Конспект урока по теме "Методы решения тригонометрических уравнений"

Итоговая работа

выполнена слушателем курса «Система подготовки к ЕГЭ по математике» Гришиной И.В., учителем математики МОУ «Гимназия №1» города Саратова

Разработка урока по теме

«Методы решения тригонометрических уравнений»

Класс: 10-ый с профильным изучением математики

Предмет: алгебра и начала анализа

Тип урока : урок закрепления и совершенствования знаний

Место урока в системе уроков: урок проводится после изучения тем «Преобразование тригонометрических выражений» и «Решение простейших тригонометрических уравнений». К моменту проведения урока учащиеся хорошо владеют формулами тригонометрии, формулами корней простейших тригонометрических уравнений в общем и частном случаях.

Учебное пособие: «Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Профильный уровень. Под ред. А.Г. Мордковича.

Цели урока

Дидактическая: закрепление знания формул тригонометрии, выработка умения отнести тригонометрическое уравнение к определённому классу, демонстрация нескольких способов решения одной и той же задачи, поиск наиболее рационального пути решения задачи.

Развивающая: развитие математического мышления, логики, формирование культуры математической речи, быстрого письма.

Воспитательная: показать пример поведения и общения, вырабатывать умение выслушать учителя и одноклассников, вести грамотный и аккуратный конспект урока.

Оборудование: классная доска с количеством рабочих мест не менее 5, компьютер, медиапроектор.

Продолжительность урока 40 минут.

Ход урока

1. Организационный момент (1 мин)

Учитель организует начало урока, приветствует учащихся, выясняет имена отсутствующих

2. Постановка цели и план урока (3 мин)

Учитель записывает на доске дату, тему урока и сообщает учащимся, что в рамках изучения тригонометрических уравнений сегодня будет рассмотрено уравнение вида
(1)

Мы постараемся отыскать все возможные алгоритмы решения уравнения такого вида и условия его разрешимости, для чего нам потребуется вспомнить и применить многие формулы тригонометрии. Урок пройдёт по следующему плану: подготовка на доске упражнений из домашнего задания, выполнение математического диктанта большинством учеников класса, проверка диктанта, комментирование решений домашних упражнений, получение условия разрешимости уравнения (1) при различных способах решения. Несмотря на простоту данного уравнения важно умение его решать как элемент решения более сложных уравнений, а умение решать его различными способами позволит свободно переходить от одной записи ответа к другой, что позволит в учебных целях проконтролировать его правильность по имеющимся ответам задачников.

3. Подготовка к проверке домашнего задания (2 мин)

В домашнем задании предлагалось выполнить 4 упражнения:

№ 30.17(г) Решить уравнение введением вспомогательного аргумента.

№ 30.23(б) При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений?

№ 23.19(а) Решить уравнение .

№27.59 (а) Используя замену u=tg и формулы универсальной подстановки, решите уравнение sinx+7cosx=5.

Учитель приглашает к доске 4 учащихся для проверки задач домашнего задания. Остальные учащиеся выполняют задания математического диктанта.

4. Математический диктант и его проверка (15 мин)

Цель диктанта – проверка знаний основных формул и сведений из тригонометрии и умения применить их при решении задач.

1 вариант

1. Запишите формулу корней уравнения sin t =a и условие его разрешимости

2. Запишите преобразования выражения к виду c sin()

3. Запишите формулу универсальной подстановки для sin t. Каковы допустимые значения t в указанной формуле?

4. Являются ли равносильными уравнения

и

(3) ?

5. Дано уравнение .Приведите его к виду

2 вариант

1. Запишите формулу корней уравнения сos t =a и условие его разрешимости

2. Запишите преобразования выражения к виду c cos(x-γ)

3. Запишите формулу универсальной подстановки для cos t. Каковы допустимые значения t в указанной формуле?

4. Являются ли равносильными уравнения

(4) и

?

5. Дано уравнение . Приведите его к виду

По окончании выполнения диктанта учащиеся сдают работы, а учитель с помощью проектора показывает ответы и краткие решения на задания диктанта.

1 вариант

1. 1. 1. 3. 

         4. Уравнения и ( не являются равносильными, так как числа вида не могут являться решениями уравнения (3) (при этих значениях выражение tg не определено), но являются решениями уравнения (2).

         5. 

2 вариант

3. 

4. Уравнения и ( являются равносильными, так как имеют одинаковые решения. Различие этих уравнений лишь в ОДЗ переменной, но числа вида , при которых выражение tg не определено, не являются решениями уравнения (4), в чём можно убедиться проверкой.

5. Проверка домашнего задания (10 мин)

№ 30.17(г) Решить уравнение введением вспомогательного аргумента.

Решение

13( , ,

+2+4; =arccos.

Ответ:

№ 30.23(б) При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений?

Решение

Перепишем уравнение в виде

Левую часть уравнения представим в виде

Тогда получившееся уравнение не имеет решений, если его правая часть имеет модуль, больший единицы. То есть

Ответ:

№ 23.19(а) Решить уравнение .

Решение

Данное уравнение сводится к однородному 2 степени относительно синуса и косинуса представлением правой части в следующем виде . После переноса слагаемых из правой части в левую и приведения подобных получаем уравнение

,

Переход от (*) к (**) не приводит к потере решений, так как не являются корнями уравнения (*).

Ответ:

№27.59 (а) Используя замену u = tg и формулы универсальной подстановки, решите уравнение sin+7cos=5.

Решение

Используя формулы универсальной подстановки, запишем уравнение в виде:

Проверкой убеждаемся, что потеря решений не произошла. Подставляем в данное уравнение

:

sin+7cos=5,

-7=5 неверно.

Пусть теперь a=. Тогда уравнение принимает вид

,

(,

,

, 6

Возвращаясь к исходной переменной, получаем решения :

Ответ:

6. Подведение итогов урока и задание на дом (9 мин)

По окончании разбора решений задач математического диктанта и домашнего задания учитель предлагает учащимся подвести итог в виде ответов на следующие задание и вопрос:

- перечислите основные приемы решения уравнения вида

(введением вспомогательного аргумента, сведением к однородному 2 степени путём применения формул двойного аргумента и основного тригонометрического тождества, использованием формул универсальной подстановки);

- каково условие разрешимости уравнения

(условие разрешимости легко получить, если решать это уравнение введением вспомогательного аргумента:

)

Закончив обсуждение ответов на поставленные вопросы, учитель объявляет оценки учащимся за работу на уроке и предлагает дома выполнить задание:

- получить условие разрешимости уравнения при использовании двух других способов его решения;

- №31.18 показать применение не менее 3-х способов решения