Урок геометрии в 11-м классе:
"Объём наклонной призмы, пирамиды, конуса"
Цели и задачи урока:
·
вывести формулы: объема пирамиды с использованием основной
формулы объема тел и объема усеченной пирамиды.
·
систематизировать теоретические знания по теме нахождения объема
пирамиды.
·
сформировать навык нахождения объема пирамиды, у которой вершина
проецируется в центр вписанной или описанной около основания окружности.
·
выработать навыки решения типовых задач на применение формул
объемов пирамиды и усеченной пирамиды.
Ход урока
I. Объяснение нового
материала.
Доказательство теоремы выполняется с
помощью мультимедийного проектора
Докажем
теорему: объем пирамиды равен одной трети, произведения площади
основания на высоту.
Рис. 1
Доказательство:
Сначала докажем теорему для треугольной
пирамиды, затем для произвольной.
1. Рассмотрим треугольную пирамиду ОАВС с
объемом V, площадью основания S и высотой h .
Проведем ось ох (ОМ2 - высота), рассмотрим
сечение А1В1С1 пирамиды
плоскостью, перпендикулярной к оси ох и, значит, параллельной
плоскости основания. Обозначим через хабсциссу точки М1пересечения
этой плоскости с осью ох, а через S{x) - площадь сечения.
Выразим S(x) через S, h и х .
Прямоугольные треугольники , тоже подобны
(они имеют общий острый угол с вершиной О).
Применим теперь основную формулу для
вычисления объемов тел при a = 0, b = h получаем
Pис. 2
2. Докажем теперь теорему для
произвольной пирамиды с высотой h и площадью основания S .
Такую пирамиду можно разбить на треугольные пирамиды с общей высотой h. Выразим
объем каждой треугольной пирамиды по доказанной нами формуле и сложим эти
объемы. Вынося за скобки общий множитель , получим в
скобках сумму оснований треугольных пирамид, т.е. площадь S оснований исходной
пирамиды.
Таким образом, объем исходной пирамиды
равен . Теорема
доказана.
II. решить задачи по готовым чертежам .
Задача
1. (рис. 3)
Дано: АВСD –
правильная пирамида, АВ =3; AD= . Найти: а)Sосн;
б) АО; в) DO г) V.
Задача
2. (рис. 4)
Дано: АВСDF –
правильная пирамида, .
Задача
3. (рис. 5)
Дано
: АВСDEKF – правильная пирамида,
Найти: а) Sосн;
б) V.
Задача 4.
(рис. 6)
Найти: V.
Проверка задач выполняется с
помощью мультимедийного проектора с подробным анализом поэтапного решения.
Задача 1. (рис. 3)
Решение:
а) (используется
формула для вычисления площади правильного треугольника)
АВ = = 3,
имеем
б) (формула
радиуса описанной окружности через сторону правильного треугольника) .
Задача 2. (рис. 4)
Решение:
1) Рассмотрим следовательно,
–
равнобедренный, ОС = FО = 2.
Задача 3. (рис. 5)
Решение:
Задача 4. (рис. 6)
Решение:
III. Проверка вывода формулы для
вычисления объема усеченной пирамиды (сообщение ученика у доски выполняется с
помощью мультимедийного проектора)
Ответ ученика:
Объем усеченной пирамиды рассматриваем
как разность объемов полной пирамиды и той, что отсечена от нее плоскостью,
параллельной основанию (рис. 1).
Подставим
это выражение для х в первую формулу,
Pабота
в форме теста, с проверкой через мультимедийный проектор.
1.В
наклонной призме боковое ребро равно 7 см, перпендикулярное сечение -
прямоугольный треугольник с катетами: 4 см и 3 см. найдите объем призмы.
а)
10 см3, б) 42 см3, в) 60 см3, г) 30 см3.
2.
В правильной шестиугольной пирамиде сторона ее основания 2 см. Объем пирамиды
равен 6 см3. Чему равна высота?
3.
Объем пирамиды равен 56 см3, площадь основания 14 см2.
Чему равна высота?
а)
14 см, б) 12 см, в) 16 см.
4.
В правильной треугольной пирамиде высота равна 5 см, стороны основания 3 см.
Чему равен объем пирамиды?
5.
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 9 см. Сторона основания 4
см. найдите объем пирамиды.
а)
50 см3, б) 48 см3, в) 16 см3.
6.
Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 27 см3, высота 9 см.
найти сторону основания.
а)12
см, б) 9 см, в) 3 см.
7.
Объем усеченной пирамиды равен 210 см3, площадь нижнего основания 36
см2, верхнего 9 см2. Найдите высоту пирамиды.
а)
1см, б) 15 см, в) 10см.
8.
Равновеликие призма и правильная четырехугольная пирамида имеют равные высоты.
Чему равна сторона основания пирамиды, если площадь основания призмы равна S?
Таблица
ответов.
Задача
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
Ответ
|
б
|
а
|
б
|
а
|
б
|
в
|
в
|
в
|
Домашняя
работа: 1. Решить задачи №694, №697, №693
2.
Рассмотреть базовую задачу
Задача 1.
Докажите,
что если боковые ребра пирамиды равны (или составляют равные углы с плоскостью
основания), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной
около основания.
Pис. 2
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.