Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока "Перестановки и размещения. Факториал." (8класс)

Конспект урока "Перестановки и размещения. Факториал." (8класс)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

УРОК № 2

Тема: Перестановки и размещения. Факториал.

Класс: 8

Форма занятия: лекция с решением задач.

Цели урока : - отработать умения решать простейшие комбинаторные задачи с помощью правила умножения;

- научить решать задачи с использованием формул факториала, перестановок и размещений;

- проверить понимание материала, изученного на уроках

Задачи урока :

  1. образовательные

- ввести понятия перестановок и размещений, факториала;

- ввести формулы для их вычисления;

  1. развивающие

- создать условия для развития логического мышления и памяти;

- расширять математический кругозор

- развивать навыки научно - исследовательской деятельности

  1. воспитательные

- воспитывать культуру письма, речи

- формировать чувство ответственности за принятое решение

(Слайды 1-3)

ТСО Используется мультимедийная презентация, в которой сохранена структура занятия, изложенная в данной разработке (презентация к уроку №2 )

Ход урока.

1. Оргмомент.

2. Актуализация знаний учащихся (вопросы по материалу лекции)

- дайте определение комбинаторики;

- сформулируйте правило умножения;

- сформулируйте обобщённое правило умножения.

3. Проверка усвоения правила умножения.

Решение задач (совместно с учителем) с фронтальным опросом.

а) Сколько имеется трехзначных чисел, составленных только из четных цифр? (слайд 4)

Решение. (слайд 5)

Первой цифрой может быть 2,4, 6 или 8, всего 4 варианта. Второй и третьей цифрой, независимо от выбора первой, может быть любая из цифр 0, 2,4, 6, 8, всего 5 вариантов. По правилу умножения получаем ответ: 4·5· 5 = 100.

б) Сколько имеется трехзначных чисел, кратных 5? (слайд 6)

Решение: Первой цифрой может быть любая цифра, кроме 0, всего 9 вариантов. Второй может быть любая цифра, всего 10 вариантов. Третья цифра по условию - либо 0, либо 5, т.е. тут 2 варианта. По правилу умножения получаем ответ: 9·10·2 = 180. (слайд 7)

  1. Объяснение нового материала.

В комбинаторике принято каждому виду комбинаций давать специальное название.

При решении конкретных задач на подсчет количества способов или вариантов выбора элементов из заданного множества необходимо четко понимать, о каком способе или варианте выбора идет речь. Поэтому различные выборки получили в комбинаторике специальные названия.

Сейчас мы познакомимся с двумя такими видами — перестановками и размещениями.

Перестановкой из п элементов называется комбинация, в которой все эти п элементов расположены в определенном порядке. Таким образом, перестановки отличаются друг от друга только порядком расположения элементов. (слайд 8)

Пример 1. (слайд 9)Вот все перестановки из букв А, В, С, выписанные в лексикографическом порядке:

ABC, АСВ, ВАС, ВСА, CAB, CBA.

Размещением из п элементов по k называется комбинация, в которой какие-то k из этих п элементов расположены в определенном порядке. Таким образом, размещения отличаются друг от друга не только порядком расположения элементов, но и тем, какие именно k элементов выбраны в комбинацию. (слайд 11)

Пример 2. Вот все размещения из букв А, В, С по 2:

АВ, ВА, АС, СА, ВС, СА. (слайд 12)

С помощью правила умножения легко вычисляются количества перестановок и размещений. Найдем эти количества.

При формировании перестановки из п элементов первый элемент можно выбрать п способами, после чего второй элемент — (п — 1) способами (так как один элемент уже выбран), после чего третий элемент — (п — 2) способами и так далее. Всего получаем

п * (п-1)* (п- 2) ...* 2* 1

перестановок. Полученное количество — произведение натуральных чисел от 1 до n — в математике называется факториалом числа п и обозначается n!. Отметим одну важную особенность этой замечательной функции — ее быстрый рост. Приведем для примера несколько значений факториала для возрастающих значений п: (слайд 10)

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

N!

1

1

2

6

24

120

720

5040

40320

362880

3638800

(таблицу можно дать под запись и использовать при решении задач)

Отметим также, что для удобства полагают 0!=1.



Теперь найдем количество размещений из n элементов по k. Первый элемент в размещении можно выбрать n способами, после чего второй элемент (n-1) способами (так как один элемент уже выбран), после чего третий элемент (n-2) способами и так далее. Пока все, как в перестановке. Только такой выбор будет делаться не n раз, а только k, поэтому по правилу произведения получим

hello_html_m3a1d87e8.gif

размещений (в этом произведении как раз k сомножителей). Это произведение можно «свернуть» в дробь с использованием факториалов:

hello_html_m2b1493c3.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Найденные нами количества перестановок и размещений имеют в комбинаторике специальные обозначения hello_html_m16734cae.gif и hello_html_m71c772b.gif (читаются как «пэ из эн» и «а из эн по ка»). С использованием этих обозначений выведенные формулы для числа перестановок и размещений запишутся так:

hello_html_m69d17572.gifhello_html_m78cd9b23.gif

(слайд 13)
А теперь решим с помощью этих формул несколько задач.

Задача 1. Сколькими способами можно расставить на книжной полке 10 книг для детей ? (слайд 14)

Решение. (слайд 15)Каждый такой способ это перестановка из 10 элементов. Всего таких перестановок будет

Р10= 10!= 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 = 3638800.

Задача 2. (слайд 16) Пусть даны шесть цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Определить сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр.

Решение. (слайд 17)Если цифры могут повторяться, то количество трехзначных чисел будет hello_html_m2ac72860.png. Если цифры не повторяются, то hello_html_m6feb28c3.png.

Задача 3. (слайд 18)Студенты института изучают в каждом семестре по десять дисциплин. В расписание занятий включаются каждый день по 3 дисциплины. Сколько различных расписаний может составить диспетчерская?

Решение. (слайд 19) Расписание на каждый день может отличаться либо предметами, либо порядком расположения этих предметов, поэтому имеем размещения: hello_html_65123c70.png

Частный случай размещения при n=k называется перестановкой из n элементов. Число всех перестановок из n элементов равно
hello_html_m459b8564.png.

Задача4. (слайд 20) В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание на этот день так, чтобы два урока математики (алгебра и геометрия) стояли рядом?

Решение: (слайд 21)Рассмотрим алгебру и геометрию как один урок. Тогда расписание надо составить не из 6, а из 5 уроков – Р5 способов. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р2 перестановки алгебры и геометрии. Значит, искомое число способов составления расписания:

Р5∙Р2=1∙2∙3∙4∙5∙1∙2= 120∙2=240

Задача 5. (слайд 22)Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10? Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки – на четных?

Решение. (слайд 23) Если мальчики и девочки сядут в один ряд в произвольном порядке, то это можно сделать Р10=10!=3628800 способами. Если мальчики сядут на нечетные места, то существуют Р5 способов их расположения. Столькими же способами могут расположиться девочки на четных местах. Каждому способу расположения мальчиков соответствует Р5 способов расположения девочек.

Значит, расположиться так, что мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки – на четных, можно Р5·Р5=5! ·5!=120·120=14400 способами. Задача 6. (слайд 24) Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?

Решение: (слайд 25)Из цифр 0, 2, 4, 6 можно получить Р4 перестановок. Из этого числа надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, т.к. натуральное число не может начинаться с цифры 0. число таких перестановок равно Р3. значит, искомое число четырехзначных чисел (без повторения цифр), которые можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, равно Р4 – Р3. Получаем, Р4 – Р3 = 4! – 3! = 24 – 6 = 18.

Задание 6. (слайд 26) ( можно решить , если останется время)

Найдите значение выражения:

а) hello_html_7e4c6100.gif б)hello_html_31ba2f9.gif в) hello_html_m2d0ccd8b.gif г) hello_html_m2c802a0f.gif

Решение: (слайд 27)а) hello_html_6a581645.gif б) hello_html_75a12db6.gif

в) hello_html_43e7c7bb.gif г) hello_html_b00d712.gif

Попробуем сделать некоторые выводы: (слайд 28)

Типичная задача, решаемая с помощью размещений: Сколькими способами можно выбрать из n различных предметов k предметов и разместить их на k различных местах?

Типичная задача решаемая с помощью перестановок: Сколькими способами можно n различных предметов расставить на n различных местах?

Повторим ещё раз как можно вычислить перестановки и размещения?

  1. Размещение hello_html_278591d6.gif =hello_html_m6a0e5a74.gif

Это любое упорядоченное подмножество m из элементов множества n.

  1. Перестановки (hello_html_28dea509.gif). Если k = n, то эти размещения называются перестановками.

hello_html_2b5baaf8.gif

Домашнее задание.

Выучить лекцию и решить задачи. (слайд 29)

Задача 1. (слайд 30)30 книг стоит на книжной полке, из них 27 различных книг и одного автора три книги. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?

Решение. Будем считать три книги одного автора за одну книгу, тогда число перестановок будет hello_html_50117c4d.png. А три книги можно переставлять между собой hello_html_560aad8e.pngспособами, тогда по правилу произведения имеем, что искомое число способов равно: hello_html_560aad8e.png*hello_html_50117c4d.png=3!*28!

Задача 2. (слайд 30) На соревнования по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4×100 м на первом, втором, третьем и четвертом этапах?

Решение. В этом задании идет речь о размещениях из 12 элементов по 4. Таким образом, искомое число выбора спортсменок равно hello_html_70ff0be0.gif= 12·11·10·9 = 11880 способов.

Задача 3. (слайд 31)

Делится ли число 30! на:

а) 90; б) 92; в)94;

Решение. а) 90=2·5·9. Среди множителей числа 30! есть числа 2, 5 и 9. значит, число 30! делится на 90.

б) 92=4∙23. Среди множителей 30! есть числа 4, 23. Значит, число 30! делится на 92.

в) 94=2·47. Число 47 простое и больше, чем 30. Так как среди множителей числа 30! нет числа 47, то число 30! не делится на 94.



























Литература

  • Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Шарыгин И.Ф. и др. Математика. 8-й класс: Учеб. для общеобразоват. учеб.заведений - М.: Дрофа, 1997.

  • Дорофеев Г.В.Математика. 8-й класс: Рабочая тетрадь: К учебнику под редакцией Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина "Математика 6". - М.: Дрофа, 1998.

  • Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений/ под редакцией Теляковского С.А. – М., «Просвещение», 2003.

  • Лекции дистанционного курса «Стандарты второго поколения: стохастическая линия элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики в школьном курсе»

  • Интернет – ресурсы (http//combinatorika.narod.ru/,

http//bankzadach.ru/, http//schol-collection.edu.ru/, и т.д.



Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Краткое описание документа:

Урок -лекция с решением задач.

Цели урока :- отработать умения решать простейшие комбинаторные задачи с помощью правила умножения;

- научить решать задачи с использованием формул факториала, перестановок и размещений;

- проверить понимание материала, изученного на уроках

Задачи урока :

1.     образовательные

-  ввести понятия перестановок и размещений, факториала;

- ввести формулы для их вычисления;

2.     развивающие

- создать условия для развития  логического мышления и памяти;

- расширять математический кругозор

- развивать навыки   научно - исследовательской деятельности

3.     воспитательные

- воспитывать культуру письма, речи

 - формировать чувство ответственности за принятое решение

ТСО    Используется мультимедийная презентация, в которой сохранена структура занятия, изложенная в данной разработке (презентация к уроку

Автор
Дата добавления 14.06.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1016
Номер материала 565723
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх