На прошлом занятии мы разбирали примеры на сравнение логарифмов, на
отыскание О.Д.З, сегодня мы должны разобрать остальные два задания. Это
решение неравенства методом интервалов, и введение вспомогательной
переменной.
Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для
решения сложных неравенств вида f (x) > 0 и f (x) < 0.
Алгоритм состоит из 4 шагов:
1. Решить уравнение f (x) = 0. Таким образом, вместо неравенства
получаем уравнение, которое решается намного проще;
2. Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким
образом, прямая разделится на несколько интервалов;
3. Выяснить знак (плюс или минус) функции f (x) на самом правом
интервале. Для этого достаточно подставить в f (x) любое число, которое будет
правее всех отмеченных корней;
4. Отметить знаки на остальных интервалах. Для этого достаточно
запомнить, что при переходе через каждый корень знак меняется.
Задача. Решите неравенство:
(x – 2)(x + 7) <
0
Работаем по методу интервалов. Шаг 1: заменяем неравенство уравнением
и решаем его:
(x – 2)(x + 7) = 0
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из
множителей равен нулю:
x – 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.
Получили два корня. Переходим к шагу 2: отмечаем эти корни на
координатной прямой. Имеем:
Теперь шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее
отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое
число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x =
3 (но никто не запрещает взять x = 4, x =
10 и даже x = 10 000). Получим:
f (x) = (x – 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 – 2)(3 + 7) = 1 · 10 = 10;
Получаем, что f(3) = 10 > 0, поэтому в самом
правом интервале ставим знак плюс.
Переходим к последнему пункту — надо отметить знаки на остальных
интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен
меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс
(мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус.
Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому
справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно,
слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти
знаки на координатной оси. Имеем:
Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:
(x – 2)(x + 7) <
0
Итак, функция должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак
минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и
будет ответ.
Задача 2. Решите неравенство:
(x + 9)(x – 3)(1 – x) < 0.
Задача 3. Решите неравенство:
x(2x + 8)(x – 3) > 0.
Задача 4. Решить неравенство:
Задача 5. Решить неравенство:
А теперь разберем примеры из контрольной работы (рассматриваем два
примера из контрольной работы).
Итак, хорошо, переходим к заданию №6. Здесь необходимо было ввести
вспомогательную переменную, для более легкого, простого решения
логарифмического уравнения, неравенства.
В
общем виде решение стандартного логарифмического уравнения, сводящегося к
квадратному, можно изобразить так:
ОДЗ: f(x)>0 (в стандартных
уравнениях проблем с посторонними практически корнями не возникает).
Пусть
тогда
переходим к уравнению
Если квадратное уравнение имеет два корня t1 и t2, то,
возвращаясь к исходной переменной, получаем два простейший логарифмических уравнения:
Примеры.
Сейчас мы рассмотрим примеры из
контрольной работы, а затем разберем несколько задач на метод введения
вспомогательной переменной, которые встречались в ЕГЭ в 2014-2015 годах.
(Разбираем примеры из ЕГЭ на данный
метод).
Хорошо, мы рассмотрели все
примеры из контрольной работы, на следующем занятии будем разбирать
конкретные случаи, которые встречаются в ЕГЭ.
И как обычно, завершить наше
занятие я предлагаю небольшой самостоятельной работой.
Самостоятельная работа:
1. Решить неравенство:
2. Решить неравенство:
(х + 3)2(х + 1)(х – 2)
3. Ввести вспомагательную
переменную:
Lg2 x
– Lg x – 2
>0.
Подписываем и сдаем листочки с самостоятельной работой. На следующем
занятии мы с вами начнем разбирать примеры из ЕГЭ.
До свидания!
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.