й элемент повторяется  раз, 2-й элемент –  раз, …, k-й –  раз, причем , в этом случае число перестановок находят по формуле:

                                       .                                (1.6)

Пример 1.7. На карточках написаны буквы, из которых можно составить слово: а) лето; б) ананас. Сколько различных перестановок получится, если переставлять буквы в этих словах.

Решение.

а) В слове «лето» 4 буквы, причем все они различны, следовательно, для нахождения числа перестановок будем использовать формулу (1.5):

.

б) В слове «ананас» всего 6 букв, но различных из них только три: буква «а» повторяется  раза, буква «н» –  раза и буква «с» -  раз. Следовательно, число перестановок можно найти по формуле (1.6):

.

§ 2. Вероятностное пространство

Для избежания неясностей при описании случайных явлений, результатов опытов или наблюдений необходимо формализовать эти описания – построить вероятностную модель случайного эксперимента. Такой моделью в теории вероятностей является вероятностное пространство, которое состоит из трех компонентов:

1)    пространство элементарных исходов;

2)    алгебра событий;

3)    вероятность.

Дадим теперь формальное определение вероятностного пространства и покажем на примерах, как проводится формализация реальной задачи.

2.1. Пространство элементарных исходов

Выделение пространства элементарных событий представляет собой первый шаг в формулировании понятия вероятностной модели того или иного случайного эксперимента.

Определение 2.1. Пространством элементарных исходов W называется множество, содержащее все возможные взаимно исключающие результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называются элементарными исходами или элементарными событиями и обозначаются w с индексом или без.

Понятия «элементарное событие» и «происходит» являются первоначальными неопределенными понятиями, подобно геометрическим понятиям «точка» и «лежит».

Ввиду большого разнообразия случайных явлений нельзя дать более конкретное общее определение пространства элементарных исходов. Для описания каждого реального опыта множество W выбирается наиболее подходящим образом. Рассмотрим ряд примеров, поясняющих выбор множества W.

Пример 2.1. Подбрасывание монеты один раз.

При однократном подбрасывании монеты пространство исходов W состоит из двух исходов:

 или ,

где w₁ (или Г) – исход, состоящий в выпадении герба и w₂ (или Р) – исход, состоящий в выпадении решетки.

При построении математической модели эксперимента мы исключаем возможности типа «монета стала на ребро», «монета исчезла» и т.п.

Пример 2.2. Подбрасывание игральной кости один раз.

В этом опыте пространство элементарных исходов W состоит из шести исходов:

 или ,

где элементарный исход  соответствует числу выпавших k очков.

Пример 2.3. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет вверх гербом.

Пространство элементарных исходов  в данном случае состоит из бесконечного, но счетного числа исходов[1]:

где Р и Г обозначают выпадение решки и герба при одном подбрасывании, соответственно.

Пример 2.4. Стрельба по плоской мишени.

Пусть по плоскости мишени производится один выстрел. Элементарными исходами в этом опыте являются точки мишени. Введем в плоскости мишени прямоугольную систему координат xOy. Тогда элементарным исходом является точка с координатами (x, y) и множество элементарных исходов W можно записать в виде:

В этом примере множество W содержит бесконечно много элементов и является несчетным.

Пример 2.5. Приведем пример неправильно выбранного пространства элементарных исходов.

Пусть, как и в примере 2.2 эксперимент заключается в подбрасывании игральной кости один раз. Рассмотрим следующие «исходы» данного эксперимента: w₁ – выпало число 1; w₂ – выпало четное число очков; w₃ – выпало число, кратное трем; w₄ – выпало число 5.

Тогда  составляет все исходы эксперимента, однако исходы w₂ и w₃ могут наступать одновременно (не являются взаимно исключающими).

Как видно из примеров, множество W может быть как конечным так и бесконечным. Для случая, когда множество W содержит конечное число элементов, мы построим теорию совершенно строго. Для случая бесконечного множества W необходимо использовать значительно более сложные математические конструкции, поэтому в дальнейшем для него ограничимся некоторыми пояснениями.

2.2. Алгебра событий

Будем называть случайным событием (или просто событием) подмножество множества W[2].

Случайные события, так же как и множества, обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита с индексами или без:A, B, C₁, D₂ и т.д.

В W таким образом выделяется подмножество тех w , при которых данное событие А имеет место. Они называются элементарными событиями, благоприятствующими событию А или составляющими событие А.

Говорят, что в результате эксперимента произошло событие , если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество A.

Таким образом, если в результате испытания может произойти только один элементарный исход, то в результате испытания происходят все случайные события, в состав которых входит этот элементарный.

Пример 2.6. Подбрасывание игральной кости один раз.

Приведем примеры возможных событий в данном эксперименте:

1)      – выпало четное число очков;

2)      – выпало число меньше 3;

3)      – выпало число не меньше 5.

Определение 2.2. Достоверным называется событие, которое всегда происходит в результате эксперимента. Событие называется невозможным, если оно заведомо не может произойти в результате эксперимента.

Из определения следует, что достоверное событие включает в себя все элементарные исходы, т.е. достоверным событием является пространство элементарных исходов W, а невозможное событие не содержит ни одного элементарного исхода, т.е. это событие является пустым множеством и обозначается Æ.

Определение 2.3. Если всегда, как только в эксперименте происходит событие А, происходит и событие В, то говорят, что А влечет за собой В (А является частным случаем В). Обозначение: .

Если событие А влечет за собой событие В и в то же время событие В влечет за собой событие А, т.е. в эксперименте события А и В оба наступают или не наступают одновременно, то говорят, что события А и В равносильны или равны.

Обозначение: .

Пример 2.7. При бросании двух игральных костей равными оказываются события А – выпадет четная сумма очков и В – на каждой грани выпадают очки одной и той же четности. Аналогичные события в другом опыте, когда бросаются три игральные кости, уже не будут равными.

Рассматривая события как множества, можно определить действия над событиями.

Пусть А и В – события.

Суммой (или объединением) событий А и В называется событие  (или ), состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В, т.е. это событие состоит из элементарных исходов, которые принадлежат либо А, либо В, либо двум событиям одновременно (см. рисунок 2.1).

Произведением (или пересечением) событий А и В называется событие  (или ), состоящее в том, что произошли события А и В одновременно, т.е. это событие состоит из элементарных исходов, принадлежащих и А, и В (см. рисунок 2.2).

Разностью событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло событие А, но не произошло событие В, т.е. это событие состоит из элементарных исходов события А, не принадлежащих событию В (см. рисунок 2.3).

Введем еще несколько понятий.

Событие, состоящее в том, что событие А не происходит, называется противоположным или дополнительным для А, т.е. это событие содержит все элементарные исходы, не входящие в А, и обозначается . Следовательно, его можно рассматривать как разность W и А, т.е. .

Два события А и В называются несовместными, если наступление одного из этих событий исключает возможность наступления другого, т.е. А и В не могут произойти одновременно. Следовательно, .

События А₁, А₂, …, А_n называются попарно несовместными, если для любых i ¹ j события А_i и А_j несовместны.

Приведем пример, иллюстрирующий введенные выше понятия.

Пример 2.8. Две игральные кости бросают один раз.

Рассмотрим события: А – выпадет четная сумма очков, B – на каждой кости выпадет четное число очков, C – на каждой кости выпадет нечетное число очков.

События B и C являются несовместными, т.к. на обеих костях не может одновременно выпасть и четное, и нечетное число очков.

Событие A является суммой событий B и C, т.к. сумма будет четной, если оба слагаемых имеют одну и ту же четность: .

Событие B представляет собой разность событий A и C, т.е. . Аналогично, .

Противоположными событиями будут: для A событие  – выпадет нечетная сумма очков; для B событие  – хотя бы на одной кости выпадет нечетное число очков; для C событие  – хотя бы на одной кости выпадет четное число очков.

Определение 2.4. События А₁, А₂, …, А_n образуют полную группу событий, если

.

Если при этом события А₁, А₂, …, А_n являются попарно несовместными, то такую систему событий называют полной группой несовместных событий или разбиением пространства элементарных исходов W.

Пример 2.9. Игральную кость бросают один раз.

Рассмотрим события  – выпало число не меньше трех и  – выпало число не больше трех. Они образуют полную группу событий, т.к.

.

Но эти события не являются несовместными, т.к. .

Рассмотрим другую систему событий:  – выпало нечетное число и  – выпало четное число. Эти два события образуют полную группу несовместных событий, т.к.

 и .

2.3. Вероятность

Перейдем теперь к определению вероятности. Отметим сразу, что не существует общего определения вероятности, позволяющего сразу находить ее числовые значения. В качестве общего определения формулируется ряд аксиом, которым должна удовлетворять вероятность, определяемая для каждого конкретного опыта или случайного явления.

Определение 2.4. Каждому событию А поставим в соответствие некоторое число , называемое его вероятностью, и удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. аксиома неотрицательности: ;

2. аксиома нормированности: вероятность достоверного события равна 1, т.е. ;

3. аксиома сложения: если события А и В несовместны, то вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей:

Так как любое событие есть множество, то вероятность события есть функция множества.

Из аксиом, сформулированных в определении 2.4, можно вывести основные свойства вероятностей. Перечислим их без доказательства.

Свойство 1: вероятность невозможного события равна нулю:

.

Свойство 2: вероятность любого события заключена между 0 и 1:

.

Свойство 3: если , т.е. событие А влечет за собой событие В, то

.

Свойство 4: если события А и  противоположны, то

.

Свойство 5: для любых событий А и В справедливо равенство:

.

Система аксиом Колмогорова непротиворечива, так как существуют реальные объекты, которые всем этим аксиомам удовлетворяют. Но эта система аксиом неполна: даже для одного и того же множества W вероятности событий можно выбирать различными способами. Но это не является свидетельством их неудачного выбора, а вызвано существом дела: в различных задачах могут встретиться явления, при изучении которых требуется рассматривать одинаковые множества случайных событий, но с различными вероятностями.

Вероятностное пространство служит математической моделью любого случайного явления. Следует отметить, что при построении вероятностного пространства для реальных случайных экспериментов самым сложным является вопрос о том, как задавать вероятности событий. В сущности, ответ на этот вопрос лежит вне рамок теории вероятностей. Но есть несколько важных частных случаев вероятностных пространств, позволяющих легко решить вопрос о вероятностях случайных событий, которые более подробно будут рассмотрены ниже.

§ 3. Классическое определение вероятности

Пусть пространство элементарных исходов W содержит n элементов:

.

Предположим, что задано n положительных действительных чисел

,

каждое из которых не больше 1. Пусть, кроме того,

                                                                   .                                              (3.1)

Число p_i поставим в соответствие элементарному исходу  (для всех i = 1, 2, …, n) и назовем его вероятностью элементарного исхода  или элементарной вероятностью.

Вероятность любого события А определим следующим образом:

                                                  ,                                   (3.2)

где суммируются вероятности только тех элементарных исходов , которые являются элементами подмножества А.

Непосредственно из определения вероятности Р(А), определенной по формуле (3.2) следует, что для нее выполняются аксиомы неотрицательности и нормированности (см. определение 2.4), т.е.  и .

Если А и В – несовместные события, то имеем

.

Следовательно, аксиома сложения тоже выполнена.

Таким образом, мы определили вероятностное пространство, которое называют конечной схемой.

Рассмотрим один частный случай этой схемы.

Предположим, что из каких-либо соображений мы можем считать все элементарные исходы эксперимента равновозможными или равновероятными. Тогда соответствующие им элементарные вероятность p_i будут равны между собой, т.е., учитывая равенство (3.1) получим:

,

для всех i = 1, 2, …, n.

Если событие  состоит из m элементарных исходов, то вероятность этого события можно найти, используя формулу (3.2), следующим образом:

.

Будем обозначать |А| число элементарных исходов, входящих в А или, другими словами, благоприятствующих событию А.

Определение 3.1 (классическое определение вероятности). Если пространство элементарных исходов W состоит из конечного числа равновероятных исходов, то вероятность произвольного события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу элементарных исходов:

                                                        .                                 (3.3)

Классическое определение вероятности следует рассматривать не как определение, а как метод вычисления вероятностей. Оно служит хорошей математической моделью тех случайных явлений, для которых исходы опытов в каком-либо смысле симметричны, и поэтому представляется естественным предположение об их равновероятности. Такие ситуации часто возникают в различных играх: карточные игры, игры в кости, лото и т.д. В других случаях, например, при организации лотерей, организации выборочного контроля продукции или выборочных статистических исследований равновероятность организуется специально.

При решении задач необходимо сначала описать пространство элементарных исходов W; найти общее число элементарных исходов ; найти число  элементарных исходов, благоприятствующих событию А, и воспользоваться формулой (3.3).

Пример 3.1. Лотерея состоит из 1000 билетов, среди них 150 выигрышных. Вынимается произвольный (обычно говорят "наугад" или "наудачу") билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение.

Различных элементарных исходов в этом примере 1000 и все они равновероятны. Следовательно, вероятность события А – вынутый билет является выигрышным – будем искать по классическому определению вероятности. В интересующее нас событие А входит 150 исходов. Значит, имеем: , , откуда

.

Пример 3.2. Бросается игральная кость один раз. Чему равны вероятности следующих событий: А – выпадет 6 очков, В – выпадет четное число очков, С – выпадет число очков, делящееся на 3?

Решение.

Если игральная кость «правильная», то все элементарные исходы являются равновероятными и для вычисления вероятностей событий надо использовать классическое определение вероятностей. Так как все интересующие нас события рассматриваются в рамках одного и того же эксперимента, то общее число элементарных исходов (знаменатель дроби) будет для них одинаковым: n = 6. Событию  благоприятствует только один элементарный исход, событию  – три исхода, событию  – два исхода. Таким образом, по формуле (3.3) получаем:

.

Часто при использовании формулы (3.3) для вычисления вероятности события по классическому определению оказывается удобным использовать комбинаторные формулы, рассмотренные в §1. Приведем несколько примеров.

Пример 3.3. Из разрезной азбуки составлено слово «теория». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем выбрал 3 из них и собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него получится слово «тор».

Решение.

Пусть событие А – получение слова «тор». Элементарными исходами данного эксперимента являются различные трехбуквенные «слова», которые можно составить из имеющихся карточек, различающиеся как составом входящих букв, так и порядком их следования. Значит, общее число элементарных исходов можно подсчитать как число размещений из 6 по 3, т.е. . Событию А будет благоприятствовать всего один элементарный исход: m = 1. Следовательно, по формуле (3.3) получаем

.

Пример 3.4. Из колоды карт (36 штук) наудачу вынимаются три карты. Чему равны вероятности следующих событий: А – среди вынутых карт окажется ровно один туз, В – среди вынутых карт окажется хотя бы один туз.

Решение.

Пространство элементарных равновероятных исходов состоит из всевозможных комбинаций по три карты, которые различаются только составом входящих в них карт. Следовательно, общее число элементарных исходов можно найти как число сочетаний из 36 по 3:

.

Число исходов, благоприятствующих событию А, можно подсчитать следующим способом. Один туз можно выбрать из четырех  различными способами, а две другие карты (не тузы) можно выбрать из оставшихся 32 карт  различными способами. Используя правило умножения, окончательно получаем

.

Искомая вероятность события А, таким образом, равна

.

Вероятность события В можно найти двумя способами. Во-первых, его можно представить как сумму трех несовместных событий В₁ – появление одного туза, В₂ – появление двух тузов, В₃ – появление трех тузов, и воспользоваться аксиомой сложения. Во-вторых, можно найти вероятность противоположного события  – среди вынутых карт нет ни одного туза, и воспользоваться свойством вероятности: . Для вычисления искомой вероятности воспользуемся вторым способом, т.к. в этом случае расчеты будут проще.

Число исходов, благоприятствующих событию , будет

.

Следовательно, искомая вероятность события В будет равна

.

§ 4. Условные вероятности. Независимые события

4.1. Условная вероятность

Нередко приходится вычислять вероятности событий, когда известна некоторая дополнительная информация о явлении. Обычно ситуация при этом такова: нужно найти вероятность события А после того, как стало известно, что некоторое событие В произошло, т.е. уже известно, что произошел некоторый исход, благоприятствующий событию В. Следовательно, условие «событие В произошло» можно понимать, как дополнительную информацию о множестве элементарных исходов – множество элементарных исходов W заменяется на множество исходов, благоприятствующих событию В.

Рассмотрим пример.

Пример 4.1. Студент из 30 билетов к экзамену успел выучить только шесть: с 1-го по 3-ий и с 28-го по 30-ый.

1. Какова вероятность того, что студент получит выученный билет (событие A)?

2. На экзамен студент пришел одиннадцатым, и оказалось, что остались только билеты с 1-го по 20-ый (событие B). Какова вероятность события А в этом случае?

Решение.

1. Без дополнительной информации о том, что событие В произошло, вероятность события А может быть вычислена по классическому определению вероятности. В этом случае, пространство элементарных исходов W содержит 30 элементарных исходов, а число исходов, благоприятствующих событию А, равно 6. Таким образом, имеем

.

2. При дополнительной информации (событие В произошло) множество возможных исходов состоит из 20 элементарных исходов, а событие А вместе с В наступает в 3 случаях. Следовательно, в данном случае вероятность события А есть:

.

Определение 4.1. Пусть . Число , определяемое равенством

                                              ,                                       (4.1)

называется условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло (или просто: при условии В).

Условная вероятность  обозначается также .

Вероятность , в отличие от условной вероятности , называется безусловной вероятностью.

Аналогично определяется условная вероятность события В при условии А:

                                              ,                                       (4.2)

при условии, что .

При  каждое из равенств (4.1) и (4.2) эквивалентно теореме умножения вероятностей.

Теорема 4.1 (теорема умножения вероятностей). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло

                             .                      (4.3)

Пример 4.2. В урне находятся три белых и семь черных шаров. последовательно вынимают два шара (без возвращения). Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Решение.

Представим событие С = {оба шара белые} в виде произведения двух событий , где событие А = {первый шар белый}, событие В = {второй шар белый}. Тогда по теореме умножения вероятностей имеем:

.

Сначала в урне находится 10 шаров, из которых три белых. Следовательно, по классическому определению вероятности получаем:

.

Предположим, что событие А произошло. Так как вынутый шар не возвращается в урну, то после извлечения белого шара в первый раз в урне осталось 9 шаров, из которых два – белые. Значит, имеем:

.

Следовательно, окончательно получаем:

.

Необходимо отметить, что теорема умножения вероятностей применима и в том случае, когда одно из событий А или В есть невозможное событие, т.к. в этом случае, например, вместе с  имеют место равенства  и .

Теорему умножения вероятностей можно обобщить на любое конечное число событий, т.е.

,

т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей одного из этих событий на условные вероятности других; при этом условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

4.2. Независимость событий

В теории вероятностей и ее применениях играет очень важную роль понятие независимости двух или нескольких событий. Что такое независимые события в жизни – понятно каждому. Это значит, что между событиями отсутствует причинно-следственная связь и осуществление одного события никак не влияет на другое.

Пусть . Будем говорить, что событие А не зависит от события В, если

                                                .                                         (4.4)

Пример 4.2. Из колоды карт (36 штук) вынимают наудачу карту. Зависит ли событие  – вынутая карта является тузом, от события  – вынутая карта оказалась черной?

Решение.

Т.к. в колоде 4 туза, то безусловная вероятность события А есть

.

Если произошло событие В, то легко видеть, что теперь имеется только 18 возможных исходов, из которых 2 благоприятствуют событию А, т.е. условная вероятность события А при условии В равна

.

Таким образом, мы получили, что условная вероятность события А равна безусловной

,

и, следовательно, событие А не зависит от события В.

Понятие независимости взаимно, т.е. если А не зависит от В и , то и В не зависит от А, т.е. имеет место равенство:

                                                .                                         (4.5)

Действительно:

.

Поскольку

,

то из (4.4) находим, что

                                            .                                    (4.6)

Аналогичное равенство получаем из (4.5). Таким образом, равенство (4.6) симметрично относительно А и В и имеет смысл так же и тогда, когда вероятности этих событий равны 0.

Определение 4.2. События А и В, имеющие положительные вероятности, называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей:

                                               Р(АВ)=Р(А)Р(В).                                        (4.6)

События А и В в этом определении симметричны: если событие А не зависит от В, то и В не зависит от А. Это определение можно распространить и на события нулевой вероятности.

Так же формулу (4.6) называют теоремой умножения вероятностей для независимых событий.

Пример 4.3. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8 белых 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара белые?

Решение.

Пусть событие А – появление белого шара из первого ящика, событие В – появление шара из второго ящика. Имеем:

.

Событие С – появление двух белых шаров – есть произведение событий А и В: С = АВ. Так как А и В – независимые события, то по определению 4.2 имеем:

.

Очень важно не путать независимые и несовместные события! Несовместные события – это те, которые не имеют общих элементарных исходов. Несовместность является всего лишь свойством взаимного расположения множеств. Независимость – это свойство не только множеств, но и, главным образом, вероятности, то есть заданной на этих множествах функций. Более того, если события А и В несовместны, то они чаще всего зависимы, т.к. из  следует , что может совпадать с произведением вероятностей  только если хотя бы одно из рассматриваемых событий имеет нулевую вероятность.

Полезно отметить, что независимость случайных событий А и В влечет за собой также независимость противоположных событий  и . Это соображение в ряде задач позволяет существенно упростить расчеты.

Пример 4.4. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго 0,9. Найти вероятность поражения цели, т.е. вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадет в цель.

Решение.

Обозначим случайные события: А – первый стрелок попал в цель, В – второй стрелок попал в цель. Нам надо найти вероятность события , являющегося объединением совместных событий А и В. Перейдем к противоположному событию. Таким событием является событие . Действительно, если  есть событие, состоящее в том, что хотя бы один из стрелков попадет в цель, то событие  есть «ни один из стрелков в цель не попадет». Так как по условию события А и В независимы, то независимы и события  и . Тогда по теореме умножения имеем

.

Остается воспользоваться формулой для расчета вероятностей противоположных событий:

;

Отсюда

,

и следовательно, снова по формуле вероятности противоположного события имеем

.

Понятие независимости можно обобщить на случай любого конечного числа событий.

4.3. Формула полной вероятности и теорема Байеса

Из аксиомы сложения и теоремы умножения вероятностей можно в виде простых следствий получить две очень важные формулы, получившие большое применение в теории вероятностей и математической статистике.

Теорема 4.2 (формула полной вероятности). Если H₁, H₂, …, H_n – полная группа несовместных событий, то для любого события А имеет место формула

                                       .                                (4.7)

Доказательство.

Т.к. события H₁, H₂, …, H_n образуют полную группу несовместных событий, то по определению 2.4, имеем

,

а, следовательно, событие А можно представить следующим образом в виде суммы попарно несовместных событий

Значит, по аксиоме сложения имеем

.

Применяя к каждому слагаемому  теорему умножения вероятностей 4.1, получаем, что

,

откуда и следует утверждение теоремы.

Задачи, решаемые с помощью формулы полной вероятности, можно рассматривать как два случайных эксперимента, проводимых последовательно. Сначала выделяется группа несовместных событий H₁, H₂, …, H_n, однозначно описывающая всевозможные исходы первого эксперимента. Обычно события H₁, H₂, …, H_n называют гипотезами. Тогда событие А – один из возможных исходов второго эксперимента.

Пример 4.5. Среди четырех неразличимых по внешнему виду урн три урны имеют одинаковый состав шаров – 2 белых и 1 черный, а в четвертой урне – 1 белый и 1 черный шар. Из случайно выбранной урны наудачу вынимается шар. Найти вероятность того, что этот шар – белый.

Решение.

Данную задачу можно представить в виде последовательного проведения двух экспериментов.

Первый эксперимент заключается в выборе урны. В качестве гипотез можно выбрать, например, состав шаров выбранной урны, т.е. H₁ – в выбранной урне 2 белых и 1 черный шар, H₂ – в выбранной урне 1 белый и 1 черный шар. Очевидно, события H₁ и H₂ образуют полную группу. Их вероятности можно определить по классическому определению вероятности: всего возможных исходов имеется 4, из них 3 исхода благоприятствуют событию H₁ и только один исход – событию H₂. Следовательно, имеем

.

Второй эксперимент – выбор шара. Обозначим А интересующее нас событие: А – вынут белый шар. Условные вероятности события А при условии, что известен состав шаров выбранной урны, также можно вычислить при каждом условии по классическому определению:

.

Теперь вероятность события  можно вычислить по формуле полной вероятности (4.7):

.

Простым следствием формулы полной вероятности является так называемая теорема Байеса или, как иногда говорят, теорема о вероятностях гипотез.

Теорема 4.3 (теорема Байеса). Пусть H₁, H₂, …, H_n – полная группа несовместных событий, А – произвольное событие, причем . Тогда условную вероятность того, что имело место событие H_k, где , если в результате эксперимента наблюдалось событие , можно вычислить по формуле:

                                    .                            (4.8)

Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события А, т.е. по мере получения новой информации, можно проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы. Такой подход называется байесовским.

Согласно распространенной интерпретации формулы (4.8) вероятности  называют априорными (известными до результата опыта, в котором может наступить событие А), а  – апостериорными (переоцененными в результате наступления события А).

Пример 4.6. В условиях примера 4.5 найти вероятность того, что была выбрана урна с составом шаров 2 белых и 1 черный, если известно, что вынутый шар оказался белым.

Решение.

Воспользуемся обозначениями, введенными в примере 4.5.

Нужно определить вероятность . По формуле (4.9) находим

.

§ 5. Схема Бернулли

5.1. Формула Бернулли

В научной и практической деятельности постоянно приходится проводить многократно повторяющиеся испытания (наблюдения, эксперименты) в сходных условиях. Как правило, при этом результаты предшествующих испытаний никак не сказывается на последующих. Очень важен простейший тип таких испытаний, когда в каждом из них некоторое событие А может появиться (или не появится) с одной и той же вероятностью, независимо от результатов предшествующих или последующих испытаний.

Определение 5.1. Одинаковые, независимые между собой испытания, в каждом из которых рассматривается некоторое событие А, наступающее с положительной вероятностью , называются испытаниями Бернулли.

Само событие А обычно называется успехом, а противоположное событие , наступающее в каждом из рассматриваемых испытаний с вероятностью q = 1 – p, условно называется неудачей.

Определение 5.2. Схемой Бернулли называется последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода – «успех» и «неудача», наступающие в одном испытании соответственно с вероятностью p и q = 1 – p.

Если рассматривается n испытаний, то каждый элементарный исход w может быть описан, например, последовательность длины n из 1 и 0, где стоящая на i-м месте 1 означает «успех» при i -м испытании, а 0 означает «неудачу». Пространство элементарных исходов W конечно и содержит 2ⁿ элементов. Следовательно, как вероятностная модель схема Бернулли является частным случаем конечной схемы, рассмотренной в § 3.

Пример 5.1. Если n =3, то все возможные элементарные исходы записываются следующими тройками названных символов:

Например, первая из перечисленных троек – 000 – означает, что событие  во всех трех испытаниях не наступило (три неудачи); вторая тройка – 001 – означает, что в первых двух испытаниях событие  не наступило, а в третьем – наступило (две неудачи и один успех) и т.д.

Теперь найдем вероятности элементарных исходов. Наступление или ненаступление события А в испытаниях с разными номерами для схемы Бернулли независимы. Отсюда следует, что вероятность любого элементарного исхода равна произведению n сомножителей p и q, соответствующих 1 и 0 в данной последовательности символов. Значит, вероятность любого элементарного исхода w, содержащего m успехов и (n–m) неудач, вычисляется по формуле

                                                 .                                         (5.1)

Заметим, что элементарные исходы не являются равновероятными, когда p ¹ q.

Для того чтобы ответить на вопрос, какова вероятность события В, состоящего в том, что в серии из n испытаний произойдет ровно m успехов, необходимо знать, сколько существует элементарных исходов, у которых m символов равны 1 и (n–m) символов равны 0. Интересующих нас элементарных исходов столько же, сколько способов выбрать m элементов из множества, содержащего n элементов (в строке символов выбираются позиции, на которых стоит символ 1), т.е. число исходов равно числу сочетаний из n по m. Следовательно, событие В стоит из  элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна . Т.к. схема Бернулли есть конечная вероятностная схема, то вероятность любого события вычисляется как сумма вероятностей элементарных исходов, входящих в данное случайное событие, то имеем:

.

Таким образом, мы получили формулу:

                                                ,                               (5.2)

где n – число испытаний, m – число успехов, p – вероятность успеха, q – вероятность неудачи.

Формула (5.2) называется формулой Бернулли.

Пример 5.2. Организация направила 5 заявок на приобретение сырья. Для каждой заявки вероятность быть выполненной равна 0,8. Какова вероятность, что 1) будут выполнены ровно 4 заявки; 2) будет выполнено не меньше трех заявок?

Решение.

В данной задаче успехом является событие А – заявка выполнена. Тогда по условию имеем: p = 0,8, q = 1 – 0,8 = 0,2.

1. По формуле Бернулли при n = 5 и m = 4 получаем:

.

2. Событие В – будет выполнено не меньше трех заявок, представляет собой сумму трех несовместных событий, состоящих в том, что будет выполнено три, четыре или пять заявок, т.е. по аксиоме сложения вероятностей

.

Используя для вычисления каждой вероятности, стоящей в правой части равенства формулу Бернулли, окончательно получим:

.

3.2. Предельные теоремы в схеме Бернулли

В практике часто приходится вычислять вероятности различных событий, связанных с числом успехов m в серии из n испытаний Бернулли при больших значениях n. В этом случае пользоваться формулой Бернулли достаточно трудно. Трудности возрастают, когда приходится суммировать вероятности . К суммированию сводится вычисление вероятностей событий вида . Для упрощения вычислений используются формулы, полученные из формулы Бернулли в результате предельных переходов. Такие формулы называются асимптотическими и определяются теоремой Пуассона, локальной и интегральной теоремами Муавра–Лапласа.

Теорема 5.1 (теорема Пуассона). Если при неограниченном увеличении числа испытаний n () вероятность успеха p в каждом испытании стремится к нулю () так, что произведение np стремится к постоянному числу λ, т.е.  (), то вероятность P_n(m) того, что в серии из n независимых испытаний число успехов будет равно m, удовлетворяют предельному равенству

                                             .                                      (5.3)

Сделаем несколько замечаний по применению теоремы Пуассона.

Замечания к теорем 5.1.

1.     Условие  в формулировке теоремы означает, что вероятность успеха меняется не внутри одной серии испытаний, а от серии к серии, когда меняется общее число испытаний.

2.     При больших значениях числа испытаний n и малых значениях вероятности p, обычно при n ≥ 50, p < 0,1 и np < 10, можно пользоваться приближенной формулой

                                       , где .                                (5.4)

3.     Если мало значение q (вероятность неудачи) то формулой (5.4) можно воспользоваться для числа неудач.

Пример 5.3. В школе учится 500 учеников. Какова вероятность, что 12 декабря день рождения будет ровно у одного из них?

Решение.

По условию имеем: число испытаний n = 500 > 50, успехом в каждом испытании будем считать событие А – день рождения ученика 12 декабря, поэтому .

Имеем . Следовательно, по формуле (5.4):

.

Пример 5.4. Страховая компания располагает информацией, что в некотором районе за год пожар случается в одном случае из 1500. Какова вероятность, что в поселке из 2000 домов в течение года произойдет не более двух пожаров?

Решение.

Успехом в данной задаче является событие А – произошел пожар. Из условия имеем: n = 2000, p = 1/1500. Находим .

Необходимо найти вероятность события В – произойдет не более двух пожаров, которое представляет собой сумму трех несовместных событий: произойдет 0, 1 или 2 пожара. Тогда по аксиоме сложения вероятностей имеем:

.

К каждому из слагаемых в правой части последнего равенства применим формулу (5.4) и получим:

.

Если число испытаний n велико, а вероятность успеха p не сильно отличается от 0,5, то теорема Пуассона дает плохое приближение для вероятностей P_n(m). В этом случае используется другая теорема. В отличие от теоремы Пуассона число успехов m в этом случае тоже растет с ростом числа испытаний n, а вероятность успеха p остается постоянной.

