Инфоурок Алгебра КонспектыКонспект урока с презентацией и интерактивным тестом по теме «Определение числовой функции. Область определения и область значений функции» алгебра, 9 класс

Конспект урока с презентацией и интерактивным тестом по теме «Определение числовой функции. Область определения и область значений функции» алгебра, 9 класс

Скачать материал

Выберите документ из архива для просмотра:

M-22_UC9-ch11.pdf ~$ан-конспект урока.doc ~WRL1025.tmp видеоурок Функция. Область определения и область значений функции.mp4 ДЛЯ СТЕНДА.docx для устной работы.docx Область определения Множ.ppt психолог настрой.mp4 рефлексия.docx тест по теме определение функции 9 класс.xlsx Тест по теме Определение функции.docx Технологическая карта урока.docx Фрагмент.shs

Выбранный для просмотра документ M-22_UC9-ch11.pdf

Глава 11                       Исследование функции

Беседа Развитие понятия функции

Идея функциональной зависимости также восходит к древним источникам, однако явное применение понятия функции нужно отнести к XVII веку. Важнейшей новой идеей, которая возникла в это время, является идея переменных, с которой в математику пришло движение, изменение, процессы, наблюдаемые во времени. Развитие этой идеи связано с великими именами Декарта, Ферма, Галилея, Ньютона и Лейбница. Все эти имена уже появлялись в нашем курсе, и мы еще неоднократно будем обращаться к ним впредь.

Cogito, ergo sum – 

Мыслю, следовательно, существую.

Эти великие слова сказал почти четыреста лет назад французский ученый Рене Декарт.

                                                                                                                             Рене Декарт родился 31 марта 1596 г.

в дворянской семье. Он воспитывался и получил образование в колледже, находившемся в ведении католического монашеского ордена иезуитов. В колледже он заинтересовался естествознанием, географией и математикой. Вот что позже писал сам Декарт: «Как только возраст мне позволил … я совершенно оставил изучение наук и решил не искать новой науки, кроме той, которую мог бы обрести в самом себе и в великой книге природы. Я использовал оставшиеся молодые годы на то, чтобы путешествовать, видеть дворы и армии, изучать людей различных характеров…». Желая осуществить мечту о путешествиях, Декарт поступает в голландскую армию и принимает участие в Тридцатилетней войне. Закончив военную службу, он пробыл некоторое время в Париже. В 1629 г. Декарт переселился в Голландию, где написал важнейшие свои труды. Наряду с выдающимися математическими исследованиями он открыл один из основных законов оптики, сформулировал закон сохранения количества движения, разработал новую гипотезу о происхождении планет, создал теорию кровообращения и сделал значительный вклад в области философии.

Вышедшее в 1637 г. в Лейдене (Голландия) его философское произведение «Рассуждение о методе» содержало основы новой математической науки – аналитической геометрии, базирующейся на методе координат. Этот год по праву считают началом современной математики.

 

                 

Леонард Эйлер

 

 

1707–1783

Леонард Эйлер родился в Швейцарии, но большую часть жизни прожил и проработал в России, женился на русской, опубликовал в России большинство своих трудов, умер и похоронен в Петербурге.

Классический труд Эйлера «Введение в анализ бесконечных» переиздается до сих пор. Именем Эйлера названы десятки теорем, формул и понятий из всех областей математики.

Мы столкнемся с именем Эйлера повсюду – в геометрии (прямые Эйлера в треугольнике, формула Эйлера e + f = k + 2, связывающая число вершин, граней и ребер многогранника), теории чисел

(функция Эйлера ϕ(n) – число натуральных чисел до n, взаимно простых с n), теории графов (эйлеровы пути – конфигурации, которые можно начертить, не проходя дважды по одному участку), математическом анализе (впечатляющая формула Эйлера eπi= –1, соединяющая знаменитые числа), в тригонометрии (ему принадлежит большинство современных обозначений в теории тригонометрических функций), комбинаторике – задача Эйлера о 36 офицерах и т. д.

Определение функции

Термин «функция» стал употребляться Лейбницем и его учеником Иоганном Бернулли с 1698 года. Определение функции, данное И. Бернулли, выглядит в переводе так: «Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной и постоянных».

Некоторое время понятие функции сближалось с понятием формулы. Так Л. Эйлер в 1748 году, уточняя определение Бернулли, пишет: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-то образом из этого количества и чисел».

Замечательный русский математик Н. И. Лобачевский, чье имя мы всегда связываем с открытием «геометрии Лобачевского», «неевклидовой геометрии», незадолго вслед за Эйлером (в районе 1755 года) писал: «Общее понятие требует, чтобы функцией от x называть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средства испытывать все числа и выбирать одно из них…».

Мы сейчас пользуемся определением, которое было дано еще в 1837 году немецким математиком Дирихле: «y есть функция переменной x, если каждому значению x соответствует совершенно определенное значение y, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие – аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами».

Развитие понятия функции не остановилось в XVIII веке, хотя мы, прежде всего, используем определения функции, близкие к приведенному. В конце XIX века сформировалось понятие отображения, развивающее понятие числовой функции. Отображение – закон, по которому каждому элементу x некоторого заданного числового множества X сопоставляется однозначно определенный элемент y другого заданного множества Y (при этом множества X и Y могут совпадать, например, X = Y = R). Такое соотношение между элементами x X и y Y стали записывать в дальнейшем y = f(x). Говорят, что отображение f действует из X в Y и пишут f: X Y

f или X Y.

§ 1 Схема исследования функции

Примеры и комментарии

1. Запишем области определения D некоторых функций. 1) y = 2x – 1, D = R;

1

2)    y=   , D: x 1; x1

3)    y = −1         x , D: x 1;

4)    y = –x2, D = R.

2.                   Область определения может задаваться отдельным указанием и отличаться от естественной области определения. Например, может встретиться такая запись: y = x2, x 0.

3.                   Нахождение промежутков знакопостоянства тесно связано с нахождением нулей функции. Часто бывает так, что проходя через нуль, функция меняет знак.

Эти случаи изображены на

графике. Функции y = x2 и y=1 x

дают примеры, когда промежутки знакопостоянства не связаны с нулями функции. Первая из них обращается в нуль при x = 0, но проходя через эту точку, функция знака не меняет. Вторая меняет знак при переходе через x = 0, но в этой точке функция не определена.

 

1.                    Исследование функции начинается с явного описания ее области определения. Напомним, что если функция задана формулой и нет дополнительных указаний, то ее областью определения считается (по умолчанию) множество всех вещественных чисел, при которых можно выполнить все операции, входящие в формулу, и вычислить ее значение.

2.                    Полезно сразу найти нули функции, т. е. значения аргумента, при которых функция обращается в нуль. Найти нули функции y = f(x) – это то же самое, что решить уравнение f(x) = 0.

3.                    Важным элементом исследования является нахождение промежутков, на которых функция сохраняет постоянный знак – промежутки знакопостоянства. Для этого надо решить неравенства f(x) > 0, f(x) < 0. Ясно, что достаточно решить одно из этих неравенств.

Далее надо обратиться к исследованию того, как меняются значения функции при значениях аргумента, движущихся по области определения «слева направо», т. е. в порядке их возрастания.

4.                    При таком движении аргумента функция может то убывать, то возрастать. При этом, как правило, всю область определения можно разбить на некоторое количество промежутков, на каждом из которых сохраняется характер изменения функции, или как говорят, ее монотонность – на таком промежутке функция или убывает, или возрастает.

5.                    Наконец, следует найти наибольшее и наименьшее значения функции на всей области определения. Для многих функций они оба или одно из них могут не существовать. Например, ясно, что функция y = x принимает любые значения, среди которых нет ни набольшего, ни наименьшего.

6.                    Завершается исследование описанием множества значений функции, которое тесно связано с нахождением наибольших и наименьших значений.

Сведем пункты исследования функции y = f(x) в одну схему.

 

§ 2 Движение графика функции

1.        Параллельный перенос вдоль оси ординат Сравним графики функций y = f(x) и y = f(x) + 1.

Пусть точка P(a; b) лежит на графике первой функции, т. е. b = f(a). Тогда точка P(a; b + 1) лежит на графике второй функции.

Вывод: график функции y = f(x) + 1 получается из графика функции y = f(x) подъемом этого графика вверх на 1, т. е. параллельным переносом на 1 вдоль оси ординат.

В общем виде график функции y = f(x) + y0 получается из графика функции y = f(x) параллельным переносом на y0 вдоль оси ординат. Если y0 > 0, движение графика происходит вверх, если y0 < 0, то вниз.

 

2.        Параллельный перенос вдоль оси абсцисс Сравним графики функций y = f(x) и y = f(x – 1). Пусть f(a) = b, т. е. точка P(a; b) лежит на графике первой функции. Чтобы получить для второй функции то же значение b, надо взять x = a + 1: f(a + 1 – 1) = f(a) = b. Это означает, что точка P(a; b) на графике функции y = f(x) отвечает точке P(a + 1; b) на графике функции y = f(x

 1).

Вывод: график функции y = f(x – 1) получается из графика функции y = f(x) сдвигом вправо на 1, т. е. параллельным переносом на 1 вдоль оси абсцисс.

В общем виде график функции y = f(xx0) получается из графика функции y = f(x) параллельным переносом на x0 вдоль оси абсцисс. Если x0 > 0, график движется вправо, если x0 < 0, то влево.

Симметрия

1. Симметрия относительно оси абсцисс Сравним графики функций y = f(x) и y = –f(x). Точка (a; b) первого графика соответствует точке (a; –b) второго. Это означает, что графики функций

y = f(x) и y = –f(x) симметричны относительно оси абсцисс.

2. Симметрия относительно оси ординат Сравним графики функций y = f(x) и y = f(–x). Точка (a; b) первого графика соответствует точке (–a; b) второго. Это означает, что графики функций

y = f(x) и y = f(–x) симметричны относительно оси ординат.

Обратим внимание на то, что области определения функций y = f(x) и y = f(–x) симметричны друг другу и могут оказаться различными. Если первая функция определена на промежутке [a; b], то вторая – на промежутке [–b; –a].

3. Центральная симметрия относительно  начала координат

Сравним графики функций y = f(x) и y = –f(–x). Точке P(a; b) графика первой функции можно сопоставить точку P(–a; –b), которая лежит на графике второй. Это означает, что график функции y = –f(–x) получается из графика y = f(x) симметричным 

отражением относительно начала координат. Это не является удивительным, так как смена знака у x означает симметрию относительно оси x, а смена знака у y – симметрию относительно оси y. Последовательное выполнение этих двух симметрий и дает центральную симметрию.

 


                                                                 § 3                      уравнений и неравенств по графику

Неравенства

Для того чтобы графически решить неравенство вида f(x) > 0, надо найти точки, где функция меняет знак. Прежде всего, это может быть в нулях этой функции, а также в точках, где функция не определена.

f(x) > 0 при x1 < x < a и x > x2

Для графического решения неравенства вида f(x) > a надо найти точки пересечения графика с прямой y = a.

f(x) > 0 при x1 < x < x2 и x > x3

Для графического решения неравенство вида f(x) > g(x) надо найти точки пересечения графиков функций y = f(x) и y = g(x).

 

                                                                 § 4                       линейных и квадратных неравенств

Примеры и комментарии

1.                   Решить неравенство  –2(x + 1) 5 – x.

–2(x + 1) 5 – x –2x – 2 5 – x x –7.

Ответ: x –7, или x [–7; +).

2.                   Решить систему неравенств

3 6 0x+ > .

10 2− >x 0

3x + 6 > 0 x > –2; 10 – 2x > 0 x < 5.

        2       0                      5        

Ответ: –2 < x < 5, или x (–2; 5).

3.                   Найти решение неравенства  3x – 4 2x на промежутке [–1; 5]. Решаем неравенство 3x – 4 2x x 4.

Наносим решения системы на числовую ось:

 

Ответ: –1 x 4, или x [–1; 4].

4.                   Найти область определения

3x

функции y = 2 . x 16

Составляем систему условий:

32x0

x 16 0

Наносим условия на числовую ось:

        4                 0             3 4

Ответ: x < –4 и –4 < x 3, или x (–; –4) (–4; 3].

1.  Линейные неравенства

Линейное неравенство – это неравенство, которое равносильными преобразованиями может быть приведено к виду xa > 0. Вместо знака > может стоять любой другой знак неравенства <, или . Решение линейного неравенства сводится к вопросу нахождения промежутков, где соответствующая линейная функция сохраняет постоянный знак.

Полезно запомнить, что простейшая линейная функция вида y = xa отрицательна до своего нуля x = a и положительна после него.

2.  Системы линейных неравенств

При решении систем линейных неравенств на числовую ось наносят решения каждого из них и затем берут общую часть.

Пример. Решить систему неравенств

⎧⎩x2+ >x5+ > −53(2x1)x ⇔ ⎧⎨⎩32xx>−< 83 ⇔ ⎧⎨⎩xx<>−41

 

Ответ: –1 < x < 4, или x (–1; 4).

Нахождение решений линейного неравенства, принадлежащих данному неравенству, сводится к решению системы неравенств.

x x

Пример. Найти решения неравенства 1− > −2 на

2 4

промежутке [2; 5].

x x

Решаем неравенство 1− > −2, наносим на числовую

2 4

ось промежуток [2; 5] и находим общие точки. x x

1− > −2 x<3 x < 4.

2 4

                                                                                                                                              0 1 2          4 5         

Ответ: 2 x < 4, или x [2; 4).

 

Примеры и комментарии

Решить неравенство  (1 – x)(2 + x) 2.

Преобразуем неравенство: 

(1 – x)(2 + x) 2  

– 2x + xx2 2 x2 + x 0. Наносим корни: x2 + x = 0. x1 = –1; x2 = 0.

Ответ: x –1; x 0 или  x (–; –1] [0; +).

2.                   Найти решения неравенства x (x – 1) < 12 на промежутке

[–5; 2].

Преобразуем неравенство:  x (x – 1) < 12 x2x < 12 x2 + x – 12 < 0.

Находим корни: x2x – 12 = 0. x1 = –3; x2 = 4.

Наносим на числовую ось:

 

Ответ: –3 < x 2, или x (–3; 2].

3.                   Найти область определения

1x2

функции y =.

                                 x2 − +x 1

Записываем систему условий:

12 x2 0       

x − + >x 1 0

Решаем неравенства:

x2 0 x2 – 1 0: –1 x 1. x2x + 1 > 0. Трехчлен x2x + 1 корней не имеет. x2x + 1 > 0 при всех x.

Ответ: –1 x 1, или x [–1; 1].

Квадратные неравенства

Квадратное неравенство – это неравенство, которое равносильными преобразованиями может быть приведено к неравенству вида x2 + px + q > 0 (или <, , ).

Решение квадратного неравенства – это вопрос о нахождении           промежутков постоянного          знака соответствующей квадратичной функции. В свою очередь это зависит от наличия корней квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.

Полезно запомнить, что квадратичная функция вида y = x2 + px + q отрицательна в интервале между ее корнями, если таковые имеются, и положительна вне его. Если корней нет, то эта функция положительна на всей числовой оси.

+        −     +              (xx1)(xx2) < 0 x1 0      x2                            x (x1; x2)

x2 + px + q = (xx1)(xx2)       (xx1)(xx2) > 0  

x (–; x1) (x2; +)

Алгоритм решения квадратного неравенства

1.  Преобразованиями привести неравенство к виду x2 + px + q > 0 (или <, , ).

2.  Выяснить, есть ли корни у квадратного трехчлена x2 + px + q и если есть, то найти их.

3.  Записать ответ.

Нахождение решений квадратного неравенства на промежутке сводится к решению системы неравенств. Пример. Найти отрицательные решения неравенства 6 –  x2 x.

Преобразуем неравенство: 6 – x2 x x2x – 6 0.

Корни квадратного трехчлена x2x – 6: x1 = –2, x2 = 3.

Наносим на числовую ось:

                                                 3 2           0 1 2 3              

Ответ: –2 x < 0, или x [–2; 0).

 

                                                                 § 5                     рациональных неравенств

Примеры и комментарии

x3 4x

Решить неравенство     2 0.

9x

1) Начинаем с преобразования левой части:

x3 4x      x x( 2 4)

             2 =        2                = 

9 (x 9) x x( 2)(x + 2)

=− .

(x 3)(x + 3)

Меняем знак у неравенства:

x x( 2)(x + 2)

0

(x 3)(x + 3)

Обратите внимание на то, что полезно так изменить знаки, чтобы коэффициенты при x в линейных множителях стали положительными.

2)                  Наносим корни на числовую ось, по-разному отмечая корни числителя и знаменателя (при строгом неравенстве этого можно не делать).

Пять корней разбили ось на шесть промежутков.

3)                  Отмечаем знаки справа налево.

 

4)                  Прежде чем выписывать ответ, заметим, что мы решаем нестрогое неравенство, поэтому корни числителя надо включать в ответ, а корни знаменателя нет.

Ответ: (–; –3) [–2; 0] [2; 3).

Рациональным неравенством называется неравенство

P     x( )         P x( )

                                                                              вида     > 0, где           – рациональное выражение

Q    x( )         Q x( )

(отношение двух многочленов), а вместо знака > может стоять, разумеется, любой другой знак неравенства

(<, , ).

Рациональные неравенства решают методом интервалов (промежутков). Этот метод состоит в следующем.

P x( )

1.  Числитель и знаменатель дроби      раскладывают на Q x( )

линейные множители. 

2.  На числовую ось наносят корни всех линейных множителей. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы (промежутки), на каждом их которых дробь

P x( )  сохраняет постоянный знак. Q x( )

3.  Определяют знак дроби на каждом из промежутков.

4.  Записывают ответ.

Схема применения метода интервалов

 

 

Основные примеры

1. Дробно-линейное неравенство

Так называется неравенство, приводящееся к виду

>0 (или 0, < 0, 0). Его решение ничем не отличается от решения квадратного неравенства (xa)(xb) > 0.

            +             −               +

                        (a < b)

                     a      0        b              

Ответ: (–; a) (b; +).

Отличие от квадратного неравенства может состоять в x a

том, что при нестрогом неравенстве 0 точку x = b x b

в знаменателе нельзя включать в множество решений. Ответ (при a < b): (–; a] (b; +). x

Пример. Решить неравенство .

Не зная знака знаменателя, на него умножать нельзя. x   x

Преобразования:                        

x− −2 1x                − −x 1                   x+1

0     0                 0.

2 1x+ 2 1x+ ⎛ 12x+ ⎟

                                                                                  ⎝      2

                                                 1           

Ответ: (–; –1] ⎜− ; +∞⎟.

                                                 2          

2. Неравенство, в знаменателе которого стоит квадратичная функция

Примеры

1

1)    2 <0. Это неравенство равносильно квадратноx − −x 2 му неравенству x2x – 2 < 0. Корни: –1; 2.

Ответ: (–1; 2). x

2)    2 >0. Разложим знаменатель на множители и x − −x 2

x

применим метод интервалов:  

1 0 2 Ответ: (–1; 0) (2; +).

x+1

3)    2               0. Знаменатель не обращается в нуль. x + +x 2

x2 + x + 2 > 0 при всех x. Неравенство равносильно линейному неравенству x + 1 0. Ответ: [–1; +).

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Конспект урока с презентацией и интерактивным тестом по теме «Определение числовой функции. Область определения и область значений функции» алгебра, 9 класс"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Научный руководитель

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ ~$ан-конспект урока.doc

Åëåíà


;
5
=
0
MingLiUSimSun

@óŒ[1]ãëŠ[1] s†[1]

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Конспект урока с презентацией и интерактивным тестом по теме «Определение числовой функции. Область определения и область значений функции» алгебра, 9 класс"

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ ДЛЯ СТЕНДА.docx

сегодня

 

на уроке

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Конспект урока с презентацией и интерактивным тестом по теме «Определение числовой функции. Область определения и область значений функции» алгебра, 9 класс"

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ для устной работы.docx

-любое число

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Конспект урока с презентацией и интерактивным тестом по теме «Определение числовой функции. Область определения и область значений функции» алгебра, 9 класс"

Получите профессию

Фитнес-тренер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Область определения Множ.ppt

Скачать материал "Конспект урока с презентацией и интерактивным тестом по теме «Определение числовой функции. Область определения и область значений функции» алгебра, 9 класс"

Получите профессию

Фитнес-тренер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • Область определенияМножество значений функции                         «Чтени...

    1 слайд

    Область определения
    Множество значений функции
    «Чтение» графиков

    Программа составлена
    по КИМ ЕГЭ.





  • Функция задана графиком.
Укажите область определения 
этой функции.1   2   3...

    2 слайд

    Функция задана графиком.
    Укажите область определения
    этой функции.
    1 2 3 4 5 6 7
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    7
    6
    5
    4
    3
    2
    1
    -1
    -2
    -3
    -4
    -5
    -6
    -7
    [-2; 4]
    [-5; 5)
    [-5; 5]
    (-2; 4]
    2
    1
    3
    4
    ПОДУМАЙ!
    ВЕРНО!
    Это множество значений!
    ПОДУМАЙ!

  • 1   2   3  4   5   6   7-7 -6 -5 -4  -3  -2  -17
6
5
4
3
2
1-1
-2
-3
-4
-5
-6...

    3 слайд

    1 2 3 4 5 6 7
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    7
    6
    5
    4
    3
    2
    1
    -1
    -2
    -3
    -4
    -5
    -6
    -7
    Функция задана графиком.
    Укажите множество значений
    этой функции.
    [-5; 7]
    (-5; 7)
    [-3; 5]
    (-3; 5)
    3
    ВЕРНО!
    1
    2
    4
    Это область определения!
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!

  • 1   2   3  4   5   6   7-7 -6 -5 -4  -3  -2  -17
6
5
4
3
2
1-1
-2
-3
-4
-5
-6...

    4 слайд

    1 2 3 4 5 6 7
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    7
    6
    5
    4
    3
    2
    1
    -1
    -2
    -3
    -4
    -5
    -6
    -7
    Функция задана графиком.
    Укажите область значений
    этой функции.
    [1; 6]
    [-6; 5)
    [-2; 6]
    (-2; 6]
    4
    ВЕРНО!
    1
    3
    2
    Подумай!
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!

  • 1   2   3  4   5   6   7-7 -6 -5 -4  -3  -2  -17
6
5
4
3
2
1-1
-2
-3
-4
-5
-6...

    5 слайд

    1 2 3 4 5 6 7
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    7
    6
    5
    4
    3
    2
    1
    -1
    -2
    -3
    -4
    -5
    -6
    -7
    Функция задана графиком.
    Укажите область определения
    этой функции.
    [-3; 5]
    [-3; 5)
    [-2; 5]
    (-2; 5]
    2
    ВЕРНО!
    1
    3
    4
    Подумай!
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!

  • 1   2   3  4   5   6   7-7 -6 -5 -4  -3  -2  -17
6
5
4
3
2
1-1
-2
-3
-4
-5
-6...

    6 слайд

    1 2 3 4 5 6 7
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    7
    6
    5
    4
    3
    2
    1
    -1
    -2
    -3
    -4
    -5
    -6
    -7
    Функция задана графиком на [-4;0) (0;3].
    Укажите множество значений
    этой функции.
    [1; 3]
    [0; + )
    [1; + ]
    (-2; 4]
    2
    ВЕРНО!
    1
    3
    4
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!

  • 1   2   3  4   5   6   7-7 -6 -5 -4  -3  -2  -17
6
5
4
3
2
1-1
-2
-3
-4
-5
-6...

    7 слайд

    1 2 3 4 5 6 7
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    7
    6
    5
    4
    3
    2
    1
    -1
    -2
    -3
    -4
    -5
    -6
    -7
    Функция задана графиком.
    Укажите наибольшее значение функции
    5
    4
    3
    -4
    2
    ВЕРНО!
    1
    3
    4
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!

  • Функция у = f(x) задана графиком. Укажите область определения этой функции.Пр...

    8 слайд

    Функция у = f(x) задана графиком. Укажите область определения этой функции.
    Проверка
    1 2 3 4 5 6 7
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    7
    6
    5
    4
    3
    2
    1
    -1
    -2
    -3
    -4
    -5
    -6
    -7
    [-2; 6]
    [-5; 7]
    [-2; 4]
    [- 2; 6]
    2
    1
    3
    4
    ПОДУМАЙ!
    ВЕРНО!
    Это множество значений!
    ПОДУМАЙ!

  • Функция задана графиком.
Укажите область определения 
этой функции.1   2   3...

    9 слайд

    Функция задана графиком.
    Укажите область определения
    этой функции.
    1 2 3 4 5 6 7
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    7
    6
    5
    4
    3
    2
    1
    -1
    -2
    -3
    -4
    -5
    -6
    -7
    [-2; 4]
    [-5; 5)
    [-5; 5]
    (-2; 4]
    2
    1
    3
    4
    ПОДУМАЙ!
    ВЕРНО!
    Это множество значений!
    ПОДУМАЙ!

  • 1   2   3  4   5   6   7-7 -6 -5 -4  -3  -2  -17
6
5
4
3
2
1-1
-2
-3
-4
-5
-6...

    10 слайд

    1 2 3 4 5 6 7
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    7
    6
    5
    4
    3
    2
    1
    -1
    -2
    -3
    -4
    -5
    -6
    -7
    Функция задана графиком.
    Укажите область определения этой функции.
    [-3; 5]
    [-3; 5)
    [-2; 5]
    (-2; 5]
    2
    ВЕРНО!
    1
    3
    4
    Подумай!
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!

  • 1   2   3  4   5   6   7-7 -6 -5 -4  -3  -2  -17
6
5
4
3
2
1-1
-2
-3
-4
-5
-6...

    11 слайд

    1 2 3 4 5 6 7
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    7
    6
    5
    4
    3
    2
    1
    -1
    -2
    -3
    -4
    -5
    -6
    -7
    Функция задана графиком.
    Укажите область определения этой функции.
    [- 4; 3]
    [- 4; 3)
    2
    ВЕРНО!
    1
    3
    4
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!
    Проверка
    у
    х
    [- 4; 0)
    (0; 3)
    [0; + )

  • 1   2   3  4   5   6   7-7 -6 -5 -4  -3  -2  -17
6
5
4
3
2
1-1
-2
-3
-4
-5
-6...

    12 слайд

    1 2 3 4 5 6 7
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    7
    6
    5
    4
    3
    2
    1
    -1
    -2
    -3
    -4
    -5
    -6
    -7
    Функция задана графиком.
    Укажите наименьшее значение функции
    5
    4
    - 5
    - 2
    4
    ВЕРНО!
    1
    3
    2
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!

  • Функция   у = f(x)  задана графиком. 
Найдите  наибольшее значение функции.1...

    13 слайд

    Функция у = f(x) задана графиком.
    Найдите наибольшее значение функции.
    1 2 3 4 5 6 7
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    7
    6
    5
    4
    3
    2
    1
    -1
    -2
    -3
    -4
    -5
    -6
    -7
    1
    3
    5
    -1
    2
    ВЕРНО!
    1
    3
    4
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!
    у
    х
    Проверка

  • -1
-2
-3
-4     [- 6; 0)     (0; 7]213Функция   у = f(x) задана графиком. 
Ук...

    14 слайд

    -1
    -2
    -3
    -4
    [- 6; 0) (0; 7]
    2
    1
    3
    Функция у = f(x) задана графиком.
    Укажите область определения этой функции.
    Проверка
    y = f (x)
     
    1 2 3 4 5 6 7 8
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    y
    x
    5
    4
    3
    2
    1
    4
    [-6; 7]
    Подумай!
    Подумай!
    Подумай!
    Верно!
    [0; 2) (2; 5]
    [0; 5]

  • [0; 2)     (2; 5]243[0; 5]Функция   у = f(x) задана графиком. 
Укажите мно...

    15 слайд

    [0; 2) (2; 5]
    2
    4
    3
    [0; 5]
    Функция у = f(x) задана графиком.
    Укажите множество значений этой функции.
    Проверка
    y = f (x)
     
    1 2 3 4 5 6 7 8
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    y
    x
    5
    4
    3
    2
    1
    -1
    -2
    -3
    -4
    1
    [-6; 8]
    [-6; 0)
    Подумай!
    Подумай!
    Подумай!
    Верно!

  • 1   2   3  4   5   6   7-7 -6 -5 -4  -3  -2  -17
6
5
4
3
2
1-1
-2
-3
-4
-5
-6...

    16 слайд

    1 2 3 4 5 6 7
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    7
    6
    5
    4
    3
    2
    1
    -1
    -2
    -3
    -4
    -5
    -6
    -7
    Функция задана графиком.
    Укажите область определения этой функции.
    [-3; 2)
    [-5; 4)
    3
    ВЕРНО!
    1
    2
    4
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!
    Проверка
    у
    х
    [- 3; 2)
    (2; 3]
    [-3; 3]

  • 1   2   3  4   5   6   7-7 -6 -5 -4  -3  -2  -17
6
5
4
3
2
1-1
-2
-3
-4
-5
-6...

    17 слайд

    1 2 3 4 5 6 7
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    7
    6
    5
    4
    3
    2
    1
    -1
    -2
    -3
    -4
    -5
    -6
    -7
    Функция задана графиком.
    Укажите множество значений этой функции.
    [-3; 2)
    [-5; 4)
    4
    1
    2
    3
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!
    Проверка
    у
    х
    [- 3; 2)
    (2; 3]
    [-3; 3]
    ВЕРНО!

  • [-6; 0)     (0; 7]143[0; 5]Функция   у = f(x) задана графиком. 
Укажите обла...

    18 слайд

    [-6; 0) (0; 7]
    1
    4
    3
    [0; 5]
    Функция у = f(x) задана графиком.
    Укажите область определения этой функции.
    y = f (x)
     
    1 2 3 4 5 6 7 8
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    y
    x
    5
    4
    3
    2
    1
    -1
    -2
    -3
    -4
    2
    [-6; 8]
    [-6; 0)
    Подумай!
    Подумай!
    Подумай!
    Верно!

  • [0; 2)     (2; 5]243[0; 5]Функция   у = f(x) задана графиком. 
Укажите мно...

    19 слайд

    [0; 2) (2; 5]
    2
    4
    3
    [0; 5]
    Функция у = f(x) задана графиком.
    Укажите множество значений этой функции.
    Проверка (2)
    y = f (x)
     
    1 2 3 4 5 6 7 8
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    y
    x
    5
    4
    3
    2
    1
    -1
    -2
    -3
    -4
    1
    [-6; 8]
    [-6; 0)
    Подумай!
    Подумай!
    Подумай!
    Верно!
    Функция принимает значение у=2 в нескольких точках (х=7, х=-4, х=-5, х=-6). Множество значений отрезок [0; 5]

  • 1   2   3  4   5   6   7-7 -6 -5 -4  -3  -2  -17
6
5
4
3
2
1-1
-2
-3
-4
-5
-6...

    20 слайд

    1 2 3 4 5 6 7
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    7
    6
    5
    4
    3
    2
    1
    -1
    -2
    -3
    -4
    -5
    -6
    -7
    Функция y = f(x) задана на промежутке [-7; 8].
    Укажите число целых отрицательных значений этой функции.
    4
    1
    2
    3
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!
    Проверка
    у
    х
    ВЕРНО!
    2
    4
    6
    10

  • 2       4   5  -3 -2           3
 2



  0 - 1

 - 3
 - 4Функция задана графи...

    21 слайд

    2 4 5
    -3 -2
    3
    2



    0
    - 1

    - 3
    - 4
    Функция задана графиком.
    Укажите множество значений этой функции.
    [-3 ; 7)
    2
    ВЕРНО!
    1
    3
    4
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!
    [- 4; 3]
    Проверка
    1 7
    x
    y
    [-3; -2]
    [2; 5]
    [- 4;-1)
    (-1; 3]
    ПОДУМАЙ!

  • 2       4   5  -3 -2           3
 2



  0 - 1

 - 3
 - 4Функция задана графи...

    22 слайд

    2 4 5
    -3 -2
    3
    2



    0
    - 1

    - 3
    - 4
    Функция задана графиком.
    Укажите область определения этой функции.
    [-3 ; 7)
    1
    ВЕРНО!
    2
    3
    4
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!
    [- 4; 3]
    Проверка
    1 7
    x
    y
    [-3; -2]
    [2; 5]
    [- 4;-1)
    (-1; 3]
    ПОДУМАЙ!

  • +    = - 13   4   5  -3 -2           3
 2



  0 - 1

 - 3
 - 4Функция задана...

    23 слайд

    + = - 1
    3 4 5
    -3 -2
    3
    2



    0
    - 1

    - 3
    - 4
    Функция задана графиком.
    Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции.
    -1
    1
    ВЕРНО!
    2
    3
    4
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!
    -2
    Проверка
    2 7
    x
    y
    ПОДУМАЙ!
    -3
    -4
    - 4
    3

  • 3   4   5  -3 -2           3
 2



  0 - 1

 - 3
 - 4Функция задана графиком....

    24 слайд

    3 4 5
    -3 -2
    3
    2



    0
    - 1

    - 3
    - 4
    Функция задана графиком.
    Найдите число целых значений функции.
    11
    4
    ВЕРНО!
    2
    3
    1
    ПОДУМАЙ!
    ПОДУМАЙ!
    6
    Проверка
    2 7
    x
    y
    ПОДУМАЙ!
    7
    8

Получите профессию

Фитнес-тренер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ рефлексия.docx

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Конспект урока с презентацией и интерактивным тестом по теме «Определение числовой функции. Область определения и область значений функции» алгебра, 9 класс"

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Тест по теме Определение функции.docx

Тест по теме

«Определение числовой функции. Область определения, область значения функции»

ВЫБРАТЬ ВАРИАНТ ОТВЕТА (ответы отметить в компьютерном тесте)

УДАЧИ!

  1. Функция задана формулой f(x) = – х 2 + 2х + 1. Найдите f(1).
     1)         -1
     2)         2
     3)         -3
     4)         0

2.   Известно, что f(х) = 3х + 2. Найдите значение х, при котором f(х) = –1.
1)          1
 2)         -1/3
 3)         -1
 4)         1/3

3.    Найдите область определения функции http://matem.moy.su/images/formula.jpg
 1)         (–∞; –1) и (–1; +∞)
 2)         (–∞; 1) и (1; +∞) 
 3)         (–1; 1)
 4)         (–∞; –1) и (1; +∞)

  1.  Укажите множество значений функции.

 http://matem.moy.su/images/grafik.jpg

 1)         [–4; 4]
2)           [–4; 3]
 3)         (–4; 4)
 4)         (–4; 3)

5. 
 Укажите промежутки, на которых функция не возрастает. 

http://matem.moy.su/images/grafik_2.jpg

 1)         [–3; –1] и [0; 2]
 2)         [–1; +∞)
 3)         [–3; 2]
4)           (–3; 2]

6. 
 Функция у = f(х) задана графиком на промежутке [–5; 4]. Найдите промежуток, на котором функция возрастает.

 http://matem.moy.su/images/grafik_3.jpg

 1)         (-3; 1)
 2)         [1; 4]
 3)         [-5; -3)
4)          [-3; 1]

 

7. Дана функция . Найти f(-4)

      1)         -77

      2)          3

      3)          -61

      4)          -13

 

8.  Чему равна область значений E (f) функции ?

 

1)           (-∞; 10]

2)           (-∞; +∞)

3)           (10; +∞)

4)           [10; +∞)

      

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Конспект урока с презентацией и интерактивным тестом по теме «Определение числовой функции. Область определения и область значений функции» алгебра, 9 класс"

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Технологическая карта урока.docx

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

Ишимский общеобразовательный лицей имени Е. Г. Лукьянец

 

 

 

 

 

 

 

 

Технологическая карта урока

 

«Определение числовой функции. Область определения и область значений функции»

алгебра, 9 класс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

учитель математики

Е. Я. Телегина

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА


Определение числовой  функции.

Область определения и область значений функции

 

 

1.      Цель  урока: введение определения числовой функции, формирование понятий области определения и области значений функции, рассмотрение  способов задания функции

2. Задачи

- обучающие: закрепить понятие числовой функции, ввести понятие области определения и области значений функции, сформировать умения находить эти области по графику функции и умение находить область определения аналитически  по формуле, с помощью которой задана функция

- развивающие:  развивать навыки самоконтроля, организации учебного труда, логическое, математическое мышление и интуицию, познавательный интерес учащихся,  умение анализировать, делать выводы, обобщать 

- воспитательные:  воспитывать ответственное отношение к учебному труду, формировать аккуратность при выполнении заданий, уважительное отношение к сверстникам, культуру поведения при фронтальной работе, индивидуальной работе

         3. Тип урока:    урок – введение нового материала с использованием ЭОР

4.      Формы работы учащихся:    фронтальная, индивидуальная, групповая

5.      Планируемые результаты:

общепознавательные УУД:  самостоятельно выделять и формулировать познавательные цели всего урока и отдельного задания

коммуникативные УУД: формировать умения аргументировать свое решение, убеждать и уступать, развивать способность сохранять доброжелательное отношение друг к другу

личностные УУД:  развивать эмпатию и сопереживание, эмоционально-нравственную отзывчивость

результативные УУД: выделять и осознавать то, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения, вносить необходимые коррективы в этот процесс

6.      Необходимое техническое оборудование:   ПК учителя и учащихся  связанных локальной сетью,  медиапроектор, экран.

 

  1. Структура и ход  урока

 

 

 

 

 

 

СТРУКТУРА И ХОД УРОКА

 

Этап урока

Название используемых ЭОР

(с указанием  порядкового номера из Таблицы 2)

Деятельность учителя

(с указанием действий с ЭОР, например, демонстрация)

Деятельность ученика

Время

(в мин.)

 

1

2

3

4

5

6

1

Организационная часть

видеофрагмент

Приветствует учащихся. Эмоционально настраивает на урок и мотивирует. Отмечает отсутствующих

Приветствие учителя.

Доклад о готовности класса  к уроку и об отсутствующих

1мин

2

Формулирование темы урока, постановка цели

 

 

Формулирует  тему и цели  урока

 

Слушают  учителя и определяют цели для своей работы на уроке

3 мин

3

Актуализация знаний

 

Дает устное задание на соответствие функций и допустимых значений.

В ходе выполнения следит за статистикой выполнения этих заданий, чтобы выявить уровень готовности к восприятию нового

 

Выполняют задания устно, находят соответствующие карточки.

 

3 мин

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изучение нового

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

видеоурок

«Функция. Область определения и область значений функции»

 

 

Излагает новый материал в форме беседы по плану:

1) развитие понятия функции;    

M-22_UC9-ch11.pdf (оформление «Сегодня на уроке»

2)современное определение числовой функции;

3) область определения и область значений функции;

4) способы задания функции;

5) график функции.

 

Сообщение учащегося об истории развития понятия «функция»

Принимают активное участие в беседе, отвечают на вопросы учителя;  выполняют задания по составлению краткого конспекта в ходе просмотра видеоурока.

10 мин

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

Закрепление  нового

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Организует закрепление нового материала:

 в ходе решение заданий из задачника учебника Мордковича

Решают задания, затем участвуют в обсуждении решения и выполняют самопроверку

 

8 мин

5

Физкультминутка

 

-

Показывает упражнения

 Построить в воздухе руками графики фукций для психофизиологической разгрузки обучающихся

Выполняют упражнения

1 мин

6

Закрепление  нового

Область определения. Множество значений функции. №3

Организует закрепление нового материала:

в ходе показа презентации, содержащей задания по готовым чертежам. Область определения Множ.ppt с целью сформировать умение находить ООФ и ОЗФ, «читать» графики.

Проводит обсуждение полученных результатов для выявления степени усвоения материала

 

Выполняют задания на ПК Выполняют устные задания на чтение графиков функций

 

5 мин

7

 

Контролирующее задание

Тест: Функция. Область определения и область значений функции.

Дает контролирующий модуль, тест, с целью выявления уровня умения самостоятельно применять полученные знания.

Контролирует процесс решения, оказывает помощь в случае затруднения

 8,5

Выполняют задания на  ПК

 

 

10 мин

8

Рефлексия учебной деятельности на уроке

 

Подводит итоги урока. Выставляет отметки. Фрагмент.shs

Дает  и комментирует задание на дом

Заканчивают фразы на слайде

 

 

 

 

Записывают домашнее задание в дневники

 

4 мин

 

 

Список использованных источников:

  1. Мордкович А.Г. Алгебра: учебник для 9 класса.- М: Мнемозина, 2010.
  2. Мордкович А.Г., Александрова Л.А., Мишустина Т.Н. и др. Алгебра: задачник для 9 класса.- М: Мнемозина, 2010.
  3. http://fcior.edu.ru
  4. http://bor-shcool.ucoz.ru

      5. Савченко Е.М. презентация Область определения Множ.ppt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Организационная часть

1мин

2

Формулирование темы урока, постановка цели

3 мин

3

Актуализация знаний

3 мин

4

Изучение нового

10 мин

 

5

Закрепление  нового

8 мин

5

Физкультминутка

 

1 мин

6

 

Закрепление  нового

5 мин

 

7

 

Контролирующее задание

10 мин

8

 

Рефлексия учебной деятельности на урок

4 мин

 

 

1

Организационная часть

1мин

2

Формулирование темы урока, постановка цели

3 мин

3

Актуализация знаний

3 мин

4

Изучение нового

10 мин

 

5

Закрепление  нового

8 мин

5

Физкультминутка

 

1 мин

6

 

Закрепление  нового

5 мин

 

7

 

Контролирующее задание

10 мин

8

 

Рефлексия учебной деятельности на урок

4 мин

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Конспект урока с презентацией и интерактивным тестом по теме «Определение числовой функции. Область определения и область значений функции» алгебра, 9 класс"

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Получите профессию

Менеджер по туризму

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

  Цель  урока: введение определения числовой функции, формирование понятий области определения и области значений функции, рассмотрение  способов задания функции

Задачи

- обучающие: закрепить понятие числовой функции, ввести понятие области определения и области значений функции, сформировать умения находить эти области по графику функции и умение находить область определения аналитически  по формуле, с помощью которой задана функция

- развивающие:  развивать навыки самоконтроля, организации учебного труда, логическое, математическое мышление и интуицию, познавательный интерес учащихся,  умение анализировать, делать выводы, обобщать 

- воспитательные:  воспитывать ответственное отношение к учебному труду, формировать аккуратность при выполнении заданий, уважительное отношение к сверстникам, культуру поведения при фронтальной работе, индивидуальной работе

         Тип урока:    урок –введение нового материала с использованием ЭОР

4.      Формы работы учащихся:    фронтальная, индивидуальная, групповая

5.      Планируемые результаты:

общепознавательные УУД:  самостоятельно выделять и формулировать познавательные цели всего урока и отдельного задания

коммуникативные УУД: формировать умения аргументировать свое решение, убеждать и уступать, развивать способность сохранять доброжелательное отношение друг к другу

личностные УУД:  развивать эмпатию и сопереживание, эмоционально-нравственную отзывчивость

результативные УУД: выделять и осознавать то, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения, вносить необходимые коррективы в этот процесс

 

6.      Необходимое техническое оборудование:   ПК учителя и учащихся  связанных локальной сетью,  медиапроектор, экран.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 820 материалов в базе

Скачать материал

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 15.01.2015 4627
    • RAR 12.7 мбайт
    • 95 скачиваний
    • Рейтинг: 4 из 5
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Телегина Елена Яковлевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Телегина Елена Яковлевна
    Телегина Елена Яковлевна
    • На сайте: 9 лет и 3 месяца
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 7545
    • Всего материалов: 3

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Фитнес-тренер

Фитнес-тренер

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Педагогическая деятельность по проектированию и реализации образовательного процесса в общеобразовательных организациях (предмет "Математика")

Учитель математики

300 ч. — 1200 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 21 человек из 15 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в профессиональном образовании

Преподаватель математики

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 31 человек из 18 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Педагогическая деятельность по проектированию и реализации образовательного процесса в общеобразовательных организациях (предмет "Математика и информатика")

Учитель математики и информатики

300 ч. — 1200 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 35 человек из 16 регионов

Мини-курс

Музыкальная журналистика: создание и продвижение контента

10 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Продуктовый успех: стратегии и инструменты для создания, улучшения и продвижения продуктов на рынке

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Фитнес: теория и практика

5 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе