Цель  урока:



Создать условия для развития ученика, его интеллектуальности, развить общие познавательные способности и ориентировать ученика на самостоятельное освоение нового опыта.

Методические подходы

-универсальные учебные действия (УУД):





сформировать понятия наибольшего и наименьшего значения функций;  научить учащихся применять правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке (на интервале);



формирование практического опыта способов деятельности – индивидуальный, ценностно-ориентированный;

-личностные:

-регулятивные:









развивать рефлексивную способность, 

самостоятельное структурирование знаний и достижений позитивного результата; установление связей между целью учебной и ее мотивом, ориентация в социальной значимости содержания; организация своей учебной деятельности, контроля, волевая саморегуляция.

Результаты изучения

темы

 ЗУНы, опыт решения проблемы; личностные результаты - формирование ценностных отношений к себе, другим, к ОП и его результатам.

Тип урока

                 урок формирования новых знаний

Формы работы учащихся

                фронтальная,  парная,   индивидуальная

Необходимое техническое оборудование

                 компьютер, проектор, интерактивная доска.

№

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Время 

(в мин.)

1

Организационный момент

1.               Приветствие. 

2.               Определение отсутствующих. 

3.               Проверка готовности обучающихся к уроку (наличие учебных принадлежностей).

4.               Положительный настрой на урок.

Приветствие

2

2

Изучение нового материала

1.               Предлагает учащимся на основании предшествующей деятельности предположить, чем они будут заниматься на уроке и вместе с ними формулирует тему и образовательные задачи урока.

2.               Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке. а) Вы уже накопили некоторый опыт отыскания наибольшего и наименьшего значений функции. Для примера рассмотрим рациональную функцию у = Зх⁴ - 16х³ + 24х² -11.   Найдём наибольшее

(наименьшее) значение функции на множестве R.

1.Высказывают предположения и записывают тему урока в рабочих тетрадях.

1).Найдём производную данной функции: 

f'(x) = 12х³-48х² + 48х и далееf'(x)= 2х (х² - 4х +4) f'(x)=

12х (х-2)²

2).Производная обращается в ноль в точках х=0 и х=2 - это две стационарные точки заданной функции.   Укажем схематические знаки производной по промежуткам области определения:

у´  -           +              +           х

на промежутке (- ∞ ; 0) производная отрицательна, на промежутке (0;2) - положительная. Значит, х=0 - точка минимума функции, а х=2 точкой экстремума не является. В силу непрерывности функция убывает на промежутке (-∞ ; 0], возрастает на промежутке [0; +∞)

в точке минимума х=0 имеем f(0) = -11. Значит,  у_min= -11.

15

б)   пусть у = f (х) непрерывна на отрезке [а,в] - несколько графиков таких функций представьте на рис. 1-3.

- Самостоятельно: (предусмотрите возможные варианты достижения функций наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [а ,в]). Учащиеся выполняют различные варианты рисунков.

(работа проверяется с помощью интерактивной доски)

         Рис.1                                     Рис.2

Рис.3

2

2.-К каким выводам можно прийти, анализируя указанные математические модели? (см. стр.107 учебника - Ю.М. Колягина)

  Это весьма солидная теорема курса математического анализа, доказательство её требует достаточной продвинутости в изучения курса.

 -  Вспомните, как называются точки, в которых производная равна нулю (равна нулю или не существует)? В каких  точках внутри отрезка функция достигает своего наибольшего наименьшего) значения?

В этом нет ничего удивительного, поскольку в этом случае наибольшее (или наименьшее) значение функции одновременно является значением функции в точке экстремума.

-Важен ли нам характер точек экстремума?

1.       Если функция непрерывна на [ а , в ], то она достигает на нём своего наибольшего и своего наименьшего значения.

2.       Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.

3.       Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

-Не важен,  т.е. нет  смысла проверять

-Подведём итог сказанному и выработаем алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего

значения непрерывной функции у = f(x) на отрезке [а ; в]        Слайд 1-3

 Учащиеся предлагают возможный алгоритм (вариантов может быть несколько). С учащимися согласовать наиболее оптимальный (удобный в практическом применении, запоминающийся).

стационарные точки на экстремум.

1.                 Найти значения функции в точках а и в , т.е. f (а)  и f (в).

2.                 Найти производную f´(х).

3.                 Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка [а , в].

3.

Закрепление знаний учащихся

-Предлагаю выполнение этапов алгоритма на примере. Слайд 4-6

-Предлагаю  решить пример, применяя алгоритм  в тетради, на доске.

Пример:

4. Среди точек, найденных в п.З  отобрать принадлежащие отрезку [а ,в].  Вычислить значение функции в отобранных точках. Выбрать среди этих значений наименьшее (это и будет y _min) )   и наибольшее

(это и будет у_max)

Решение.

5

25

4.

Работа в парах.

Найти наименьшее и наибольшее значение функции у = х³ - Зх² - 45х +1. а) на отрезке [- 4,6];

б) на отрезке [ 0, 6];

в) на отрезке [ -2,2 ].

-В рамках закрепления изученного необходимо, работая в парах самостоятельно решить №15(1,3),№16(1), №17(1).

Дополнительно, для тех, кому интересно, решить №18(3)

Предлагаю несколько изменить алгоритм, чтобы решение было более компактным:

1) у = Зх² - 6х - 45

1) Производная существует при всех значениях х, значит, критических точек у функции нет, а стационарных точек найдём из условия у' = 0.

Имеем:

Зх² - 6х - 45 =0;            х² = 2х - 15 =0; х₁ =3,     х₂ = 5.

Рассмотрим условия

а),б), в).

а) - 3 € [ - 4, 6 ], 5 €[ - 4, 6 ]. 

Составим для удобства таблицу вычислим у(-4), у (-3), у (5), у (6)].

таким образом, у_mах = 82 (достигается в точке х

(достигается в точке х = 5). б) 5 € [ 0, 6 ]

таким образом,

У_min = - 174 (при х = 5)

У_mах = 1 (при х = 0)

в) отрезку [- 2,2 ]  не принадлежит ни одна из

стационарных точек, значения функции в концевых

точках: f (-2) = (-2)³ - 3·(- 2)² - 45 ∙(-2) +1 = 71, f (2) = 2³ -

3 · 2² - 45 ·2 + 1 = - 93. В этом случае, y_min = - 93  y_mах = 71.

-Ребята самостоятельно выполняют задания.

10

 5.

Домашнее задание.

Для домашней работы: §3, стр.107-108,

№15(2,4), 16(2), 17(2).Ф.Ф. Лысенко

(Подготовка к ЕГЭ-2013) 

Вар.6,В-14, Вар.8,В-14.

- Как же найти наибольшее и наименьшее значение функции на открытом промежутке? у = 1-х⁴ - х⁶ на интервале (- 3; 3).

 Учащиеся излагают решения № 18(3)

-Проведите самостоятельно  анализ общих и отличительных шагов алгоритмов нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутках [а ; в]  и    (а:в).

-Вы замечательно справились с задачей

1.Найдем производную функции: у´х): у ´(х) = 4х³ - 6х^5,          у^/(х) = -2х³(2 + Зх²).

2. Решим уравнение у´ (х) = 0. Очевидно, что х = 0 - единственная стандартная точка и она

принадлежит интервалу (- 3; 3)

Используя достаточные условия существования экстремума функции  исследуем точку х = 0 на экстремум:

у´      +                        -

                                                                                              х

х = 0 - точка максимума данной функции; у (0) = 1 значение функции на интервале (-3; 3).

                                                                ТАБЛИЦА

6.

Релаксационная пауза

обобщения теоретических основ темы. Мы вместе сформулировали алгоритмы отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке.

Задание: Найдите наибольшее значение функции 

y = (8 – x) e x^-7     на отрезке [ 3; 10 ]

С последующей проверкой.  Слайд 7

- А  теперь  посмотрим решение задачи с использованием свойств функции.

Слайд 8

Упражнения для глаз.  (1 мин.)  

Упражнение для глаз выполняем сидя, при ритмичном дыхании, с максимальной амплитудой

10

7.

Для тех, кто любит математику

Флеш –ролик  «Физминутка»

3. Решение задач на оптимизацию

- Производная функции успешно применяется при решении оптимальных задач в различных сферах деятельности человека.

Задача:  Рассмотрим  практическую задачу    Прочность  балки прямоугольного сечения пропорциональна произведению ее ширины на квадрат высоты. Какое сечение должна иметь балка, вытесанная из  цилиндрического бревна радиуса R, когда прочность балки будет наибольшей? 

Решаем под руководством учителя

1). Составление математической модели;

2).Работа с моделью;

3).Ответ на вопрос задачи

Итак, 

I этап-составим математическую модель -  Какова оптимизирующая величина?

-Давайте ее обозначим.

-Отчего, согласно условию задачи зависит прочность балки? 

- Какую величину можем объявить независимой переменной?

-В каких пределах меняется величина х, если учесть, что осевое сечение представляет собой прямоугольник, вписанный в окружность радиуса R. Как связаны величины х, h, R.     

Выразите h .

движения глаз. Не поворачивая головы (голова прямо), делать медленно круговые движения глазами вверх-вправо-вниз-влево и в обратную сторону: вверх-влево-вниз-вправо.

-Оптимизирующая величина - прочность балки, поскольку в задаче требуется выяснить, когда прочность балки будет наибольшей.

-Пусть оптимизируемая величина будет - у.

- Зависит от ширины и высоты прямоугольника, служащего осевым сечением балки.

-Пусть ширина балки будет независимой переменной, т.е. равна х.

-Заметим, что 0 < х < 2R.

h² = 4 R² - х².

у = kxh² (к>0 - это коэффициент пропорциональности).

5

-Если прочность балки у пропорциональна произведению х h , то каким будет связывающее их равенство?

-Математическая модель составлена

2 этап. Работа с моделью.

- Исследуйте, согласно существующему алгоритму, полученную функцию.

3 этап. Ответ на вопрос задачи.

-Найдем высоту балки.

-Выясним. Каким же будет отношение высоты к ширине:

-Сформулируйте ответ.

- Следует заметить, что строители-мастера

Следовательно, у = к х (4 R² – х² ), где х е [0 ; 2π].

Сечением балки должен быть прямоугольник, у которого отношение ширины к высоте равно √2.

приходят к такому же результату, опираясь на свой опыт, принимают отношение равное1,4, как приближенное значение √2.

8.

Подведение итогов урока. Рефлексия.

Обобщение  изученного.  Вопрос ученику: Вернись к рассматриваемым заданиям. Достиг ли ты цели?

2-3

9

Выходной контроль

- Я надеюсь, что при выполнении контрольного задания  вы успешно примените свои знания. Удачи!

15