Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект по математике на тему "Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители второго порядка. Правило Крамера" (9 класс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект по математике на тему "Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители второго порядка. Правило Крамера" (9 класс)

библиотека
материалов

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители второго порядка. Правило Крамера.

При исследовании систем двух линейных уравнений с двумя переменными удобно пользоваться геометрической интерпретацией.

Будем считать, что в каждом уравнении системы хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля. В этом случае каждое уравнение системы является уравнением некоторой прямой на координатной плоскости.

Эти прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают. В первом случае система имеет одно решение, во втором не имеет решений, а в третьем система имеет бесконечное множество решений.

Простейшей системой линейных уравнений является следующая система

http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/sysur/syslinur/image1.gif

каждое из уравнений которой в прямоугольной системе координат определяет некоторую прямую.

Если система имеет единственное решение (x0;y0), то прямые пересекаются в данной точке. Если система имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают. Если система несовместна, то прямые параллельны.

Рассмотрим правило Крамера.

Пусть hello_html_76fe4211.gif - определители этой системы,

 http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/sysur/syslinur/image3.gif

http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/sysur/syslinur/image4.gif

http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/sysur/syslinur/image5.gif

 

Тогда при hello_html_m3359df4b.gif система имеет единственное решение hello_html_16dcaf8c.gif

При hello_html_ea579b7.gif могут быть два случая:

  1. Если хотя бы один из определителей hello_html_4141bb0a.gif не равен нулю, то исходная система несовместна;

  2. Если hello_html_m2703ec20.gif, то исходная система будет недоопределенной (имеет множество решений).

Пример 1. Решить систему уравненийhello_html_m1e0cc604.gif

Решение. 1 способ. Воспользуемся геометрической интерпретацией системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Начнем со случая а = 0. При а=0 система, очевидно, имеет единственное решение.

Пусть теперь а≠0. Перепишем систему (1) в виде:

hello_html_9cdad58.gif

Угловой коэффициент прямой, задаваемой первым уравнением системы, равен

-0,5(а+1), а угловой коэффициент прямой, задаваемой вторым уравнением системы, равенhello_html_m1baf6be.gif . Поэтому приhello_html_m707dd894.gif,т.е. при hello_html_m1d66bead.gif эти прямые пересекаются, и, следовательно, система имеет единственное решение. Найдем это решение.

Приравняем правые части уравнений системы (2), получаем:

hello_html_m4b0d9321.gifоткуда после упрощений находим:

hello_html_73081536.gif Подставляем найденное значение х в любое из уравнений системы (2),получаем, что hello_html_m2f330635.gif

При а = - 2 прямые параллельны и не имеют общих точек. Подставляем а = - 2 в исходную систему, получаем систему hello_html_3dc2a0af.gif не имеющую решений.

При а = 1 прямые совпадают, система имеет бесконечно много решений. Подставив а=1, получим системуhello_html_32eda752.gifравносильную одному уравнению х+у = 3, все решения которого имеют вид (t; 3-t), где hello_html_151501e.gif

Ответ. При hello_html_m7cbe3ebf.gifсистема имеет единственное решение: hello_html_2d26743b.gif hello_html_m456ab983.gifпри а = - 2 система решений не имеет; при а = 1 система имеет бесконечно много решений (t; 3-t), где hello_html_151501e.gif

2 способ. Исследование этой системы можно провести и без использования геометрической интерпретации. Систему линейных уравнений можно решить методом алгебраического сложения. Рассмотрим этот способ на том же примере.

Умножим второе уравнение системы на (- 1) и прибавим к первому уравнению, умноженному на hello_html_m340090e9.gif, получим: hello_html_m13cee8e4.gifили

hello_html_7b9c5a24.gif(3)

Если hello_html_163aec03.gif то уравнение (3) имеет одно решение: hello_html_m52daeff6.gif. Подставим найденное значение х в любое из уравнений системы, находим: hello_html_m2f330635.gif При а = - 2 система hello_html_3dc2a0af.gifнесовместна, при а = 1 система hello_html_32eda752.gifимеет бесконечно много решений, и у нас получился такой же результат, что и в первом случае.

3 способ. Это же задание можно решить и, используя правило Крамера.

Найдем определители hello_html_34ee4a57.gif

hello_html_5b652aca.gif

hello_html_276ced1e.gif

hello_html_m7b3c2592.gif

1). Система имеет единственное решение, если hello_html_m3359df4b.gif, т.е. hello_html_m1270c946.gif

hello_html_m62fc3b3f.gif

hello_html_6e316b73.gif

2). Система имеет множество решений, еслиhello_html_77c3fe85.gif hello_html_5220f003.gif

Система при а=1 имеет вид hello_html_296f60c2.gifСледовательно, решение имеет вид hello_html_m795c5877.gif

3). Система не имеет решений, еслиhello_html_3ad6cd13.gif hello_html_63d0aecb.gif

Система hello_html_m73ac51a4.gifявно не имеет решений.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители второго порядка. Правило Крамера.

В данной работе рассмотрены три способа решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

1.     геометрическая  интерпретация си­стемы двух линейных уравнений с двумя переменными;

2.     метод алгебраического сложения;

3.     применение правила  Крамера.

Перечисленные способы рассмотрены на примере решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными с параметром. 

Я считаю, что правило Крамера можно начинать применять уже  в 7 классе, и не только физико-математического направления, но и в общеобразовательном классе.

 

При подготовке этой работы использовалось пособие  «Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа.- М.,Просвещение, 1998».

Автор
Дата добавления 30.04.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров682
Номер материала 505188
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх