Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по алгебре "Элементы комбинаторики. Правило умножения."

Конспект урока по алгебре "Элементы комбинаторики. Правило умножения."

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

УРОК №1

Тема: Элементы комбинаторики. Правило умножения.

Тип урока: урок – объяснения нового материала (лекция)

Цель: Ввести новые понятия по теме «Элементы комбинаторики»

Задачи:

  1. Образовательные:

  • ввести понятие случайного явления, определение комбинаторики;

  • познакомить учащихся с правилом умножения для подсчета всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний.

  • начать формирование умений по применению знаний в решении заданий;

  1. Развивающие:

  • Создать условия для развития логического мышления, долговременной память, внимательности;

  • развивать умение рассуждать, обобщать и делать выводы;

  • развивать правильную математическую речь, вычислительный навык;

  1. Воспитательные:

  • воспитывать усидчивость, дисциплинированность, инициативность;

  • воспитывать уважение к преподавателю, одноклассникам.

(слайды 1-4)

Оборудование: презентация к уроку №1

Ход урока.

  1. Орг. момент.

  2. Вступительное слово учителя (актуальность темы)

Математику многие любят за ее вечные истины: дважды два всегда – четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В любой задаче, которую мы решаем на уроках математики, у всех получается один и тот же ответ - нужно только не делать ошибок в решении. Реальная жизнь не так проста и однозначна. Исходы многих явлений заранее предсказать невозможно, какой бы полной информацией о них мы не располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет подброшенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными. (слайд 5)

Все мы довольно часто говорим «это невероятно», «более вероятно, что…», «это мало вероятно», «можно утверждать со стопроцентной вероятностью, что…» и т.д., когда пытаемся спрогнозировать наступление того или иного события. При этом обычно мы опираемся на интуицию, жизненный опыт, здравый смысл. Но часто такие оценки являются недостаточными и бывает важно знать, на сколько или во сколько раз одно случайное событие вероятнее другого. Иными словами, нужны точные количественные оценки, нужно уметь численно характеризовать возможность наступления того или иного события. Раздел математики, посвященный исследованию количественных оценок случайных событий, называют теорией вероятностей.(слайд 5)

Вероятности различных событий в ряде азартных игр (карты, кости…) вычислили французские математики XVII века Пьер Ферма и Блез Паскаль. Они использовали метод, который позже был назван комбинаторным анализом или проще комбинаторикой.

Комбинаторика – это искусство подсчета числа различных комбинаций, соединений, сочетаний, перестановок тех или иных элементов некоторых множеств. Именно с комбинаторики начнется наше знакомство с элементами теории вероятностей.(слайд 6)

  1. Объяснение нового материала

Решим задачу.

Задача 1. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 9?( слайд 7)

Решение. (слайды 8-9)

Первый способ. Выпишем по порядку все числа от 10 до 99 и выберем те, что нам нужны: 10, 12,14, 20,22, 24, 40, 42, 44, 50, 52, 54, 90, 92, 94. Всего 15 чисел.

Второй способ. Первой цифрой не может быть 0. Если первая цифра 1, то вторая (четная!) цифра – 0,2 или 4. Всего 3 варианта. Если первая цифра 2, то для второй цифры возможны те же 3 варианта. В случаях, когда первая цифра равна 4,5 или 9, рассуждение повторяется, и в каждом из случаев будет по 3 варианта. Всего получается 5 раз по 3, т.е. 15 четных двузначных чисел, составленных из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 9.

Третий способ. Для выбора первой цифры есть 5 вариантов: 1, 2, 4, 5 или 9. Для второй цифры есть 3 варианта: 0,2 или 4. Значит, всего есть 5·3 вариантов составления нужных нам чисел.

Обсудим предложенные решения. Первый способ неплох, но тут можно сбиться со счета или что-то пропустить. Кроме того, перспективы поступать таким же образом в более сложных ситуациях (например, с четырехзначными числами) довольно безрадостны.

Второй способ, по существу, просто упорядочивает подсчет вариантов в первом способе и в сложных ситуациях также вряд ли применим. Третий способ наиболее ясен с формальной точки зрения. Непонятно только обоснование:

« …Значит, имеются 5·3 …». На чем основано это «значит»? Почему 5 и 3 следует именно перемножить, а, например, не сложить? Ответ на эти вопросы фактически дает второй способ решения. В нем как раз и приведено объяснение: 5·3 – это 5 раз по 3. Чтобы не приводить к каждой задаче два решения – краткое и подробное, поступим так. Сформулируем правило умножения и в дальнейшем будем использовать именно его в качестве подсчета вариантов. ( слайд 10)

Правило умножения

Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.

В примере 1 испытание А состоит в выборе первой цифры числа, и у него имеется 5 возможных исходов, а испытание В состоит в выборе второй цифры, и у него имеется 3 возможных исхода. Так как выбор первой цифры независим от выбора второй цифры, то, по правилу умножения, всего получается 5•3=15 исходов. Вот как выглядят рассуждения в примере 1:


0

2

4

1

10

12

14

2

20

22

24

4

40

42

44

5

50

52

54

9

90

92

94

Всего 5•3=15 чисел.

Правило умножения для двух независимых испытаний удобно объяснять, используя прямоугольные таблицы. Но если проводятся три испытания, то для иллюстрации придется использовать и длину, и высоту, и ширину. На картинке получится прямоугольный параллелепипед, разбитый на кубики. Здесь уже и рисунок, и объяснения выглядят сложнее, поскольку, например, будут невидимые кубики. Еще хуже дело обстоит с четырьмя испытаниями. Окружающее нас пространство всего лишь трехмерно, и для рисунка в этом случае не хватит измерений. Необходимо правило умножения для произвольного числа независимых испытаний.

Обобщенное правило умножения. Если элемент hello_html_519da3f0.gif может быть выбран hello_html_m4b9010d9.gif способами, после этого элемент hello_html_m3666c574.gif может быть выбран hello_html_m5eaaa4b3.gif способами, а для любого hello_html_50e66491.gif после выбора элементов hello_html_74475f14.gif элемент hello_html_m6800dfe5.gif может быть выбран hello_html_m4ef8e280.gif способами, то выбор упорядоченной последовательности hello_html_141642d6.gif из m элементов может быть осуществлён hello_html_249c8cdc.gif способами.

(Слайд 11)

Задача 2. В коридоре 3 лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора (включая случай, когда все лампочки не горят)? (Слайд 12)

Решение. Пронумеруем лампочки. Первая лампочка может или гореть, или не гореть, т.е. имеются два возможных исхода. Но то же самое относится и ко второй, и к третьей лампочкам. Мы предполагаем, что лампочки горят или нет независимо друг от друга. По правилу умножения получаем, что число всех способов освещения равно 2•2•2=8. (Слайд 13)

Приведем так называемое дерево вариантов для примера 2. На этом дереве наглядно представлен способ получения всех восьми вариантов освещения.

Пhello_html_m12e42df5.gifhello_html_368909ae.gifервая лампочка

+(горит) -(не горит)

hello_html_40c6d855.gifhello_html_m6188798c.gifhello_html_32a2afd0.gifhello_html_ee2951d.gifhello_html_m5764968c.gifhello_html_48b6ab16.gifhello_html_48b6ab16.gifВторая лампочка Вторая лампочка

+ -

hello_html_5fa79418.gifhello_html_48b6ab16.gifhello_html_m8a83807.gifhello_html_m247d4084.gifhello_html_3c613c9e.gifhello_html_m479d1b7.gifhello_html_m3a3ceac2.gifhello_html_8f0f729.gifhello_html_4f797f7.gifТретья лампочка Третья лампочка Третья лампочка Третья лампочка

+ - + - + - + -

+++ ++- +-+ +- - -++ -+- - -+ - - -

В рассмотренном примере речь шла фактически о выборе того или иного подмножества данного трехэлементного множества { hello_html_60beffc6.gif hello_html_m73a4abf2.gif hello_html_4c47640f.gif}. Выбор подмножества { hello_html_60beffc6.gif hello_html_4c47640f.gif} означает, что горят первая и третья лампочки; выбор пустого подмножества Ø означает, что не горит ни одна лампочка; выбор всего множества означает, что горят все лампочки. Оказалось, что у трехэлементного множества =8 подмножеств.

Задача 3. В трёх 8-х классах 23, 24 и 25 учащихся. Сколькими способами можно выбрать трёх представителей по одному из каждого класса? (Слайд 14)

Решение: (Слайд 15)

Выбор представителя hello_html_1f64d91b.gif от первого класса можно сделать 23 способами. Для каждого представителя hello_html_1f64d91b.gif существует 24 способа выбора представителя hello_html_m7e726ce1.gif второго класса. По правилу произведения число таких пар hello_html_3af58ada.gif представителей равно hello_html_ea795aa.gif. Наконец, после выбора двух представителей из первых двух классов представителя hello_html_643c447b.gif из третьего класса можно выбрать 25 способом. Поэтому по правилу произведения тройку hello_html_me0f9c25.gif представителей 8-х классов можно выбрать hello_html_m582c4303.gif способами.

Задача 4. Сколько четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3? (Слайд 16)

Решение: (Слайд 17)

В качестве первой цифры четырехзначного числа можно взять любую из цифр 1, 2, 3, т.е. первая цифра числа может быть выбрана тремя способами. После этого вторая цифра также выбирается из заданных трех цифр, т.е. опять тремя способами. По правилу произведения существует hello_html_5275b2fd.gif способов выбрать первые две цифры четырехзначного числа. После выбора первой и второй цифры числа его третья и четвертая цифры опять выбираются тремя способами каждая. Поэтому число способов, которыми из трех заданных цифр можно составить четырехзначное число, равно hello_html_m6ad60921.gif.

Задача 5. Имеется девять карточек, на которых написаны цифры от 1 до 9. Сколько четырёхзначных чисел можно составить с помощью этих карточек? (Слайд 18)

Решение: (Слайд 19)

В качестве первой цифры числа можно взять любую из цифр 1, …, 9, т.е. она может быть выбрана 9 способами. После этого для выбора второй цифры остается 8 возможностей (одна цифра уже использована). Значит, теперь первые две цифры числа можно выбрать hello_html_646be5d7.gif способами. Третья цифра числа может быть выбрана 7 способами, а после этого последняя, четвертая, – 6 способами. Следовательно, число способов, которыми с помощью имеющихся карточек можно составить четырехзначное число, равно hello_html_5e11702f.gif.

В третьей из рассмотренных задач комбинаторная конфигурация составляется из элементов трех множеств, в четвёртой и пятой – из элементов одного множества. При этом в четвёртой задаче выбор элементов может осуществляться с повторением, в пятой же задаче – выбор однократный. Тем не менее, все три задачи решаются единообразно. С помощью обобщенного правила умножения.

А сейчас решите самостоятельно задачу.

Задача 6. В компьютере каждый символ (буква, цифра, специальный знак) кодируется последовательностью из восьми 0 и 1, например:

01000110 — код буквы «F»;

00110010 — код цифры «2» и т.д.

Сколько различных символов можно закодировать таким образом?

Другими словами, сколько существует различных двоичных кодов длины 8? (Слайд 20)



Решение задачи затем разбирается совместно с учителем.

Выстраивая комбинацию из восьми нулей и единиц, мы можем выбрать первую цифру двумя способами, после чего вторую цифру — тоже двумя способами и т.д. Всего получаем 2 • 2 • ... •2 = 28 = 256 комбинаций. Именно столько символов содержит так называемая таблица ASCII, давно ставшая стандартом для представления символов в памяти компьютера (сейчас ей на смену пришли более длинные 16-разрядные коды, позволяющие кодировать уже 216 = 65536 различных символов).

Выписывать все 256 комбинаций у нас нет возможностей, напишем только начало и конец этой последовательности: 00000000; 00000001; 00000010; …11111110; 11111111.(можно попросить записать в тетрадях и на доске начало и конец последовательности).

Бывают задачи, в которых после выбора одного из а объектов в качестве первого элемента комбинации нельзя однозначно сказать, сколькими способами можно выбрать второй элемент – это зависит от того, какой именно объект был выбран первым. Рассмотрим такую ситуацию на примере.

(Слайд 20)



Задача7.(дополнительная задача)

Сколько двузначных чисел, которые можно составить из цифр 1,2,3 так, чтобы первая цифра была меньше второй. Решение:

На первое место цифру можно выбрать тремя способами, а вот на второе место после этого:

- двумя способами, если первой цифрой была выбрана 1;

- одним способом, если 2;

- нулем способов, если 3.

4. А сейчас проверим , как вы усвоили правило умножения, выполним тест ( тест с самопроверкой, ответы высвечиваются на слайде, после выполнения теста) (Слайд 21)

ТЕСТ

  1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

1) 30 2) 100 3) 120 4) 5

2 . Сколько способами могут рассесться участники Квартета?

  1. 24 2) 16 3) 6 4) 12

3. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1) 100 2) 30 3) 5 4) 120

4. Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

1) 40320 2) 64 3) 128 4) 16

5. Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?

1) 49 2) 5040 3)14 4) 96

задания

1

2

3

4

5

ответа

3

1

4

1

2



5. Итоги урока. После самопроверки , (Слайд 22)

узнать кто решил всё правильно, а кто допустил по 1,2 ошибки. Похвалить детей за хорошую работу. Можно активным поставить оценки.

5.Задание на дом: выучить лекцию и решить задачи. (Слайд 23)

Задача №1. (Слайд 24)

Наряд студентки состоит из блузки, юбки и туфель. Девушка имеет в своем гардеробе четыре блузки, пять юбок и трое туфель. Сколько нарядов может иметь студентка?

Решение. Пусть сначала студентка выбирает блузку. Этот выбор может быть совершен четырьмя способами, так как студентка имеет четыре блузки, затем пятью способами произойдет выбор юбки и тремя способами

выбор туфель. По принципу умножения получается 4*5*3=60 нарядов (комбинаций).

Задача№2 (Слайд 24)

В кафе имеются три первых блюда, пять вторых блюд и два третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?

Решение. Первое блюдо можно выбрать 3 способами. Для каждого выбора первого блюда существует 5 возможностей выбора второго блюда. Значит, первые два блюда можно выбрать 3·5 способами. Наконец, для каждого выбора третьего блюда, т.е. существует 3·5·2 способов составления обеда из трех букв. Итак, обед из трех букв может быть составлен 30 способами.

Задача №3. (Слайд 25)

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Решение: Первую цифру трехзначного числа можно выбрать четырьмя способами. Так после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4·3·2 = 24.

Задача №4. (Слайд 25)

Сколько имеется трехзначных чисел, которые не меняются при перемене местами первой и последней цифр?

Решение: Первой цифрой может быть любая цифра, кроме 0, всего 9 вариантов. Второй может быть любая цифра, всего 10 вариантов.

Третья цифра по условию – такая же, как и первая, т.е. тут вариант единственный. По правилу умножения получаем ответ: 9 ·10· 1 = 90.













































Литература (сдайд 26)

  • Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Шарыгин И.Ф. и др. Математика. 8-й класс: Учеб. для общеобразоват. учеб.заведений - М.: Дрофа, 1997.

  • Дорофеев Г.В.Математика. 8-й класс: Рабочая тетрадь: К учебнику под редакцией Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина "Математика 6". - М.: Дрофа, 1998.

  • Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений/ под редакцией Теляковского С.А. – М., «Просвещение», 2003.

  • Лекции дистанционного курса «Стандарты второго поколения: стохастическая линия элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики в школьном курсе»

  • Интернет – ресурсы (http//combinatorika.narod.ru/,

http//bankzadach.ru/, http//schol-collection.edu.ru/, и т.д.



Краткое описание документа:

·                   

 

урок – объяснения нового материала (лекция)

Задачи урока - лекции:

    ввести понятие случайного явления, определение комбинаторики;

      познакомить учащихся с правилом умножения   для подсчета всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний.                                                                          

 начать формирование умений по применению знаний в решении заданий;

Комбинаторика – это искусство подсчета числа различных комбинаций, соединений, сочетаний, перестановок тех или иных элементов некоторых множеств. Именно с комбинаторики начнется наше знакомство с элементами теории вероятностей.

К уроку подготовлениа презентация. Для удобства объяснения в слайдах даны необходимые задачи и их решения для самоконтроля и взаимоконтроля.

 

Автор
Дата добавления 11.06.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров416
Номер материала 564166
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх