- 18.11.2014
- 783
- 0
МОУ СОШ № 33 г.Липецка
Алгебра и начала анализа
11 класс
Аксёнова Нина Ивановна
Тема урока «Разновидности функционально — графического метода решения логарифмических уравнений»
Тип урока :комбинированный.
Цель:
- повторить определение логарифма, свойства логарифмической функции, основные способы решения логарифмических уравнений ( потенцирование, введение новой переменной, функционально-графический способы );
- расширить представления учащихся о функционально- графическом методе решения логарифмических уравнений;
- акцентировать внимание учащихся на том, в заданиях какого типа рациональнее применять функционально-графический метод;
- формировать у учащихся умения сравнивать и анализировать, сопоставлять и делать выводы;
- усилить прикладную направленность курса алгебры и начала анализа.
Пояснительная записка
Данная тема является важным этапом в формировании представлений о различных способах функционально-графического метода решения логарифмических уравнений в школьном курсе алгебры и начала анализа в программе «Алгебра и начала анализа 11 » автора А.Г.Мордковича.
Необходимо выделить 4 часа на объяснение и отработку навыка решения логарифмических уравнений.
Ход урока
I. Актуализация знаний учащихся.
На последних уроках вы изучали очень сложную тему «Логарифмы». Что вы уже знаете по этой теме:
1)определение логарифма,
2)свойства логарифмов,
3)логарифмическая функция,
4)логарифмические уравнения,
5)методы решения логарифмических уравнений.
Найдите блок « Блиц опрос» на рабочих листах.
II. Блок « Блиц опрос».
1) Вычислите значение выражения.
а) log5 75 - log5 3, б) log3 6 + log3 1,5.
2) Выясните при каких значениях x имеет смысл выражение:
а) log3 (12 – х), б) log6 (х2 + 12).
3)
Сопоставьте функцию и график.
 |
1. y =log2(x+3)
Среди перечисленных функций найдите:
а) ограниченную и снизу, и сверху;
б) монотонно возрастающую.
5) Решите уравнения.
Учитель: «Аристотель говорил, что ум заключается не только в знаниях, но и в умениях применять знания на деле. И действительно, любые знания ценны только тогда, когда они не только достоверны и точны, но и имеют практическую значимость для человечества в целом»
Звучит музыка. III.(Историческая справка)
Вы знаете - открытие логарифма связано с музыкой. Дело в том, что вся пифагорская теория музыки основывалась на законах «Пифагора - Архита». Пифагорова гамма была несовершенной, так как не позволяла переводить из одной тональности в другую мелодию.
И лишь только в 1700 году немецкий органист Веркмайстер осуществил смелое и гениальное решение, разделив октаву (геометрически) на 12 равных частей.
В основе музыкальной гаммы лежит
геометрическая прогрессия со знаменателем – 
. является иррациональным числом, при нахождении
приближенного значения которого используются логарифмы.
И этим практическое использование логарифмов не ограничивается. Музыка, астрономия, физика, экономика (что очень близко для вашего класса), архитектура и строительство тоже связаны с понятием логарифма. Давайте в этом убедимся
Найдите на рабочем листе блок «Звукоизоляция».
С помощью этой формулы можно рассчитать
коэффициент Звукоизоляции.
D – коэффициент звукоизоляции.
р0 – давление звука до поглощения
р – давление звука, прошедшего через стену
A – константа, которая в расчетах принимается равной 20 дБ
Если коэффициент звукоизоляции D=20дБ, то
т.е. снизилось давление звука в 10 раз. (Такую звукоизоляцию имеет дерево.). Я вам предлагаю дома вычислить во сколько раз снижает давление звука кирпич, если его коэффициент звукоизоляции D=50дБ.
Вначале урока мы с вами вспомнили различные методы решения логарифмических уравнений. И мне хочется рассмотреть с вами более подробно функционально-графический метод. Мы работаем с блоком №III.
Существует несколько разновидностей функционально-графического метода решений логарифмических уравнений.
Готовясь к этому уроку, я проанализировала процент выполнения заданий с логарифмическими уравнениями выпускниками города на ЕГЭ за 3 года. Ребята, обратите внимание на диаграмму. Вы видите, что в 2006 году процент выполнения заданий резко снизился. Это объясняется тем, что именно в этом году в КИМы были включены уравнения, при решении которых надо было воспользоваться функционально-графическим методом. Вот поэтому на сегодняшнем уроке мы будем решать логарифмические уравнения именно этим методом.
 |
IV.Слайд «Функционально-графический метод решения»
(3 разновидности)
1. Использование графических иллюстраций.
Пример. 
(обратить внимание на
несовершенность этого способа). Облость применения графического метода решения
уравнений ограничена, поскольку с его помощью можно рассматривать только
задания, в которых требуемые для построения графики хорошо ивестны, а искомые
точки пересечения не выходят за пределы чертежа, кроме того , на отыскание
решений влияют неизбежные погрешности чертежа.
Проверка:
Ответ: 4, 16.
2. Использование свойства монотонности функций.
Если в уравнении f(x) = g(x) на промежутке Х функция y=f(x) возрастает, y=g(x) убывает, то уравнение f(x) = g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень, который можно найти методом подбора.
Пример.
log5 (5x – 4)=1–х
Функция log5 (5x – 4) функция возрастает при x >log5 4, функция y = 1 – x убывает при любом x.
Если x = 1 , то log5 (5 – 4) = 1 – 1, 0 = 0, значит, 1 – корень уравнения.
Ответ: 1.
3. Использование ограниченности функций.
Если в уравнении f(x) = g(x) на
промежутке X наибольшее значение одной из функций y = f(x) равно
А и наименьшее значение другой y = g(x) равно А, то уравнение f(x) = g(x)
равносильно на промежутке Х системе уравнений 
Пример.
log3 ((2x-5)2+9)=2-sin26πx
1) Оценим левую часть уравнения
(2х-5)²+9≥9
В силу возрастания функции y=log
t имеем log((2x-5)²+9)≥2.
2) Оценим правую часть уравнения
0≤ sin26πx ≤1,
-1≤ -sin26πx ≤0,
1≤ 2-sin26πx ≤2.
Получим
log3 ((2x-5)2+9)=2,
(2x-5)2=0,
х=2,5.
Проверка:
2-sin²6π·2.5=2,
2-sin²15π=2,
2=2 – верно.
Ответ: 2,5.
Есть вопросы? Мы переходим к следующему блоку рабочего листа «Самостоятельная работа». Эти уравнения мы будем решать одним из способов функционально-графического метода. На решение уравнения отводится 3 минуты.
Давайте обсудим способ решения каждого уравнения.
Номер задания соответствует номеру группы. I группа……… II….
Проверить 1, 2 группы (каждой группе даются образцы с решениями). Проверьте свое решение с контрольным образцом. Оставшиеся задания вы решите дома.
V.Домашнее задание.
А желающие могут решить уравнение повышенного уровня сложности:
Задача. Коэффициент звукоизоляции кирпичной стены в один кирпич равен 50 дБ. Каков коэффициент звукоизоляции стены в два кирпича?
1. 3х=10-log2x
y=3x возрастает на (0;+∞),
y=10-log2x убывает на (0;+∞).
Используя теорему о единственности корня, подбором находим, что
при х=2, получим 32=10-log22,
9=9 – верно, значит, x=2 является корнем уравнения.
Ответ:2
2. log5x = 
y= log5x, D(y):x>0.
y= , D(y):x≥0.
x=5.
Проверкой убеждаемся, что х=5 является корнем уравнения.
Ответ: 5.
3. log2 ((x-2)2+4)=2-sin25πx.
у= log2 ((x-2)2+4).
Оценим (x-2)2+4, т.к. (x-2)2≥0, то (x-2)2+4≥4, в силу возрастания функции
у= log2 t , имеем log2 ((x-2)2+4) ≥2;
2-sin210π=2,
2=2.
Ответ: 2
4. Пример. log3x=-|х-1|
y= log3x, D(y)=(0;+ ∞).
y=-|x-1|,
x=1. Проверкой убеждаемся, что х=1
является корнем уравнения.
Ответ: 1.
5. log0.2 (2x-1)=2x2-x-16,
ОДЗ:
2x-1>0,
2x>1,
х >
.
Функция y= log0.2
(2x-1) –
убывает на промежутке (;+∞).
Функция y=2x2-x-16 – возрастает на (;+∞), т.к. x0 =
– вершина параболы и <
.
Используя теорему о единственности корня, подбором находим, что если х=3, то log0.2 (2*3-1)=2*32-3-16, log0.25=-1, -1=-1.
Ответ: 3.
6. log5((4x-5)2+25)=2-sin28πx.
1) Оценим левую часть уравнения.
(4x-5)2≥0,
(4x-5)2+25≥25.
Учитывая, что функция у = log5t возрастает, логарифмируя обе части неравенства, имеем log5((4x-5)2+25) ≥2
2) Оценим правую часть.
-1 ≤ - sin28πx ≤ 0,
1 ≤ 2- sin28πx ≤ 2.
3) Т.к. 
, то приходим к системе
4) Решаем одно из уравнений системы.
log5 ((4x-5)2+25)=2,
(4x-5)2+25=25,
4x-5=0,
х=1,25.
5) При х =1,25 другое уравнение системы обращается в верное равенство, значит, 1,25 – корень уравнения.
Ответ: 1,25.
VI.Итог.
Мы сегодня разобрали детально три разновидности функционально-графического метода решения логарифмических уравнений. Надеюсь, что тема вам понятна, и вы сможете справиться с заданиями на ЕГЭ.
2008 год по инициативе президента Российской Федерации объявлен годом семьи. Демографическая ситуация в России настораживает политиков, социологов. А обоснованы ли эти опасения, ответят математики.
Предлагаю решить вам следующую задачу.
Задача.
Число людей в нашей стране ежегодно
уменьшается на 
часть. Через сколько лет население уменьшится в 10
раз, если демографическая ситуация не изменится?
Решение.
Пусть через х лет число людей в стране уменьшится. Сейчас в стране n человек. Тогда получим уравнение:
С вычислением десятичного логарифма вы знакомились при изучении параграфа 50, пример №5. Если при решении у вас возникли вопросы, обратитесь к нему дома.
Ответ: ≈ 476 лет.
Ребята, а вы знаете, что сейчас в стране ≈140 млн. человек, а станет всего 14 млн. человек в России. Это всего лишь население двух таких крупных городов, как Москва. Статисты утверждают, что для того, чтобы исправить ситуацию каждая семья должна иметь 3-4 ребенка. Проблема есть, но будущее России в ваших руках.
Наш урок подходит к концу. Давайте подведем итоги.
Сегодня мы с вами конкретизировали и расширили представления о способах решения логарифмических уравнений. Отрабатывали навыки сравнивать, анализировать, сопоставлять и делать выводы. Вы увидели возможность практического применения полученных на уроке знаний и взаимосвязь различных научных дисциплин. Хотелось бы, чтобы полученные знания помогали вам выстраивать образ научного познания мира.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Тип урока :комбинированный. Данная тема является важным этапом в формировании представлений о различных способах функционально-графического метода решения логарифмических уравнений в школьном курсе алгебры и начала анализа в программе «Алгебра и начала анализа 11 » автора А.Г.Мордковича.
Необходимо выделить 4 часа на объяснение и отработку навыка решения логарифмических уравнений.
Цель:
- повторить определение логарифма, свойства логарифмической функции, основные способы решения логарифмических уравнений ( потенцирование, введение новой переменной, функционально-графический способы );
- расширить представления учащихся о функционально- графическом методе решения логарифмических уравнений;
- акцентировать внимание учащихся на том, в заданиях какого типа рациональнее применять функционально-графический метод;
- формировать у учащихся умения сравнивать и анализировать, сопоставлять и делать выводы;
- усилить прикладную направленность курса алгебры и начала анализа.
6 661 168 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Аксенова Нина Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.