Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Другое / Конспекты / Конспекты лекций по учебной дисциплине "Моделирование экономических процессов" для специальности 38.02.01
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Другое

Конспекты лекций по учебной дисциплине "Моделирование экономических процессов" для специальности 38.02.01

библиотека
материалов


УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ


Ульяновский авиационный колледж

ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЦИКЛ




Моделирование экономических процессов




КУРС ЛЕКЦИЙ


для специальности базовой подготовки

38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет

(по отраслям)














Ульяновск

2016

ББК 65в6

М 74




МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ. КУРС ЛЕКЦИЙ: учеб. пособие для студентов специальностей 38.02.01 / Сост. - Г. А. Камышова - Ульяновск, УАвиаК, 2011. – 52 стр.


Курс лекций содержит теоретический материал по всем разделам курса дисциплины «Моделирование экономических процессов» по 38.02.01 Курс лекций составлен в соответствии с требованиями минимума, предусмот-ренного программой.





Одобрено, утверждено и рекомендовано к изданию ЦМК программирования и ИТ

(протокол № 4 от 10.11.2010 г.)

Ред.2 (протокол № 6 от 13 января 2016 г.)



Печатается по решению редакционно-издательского совета авиационного колледжа (протокол № 3 от 21.03.2011 г.)



Рецензенты:


Федоринова Л.Н.

Преподаватель высшей категории экономических дисциплин, директор техникума информатики, экономики и управления

Кузнецова Л.К.

преподаватель высшей категории экономических дисциплин Ульяновского авиационного колледжа





Отзывы и предложения направлять по адресу:

432067, г. Ульяновск, проспект Созидателей, 13

телефон (8-422) 20-56-71, 20-09-20

факс: 54-54-66

E-mail: aircol@mv.ru




© Г.А. Камышова, 2011

© Ульяновский авиационный колледж, 2011

СОДЕРЖАНИЕ





Введение 4



РАЗДЕЛ 1. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ 5

Тема 1.1 Классификация экономико-математических моделей и

методов 5

Тема 1.2 Методы прогнозирования 13



РАЗДЕЛ 2. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 24

Тема 2.1 Использование графических средств

в экономических задачах 24

Тема 2.2 Имитационное моделирование как компьютерный

эксперимент 27



РАЗДЕЛ 3. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ 34

Тема 3.1 Задачи линейного программирования 34

Тема 3.2 Графическая модель задач линейного программирования 39

Тема 3.3 Свойства решений задачи линейного программирования 42



РАЗДЕЛ 4. ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ 45

Тема 4.1 Двойственные задачи 45

Тема 4.2 Модель транспортной задачи 47

Тема 4.3 Задачи о назначениях 49



Использованная литература 52















ВВЕДЕНИЕ



Человек стремится познать объекты окружающего мира, он взаимодействует с существующими объектами и создает новые объекты.

Одним из методов познания объектов окружающего мира является моделирование, состоящее в создании и исследовании «заместителей» реальных объектов. «Объект-заместитель» принято называть моделью, а исходный объект – прототипом или оригиналом.

Модель – это объект, который используется в качестве «заместителя», представителя другого объекта (оригинала) с определенной целью. Модель не является точной копией объекта-оригинала: она отражает только часть его свойств, отношений и особенностей поведения. Можно создавать и использовать разные модели одного и того же объекта. Процесс создания и использования модели называют моделированием.

Различают натуральные и информационные модели. Натурные модели – реальные предметы, в уменьшенном или увеличенном виде воспроизводящие внешний вид, структуру или поведение объекта моделирования. Информационные модели – описания объекта-оригинала на языках кодирования информации.

Объект-оригинал можно заменить набором его свойств: их названий и значений. Набор свойств, содержащий всю необходимую информацию об исследуемых объектах и процессах, называют информационной моделью.

Информационные модели представляют объекты и процессы в образной или знаковой форме. По способу представления различают образные, знаковые и смешанные информационные модели.

При помощи языка мы общаемся, передавая друг другу мысли, чувства, знания об окружающем нас мире. В общении наиболее распространены такие информационные модели, как словесные описания. Усилить образность текста можно за счет его фигурного расположения, смены шрифтов или измерения начертания.

Такие особенности естественного языка, как многозначность, использование слов в прямом и переносном значениях, синонимия, омонимия и т.п. делают человеческое общение выразительным, эмоциональным, красочным. Вместе с тем, их наличие делает естественный язык непригодным для создания информационных моделей во многих сферах профессиональной деятельности (например, в системах «человек – компьютер»).

Основным языком информационного моделирования в науке является язык математики. Модели, построенные с использованием математических понятий и формул, называются математическими моделями.

Модели используются человеком для: представления материальных предметов, объяснения известных фактов, получения новых знаний об исследуемых объектах, прогнозирования и управления и т.д.

Моделирование – одна из основных категорий научного познания, на идее моделирования базируется любой, в частности теоретический или практический, метод научного познания.




РАЗДЕЛ 1 ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ


Тема 1.1 Классификация экономико-математических моделей и методов

План:

1.1.1 Модели и моделирование

1.1.2. Классификация экономико-математических методов


1.1.1 Модели и моделирование

Одним из основных методов научного познания является эксперимент, а самой распространенной его разновидностью в настоящее время – метод моделирования систем.

Люди издавна обращались к моделированию как методу исследования систем. В процессе создания систем приходится проводить многочисленные исследования, эксперименты и расчеты, связанные с оценкой качества функционирования систем, с выбором лучшего варианта для ее создания. Выполнять их непосредственно на реальной системе очень сложно, иногда занимает много времени и экономически невыгодно. Существуют системы, на которых просто невозможно ставить эксперименты с познавательной целью. К таким системам относится экономика страны. Значительно проще и дешевле создать модель системы и проводить на ней эксперименты.

Под моделью принято понимать систему, способную замещать оригинал так, что ее изучение дает новую информацию об оригинале. Модель должна частично или полностью воспроизводить структуру моделируемой системы, ее функции.

Под моделированием понимается процесс построения и исследования модели, способной заменить реальную систему и дать о ней новую информацию.

В общем и целом, построение моделей и их оптимизация – главные направления междисциплинарных работ, дающие возможность надежного описания систем и процессов. Они являются предпосылками для целенаправленного использования их свойств в интересах общества.

Модели способствуют плодотворному производству во всех сферах жизни так как:

  • сокращают издержки;

  • показывают несостоятельность некоторых идей;

  • экономят время (модели доводятся до совершенства и лишь, затем на их основе начинается производство, строительство и т.д.)

Моделирование – одна из основных категорий научного познания, на идее моделирования базируется любой, в частности теоретический или практический, метод научного познания.

Понятие модели. Материальные и информационные модели. Формализация как замена реального объекта его информационной моделью.

Модель – это новый объект, который

- замещает моделируемый объект и используется вместо него;

- сохраняет некоторые черты моделируемого объекта, важные для данного исследования;

- в разных науках один и тот же предмет исследуется под разными углами зрения, и строятся разные типы моделей.

Моделирование – это метод научного исследования явлений, объекта, процессов основанный на построении и изучении модели для получения новых знаний или дальнейшего усовершенствования характеристик объектов исследований.

Моделирование подразумевает наличие трех элементов: 1) субъекта, в качестве которого выступает человек-исследователь; 2) объекта исследования (системы); 3) модели объекта (системы), как связующего звена между субъектом и объектом.

Процесс моделирования включает в себя следующие основные этапы:

  1. постановка проблемы (задачи), выработка цели исследования и исходных предпосылок;

  2. переход от оригинала к модели, т.е. построение модели;

  3. экспериментальное исследование модели. На этом этапе модель выступает как самостоятельный объект исследования и позволяет получать новую информацию о моделируемой системе путем частичного изменения исходных предпосылок;

  4. перенесение результатов, полученных при исследовании модели, на моделируемую систему (оригинал).

При моделировании необходимо формализовать задачу, т. е. информацию необходимо представить в такой форме, которая отвечала бы поставленной цели исследования. При формализации разделяется объект и имя объекта. Имя – это отражение объекта в сознании человека.

Например: Говорим летом о снеге и представляем снег. В данном случае слово «снег» – это имя объекта. Под новогодней елкой снег заменяем его моделью – ватой. При этом модель отражает некоторые свойства объекта: цвет, пушистость.

Модели делятся на две большие группы: материальные и информационные.

Материальная модель имеет реальное воплощение – цвет, форму, пропорции и т.п. т.е. их можно назвать предметными, физическими. Например: скелет человека и чучело птицы в кабинете биологии, объемная модель Солнечной системы, химические опыты и т. п.

Информационные модели нельзя потрогать. Основу таких моделей составляет информация. При таком моделировании реализуется теоретический метод познания.

Виды информационных моделей

  • Мысленные – формируются в воображении человека в результате раздумий, умозаключений.

