Конспект урока Арифметическая и геометрическая прогрессии

Должность :учитель математики и физики Назарова Надежда Ивановна

Место работы: Муниципальное  бюджетное общеобразовательное учреждение «Соколовская основная общеобразовательная школа»

Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии

Цели урока:

Образовательные: обеспечить повторение, обобщение и систематизацию знаний по теме. Создание условий контроля (самоконтроля) усвоения темы.

Развивающие: способствовать формированию умений применения приемов сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию и развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к предмету, активности, мобильности, умения общаться.

Тип урока: урок закрепления знаний и систематизации знаний по арифметической и геометрической  прогрессии.

План и ход урока:

Организационная часть. Проверка готовности учащихся к уроку.

                        Закончился 20 век.

                        Куда стремится человек?

                        Изучены и космос и моря,

                        Строенье звезд и вся Земля.

                        Но математиков зовет

                        Известный лозунг:

                        «Прогрессио – движение вперед».

Мотивационное начало.

Учащимся предлагается обнаружить закономерность в таблице, заранее написанной на доске

 В первой строчке-геометрическая  прогрессия

Во всех столбцах – арифметическая прогрессия.

2. Как можно сформулировать тему данного урока

Учащиеся формулируют тему урока, записывают в тетрадь

Актуализация целей и задач урока

Мудрец:         Под скрип пера о лист бумаги.

                        Заполните сии листы!

Раздаются заготовки листов для проверки знания теории

Ученики заполняют таблицу.

За верные ответы каждый учащийся  получает жетоны. На экране появляется таблица с ответами

Зная эти формулы можно решать интересные задачи

Устно выполнить  следующие задания:

1.           (a_n ):    a₁ = 4, a₂ = 6, d = ?

2.           (a_n ):    a₁ = 2, d = 4, a₁₀ = ?

3.           (a_n ):    a₁ = 2, a₅ = - 18, S₅ = ?

4.           (b_n ):    b₁ = 9, b₂ = 3, q = ?

5.           (b_n ):    b₁ = 1, q = - 2,  b₄ = ?

Решение задач репродуктивного характера.Организация  взаимоконтроля в парах.

(Перед решением следующих задач  учащимся предлагается  оценить имеющиеся у них знания и умения по теме (по пятибальной шкале)

Задание –заполнить пропуски в таблице,если (a_n )-арифметическая прогрессия и   (b_n)- геометрическая прогрессия.

Работа выполняется учащимися самостоятельно. После следует взаимопроверка и взаимооценивание. Проверяющий заполняет третью колонку таблицы, выражая свое мнение о знаниях и умениях партнера

     Физкультминутка.  

 Проводится гимнастика для глаз.  Гимнастика для снятия напряжения глазных мускул. 

   -Смотрим все на доску. Нужно не поварачивая голову, в направлении указателя вести рисунок глазами. 1. Лежащая восьмёрка.      2. Вершина горы

1.    2.                             

3 «Я и мир логики»

Историческая справка о К.Ф. Гауссе

1. Вам предлагается решить небольшой тест. Обведите верные варианты ответов в кружок. Сопоставьте полученные ответы буквам и прочтите зашифрованное слово. Запишите буквы в таблицу.

            Найти пятые члены следующих арифметических прогрессий:

(a_n ):   - 6; - 3;…                     Ответ:  А. – 5; Б. 9; В. 18; Г. 6.

(a_n ):   a1 = 6, d = 5.               Ответ:  А. 26; Б. 15; В. 12; Г. 1.

a_n = 27 - 6n                             Ответ:  Е. 59;  Р. – 5;  У. – 3;  Ф. 4

(a_n ):   a1 = - 26,  d = 7.           Ответ:   П. 67 Р. – 3; С. 2; Т. 44

 (a_n ):     4; 6; 8;…                   Ответ:   М. – 4; Л. – 15; П. 6; С. 12.

Какое слово у вас  получилось?

А знаете ли вы кто такой Гаусс?

            Карл Гаусс (1777 – 1855) – немецкий математик, астроном, геодезист. Он еще в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький  Гаусс решил эту задачу за 1 минуту, сообразив, что 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = …,          101 • 50 = 5050.

Какая задача была предложена Гауссу?

( Надо было найти сумму ста первых членов арифметической прогрессии: 

1; 2; 3; …, 99; 100.      S100  =  (a1  + a100) • 100   =  (1 + 100) • 100/2   =   5050)

            Один ученик решает у доски, остальные записывают решение в тетрадях.

2)Найти сумму всех натуральных чисел ,кратных 4 и не превосходящих 300.

3)Найти количество всех трехзначных натуральных  чисел , делящихся на 7    

 -Я хочу предложить на ваше внимание  одну жизненную ситуацию. Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил такую сделку: “Я буду ежедневно в течении 30 дней приносить тебе по 100 000 рублей. А ты мне в первый день за 100 000 рублей даёшь 1 коп., во второй день за 100 000 рублей – 2 коп., и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в 2 раза. Если тебе  выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнём”. Купец обрадовался такой удаче. Он подсчитал, что за 30 дней получит от незнакомца 3 000 000 рублей. На следующий день пошли к нотариусу и узаконили сделку. Создаётся проблемная ситуация. Кто выиграл? Кто проиграл?

-Купец выиграл,   ... незнакомец выиграл.

 - Какую последовательность можно составить?          -1;2;4;8;16;32;64;....     всего тридцать членов.

- Это какая  прогрессия?                       -Геометрическая   прогрессия.

-Значит, нам  нужно найти сумму  30-ти членов геометрической прогрессии, где  b₁=1;   q=2.  Как найдём?      -Нужна формула для вычисления первых n членов геометрической прогрессии?

 Сегодня  вам кажется, что знание арифметической и геометрической прогрессий вам в жизни не пригодится, но, к сожалению это не так. Вот послушайте, в какое нелепое положение попал даже правитель государства, не знающий геометрическую прогрессию.

 -  По древней индийской легенде правитель  Шерам приглашает к себе Сету - человека, который придумал игру шахматы и говорит ему:  «Я хочу за прекрасную игру вознаградить тебя. Я очень богат, что спросишь, всё могу дать”.  А Сета улыбаясь, говорит ему: ”Если , вы непротив,  то на первую клетку шахматной доски положить 1-о зёрнышко пшеницы,  на вторую  - 2,  третью - 4,  четвёртую -  8,   на каждую последующую клетку в 2- раза больше, чем на предыдущую”  Правитель даёт своё согласие и даёт приказ: “Вычислить пшеницу причитающуюся  Сете и отдать”. Проходит день, второй, третий, а пшеница  не выдаётся. Вычисления проводятся день и ночь. Правитель выражает своё недовольствие. Наконец, спустя много времени они закончили свои вычисления, и были ошарашены тем , что у правителя нет столько пшеницы. Если быть точнее, то получим  18 квинтильонов  446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона  709 миллионов  551 тысяча  615. Чтобы вместить столько пшеницы нужен амбар  высотой 4 м,  шириной 10 м, длина, которого в 2 раза больше расстояния от земли до солнца -  300000000 км. Значит, правитель не смог выполнить просьбу Сеты.  (Учитель с помощью доски выводит формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии  ).

  S_n=(b_n· q-b₁)/(q-1)           (1)          S=b₁(qⁿ-1)/(q-1)    (2)    

  А теперь ответим на вопрос, который был поставлен раньше . Выясним кто выиграл, кто проиграл.  (Учитель совместно с учащимися вычисляют, сумму 30- ти членов, и делают вывод: купец проиграл, бесплатный сыр бывает только в мышеловке.)

Самостоятельная работа

1 вариант                                                               2вариант

1)      В арифметической прогрессии известны:

a₁=-1,2 и  d=3                                                            a₁=-0,8 и  d=4

Найти :   a₄                                                           Найти a₃

2)Найти разность арифметической прогрессии,если:

a₁=2,       a₁₁=-5                                                                                                       a₁=4 ,   a₁₈=-11                                    

3)Первый член геометрической прогрессии           3)Первый член геометричес

равен 11,а знаменатель равен 2                                  кой прогрессии равен4,а

Найти сумму 5 первых членов                                    знаменатель равен2.

                                                                                        Найти сумму 7 первых

                                                                                          членов

      4)Найти сумму шести членов                     4)Найти сумму пяти членов

 геометрической прогрессии                              геометрической прогрессии

 с положительными членами                             с положительными  членами

 если: b₂ =4, b₄ =1                                                  если: b₅ =81, b₃ =36

 Итог урока.

Рефлексия. А теперь, в конце урока хочется, чтобы вы выразили свое отношение к нашей сегодняшней работе и всему уроку в целом. Ответьте на вопросы в листах рефлексии и сдайте их мне.

1.Что понравилось на уроке?

2.Что не понравилось?

3.Мог ли ты получить другую отметку за урок?

4.Поставь себе отметку по 5-и бальной системе. Обоснуй  её.

Задание на дом.

1. Повторить все основные формулы арифметической и геометрической прогрессии.
2. №654,657,678 (учебник под ред.Теляковского)
3. Дополнительное задание.

Задача.

Настенные русские часы с кукушкой устроены так, что кукушка кукует по 1 разу, когда часы показывают половину каждого часа и каждый час столько раз, каково время от 1 до 12 часов. Сколько раз прокукует кукушка за сутки?

Прогрессия.(сообщение ученика)

Слово «прогрессия» латинского происхождения (progressio),буквально означает «движение вперед» (как и слово «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэция (V-VI вв).Название «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Первыми предоставления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко II тысячелетию до н.э., встречаются примеры арифметической и геометрической прогрессий. Первые из дошедших до нас задачи на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д. В древнерусском юридическом сборнике «Русская правда» содержатся выкладки о приплоде от скота и пчел за известный промежуток времени, о количествах зерна, собранного с определенного участка земли и т.д.

Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777-1855 гг), который в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Формула  суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в III веке).

Из одной  клинописной таблички можно заключить, что, наблюдая Луну от новолуния до полнолуния, вавилоняне пришли к такому выводу: в первые 5 дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2.