Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по геометрии в 8 классе «Применение формулы Пика»

Конспект урока по геометрии в 8 классе «Применение формулы Пика»

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Конспект урока по геометрии в 8 классе «Применение формулы Пика»

Учитель математики МАОУ Видновской гимназии Кондратьева Т.Ю.



«Ты имеешь собственное мнение, но если

спросишь у другого - будет выбор»

На предыдущих уроках мы ввели понятие площади многоугольника, узнали, как она обозначается, и познакомились с единицами измерения площади, перечислили свойства площадей. А теперь научимся все наши знания использовать на примерах решения задач. 

Задание. Найти площадь данного треугольника.

pic.34

Какие способы вы можете предложить?

hello_html_4e8cfde8.png

Вычисление площади простейших фигур методом дробления на единичные квадраты

C:\Users\Галина\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\124.png

Свойства площади

1. Площадь – величина положительная.

2. Равные многоугольники имеют равные площади.

Пример на применения свойств площади

Например, если рассмотреть изображенные на Рис. 1 равные четырехугольники (http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/135292/20eb41e0_c1c8_0131_6d01_3d765dfd91bb.png и http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/135293/228553a0_c1c8_0131_6d02_3d765dfd91bb.png), то их площади будут равны http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/135294/241f6d30_c1c8_0131_6d03_3d765dfd91bb.png.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/135295/25c3d7c0_c1c8_0131_6d04_3d765dfd91bb.png

Рис. 1

3. Если многоугольник состоит из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей данных многоугольников.

Например, дана трапеция http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/135284/140214e0_c1c8_0131_6cf9_3d765dfd91bb.png (см. Рис. 2), которую высотами разбили на три фигуры: треугольник http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/135292/20eb41e0_c1c8_0131_6d01_3d765dfd91bb.png, прямоугольник http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/135293/228553a0_c1c8_0131_6d02_3d765dfd91bb.png и треугольник http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/135296/275e61d0_c1c8_0131_6d05_3d765dfd91bb.png. Тогда площадь трапеции: http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/135297/28f5c610_c1c8_0131_6d06_3d765dfd91bb.png.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/135298/2a9e23c0_c1c8_0131_6d07_3d765dfd91bb.png

Рис. 2

4. Площадь квадрата равна квадрату его стороны, т.е. если сторона квадрата равна http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/135299/2c3b0db0_c1c8_0131_6d08_3d765dfd91bb.png, то http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/135300/2dd999d0_c1c8_0131_6d09_3d765dfd91bb.png.

Например, рассмотрим квадрат http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/135284/140214e0_c1c8_0131_6cf9_3d765dfd91bb.png (см. Рис. 3).

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/135301/2f7128f0_c1c8_0131_6d0a_3d765dfd91bb.png

Рис. 3

Если сторона квадрата http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/135302/31046a50_c1c8_0131_6d0b_3d765dfd91bb.png, то его площадь http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/135303/3297ecd0_c1c8_0131_6d0c_3d765dfd91bb.png.

Пример 3. Найти сторону квадрата, если его площадь равна: а) 81 см2; б) 2,25 дм2.

Решение. Для решения обоих пунктов достаточно применить четвертое свойство площади http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/135304/344bb700_c1c8_0131_6d0d_3d765dfd91bb.png.

а) http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/135305/35e2b890_c1c8_0131_6d0e_3d765dfd91bb.png;

б) http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/135306/377a7f70_c1c8_0131_6d0f_3d765dfd91bb.png.

Ответ: а) http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/135307/3964c880_c1c8_0131_6d10_3d765dfd91bb.png; б) http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/135308/3b524190_c1c8_0131_6d11_3d765dfd91bb.png.

Вернемся к нашей задаче.

hello_html_337b9afc.png hello_html_6bf62d.png



И конечно можно использовать формулу для вычисления площади.

hello_html_59f8b259.png

Возникает вопрос: в чём заключается особенность задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Такие задачи встречаются в контрольно – измерительных материалах ЕГЭ и ГИА. Попробуем рассмотреть задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры.

Решетки .Узлы.

Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные квадраты; множество всех точек пересечения этих прямых называется точечной решеткой или просто решеткой , а сами точки –узлами решетки.

b6-100500-213-15.eps

Внутренние узлы многоугольника - красные.

Узлы на гранях многоугольника - синие.

Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу). Точнее, если S – площадь многоугольника, В - число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и Г - число клеток, которые имеют с внутренностью многоугольника хоть одну общую точку hello_html_m4f2ddf63.gif.

Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги – в таких, где пересекаются линии сетки.

Площадь любого треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника.

Теперь мы знаем несколько способов вычисления площадей фигур. Предложите способ, на ваш взгляд более удобный для данной фигуры.

hello_html_3b9ef54f.png

Вот несколько заданий из открытого банка заданий ГИА и ЕГЭ.

(устная фронтальная работа)

C:\Users\Галина\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\125.png

C:\Users\Галина\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\126.png



Исследование площадей многоугольников.

1) На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник.Найдите его площадь в квадратных сантиметрах

Рисунок

По формуле геометрии

По формуле Пика

hello_html_m3edf5d30.png

hello_html_mc5fd379.gif

a=6; h=5.

S=1/2hello_html_7e6cc508.gif6hello_html_7e6cc508.gif5=15

hello_html_m9243d63.gif

Г=12 ; B=10 . S=10+12/2 -1=15


hello_html_7540daab.png

hello_html_mc5fd379.gif

Sтр.ABD=1/2 ADhello_html_7e6cc508.gifBD=1/2hello_html_7e6cc508.gif2hello_html_7e6cc508.gif1=1

Sтр.BDC=1/2 DC hello_html_7e6cc508.gifBD=1/2hello_html_7e6cc508.gif3hello_html_7e6cc508.gif1=1,5

Sтр.ABC=Sтр.BDC-Sтр.ABD=

1,5-1=0,5

hello_html_m9243d63.gif

Г=3 ;В=0.

S=0+3/2-1=0,5


hello_html_2480f2e1.png

S1=hello_html_7b540709.gifb=1/2hello_html_7e6cc508.gif7hello_html_m6c123d53.gif3,5

S2=hello_html_7b540709.gifb=1/2hello_html_7e6cc508.gif7hello_html_7e6cc508.gif2=7

S3=hello_html_7b540709.gifb=1/2hello_html_7e6cc508.gif4hello_html_7e6cc508.gif1=2

S4=hello_html_7b540709.gifb=1/2hello_html_7e6cc508.gif5hello_html_7e6cc508.gif1=2,5

S5=a²=1²=1

Sкв.= a²=7²=49

S=49-3.5-7-2-2,5-1=32см²

hello_html_m9243d63.gif

Г=5;В=31.

S=31+hello_html_m285c7573.gif-1=32см²

hello_html_5e589714.png

S=ahello_html_2056cec8.gif

hello_html_4af691de.gif

hello_html_51fc77dd.gif

S=hello_html_m203f70a4.gif =36 см2


hello_html_m9243d63.gif

Г=18, В=28

S=28+hello_html_m199943cc.gif-1=36см2

hello_html_6ca248bd.png

S1=hello_html_7b540709.gifb=1/2hello_html_7e6cc508.gif3hello_html_7e6cc508.gif3=4,5

S2=hello_html_7b540709.gifb=1/2hello_html_7e6cc508.gif6hello_html_7e6cc508.gif6=18

S3=hello_html_7b540709.gifb=1/2hello_html_7e6cc508.gif3hello_html_7e6cc508.gif3=4,5

S=4,5+18+4,5=27 см²

hello_html_m9243d63.gif

Г=18;В=28.

S=28+hello_html_m199943cc.gif-1=36см²

hello_html_m61138cb8.png

S1=hello_html_7b540709.gifb=1/2hello_html_7e6cc508.gif3hello_html_7e6cc508.gif3=4,5

S2=hello_html_7b540709.gifb=1/2hello_html_7e6cc508.gif6hello_html_7e6cc508.gif6=18

S3=hello_html_7b540709.gifb=1/2hello_html_7e6cc508.gif3hello_html_7e6cc508.gif3=4,5

S4=hello_html_7b540709.gifb=1/2hello_html_7e6cc508.gif6hello_html_7e6cc508.gif6=18

Sкв.=9²=81см²

S=81-4,5-18-4,5-18=36см²

hello_html_m9243d63.gif

Г=18;В=28.

S=28+hello_html_m199943cc.gif-1=36см²

hello_html_50276f14.png

S1=hello_html_7b540709.gifb=1/2hello_html_7e6cc508.gif2hello_html_7e6cc508.gif4=4

S2=hello_html_7edffb01.gif=1/2hello_html_7e6cc508.gif4hello_html_7e6cc508.gif4=8

S3=hello_html_7edffb01.gif=1/2hello_html_7e6cc508.gif8hello_html_7e6cc508.gif2=8

S4=hello_html_7edffb01.gif=1/2hello_html_7e6cc508.gif4hello_html_7e6cc508.gif1=2

Sпр.=hello_html_c4b6fd2.gifb=6hello_html_7e6cc508.gif8=48

S5=48-4-8-8-2=24 см²

hello_html_2b7a02c.gif

Г=16;В=17.

S=17+hello_html_m1549edfb.gif-1=24 см²

hello_html_m60dbf1c.png

hello_html_m2dbd45ff.gif

Sкв.KMNE=7hello_html_7e6cc508.gif7=49

Sтр.AKB=1/2hello_html_7e6cc508.gifKBhello_html_7e6cc508.gifAK=1/2hello_html_7e6cc508.gif4hello_html_7e6cc508.gif4=8

Sтр.AKB=Sтр.DCE=8

Sтр.AND= 1/2hello_html_7e6cc508.gifNDhello_html_7e6cc508.gifAN=1/2hello_html_7e6cc508.gif3hello_html_7e6cc508.gif3=4,5

Sтр.AND=Sтр.BMC=4,5

Sпр.= Sкв.KMNE- Sтр.AKB- Sтр.DCE- Sтр.AND- Sтр.BMC=49-8-8-4,5-4,5=24

hello_html_m9243d63.gif

Г=14;В=19.

S=18+14/2-1=24

Вывод

Сравнив результаты в таблицах и доказав теорему Пика, мы пришли к выводу ,что площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по выведенной формуле планиметрии

Учащимся раздаются индивидуальные карточки с формулой Пика и таблица в русским алфавитом. На доске отображена таблица с количеством ячеек, соответствующим количеству карточек.

В результате выполнения работы в таблице должно быть расшифровано слово.

C:\Users\Галина\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\127.png

Карточки.

Формула Пика

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна  В + Г/2 − 1, где  В есть количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.
Пример. 
 
28c

В = 10, Г = 6,  В + Г/2 − 1  =   10 + 6:2 − 1 = 12

КАРТОЧКА 1

E:\10 Подмосковный слет\площадь по клеткам\16точ.png

Ответ:

КАРТОЧКА 2

E:\10 Подмосковный слет\площадь по клеткам\13точ.png

Ответ:

.КАРТОЧКА 3

C:\Documents and Settings\Кондратьева Т Ю\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\10точ.png

Ответ:



КАРТОЧКА 4

E:\10 Подмосковный слет\площадь по клеткам\14точ.png

Ответ:

КАРТОЧКА 5

E:\10 Подмосковный слет\площадь по клеткам\17точ.png

Ответ:

КАРТОЧКА 6

C:\Documents and Settings\Кондратьева Т Ю\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\10точ.png

Ответ:

КАРТОЧКА 7

E:\10 Подмосковный слет\площадь по клеткам\1точ.png

Ответ:

КАРТОЧКА 8

E:\10 Подмосковный слет\площадь по клеткам\5точ.png

Ответ:

КАРТОЧКА 9

E:\10 Подмосковный слет\площадь по клеткам\1точ.png

Ответ:



1

2

3

4

5

6

7

8

9

А

Б

В

Г

Д

Е

Ё

Ж

З

10

11

12

13

14

15

16

17

18

И

Й

К

Л

М

Н

О

П

Р

19

20

21

22

23

24

25

26

27

С

Т

У

Ф

Х

Ц

Ч

Ш

Щ

28

29

30

31

32

33




Ь

Ы

Ъ

Э

Ю

Я






hello_html_m51c9bbd.png





Список литературы

1.Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ.

2.Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

3.Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – 2011

4.В.В.Вавилов, А.В.Устинов .Многоугольники на решетках.М.МЦНМО,2006.

5.Математические этюды. etudes.ru

6.Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.Геометрия .7-9 классы.М. Просвещение ,2010

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Planetcalc.ru (Источник).

  2. Dcs.isa.ru (Источник). 

 



Краткое описание документа:

Увидев такие задачи в контрольно – измерительных материалах ЕГЭ и ГИА, решила обязательно исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры.

«Ты имеешь собственное мнение, но если

Автор
Дата добавления 28.04.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров363
Номер материала 502137
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх