Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по теме "Методы решения тригонометрических уравнений"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект урока по теме "Методы решения тригонометрических уравнений"

библиотека
материалов


Итоговая работа

выполнена слушателем курса «Система подготовки к ЕГЭ по математике» Гришиной И.В., учителем математики МОУ «Гимназия №1» города Саратова

Разработка урока по теме

«Методы решения тригонометрических уравнений»

Класс: 10-ый с профильным изучением математики

Предмет: алгебра и начала анализа

Тип урока : урок закрепления и совершенствования знаний

Место урока в системе уроков: урок проводится после изучения тем «Преобразование тригонометрических выражений» и «Решение простейших тригонометрических уравнений». К моменту проведения урока учащиеся хорошо владеют формулами тригонометрии, формулами корней простейших тригонометрических уравнений в общем и частном случаях.

Учебное пособие: «Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Профильный уровень. Под ред. А.Г. Мордковича.

Цели урока

Дидактическая: закрепление знания формул тригонометрии, выработка умения отнести тригонометрическое уравнение к определённому классу, демонстрация нескольких способов решения одной и той же задачи, поиск наиболее рационального пути решения задачи.

Развивающая: развитие математического мышления, логики, формирование культуры математической речи, быстрого письма.

Воспитательная: показать пример поведения и общения, вырабатывать умение выслушать учителя и одноклассников, вести грамотный и аккуратный конспект урока.

Оборудование: классная доска с количеством рабочих мест не менее 5, компьютер, медиапроектор.

Продолжительность урока 40 минут.



Ход урока

  1. Организационный момент (1 мин)

Учитель организует начало урока, приветствует учащихся, выясняет имена отсутствующих

  1. Постановка цели и план урока (3 мин)

Учитель записывает на доске дату, тему урока и сообщает учащимся, что в рамках изучения тригонометрических уравнений сегодня будет рассмотрено уравнение вида
hello_html_4b128cce.gif (1)

Мы постараемся отыскать все возможные алгоритмы решения уравнения такого вида и условия его разрешимости, для чего нам потребуется вспомнить и применить многие формулы тригонометрии. Урок пройдёт по следующему плану: подготовка на доске упражнений из домашнего задания, выполнение математического диктанта большинством учеников класса, проверка диктанта, комментирование решений домашних упражнений, получение условия разрешимости уравнения (1) при различных способах решения. Несмотря на простоту данного уравнения важно умение его решать как элемент решения более сложных уравнений, а умение решать его различными способами позволит свободно переходить от одной записи ответа к другой, что позволит в учебных целях проконтролировать его правильность по имеющимся ответам задачников.

  1. Подготовка к проверке домашнего задания (2 мин)

В домашнем задании предлагалось выполнить 4 упражнения:

30.17(г) Решить уравнение hello_html_m12c85b5b.gif введением вспомогательного аргумента.

30.23(б) При каких значениях параметра а уравнение hello_html_m1d95dd32.gif не имеет решений?

23.19(а) Решить уравнение hello_html_52cbed4e.gif .

27.59 (а) Используя замену u=tghello_html_m6e3e4867.gif и формулы универсальной подстановки, решите уравнение sinx+7cosx=5.

Учитель приглашает к доске 4 учащихся для проверки задач домашнего задания. Остальные учащиеся выполняют задания математического диктанта.

  1. Математический диктант и его проверка (15 мин)

Цель диктанта – проверка знаний основных формул и сведений из тригонометрии и умения применить их при решении задач.

1 вариант

  1. Запишите формулу корней уравнения sin t =a и условие его разрешимости

  2. Запишите преобразования выраженияhello_html_4baac6f5.gif к виду c sin(hello_html_1263b9e7.gif)

  3. Запишите формулу универсальной подстановки для sin t. Каковы допустимые значения t в указанной формуле?

  4. Являются ли равносильными уравнения

hello_html_bc03fb6.gif и

hello_html_7a10cf84.gif (3) ?

  1. Дано уравнение hello_html_m30913cde.gif .Приведите его к виду

hello_html_4b128cce.gif

2 вариант

  1. Запишите формулу корней уравнения сos t =a и условие его разрешимости

  2. Запишите преобразования выраженияhello_html_7afc2c4d.gif к виду c cos(x-γ)

  3. Запишите формулу универсальной подстановки для cos t. Каковы допустимые значения t в указанной формуле?

  4. Являются ли равносильными уравнения

hello_html_18b1aaaf.gif (4) и hello_html_605c28f0.gif

hello_html_m2c31575f.gif?

  1. Дано уравнение hello_html_31852b9c.gif . Приведите его к виду

hello_html_4b128cce.gif



По окончании выполнения диктанта учащиеся сдают работы, а учитель с помощью проектора показывает ответы и краткие решения на задания диктанта.

1 вариант

        1. hello_html_m45fe7b72.gif

        2. hello_html_m65325901.gif

hello_html_m64d6490f.gif

        1. hello_html_m730672d0.gif

        2. Уравнения hello_html_2ddefdac.gif и (hello_html_640b054a.gif не являются равносильными, так как числа вида hello_html_485029a1.gif не могут являться решениями уравнения (3) (при этих значениях hello_html_m4f133de0.gif выражение tg hello_html_56030d1a.gifне определено), но являются решениями уравнения (2).

        3. hello_html_m30913cde.gif

hello_html_m364e1ea7.gif hello_html_m2b0307a0.gif



2 вариант

  1. hello_html_m4103a52.gif

  2. hello_html_m4f640e4d.gif

hello_html_m316c4782.gif

  1. hello_html_m28dd5afb.gif

  2. Уравнения hello_html_5c73a848.gif и (hello_html_m24e12ce3.gif являются равносильными, так как имеют одинаковые решения. Различие этих уравнений лишь в ОДЗ переменной, но числа вида hello_html_485029a1.gif , при которых выражение tg hello_html_56030d1a.gifне определено, не являются решениями уравнения (4), в чём можно убедиться проверкой.



  1. hello_html_31852b9c.gif



hello_html_m4d050c16.gif

hello_html_7189cbea.gif





  1. Проверка домашнего задания (10 мин)

30.17(г) Решить уравнение hello_html_m97aeb31.gif введением вспомогательного аргумента.

Решение

13(hello_html_4e35edf4.gif , hello_html_m602e4793.gif, hello_html_50d2d17e.gif

hello_html_28458a1.gif+2hello_html_m43e5eb28.gif+4hello_html_2bb260ab.gif; hello_html_1d8757fc.gif=arccoshello_html_62875537.gif.

Ответ: hello_html_4dd5e976.gif

30.23(б) При каких значениях параметра а уравнение hello_html_m1d95dd32.gif не имеет решений?

Решение

Перепишем уравнение в виде hello_html_m4f8a5a59.gif

Левую часть уравнения представим в виде hello_html_m196cd34f.gif

Тогда получившееся уравнение не имеет решений, если его правая часть имеет модуль, больший единицы. То есть

hello_html_60d01ba.gif

Ответ:hello_html_m1fe3d4fe.gif

23.19(а) Решить уравнение hello_html_52cbed4e.gif .

Решение

Данное уравнение сводится к однородному 2 степени относительно синуса и косинуса представлением правой части в следующем видеhello_html_m5c64c64e.gif . После переноса слагаемых из правой части в левую и приведения подобных получаем уравнение

hello_html_m2d40c0c8.gif ,

hello_html_m27183dd0.gif

hello_html_5a919e9a.gif

Переход от (*) к (**) не приводит к потере решений, так как hello_html_49fd1918.gif не являются корнями уравнения (*).

hello_html_m442ac639.gif

hello_html_61ae1e2c.gif

hello_html_270dd09e.gif

hello_html_m5a8f957b.gif

Ответ:hello_html_299a9889.gif

27.59 (а) Используя замену u = tghello_html_m6e3e4867.gif и формулы универсальной подстановки, решите уравнение sinhello_html_m4f133de0.gif+7coshello_html_m4f133de0.gif=5.



Решение

Используя формулы универсальной подстановки, запишем уравнение в виде:

hello_html_635cfc7d.gif

Проверкой убеждаемся, что потеря решений не произошла. Подставляем в данное уравнение

hello_html_m4b860ca3.gif :

sinhello_html_7bd3b716.gif+7coshello_html_7bd3b716.gif=5,

-7=5 неверно.

Пусть теперь a=hello_html_68f780bb.gif. Тогда уравнение принимает вид

hello_html_m37c834b1.gif,

hello_html_56afbf2f.gif(hello_html_m68aa2d5a.gif,hello_html_968a3c2.gif

hello_html_m4b5e7267.gif,

hello_html_2f36f4e3.gif, 6hello_html_5ac6d9bb.gif

hello_html_m55c19ae0.gif

Возвращаясь к исходной переменной, получаем решения :

hello_html_4a29c303.gif

Ответ: hello_html_77e6c7d3.gif





  1. Подведение итогов урока и задание на дом (9 мин)

По окончании разбора решений задач математического диктанта и домашнего задания учитель предлагает учащимся подвести итог в виде ответов на следующие задание и вопрос:

- перечислите основные приемы решения уравнения вида
hello_html_4b128cce.gif

(введением вспомогательного аргумента, сведением к однородному 2 степени путём применения формул двойного аргумента и основного тригонометрического тождества, использованием формул универсальной подстановки);

- каково условие разрешимости уравнения
hello_html_6bf39d5a.gif

(условие разрешимости легко получить, если решать это уравнение введением вспомогательного аргумента:

hello_html_m30269930.gif

hello_html_2af20d04.gif

hello_html_m7e5eae6c.gif

hello_html_m31e7b82e.gif )

Закончив обсуждение ответов на поставленные вопросы, учитель объявляет оценки учащимся за работу на уроке и предлагает дома выполнить задание:

- получить условие разрешимости уравнения при использовании двух других способов его решения;

- №31.18 показать применение не менее 3-х способов решения







10


Краткое описание документа:

Данная разработка выполнена учителем математики Гришиной И.В. в качестве выпускной работы при обучении на курсах повышения квалификации "Система подготовки к ЕГЭ", организованных университетом "1 сентября". Конспект урока предлагает подробный план проведения урока по методам решения уравнения вида

a sin x+ b cos x = c.

В ходе урока отыскиваются  все возможные алгоритмы решения уравнения такого вида и условия его разрешимости. Все задачи приводятся с решениями. Может быть использован учителем при работе по УМК А.Г. Мордковича. Один из фрагментов урока - математический диктант (в 2-х вариантах).

Автор
Дата добавления 12.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров722
Номер материала 291189
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх