Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока на тему: «Разновидности функционально — графического метода решения логарифмических уравнений»
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 15 ДЕКАБРЯ!

Конкурс "Я люблю природу"

Конспект урока на тему: «Разновидности функционально — графического метода решения логарифмических уравнений»

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

МОУ СОШ № 33 г.Липецка


Алгебра и начала анализа


11 класс


Аксёнова Нина Ивановна


Тема урока «Разновидности функционально — графического метода решения логарифмических уравнений»

Тип урока :комбинированный.

Цель:


  • повторить определение логарифма, свойства логарифмической функции, основные способы решения логарифмических уравнений ( потенцирование, введение новой переменной, функционально-графический способы );

  • расширить представления учащихся о функционально- графическом методе решения логарифмических уравнений;

  • акцентировать внимание учащихся на том, в заданиях какого типа рациональнее применять функционально-графический метод;

  • формировать у учащихся умения сравнивать и анализировать, сопоставлять и делать выводы;

  • усилить прикладную направленность курса алгебры и начала анализа.



Пояснительная записка

Данная тема является важным этапом в формировании представлений о различных способах функционально-графического метода решения логарифмических уравнений в школьном курсе алгебры и начала анализа в программе «Алгебра и начала анализа 11 » автора А.Г.Мордковича.

Необходимо выделить 4 часа на объяснение и отработку навыка решения логарифмических уравнений.


Ход урока


I. Актуализация знаний учащихся.

На последних уроках вы изучали очень сложную тему «Логарифмы». Что вы уже знаете по этой теме:

1)определение логарифма,

2)свойства логарифмов,

3)логарифмическая функция,

4)логарифмические уравнения,

5)методы решения логарифмических уравнений.


Найдите блок « Блиц опрос» на рабочих листах.

II. Блок « Блиц опрос».

1) Вычислите значение выражения.

а) log5 75 - log5 3, б) log3 6 + log3 1,5.

2) Выясните при каких значениях x имеет смысл выражение:

а) log3 (12 – х), б) log62 + 12).

hello_html_m6b3e47fe.jpg3) Сопоставьте функцию и график.

hello_html_m76181cba.png






1. y =log2(x+3)



hello_html_4cc01ca0.jpg

2. y = sin x – 0,5



hello_html_m60db1007.jpg

3. y =loghello_html_4d7674de.gif(x-1)




4. y = |x – 3| - 2









Среди перечисленных функций найдите:

а) ограниченную и снизу, и сверху;

б) монотонно возрастающую.

5) Решите уравнения.

hello_html_2e069548.gif

Учитель: «Аристотель говорил, что ум заключается не только в знаниях, но и в умениях применять знания на деле. И действительно, любые знания ценны только тогда, когда они не только достоверны и точны, но и имеют практическую значимость для человечества в целом»


Звучит музыка. III.(Историческая справка)


Вы знаете - открытие логарифма связано с музыкой. Дело в том, что вся пифагорская теория музыки основывалась на законах «Пифагора - Архита». Пифагорова гамма была несовершенной, так как не позволяла переводить из одной тональности в другую мелодию.

И лишь только в 1700 году немецкий органист Веркмайстер осуществил смелое и гениальное решение, разделив октаву (геометрически) на 12 равных частей.

В основе музыкальной гаммы лежит геометрическая прогрессия со знаменателем – hello_html_m489e9055.gif. hello_html_m489e9055.gif является иррациональным числом, при нахождении приближенного значения которого используются логарифмы.

И этим практическое использование логарифмов не ограничивается. Музыка, астрономия, физика, экономика (что очень близко для вашего класса), архитектура и строительство тоже связаны с понятием логарифма. Давайте в этом убедимся


Найдите на рабочем листе блок «Звукоизоляция».

hello_html_m36a4da1f.gif

С помощью этой формулы можно рассчитать коэффициент Звукоизоляции.

D – коэффициент звукоизоляции.

р0 – давление звука до поглощения

р – давление звука, прошедшего через стену

A – константа, которая в расчетах принимается равной 20 дБ


Если коэффициент звукоизоляции D=20дБ, то

hello_html_58e5cd09.gif

т.е. снизилось давление звука в 10 раз. (Такую звукоизоляцию имеет дерево.). Я вам предлагаю дома вычислить во сколько раз снижает давление звука кирпич, если его коэффициент звукоизоляции D=50дБ.


Вначале урока мы с вами вспомнили различные методы решения логарифмических уравнений. И мне хочется рассмотреть с вами более подробно функционально-графический метод. Мы работаем с блоком №III.


Существует несколько разновидностей функционально-графического метода решений логарифмических уравнений.

Готовясь к этому уроку, я проанализировала процент выполнения заданий с логарифмическими уравнениями выпускниками города на ЕГЭ за 3 года. Ребята, обратите внимание на диаграмму. Вы видите, что в 2006 году процент выполнения заданий резко снизился. Это объясняется тем, что именно в этом году в КИМы были включены уравнения, при решении которых надо было воспользоваться функционально-графическим методом. Вот поэтому на сегодняшнем уроке мы будем решать логарифмические уравнения именно этим методом.


hello_html_m3def7dd1.gif






















IV.Слайд «Функционально-графический метод решения»

(3 разновидности)


1. Использование графических иллюстраций.

Пример. hello_html_59d446ec.gif(обратить внимание на несовершенность этого способа). Облость применения графического метода решения уравнений ограничена, поскольку с его помощью можно рассматривать только задания, в которых требуемые для построения графики хорошо ивестны, а искомые точки пересечения не выходят за пределы чертежа, кроме того , на отыскание решений влияют неизбежные погрешности чертежа.

hello_html_6a7094de.gifhello_html_m64f47063.jpg

Проверка:
hello_html_m5fadf9cf.gifhello_html_76797859.gif

Ответ: 4, 16.





2. Использование свойства монотонности функций.

Если в уравнении f(x) = g(x) на промежутке Х функция y=f(x) возрастает, y=g(x) убывает, то уравнение f(x) = g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень, который можно найти методом подбора.


Пример.

log5 (5x – 4)=1–х

Функция log5 (5x – 4) функция возрастает при x >log5 4, функция y = 1 – x убывает при любом x.

Если x = 1 , то log5 (5 – 4) = 1 – 1, 0 = 0, значит, 1 – корень уравнения.

Ответ: 1.


3. Использование ограниченности функций.

Если в уравнении f(x) = g(x) на промежутке X наибольшее значение одной из функций y = f(x) равно А и наименьшее значение другой y = g(x) равно А, то уравнение f(x) = g(x) равносильно на промежутке Х системе уравнений hello_html_m738d4085.gif



Пример.

log3 ((2x-5)2+9)=2-sin26πx

1) Оценим левую часть уравнения

(2х-5)²+9≥9

В силу возрастания функции y=loghello_html_593ecfc6.gift имеем loghello_html_593ecfc6.gif((2x-5)²+9)≥2.

2) Оценим правую часть уравнения

0 sin26πx ≤1,

-1 -sin26πx ≤0,

1 2-sin26πx ≤2.


{

log3 ((2x-5)2+9)≥2,

2-sin26πx≤2;

Получим





{

log3 ((2x-5)2+9)=2,

2-sin26πx=2.









log3 ((2x-5)2+9)=2,

(2x-5)2=0,

х=2,5.

Проверка:

2-sin²6π·2.5=2,

2-sin²15π=2,

2=2 – верно.

Ответ: 2,5.


Есть вопросы? Мы переходим к следующему блоку рабочего листа «Самостоятельная работа». Эти уравнения мы будем решать одним из способов функционально-графического метода. На решение уравнения отводится 3 минуты.

Давайте обсудим способ решения каждого уравнения.

Номер задания соответствует номеру группы. I группа……… II….

1

3x=10-log2x

2

log5x=hello_html_m4dfa85d0.gif

3

log2((x-2)2+4)=2-sin25πx

4

log3x=-|x-1|

5

log0,2(2x-1)=2x2-x-16

6

log5((4x-5)2+25)=2-sin28πx

Проверить 1, 2 группы (каждой группе даются образцы с решениями). Проверьте свое решение с контрольным образцом. Оставшиеся задания вы решите дома.


V.Домашнее задание.

А желающие могут решить уравнение повышенного уровня сложности:

hello_html_m76285e99.gif

Задача. Коэффициент звукоизоляции кирпичной стены в один кирпич равен 50 дБ. Каков коэффициент звукоизоляции стены в два кирпича?



1. 3х=10-log2x

y=3x возрастает на (0;+),

y=10-log2x убывает на (0;+).

Используя теорему о единственности корня, подбором находим, что

при х=2, получим 32=10-log22,

9=9 – верно, значит, x=2 является корнем уравнения.

Ответ:2

2. log5x = hello_html_2cc17045.gif

y= log5x, D(y):x>0.

y= hello_html_2cc17045.gif, D(y):x≥0.

x=5.

Проверкой убеждаемся, что х=5 является корнем уравнения.

Ответ: 5.



3. log2 ((x-2)2+4)=2-sin25πx.

у= log2 ((x-2)2+4).

Оценим (x-2)2+4, т.к. (x-2)2≥0, то (x-2)2+4≥4, в силу возрастания функции

у= log2 t, имеем log2 ((x-2)2+4) ≥2;

{

log2 ((x-2)2+4)2,

2-sin25πx2;

{

log2 ((x-2)2+4)=2,

(x-2)2+4=2;

{

x=2,

Проверка при х=2.










2-sin210π=2,

2=2.

Ответ: 2




4hello_html_m18554543.jpg. Пример. log3x=-|х-1|

y= log3x, D(y)=(0;+ ∞).

y=-|x-1|,

x=1. Проверкой убеждаемся, что х=1

является корнем уравнения.

Ответ: 1.






5. log0.2 (2x-1)=2x2-x-16,


ОДЗ:

2x-1>0,

2x>1,

х >hello_html_m3d4efe4.gif.

Функция y= log0.2 (2x-1) – убывает на промежутке (hello_html_m3d4efe4.gif;+).

Функция y=2x2-x-16 – возрастает на (hello_html_m3d4efe4.gif;+), т.к. x0 =hello_html_50c7c0d7.gif – вершина параболы и hello_html_50c7c0d7.gif<hello_html_m3d4efe4.gif.

Используя теорему о единственности корня, подбором находим, что если х=3, то log0.2 (2*3-1)=2*32-3-16, log0.25=-1, -1=-1.


Ответ: 3.



6. log5((4x-5)2+25)=2-sin28πx.

1) Оценим левую часть уравнения.

(4x-5)2≥0,

(4x-5)2+25≥25.

Учитывая, что функция у = log5t возрастает, логарифмируя обе части неравенства, имеем log5((4x-5)2+25) ≥2

2) Оценим правую часть.

-1 - sin28πx 0,

1 2- sin28πx 2.

3) Т.к. hello_html_m34d1583e.gif, то приходим к системе

{

log5 ((4x-5)2+25)≥2,

2-sin28πx2;

{

log5 ((4x-5)2+25)=2,

2-sin28πx=2.








4) Решаем одно из уравнений системы.

log5 ((4x-5)2+25)=2,

(4x-5)2+25=25,

4x-5=0,

х=1,25.

5) При х =1,25 другое уравнение системы обращается в верное равенство, значит, 1,25 – корень уравнения.


Ответ: 1,25.


VI.Итог.

Мы сегодня разобрали детально три разновидности функционально-графического метода решения логарифмических уравнений. Надеюсь, что тема вам понятна, и вы сможете справиться с заданиями на ЕГЭ.


2008 год по инициативе президента Российской Федерации объявлен годом семьи. Демографическая ситуация в России настораживает политиков, социологов. А обоснованы ли эти опасения, ответят математики.

Предлагаю решить вам следующую задачу.



Задача.

Число людей в нашей стране ежегодно уменьшается на hello_html_59cb927b.gifчасть. Через сколько лет население уменьшится в 10 раз, если демографическая ситуация не изменится?


Решение.

Пусть через х лет число людей в стране уменьшится. Сейчас в стране n человек. Тогда получим уравнение:


hello_html_3d9dfe68.gif


С вычислением десятичного логарифма вы знакомились при изучении параграфа 50, пример №5. Если при решении у вас возникли вопросы, обратитесь к нему дома.


Ответ: ≈ 476 лет.


Ребята, а вы знаете, что сейчас в стране ≈140 млн. человек, а станет всего 14 млн. человек в России. Это всего лишь население двух таких крупных городов, как Москва. Статисты утверждают, что для того, чтобы исправить ситуацию каждая семья должна иметь 3-4 ребенка. Проблема есть, но будущее России в ваших руках.


Наш урок подходит к концу. Давайте подведем итоги.

Сегодня мы с вами конкретизировали и расширили представления о способах решения логарифмических уравнений. Отрабатывали навыки сравнивать, анализировать, сопоставлять и делать выводы. Вы увидели возможность практического применения полученных на уроке знаний и взаимосвязь различных научных дисциплин. Хотелось бы, чтобы полученные знания помогали вам выстраивать образ научного познания мира.

10


Краткое описание документа:

Тип урока :комбинированныйДанная тема является важным этапом в формировании представлений  о различных способах функционально-графического метода решения логарифмических уравнений в школьном курсе алгебры и начала анализа в программе «Алгебра и начала анализа 11 » автора А.Г.Мордковича.

 

Необходимо выделить 4 часа на объяснение и отработку  навыка решения логарифмических уравнений. 

  Цель:

 

-         повторить определение логарифма, свойства логарифмической функции, основные способы решения логарифмических уравнений ( потенцирование, введение новой переменной, функционально-графический способы );

-         расширить представления учащихся о функционально- графическом методе решения логарифмических уравнений;

-         акцентировать внимание учащихся на том, в заданиях какого типа рациональнее применять функционально-графический метод;

-         формировать у учащихся умения сравнивать и анализировать, сопоставлять и делать выводы;

-         усилить прикладную направленность курса алгебры и начала анализа.

Общая информация

Номер материала: 133160

Похожие материалы