Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока геометрии в 8 классе "Теорема Пифагора"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект урока геометрии в 8 классе "Теорема Пифагора"

библиотека
материалов

hello_html_m630e3a99.gifМуниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №141 с углубленным изучением отдельных предметов»

Советского района города Казани РТ











Конспект урока по математике
в 8 классе

«Теорема Пифагора»





подготовила

учитель математики

высшей квалификационной категории

Бухарова Лидия Николаевна











г. Казань

2015



Список использованной литературы


1. Геометрия 7-9 под редакцией Руденко В.Н.
2. Геометрия 7-9 под редакцией Атанасян Л.С.
3. Приложение к газете «Математика» №13 за 1996год, «Поговорим о теореме Пифагора»



















































Тема урока: «Теорема Пифагора»

Урок№1.

Цели урока:

  1. Используя исторические сведения, раскрыть смысл и содержание известнейшей теоремы геометрии - теоремы, носящей имя древнегреческого математика Пифагора.

  2. Показать учащимся эстетику наглядности геометрических доказательств.

  3. Научить учащихся применять теорему Пифагора в решении геометрических и алгебраических задач.

  4. Показать практическое применение теоремы и теоремы, обратной теоремы Пифагора.

  5. Привить интерес к предмету, показав множество доказательств теоремы и предложив принять участие в самостоятельном доказательстве по готовым рисункам.



ХОД УРОКА.

  1. Теоретическая часть.

Еще в глубокой древности возникла необходимость вычислять стороны прямоугольных треугольников по двум известным сторонам. Такие задачи решаются при проектировании любых строительных объектов. Приведем пример из нашей повседневной жизни:

C:\Documents and Settings\Lidia\Рабочий стол\Пифагор\1.jpg

На площади устанавливается елка высотой 8м. Для закрепления ее в вертикальном положении от вершины елки делают проволочные натяжки АВ, АЕ, AD одинаковой длины и закрепляют на земле на расстоянии 6м от основания елки. Какой длины должна быть натягивающая проволока, чтобы елка занимала вертикальное положение? Эта задача решается просто с помощью теоремы Пифагора.



Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.







C:\Documents and Settings\Lidia\Рабочий стол\Пифагор\2.jpg

Если а и b катеты, с – гипотенуза, то

с2 = а2+b2

или в нашей задаче - АС и СВ – катеты, АВ – гипотенуза, т.е. по теореме Пифагора

АВ2 = АС2 + СВ2

АВ2 =82 + 62 =100,

Тогда АВ = √100 = 10 (м)

Мы докажем теорему чуть позже, а пока немного о Пифагоре – именем которого названа теорема.

Итак, Пифагор Самосский жил ≈ 2,5 тысячи лет тому назад. Это был знаменитый греческий философ и математик. Дошедшие до нас биографические сведения о Пифагоре отрывочны и, вероятно, далеко недостоверны. С его именем связано много легенд. Известно, что Пифагор много путешествовал по странам Востока, посещал Египет и Вавилон. В одной из греческих колоний Южной Италии им была основана знаменитая «Пифагорова школа». Именно Пифагору приписывают доказательство известной геометрической теоремы. Длительное время считалось, что до Пифагора эта теорема не была известна. Так Прокл в комментарии к «Началам» Евклида пишет:

«Если слушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору. Рассказывают, что в честь этого открытия он принес в жертву быка»

Однако не подлежит сомнению и то, что эту теорему знали за много лет до Пифагора. Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3,4 и 5 единиц является прямоугольным и пользовались этим свойством (т. е теоремой, обратной теореме Пифагора). И сейчас сельские строители, и плотники, закладывая фундамент какой-либо постройки, вычерчивают этот треугольник, чтобы получить прямой угол. Это делали и тысячи лет при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне, Китае. Сейчас треугольник со сторонами 3,4 и 5 часто называют египетским треугольником

Таким образом, Пифагор не открыл свойство прямоугольного треугольника, он сумел обобщить и доказать его. Доподлинно известно – как именно он сумел это сделать. В настоящее время доказательств теоремы Пифагора – более и менее строгих – известно более 150. Некоторые историки математики предполагают, что доказательство Пифагора было не принципиальным, а лишь подтверждением, проверкой этого свойства на ряде частных видов треугольников, начиная с равнобедренного прямоугольного треугольника, для которого оно, очевидно, следует из следующего рисунка:


C:\Documents and Settings\Lidia\Рабочий стол\Пифагор\3.jpg

.

Приведем пример доказательства теоремы Пифагора, принадлежащее древним индусам; это доказательство основано на использовании понятия равновеликости фигур. Это простое и наглядное доказательство. На рисунке изображено два равных квадрата. Длина стороны каждого квадрата, а + b. Каждый квадрат разбит на части, состоящие из квадратов прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами а, b, то останутся площади, равные между собой, т.е. с2 = а2 + b2. Впрочем, древние индусы не записывали доказательство, а сопровождали только одним словом «смотри!»

C:\Documents and Settings\Lidia\Рабочий стол\Пифагор\4.jpg

Следующий рисунок – иллюстрация доказательства великого индийского математика Бхсари (XII век). Его тоже сопровождало одно слово «смотри!»

C:\Documents and Settings\Lidia\Рабочий стол\Пифагор\5.jpg



Очевидно, что:

(b-a)2 + 4•½ab = c2 или

b2 – 2ab + a2 +2ab =c2 т.е.

b2 + a2 = c2 что и требовалось доказать.




Итак, давайте еще раз запишем и докажем теорему Пифагора.

C:\Documents and Settings\Lidia\Рабочий стол\Пифагор\6.jpg

Дано: прямоугольный треугольник, а,b катеты, с – гипотенуза

Доказать: a2 + b2 = c2

Доказательство:

1. Достроим данный треугольник до квадрата со стороной (а + b)

2. S – Площадь получившегося квадрата равна (а + b)2, т.е. S =(a +b)2

3. С другой стороны: S = ½ ab • 4 + c2 , или

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c 2 ; a2 + b2 = c2 ч.т.д.



  1. Рассмотрим примеры:

Задача: найти неизвестный элемент прямоугольного треугольника с катетами а, b и гипотенузой с.

а) Дано: а = 3см, b = 4см. Найти: с

По теореме Пифагора с2 = а2 + b2 = 32 + 42 = 25

с2 =25, с =hello_html_227c78bc.gif =5 (см)

или с =hello_html_6c500490.gif = hello_html_2a0af495.gif = hello_html_227c78bc.gif =5 (см)

б) Дано: а = 2hello_html_5909bbae.gif см; b = 3hello_html_39f1b7ec.gif см. Найти: с

с = hello_html_mfef5258.gif = hello_html_m5ecb8485.gif =hello_html_mf767c2d.gif (см)

в) Дано: а = 6см; с =10 см. Найти b

hello_html_671c7ec4.gif= hello_html_5ed3bbd2.gif - hello_html_m20f62a32.gif

b = hello_html_ad28573.gif = hello_html_m17f59f3f.gif = hello_html_23b3003.gif =hello_html_2aacc9e4.gif = 8 (см)

г) Дано: b = 15дм; с = 20 дм. Найти: а

а = hello_html_m4d38d187.gif = hello_html_m86fe56a.gif =hello_html_5251cbd6.gif = hello_html_4e5fea0d.gif =hello_html_m6ef8f419.gif =7hello_html_1e398b2a.gif (см)

Рассмотрим теорему, обратную теореме Пифагора:

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

(Доказательство рассмотрите самостоятельно в учебнике)

Пример: Докажите, что треугольник со сторонами 15, 20 и 25 см является прямоугольным

Решение: если hello_html_6a828216.gif = hello_html_m3043ff8f.gif + hello_html_6bb57b7e.gif, то по теореме обратной теореме Пифагора этот треугольник будет прямоугольным. Действительно

625 = 125 +400; 625=625;

Т.е. равенство hello_html_6a828216.gif = hello_html_m3043ff8f.gif + hello_html_6bb57b7e.gifверное, треугольник прямоугольный.



  1. Итоги урока, домашняя работа.

Итак, мы изучили и доказали теорему Пифагора, раскрыли смысл теоремы, обратной теореме Пифагора, рассмотрели конкретные примеры, попробуйте доказать теорему самостоятельно, используя любой из готовых рисунков.

C:\Documents and Settings\Lidia\Рабочий стол\Пифагор\7.jpg



Доказательство теоремы обратной теореме Пифагора.

C:\Documents and Settings\Lidia\Рабочий стол\Пифагор\8.jpg

Пусть стороны ∆АВС связаны соотношением

с2 = а2 + b2 (1)

Построим прямоугольный треугольник hello_html_3c880764.gif по двум катетам, длины которых равны а и b катетов данного треугольника. Пусть гипотенуза построенного треугольника равна hello_html_m213065c3.gif. Так как построенный треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем:

hello_html_105fd716.gif= hello_html_m37106755.gif + hello_html_671c7ec4.gif (2)

Сравнивая (1) и (2) получаем, что hello_html_105fd716.gif= hello_html_eef8b97.gif или hello_html_m213065c3.gif= с

Таким образом, ∆АВС= ∆hello_html_3c880764.gif, по трем сторонам, следовательно, hello_html_m3f752944.gif=∠С как соответственные углы в равных треугольниках,

т.е. ∠С = 90°





Краткое описание документа:

Авторская разработка урока "Теорема Пифагора" с использованием статей из газеты "Математика". На уроке реализуются следующие цели:

  1. Используя исторические сведения раскрыть смысл известнейшей теоремы геометрии;
  2. Показать учащимся эстетику наглядности геометрических доказательств;
  3. Научить применять теорему в алгебраических и геометрических задачах;
  4. Показать практическое применение прямой и обратной теоремы Пифагора;
  5. Привить интерес к предмету, показав множество доказательств теоремы и предложив принять участие в самостоятельном доказательстве по готовым рисункам.
Автор
Дата добавления 11.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров260
Номер материала 282640
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх