МОУ СОШ № 33 г.Липецка

Алгебра и начала анализа

11 класс

Аксёнова Нина Ивановна

Тема урока «Разновидности функционально — графического метода решения логарифмических уравнений»

Тип урока :комбинированный.

Цель:

-         повторить определение логарифма, свойства логарифмической функции, основные способы решения логарифмических уравнений ( потенцирование, введение новой переменной, функционально-графический способы );

-         расширить представления учащихся о функционально- графическом методе решения логарифмических уравнений;

-         акцентировать внимание учащихся на том, в заданиях какого типа рациональнее применять функционально-графический метод;

-         формировать у учащихся умения сравнивать и анализировать, сопоставлять и делать выводы;

-         усилить прикладную направленность курса алгебры и начала анализа.

Пояснительная записка

Данная тема является важным этапом в формировании представлений  о различных способах функционально-графического метода решения логарифмических уравнений в школьном курсе алгебры и начала анализа в программе «Алгебра и начала анализа 11 » автора А.Г.Мордковича.

Необходимо выделить 4 часа на объяснение и отработку  навыка решения логарифмических уравнений.  

Ход урока

I. Актуализация знаний учащихся.

На последних уроках вы изучали очень сложную тему «Логарифмы». Что вы уже знаете по этой теме:

1)определение логарифма,

2)свойства логарифмов,

3)логарифмическая функция,

4)логарифмические уравнения,

5)методы решения логарифмических уравнений.

Найдите блок « Блиц опрос» на рабочих листах.

  II.    Блок « Блиц опрос».  

  1) Вычислите значение выражения.

а) log₅ 75 -  log₅ 3,  б)  log₃ 6 + log₃ 1,5.

  2) Выясните при каких значениях  x  имеет смысл выражение:

       а)  log₃ (12 – х),   б) log₆ (х²  + 12).

  3) Сопоставьте функцию и график.

			1. y =log2(x+3)

Среди перечисленных функций найдите:

а) ограниченную и снизу, и сверху;

б) монотонно возрастающую.  

          5) Решите уравнения.

         Учитель: «Аристотель говорил, что ум заключается не только в знаниях, но и в умениях применять знания на деле. И действительно, любые знания ценны только тогда, когда они не только достоверны и точны, но и имеют практическую значимость для человечества в целом»

Звучит музыка. III.(Историческая справка)

Вы знаете -  открытие логарифма связано с музыкой. Дело в том, что вся пифагорская теория музыки основывалась на законах «Пифагора - Архита». Пифагорова гамма была несовершенной, так как не позволяла переводить из одной тональности в другую мелодию.

И лишь только в 1700 году немецкий органист Веркмайстер осуществил смелое и гениальное решение, разделив октаву (геометрически) на 12 равных частей.

В  основе музыкальной гаммы лежит геометрическая прогрессия со знаменателем – .       является иррациональным числом, при нахождении приближенного значения которого используются логарифмы.

И этим практическое использование логарифмов  не ограничивается. Музыка, астрономия, физика, экономика (что очень близко для вашего класса), архитектура и строительство тоже связаны с понятием логарифма. Давайте в этом убедимся

         Найдите на рабочем листе блок «Звукоизоляция».

         С помощью этой формулы можно рассчитать коэффициент Звукоизоляции.

         D – коэффициент звукоизоляции.

         р₀ – давление звука до поглощения

р – давление звука, прошедшего через стену

A – константа, которая в расчетах принимается равной 20 дБ

Если коэффициент звукоизоляции D=20дБ, то

т.е. снизилось давление звука в 10 раз. (Такую звукоизоляцию имеет дерево.). Я вам предлагаю дома вычислить во сколько раз снижает давление звука кирпич, если его коэффициент звукоизоляции D=50дБ.

Вначале урока мы с вами вспомнили различные методы решения логарифмических уравнений. И мне хочется рассмотреть с вами более подробно функционально-графический метод. Мы работаем с блоком №III.

Существует несколько разновидностей функционально-графического метода решений логарифмических уравнений.

Готовясь к этому уроку, я проанализировала процент выполнения заданий с логарифмическими уравнениями выпускниками города на ЕГЭ за 3 года. Ребята, обратите внимание на диаграмму. Вы видите, что в 2006 году процент выполнения заданий резко снизился. Это объясняется тем, что именно в этом году в КИМы были включены уравнения, при решении которых надо было воспользоваться функционально-графическим методом. Вот поэтому на сегодняшнем уроке мы будем решать логарифмические уравнения именно этим методом.

IV.Слайд «Функционально-графический метод решения»

(3 разновидности)

1. Использование графических иллюстраций.

Пример.    (обратить внимание на несовершенность этого способа). Облость применения графического метода решения уравнений ограничена, поскольку с его помощью можно  рассматривать только задания, в которых требуемые для построения графики хорошо ивестны, а искомые точки пересечения не выходят за пределы чертежа, кроме того , на отыскание решений влияют неизбежные погрешности чертежа.

Проверка:

Ответ: 4, 16.

2. Использование свойства монотонности функций.

Если в уравнении f(x) = g(x) на промежутке Х функция y=f(x) возрастает, y=g(x) убывает, то уравнение f(x) = g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень, который можно найти методом подбора.

Пример.

log₅ (5^x – 4)=1–х

Функция log₅ (5^x – 4) функция возрастает при x >log₅ 4,  функция y = 1 – x     убывает при  любом x.

Если x = 1 , то log₅ (5 – 4) = 1 – 1, 0 = 0, значит, 1 – корень уравнения.

Ответ: 1.

3. Использование ограниченности функций.