Теорема 5.2 (локальная теорема Муавра–Лапласа). Если вероятность успеха в каждом испытании p постоянна и отлична от нуля и единицы (0< p<1), то вероятность P_n(m) того, что в серии из n независимых испытаний событие А появится m раз при  удовлетворяет соотношению

                                         ,                                  (5.5)

где

                                                   .                                            (5.6)

Функция, заданная формулой

,

называется функцией Гаусса. Данная функция табулирована; таблицы значений этой функции приведены фактически в любом учебном пособии или справочнике по теории вероятностей или математической статистике. При использовании таблиц для вычисления значений функции  необходимо учитывать, что 1) она является четной и, следовательно, ; 2) при  можно считать, что .

Таким образом, приближенное равенство для вычисления вероятностей P_n(m) с помощью локальной теоремы Муавра-Лапласа можно окончательно записать в виде

                                             ,                                      (5.7)

где x вычисляется по формуле (5.6).

Хорошее приближение формула (5.7) дает при p = q = 0,5. Обычно локальную теорему Муавра – Лапласа рекомендуется использовать при n > 100 и при npq > 20. Указания о границах применимости формулы (5.7) являются очень приближенными и носят скорее качественный характер. Отметим так же, что m и n в (5.7) должны отличаться друг от друга не очень сильно; например, для P_n(0) локальная теорема дает плохое приближение.

Пример 5.5. В лотерее каждый десятый билет выигрывает. Определить какова вероятность того, что из 500 билетов будет ровно 50 выигравших?

Решение.

Мы имеем: n = 500, m = 50, p = 0,1, q = 0,9. Так как  и , то воспользуемся локальной теоремой Муавра – Лапласа. Имеем

, .

Следовательно, по формуле (5.7) получаем:

.

Теорема Пуассона и локальная теорема Муавра-Лапласа позволяют оценивать отдельные значения вероятностей P_n(m). Но при решении реальных проблем постоянно возникают задачи, когда требуется вычислять вероятности событий, состоящих в том, что число успехов m в последовательности из n независимых испытаний будет лежать между заданными границами a и b, т.е. требуется вычислять суммы . Конечно, в этой сумме каждое слагаемое можно вычислить по формулам (5.4) или (5.7). Но большое количество слагаемых делает расчет весьма громоздким и, кроме того, так как эти формулы дают приближенное значение вероятности P_n(m), то суммирование может только увеличить ошибку вычисления (причем достаточно существенно). В таких случаях используют другую теорему.

Теорема 5.3 (интегральная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность успеха p в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы (0< p<1), то для любых a и b, удовлетворяющих условию

,

при  вероятность того, что число успехов m в серии из n испытаний лежит в пределах от a до b может быть приближенно найдено по формуле

                                      ,                               (5.8)

где

                                         .                                 (5.9)

Формула (5.8) дает тем точнее результат, чем больше n, а p и q не очень близки к нулю. При выполнении условия npq> 20 она дает незначительную погрешность при вычислении вероятностей.

Определение 5.3. Интеграл

называется интегралом Лапласа или функцией Лапласа.

Используя функцию Φ(x) формулу (5.8) можно записать в виде

,

где x₁ и x₂ определяются по формулам (5.9).

Следовательно, для нахождения вероятностей  нужно уметь вычислять значение интеграла Φ(x) при любых значениях x. Для этих расчетов имеются специальные таблицы, т.к. интеграл Φ(x) в конечном виде через элементарные функции не выражается (интеграл «не берется»). Такие таблицы имеются практически в любом учебном пособии или справочнике по теории вероятностей или математической статистике. При использовании таблиц необходимо учитывать, что: 1) функция Φ(x) является нечетной, т.е. Φ(– x) = – Φ(x); 2) при x ≥ 4 можно считать, что Φ(x) = 0,5.

Пример 5.6. Стрелок попадает в цель при одном выстреле с вероятностью 0,75. Производится 1200 выстрелов. Найти вероятность того, что число попаданий в цель лежит в пределах о 885 до 930.

Решение.

По условию имеем: n = 1200, a = 885, b = 930, p = 0,75, q = 0,25. Так как npq = 225, то можно применить интегральную теорему Муавра-Лапласа. Сначала определим x₁ и x₂ по формулам (5.9), учитывая, что np = 900 и , имеем:

.

Находим значения функции Φ(x) по таблице:

, .

Окончательно получаем

.

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.     Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник. - Изд. 8-е, испр. и доп. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с

2.     Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 573 с.

3.     Колмогоров А. Н., Журбенко И. Г., Прохоров А. В. Введение в теорию вероятностей. - М., Наука, 1982. - 160 с. - Библ-ка "Квант". Выпуск 23

4.     Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. 3-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2008. -288 с.