11 класс, обобщающий урок по теме «Показательные уравнения и методы их решения с применением компьютерных технологий».

Купцова Татьяна Николаевна – учитель математики,

зав. кафедрой математики гимназии №1584 г. Москвы.

Цель урока:

Ø     обобщение и систематизация знаний,

Ø     раскрытие связей и отношений в изучаемом материале,

Ø     учить применять знания при решении базовых и нестандартных задач.

Оборудование:

• компьютер,
• мультимедийный проектор,
• экран,
• Приложение 1 (слайдовая презентация в PowerPoint) «Методы решения показательных уравнений»
• Приложение 2 (Решение уравнения типа «Три разных основания степеней» в Word)
• Приложение 3 (раздаточный материал в Word для практической работы).
• Приложение 4 (раздаточный материал в Word для домашнего задания).

Ход урока

Организационный этап.

                      ~           сообщение темы урока (записана на доске),

                      ~           необходимость проведения обобщающего урока в 10-11 классах:

o   в 10 классе - после прохождения темы с целью систематизации знаний;

o   в 11 классе – итоговое повторение с целью подготовки к ЕГЭ.

Этап подготовки учащихся к активному усвоению знаний.

Повторение.

Определение.

Показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную в

                  показателе степени (отвечает учащийся).

Замечание учителя.   Показательные уравнения относятся к классу трансцендентных уравнений. Это труднопроизносимое название говорит о том, что такие уравнения, вообще говоря, не решаются в виде формул.

            Их можно решать только приближенно численными методами на компьютерах. А как же быть с экзаменационными задачами? Вся хитрость состоит в том, что экзаменатор так составляет задачу, что она как раз допускает аналитическое решение. Иными словами, Вы можете (и должны!) проделать такие тождественные преобразования, которые сводят данное показательное уравнение к самому простому показательному уравнению. Это самое простое уравнение так и называется: простейшее показательное уравнение. Оно решается логарифмированием.

            Ситуация с решением показательного уравнения напоминает путешествие по лабиринту, который специально придуман составителем задачи. Из этих весьма общих рассуждений следуют вполне конкретные рекомендации.

Для успешного решения показательных уравнений необходимо:

1.                  Не только активно знать все показательные тождества, но и находить множества значений переменной, на которых эти тождества определены, чтобы при использовании этих тождеств не приобретать лишних корней, а тем более, - не терять решений уравнения.

2.                  Активно знать все показательные тождества.

3.                  Четко, подробно и без ошибок проделывать математические преобразования уравнений (переносить  слагаемые из одной части уравнения в другую, не забыв про смену знака, приводить к общему знаменателю дроби и тому подобное). Это называется математической культурой. При этом сами выкладки должны делаться автоматически руками, а голова должна думать об общей путеводной нити решения. Делать преобразования надо как можно  тщательней и подробней. Только это даст гарантию верного безошибочного решения. И помнить: небольшая арифметическая ошибка может просто создать трансцендентное уравнение, которое в принципе не решается аналитически. Выходит, Вы сбились с пути и уперлись в стенку лабиринта.

4. Знать методы решения задач (то есть знать все пути прохода по лабиринту решения). Для правильного ориентирования на каждом этапе Вам придется (сознательно или интуитивно!):

• определить тип уравнения;

• вспомнить соответствующий этому типу метод решения задачи.

Этап обобщения и систематизации изученного материала.

Учителем совместно с учащимися с привлечением компьютера проводится обзорное повторение всех  видов показательных уравнений и методов их решения, составляется общая схема. (Используется обучающая компьютерная программа Л.Я. Боревского "Курс математики - 2000", автор презентации в PowerPoint – Т.Н. Купцова .)

Приложение 1.

Рис.1.   На рисунке представлена общая схема всех типов показательных уравнений.

Как видно из этой схемы стратегия решения показательных уравнений состоит в том, чтобы привести данное показательное уравнение к уравнению, прежде всего, с одинаковыми основаниями степеней, а затем - и с одинаковыми показателями степеней.

Получив уравнение с одинаковыми основаниями и показателями степеней, Вы заменяете эту степень на новую переменную и получаете простое алгебраическое уравнение (обычно, дробно-рациональное или квадратное) относительно этой новой переменной.

Решив это уравнение и сделав обратную замену, Вы в результате приходите к совокупности простейших показательных уравнений, которые решаются в общем виде с помощью логарифмирования.

Особняком стоят уравнения, в которых встречаются лишь произведения (частные) степеней. Воспользовавшись показательными тождествами, удается эти уравнения привести сразу к одному основанию, в частности, - к простейшему показательному уравнению.

Рассмотрим, как решается показательное уравнение с тремя разными основаниями степеней.

(Если у учителя есть обучающая компьютерная программа Л.Я. Боревского "Курс математики - 2000" , то естественно работаем с диском, если нет - можно на каждую парту сделать распечатку такого типа уравнения из нее, представленную ниже.)

Приложение 2

Рис.2. План решения уравнения.

Рис.3 Начало решения уравнения

Рис.4 Окончание решения уравнения.

Выполнение практической работы.

Приложение 3  (раздаточный материал в Word для практической работы).

Задание:  из списка уравнений выбрать уравнения указанного типа (№ ответа занести в таблицу) и решить их (ответ занести в таблицу): 

A.              Три разных основания степеней

B.               Два разных основания - разные показатели степени

C.               Основания степеней - степени одного числа

D.              Одинаковые основания - разные показатели степеней

E.               Одинаковые основания степеней - одинаковые

          показатели степеней

F.                Произведение степеней

G.               Два разных основания степеней - одинаковые  показатели

H.              Простейшие показательные уравнения

1.       

2.        

3.         

4.      

5.          

6.     (  

7.      

8.         

Выполняется попарная взаимопроверка с выставлением оценок.

Нормы оценок:

"5"              - 100%

        "4"  - 1 ош. - 88%

                 2 ош. - 75%

       "3"   - 3 ош. - 63%

       "2"   - 4 ош. - 50%.

Решение нестандартного показательного уравнения.

            А теперь решим с вами одно из нестандартных показательных уравнений, которые необходимо научиться решать при подготовке к ЕГЭ (задание уровня С).

№218* (См. А.В. Столин. Комплексные упражнения по математике с решениями, 7-11 классы. Харьков, ИМП «Рубикон», 1995)

Решить уравнение:

Решение:

Ответ:  

Этап информации о домашнем задании

Домашнее задание.   

Приложение 4

            Определить тип уравнения и решить его.

1.     

2.       

3.    0,125 

5.     

6. 

Подведение итогов урока.

Выставление оценок за урок.

Окончание урока.

Для учителя.

Схема ответов практической работы.

Задание:  из списка уравнений выбрать уравнения указанного типа (№ ответа занести в таблицу):

A.           Три разных основания степеней

B.           Два разных основания - разные показатели степени

C.           Основания степеней - степени одного числа

D.           Одинаковые основания - разные показатели степеней

E.            Одинаковые основания степеней - одинаковые показатели степеней

F.            Произведение степеней

G.           Два разных основания степеней - одинаковые показатели

H.           Простейшие показательные уравнения

1.    (произведение степеней)

2.      (одинаковые основания - разные  показатели степеней)

3.     (три разных основания степеней)

4.      (два разных основания степеней -  одинаковые показатели)

5.      (одинаковые основания - одинаковые показатели  степеней)

6.   (   (простейшее показательное уравнение)

7.    (два разных основания - разные показатели степени)

8.      (основания степеней - степени одного числа)

Домашнее задание.

1.              (три разных основания степеней)                         Отв.     

2.                (два разных основания - разные показатели степени)

Отв.    х=1,5

3.             0,125 (произведение степеней)                                                  Отв.    х=6

4.             (одинаковые основания -  разные

                                                                                                  показатели степеней)            Отв.   х=1

5.                (основания степеней - степени одного числа)

                                                                                                            Отв. 

            В зависимости от уровня подготовленности класса и, соответственно, темпа урока в оставшееся время можно познакомить учащихся с обучающей компьютерной  с программой Л.Я. Боревского  "Курс математики - 2000" и с её помощью рассмотреть решение показательного уравнения № 8.41. (Учитель проводит беседу с привлечением компьютера и разбор уравнения типа "Три разных основания степеней".)