Конспект по математике на тему:"Производная"

Министерство образования Оренбургской области

государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Бугурусланский нефтяной колледж»

г. Бугуруслана Оренбургской области

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА ОТКРЫТОГО УРОКА

Бугуруслан, 2015

Преподаватель: __________ /О.Р. Шаляпина/

Тема: Произоводная

Тип занятия: комбинированный

Цели:

1.         Образовательная:

•          повторить формулы на преобразование тригонометрических выражений;

•          изучить: понятие производной функции, правила вычисления производных;

•          понять таблицу производных и суметь ее применять при решении заданий.

2.         Развивающая:

•          развивать умение работать в группе;

•          развивать логическое мышление.

3.         Воспитывающая:

•          воспитывать чувство такта, математическую культуру;

•          интерес к углубленному изучению математики.

Результат занятия: после проведения занятия студенты должны:

•          знать: как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости;

•          уметь: решать уравнения с помощью производной функции.

Оборудование: учебник, раздаточный материал, картинки для рефлексиию

Литература:

1.         Математика. 10 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова [и др.]. – 8-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2013. – 431 с. : ил.

2.         Поурочные разработки по математике. 10 класс. К УМК А.Г. Мордковича

3.         http://obrazovanie66.ru/main_prof.php?profid=342

4.         http://go.mail.ru/search_images

Ход занятия:

I.                   Орг. момент. Мотивация к учебной деятельности.

П: Здравствуйте. Садитесь. Сегодня, на нашем уроке присутствуют гости, но мы не должны пугаться этого, а наоборот, показать не только все, что мы знаем, но и познать много нового. А еще, ваша будущая профессия не только одна из самых древних, но и одна из самых массовых. Но массовых не в том смысле, что вас много, а в том, что к вам ходит очень много людей различных профессий. Хороший мастер посредством своей работы должен не только подчеркнуть достоинства и скрыть недостатки лица посетителя с помощью хорошей прически, но и быть коммуникабельным, тактичным, деликатным и терпеливым. Как вы думаете, для чего я вам все это рассказываю?

С: Для того, чтобы мы поняли, что математика нужна нам для того, чтобы развивать свое логическое мышление, чтобы мы могли общаться со своими клиентами на математические темы, если таковые нам понадобятся

П: Для работы сегодня я разделила вас на группы. Как нужно работать в группах?

С: Работать дружно, не перебивать друг друга, помогать друг другу.

П: Заранее вы выбрали командиров для своих групп, которые будут оценивать вашу работу на уроке, но в этом вы должны им помогать. На каждом столе лежат бланки со списками и критериями оценивания. Если студент на данном этапе работал много, то ему ставится галочка, если просто помогал, подсказывал, то плюсик. по вашим галочкам и плюсикам будут выставлены отметки в конце занятия.

II.                Актуализация знаний. Выявление темы урока.

П: Посмотрите внимательно на слайд. Как решается данное упражнение?

Что в нем необычного? Как может называться такое уравнение?

Для того, чтобы это узнать вы берете в руки тестовые задания, которые лежат у вас на столах и прорешиваете их. В конце теста есть табличка, куда вы записываете только букву правильного ответа. Отсюда вы и узнаете тему нашего урока.

Выберите номер правильного ответа.

Буквы, которые стоят перед правильным ответом, впишите в таблицу.

Получите тему сегодняшнего урока.

1. Окрестностью какой точки является интервал (-22,4; -12,4)?

Б) -15, 4      В)   17, 4     А) 15,4        П) – 17, 4

2. Чему равен предел стационарной последовательности?

Д) 0              Л) 1 Р) значению любого члена последовательности                     Г) любому числу

Вычислите предел числовой последовательности при n        ∞

3. x_n =

А) 0                О) -1             Е) 3               Г) 1

      4. x_n =

Ю) 3              И) 7               Т)  1              Ь) 0

5.  x_n =

З)              Д)               О) 0              Е) 1

    6.

Ф) -1             В) 0                 д) 5              Э) 1

    7. 

О) 0              С) -17             М) 3             Я) ∞

     8.

И) 7             Д) 0                 Н) 3              К) -1

9.

Ж) 1/2          Ъ) 5                  Н) 0                Ю) 1

10.

А) 5          Ы) 0                   Ч) 5/2            Ц) 2

11.

Т) 3         З) -1                      Б) 0             Я) 9

Историческая справка (видеоролик):

Термин «производная» является  буквальным переводом на русский французского слова deriveе, которое ввел в 1797 году Ж. Лагранж (1736 – 1813); он же ввел современные обозначения у’, f ’. Исаак Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму  функцию – флюентой. Г. Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную как .

Систематическое учение о производных развито Лейбницем и Ньютоном. Если Ньютон находил в основном из задач механики, то Лейбниц по преимуществу находил из геометрических задач. Свои результаты в этой области Ньютон изложил в трактате, названным им «Метод флюксий и бесконечных рядов», но его трактат был опубликован лишь посмертно в 1736 г. Первая печатная работа по дифференциальному исчислению была опубликована Лейбницем в 1684 г., озаглавленная «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не являются препятствием дробные и рациональные количества, и особый для этого род исчисления».

III.             Целеполагание.

П: Какие цели вы хотели бы реализовать на этом уроке?

IV.             Первичное усвоение новых знаний.

П: Итак, на каждом столе лежит запакованный конверт. Никто не знает, что в этом конверте. Сейчас, вы должны распаковать свои конверты и рассмотреть материалы, которые в них находятся, материалы размножены в трех экземплярах, чтобы каждый смог прочитать и сделать для себя записи. Затем, командир распределит работу во всей группе так, чтобы каждый член группы мог внести свою лепту в объяснение темы. Также в каждом конверте находится чистая бумага, фломастеры и цветные карандаши для образного восприятия темы. Следующим пунктом нашего занятия будет объяснение того материала, который находится в ваших конвертах всей группе. Для этого вы должны будете выбрать двух человек с группы, для того, чтобы они объяснили тему у доски: один из них объясняет, а другой показывает на рисунках. Приступайте.

(Работа студентов по группам)

П: Часто бывает так, что, решая задачи, очень далекие друг от друга по содержанию, мы приходим к одной и той же математической модели. Сила математики состоит в том, что она разрабатывает способы оперирования с той или иной математической моделью, которыми потом пользуются в других областях знаний. Вы умеете работать со многими математическими моделями — уравнениями, неравенствами, системами уравнений, системами неравенств и др. В этом параграфе речь пойдет о принципиально новой для вас математической модели. Сначала рассмотрим две различные задачи, физическую и геометрическую, процесс решения которых как раз и приводит к возникновению новой математической модели. Итак , консультанты первой группы идут нам рассказывать о материале, который изучали.

С: Задача 1 (о скорости движения). По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой s=s (t), где t — время (в секундах), s (t) — положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).

Решение. Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке М(рис. 114), пройдя путь от начала движения ОМ = s{t). Дадим аргументу t привращение  и рассмотрим момент времени  Координата материальной точки стала другой, тело в этот момент будет находиться в точке 
Значит, за  секунд тело переместилось из точки М в точку Р, т.е. прошло путь МР. Имеем: 
Полученную разность мы назвали в § 31 приращением функции: 

Путь  тело прошло за  секунд. Нетрудно найти среднюю скорость  движения тела за промежуток времени

А что такое скорость v (t) в момент времени t (ее называют иногда мгновенной скоростью)? Можно сказать так: это средняя скорость движения за промежуток времени   выбирается все меньше и меньше; иными словами, при условии, что 
Подводя итог решению задачи 1, получаем:

П: Прежде чем сформулировать вторую задачу и приступить к ее решению, обсудим вопрос, что следует понимать под касательной к плоской кривой. Термином «касательная» мы уже пользовались (на интуитивном уровне) в курсе алгебры 7—9-го классов. Например, мы говорили, что парабола у = х² касается оси х в точке х=0 или, что то же самое, ось х является касательной к параболе у = х² в точке х=0 (рис. 115). Иделоне в том, что ось х и парабола имеют одну общую точку. Ведь ось у тоже имеет с параболой у = х² одну общую точку, однако у вас не возникнет желания назвать ось у касательной к параболе. Обычно касательную определяют следующим образом.

Дана кривая Ь (рис. 116), на ней выбрана точка М. Возьмем еще одну точку на кривой, причем достаточно близкую к М, — точку Р. Проведем секущую МР. Далее будем приближать точку Р по кривой Ь к точке М. Секущая МР будет изменять свое положение, она как бы поворачивается вокруг точки М. Часто бывает так, что можно обнаружить в этом процессе прямую, представляющую собой некое предельное положение секущей; эту прямую — предельное положение секущей — называют касательной к кривой Ь в точке М.

Поставим эксперимент: возьмем параболу у = х², проведем секущую ОР, где О — вершина параболы, Р — текущая точка. Возьмем точку Р поближе к О, проведем вторую секущую. Возьмем точку Р еще ближе к О, проведем третью секущую и т.д. Вы обнаружите, что предельным положением этих секущих будет ось х — это и есть касательная к параболе в ее вершине (что соответствует нашим интуитивным представлениям). А сейчас, о геометрическом смысле производной нам расскажет вторая подгруппа.

С: Задача 2 (о касательной к графику функции). Дан график функции у = f(х). На нем выбрана точка М(а; f(а)), в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Решение. Дадим аргументу приращение Ах и рассмотрим на графике (рис. 117) точку Р с абсциссой . Ордината точки Р равна  Угловой коэффициент секущей МР, т.е. тангенс угла между секущей и осью х, вычисляется по формуле

Если мы теперь устремим Ах к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной 
Используя приведенную выше формулу для

П: Подведем итоги. Две различные задачи привели в процессе решения к одной и той же математической модели — пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Многие задачи физики, химии, экономики и т.д. приводят в процессе решения к такой же модели. Значит что нам надо сделать?

С:  Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т.е.:

а)    присвоить ей новый термин;
б)    ввести для нее обозначение;
в)    исследовать свойства новой модели.
П: Этим и займется третья подгруппа.

С: Определение 1. Пусть функция у =f(х) определена в конкретной точке х и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу х приращение f(х), такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции  Если существует предел этого отношения при условии  то указанный предел называютпроизводной функции у = f(х) в точке х и обозначают f'(х).
Итак,

Для обозначения производной часто используют символ у'.
Отметим, что у'=f'(х) — это новая функция, но, естественно, связанная с функцией у = f(x), определенная во всех таких точках х, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у =f(х).
В примере 6 § 31 мы доказали, что для линейной функции у =кх + m справедливо равенство:
Это означает, что у'=к или, подробнее,

В примере 7 § 31 мы доказали, что для функции у = х² справедливо равенство 
Это означает, что у'=2х или подробнее,

Рассмотренные в п. 1 задачи 1 и 2 позволяют истолковать производную с физической и геометрической точек зрения.
Физический (механический) смысл производной состоит в следующем. Если s(t) — закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t.

На практике во многих отраслях науки используется обобщение полученного равенства: если некоторый процесс протекает по закону s =s (t), то производная s'(t) выражает скорость протекания процесса в момент времени t.
Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой х=а можно провести касательную, непараллельную оси у, то f'(а) выражает угловой коэффициент касательной (рис. 119):

Поскольку к =tga, то верно равенство f'(а) =1tg а (рис. 119).
А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция у = f(х) имеет производную в конкретной точке х:

Это означает, что в достаточно малой окрестности точки х выполняется приближенное равенство: 
Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной (в заданной точке х). Например, для функции у = х² справедливо приближенное равенство 

Если функция у = f(х) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру отыскания производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x). 
П: Итак, сделаем вывод: если внимательно прочитать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм отыскания производной. Сформулируем его.

П: Приведем примеры:

Пример 1. Найти производную постоянной функции у =С.

Решение. Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.
1)    Для фиксированного значения х имеем: f (х) = С.

Пример 2. Найти производную функции .
Решение. Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.
1)    Для фиксированного значения х (разумеется, мы полагаем, что

V.               Первичная проверка понимания .

П: Что же такое производная? Какие формулы для вычисления производной мы изучили?

Выполним № 27.1 (а, в). К доске идет…

Решение:

Выполним № 27.13 (а, в)

Решение:

Резерв: № 27.9

Решение:

VI.             Контроль усвоения

П: Я раздаю вам небольшие листочки, на которых даны задания по теме. Командир раздает каждому из вас по 1-2 задания и с помощью ответов собираете пазл, который вы склеиваете при помощи скотча и вешаете на доску. У всех трех групп должно получиться 1 выражение, которое символизирует сегодня наш урок. А пока вы решаете примеры, командиры, пожалуйста, принесите мне листочки с вашими отметками. (Величие человека - в его способности мыслить) Как вы понимаете это выражение?

VII.          Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению .

Дома вы выполняете №  27.1(б, г), № 27.13 (б, г). Посмотрите в учебники и скажите, что вам может быть непонятно при решении заданий?

VIII.       Итог занятия.

Реализованы ли цели, которые вы поставили для себя в начале занятия? Что нового для себя вы узнали?

IX.             Рефлексия.

На доске висит картинка. Но эта девушка немного грустна, т.к. на ее волосах не хватает аксессуаров. Сейчас мы это исправим. На столе лежат бантики трех цветов: красные, желтые и зеленые. Вы должны будете повесить эти бантики на волосы девушки. Зеленый цвет вешают те студенты, которым понравился урок и тема им была понятна, желтый – если урок вам понравился, но тему вы недопоняли, а красный – если вы ничего не поняли на уроке и он вам не понравился.

Спасибо за занятие. До свидания.