Если в уравнении f(x) = g(x) на промежутке X наибольшее значение одной из функций y = f(x) равно А и наименьшее значение другой  y = g(x) равно А, то уравнение  f(x) = g(x) равносильно на промежутке Х системе уравнений

Пример.

log₃ ((2x-5)²+9)=2-sin²6πx

1) Оценим левую часть уравнения

(2х-5)²+9≥9

В силу возрастания функции y=logt имеем log((2x-5)²+9)≥2.

2) Оценим правую часть уравнения

0≤ sin²6πx ≤1,

-1≤ -sin²6πx ≤0,

1≤ 2-sin²6πx ≤2.

Получим

log₃ ((2x-5)²+9)=2,

(2x-5)²=0,

х=2,5.

Проверка:

2-sin²6π·2.5=2,

2-sin²15π=2,

2=2 – верно.

Ответ: 2,5.

Есть вопросы? Мы переходим к следующему блоку  рабочего листа «Самостоятельная работа». Эти уравнения мы будем решать одним  из способов функционально-графического метода. На решение уравнения  отводится 3 минуты.

Давайте обсудим способ решения каждого уравнения.

Номер задания соответствует номеру группы. I группа……… II….

Проверить 1, 2 группы (каждой группе даются образцы с решениями). Проверьте свое решение с контрольным образцом. Оставшиеся задания вы решите дома.

V.Домашнее задание.

А желающие могут решить уравнение повышенного уровня сложности:

Задача. Коэффициент звукоизоляции кирпичной стены в один кирпич равен 50 дБ. Каков коэффициент звукоизоляции стены в два кирпича?

1. 3^х=10-log₂x

y=3^x   возрастает на  (0;+∞),

y=10-log₂x   убывает на  (0;+∞).

         Используя теорему о единственности корня, подбором находим, что

при х=2, получим 3²=10-log₂2,

9=9 – верно, значит, x=2 является корнем уравнения.

Ответ:2

2. log₅x =

y= log₅x,  D(y):x>0.

y= , D(y):x≥0.

x=5.

Проверкой убеждаемся, что х=5 является корнем уравнения.

Ответ: 5.

3. log₂ ((x-2)²+4)=2-sin²5πx.

у= log₂ ((x-2)²+4).

Оценим (x-2)²+4, т.к. (x-2)²≥0, то (x-2)²+4≥4, в силу возрастания функции

у= log₂ t , имеем log₂ ((x-2)²+4) ≥2;

       2-sin²10π=2,

       2=2.

Ответ: 2

4. Пример. log₃x=-|х-1|

y= log₃x,   D(y)=(0;+ ∞).

y=-|x-1|,

x=1.  Проверкой убеждаемся, что х=1

является корнем уравнения.

Ответ: 1.

5. log_0.2 (2x-1)=2x²-x-16,

ОДЗ:

2x-1>0,

2x>1,

х >.

Функция y= log_0.2 (2x-1) – убывает на промежутке (;+∞).

Функция y=2x²-x-16 – возрастает на (;+∞), т.к. x₀ = – вершина параболы и <.

Используя теорему о единственности корня, подбором находим, что если х=3, то log_0.2 (2*3-1)=2*3²-3-16, log_0.25=-1, -1=-1.

Ответ: 3.

6. log₅((4x-5)²+25)=2-sin²8πx.

1) Оценим левую часть уравнения.

(4x-5)²≥0,

(4x-5)²+25≥25.

Учитывая, что функция у = log₅t возрастает, логарифмируя обе части неравенства, имеем log₅((4x-5)²+25) ≥2

2) Оценим правую часть.

-1 ≤ - sin²8πx ≤ 0,

1 ≤ 2- sin²8πx ≤ 2.

3) Т.к. , то приходим к системе

4) Решаем одно из уравнений системы.

log₅ ((4x-5)²+25)=2,

(4x-5)²+25=25,

4x-5=0,

х=1,25.

5) При х =1,25 другое уравнение системы обращается в верное равенство, значит, 1,25 – корень уравнения.

Ответ: 1,25.

VI.Итог.

Мы сегодня разобрали детально три разновидности функционально-графического метода решения логарифмических уравнений. Надеюсь, что тема вам понятна, и вы сможете справиться с заданиями на ЕГЭ.

2008 год по инициативе президента Российской Федерации объявлен годом семьи. Демографическая ситуация в России настораживает политиков, социологов. А обоснованы ли эти опасения, ответят математики.

Предлагаю решить вам следующую задачу.

Задача.

Число людей в нашей стране ежегодно уменьшается на часть. Через сколько лет население уменьшится в 10 раз, если демографическая ситуация не изменится?

Решение.

Пусть через х лет число людей в стране уменьшится. Сейчас в стране n человек. Тогда получим уравнение:

С вычислением десятичного логарифма  вы знакомились при изучении параграфа 50, пример №5. Если при решении у вас возникли вопросы, обратитесь к нему дома.

Ответ: ≈ 476 лет.

Ребята, а вы знаете, что сейчас в стране ≈140 млн. человек, а станет всего 14 млн. человек в России. Это всего лишь население двух таких крупных городов,  как Москва. Статисты утверждают, что для того, чтобы исправить ситуацию каждая семья должна иметь 3-4 ребенка. Проблема есть, но будущее России в ваших руках.

Наш урок подходит к концу. Давайте подведем итоги.

Сегодня мы с вами конкретизировали и расширили представления о способах решения логарифмических уравнений. Отрабатывали навыки сравнивать, анализировать, сопоставлять и делать выводы. Вы увидели возможность практического применения полученных на уроке знаний и взаимосвязь различных научных дисциплин. Хотелось бы, чтобы полученные знания помогали вам выстраивать образ научного познания мира.