  • Графические – отражают внешний вид оригинала (рисунок, чертеж, план, карта и т. п.)

  • Структурные – отображают строение объектов и связи их параметров (схемы, диаграммы, графы).

  • Словесные (вербальные)– словесное перечисление основных составных частей объекта, их наиболее важных признаков и свойств.

  • Математические – описание объекта исследования, выполненное с помощью математической символики. Математическая модель представляет собой совокупность формул, уравнений, логических условий и т. п. Математическая модель представляет собой систему математических и логических соотношений, описывающих структуру и функцию реальной системы. Математическая модель отличается по своей физической природе от оригинала. Исследование свойств оригинала с помощью математической модели значительно удобнее, дешевле, и занимает меньше времени по сравнению с физическим моделированием.

  • Многие математические модели являются универсальными т.е. могут использоваться для исследования различных систем.

  • Специальные – представлены специальными знаками (ноты, химические формулы и т. п.)

Типы моделей и виды их сходства с оригиналом

Модели, используемые на практике, условно можно разделить на два типа: физические и символические. В свою очередь среди физических моделей выделяют модели геометрического подобия и модели-аналоги (аналоговые модели).

Модели геометрического подобия отражают структуру и геометрические характеристики оригинала. Эти модели имеют одну и ту же физическую природу с оригиналом и сохраняют с ним внешнее сходство. Размеры моделей могут быть пропорционально уменьшены или увеличены по сравнению с оригиналом. Например, для различных исследований строятся уменьшенные модели самолета, корабля, автомобиля, моста, гидротехнического сооружения, здания, увеличенная модель атом и т.п.

Теоретической основой для создания таких моделей служит теория подобия, основоположником которой считается Галилео Галилей.

Достоинство моделей геометрического подобия состоит:

  1. в том, что они способны замещать сложные дорогостоящие системы, эксперименты на которых проводить либо невозможно, либо экономически невыгодно;

  2. в их наглядности;

  3. в их достоверности.

Недостатками таких моделей являются:

  1. для каждой исследуемой системы приходится строить новую модель или перестраивать старую, что связано с большими затратами;

  2. модели данного типа плохо приспособлены для исследования динамики систем.

Модели-аналоги отражают физические процессы, протекающие в оригинале, с помощью некоторых других аналогичных процессов, описываются едиными математическими соотношениями с оригиналом, однако имеют другую физическую природу.

К моделям этого типа относятся главным образом технические устройства (в частности, электрические модели), используемые для исследования реальных систем другой физической природы. Например, работу водопроводной сети города можно исследовать с помощью модели, составленной из электрических проводов. Увеличение или уменьшение силы тока, проходящего по проводам, аналогично изменению давления воды в водопроводной сети.

Существенную роль в развитии математического моделирования сыграли современные компьютеры, способные выполнять различные по сложности вычисления и логические операции с большой скоростью.

Компьютерное моделирование позволяет создавать компьютерные модели, которые передают не только структуру и геометрические характеристики оригинала, но и поведение объекта в различных ситуациях.

Компьютерная модель задает программные правила получения решения.

Одной из основных проблем моделирования является установление степени сходства оригинала и его модели. Обычно в модели отражаются не все характеристики оригинала, а лишь определенная группа характеристик. Здесь все зависит от цели исследования.

Главное в моделировании состоит в том, чтобы избежать, с одной стороны, сложности модели, а с другой – ее упрощения. Стремление отразить в модели абсолютно все свойства оригинала вызывает сложности в понимании модели и ее использовании. Чрезмерное упрощение модели приводит зачастую к искажению свойств оригинала.

Для исследования экономических систем в большинстве случаев применяется метод математического моделирования, который позволяет экономическую проблему сформулировать в виде математической задачи. При моделировании сложных систем в ряде случаев приходится использовать совокупность моделей различного типа.

Экономико-математические модели: особенности, классификация, принципы и этапы построения

Среди математических моделей важное место занимают экономико-математические модели, представляющие собой математическое описание экономических процессов и явлений. Большинство экономико-математических моделей включают в себя систему уравнений и неравенств, состоящих из набора переменных и параметров. Переменные величины характеризуют, например, объем производимой позиции, капитальных вложений, перевозок и т.п., а параметры – нормы расхода сырья, материалов, времени на производство определенной продукции, практически в каждой модели можно выделить две группы переменных:

  1. внешние переменные – их значения определяются вне данной модели и считаются в данной модели заданными;

  2. внутренние переменные – их значения определяются в результате исследования данной модели.

Различают структурные и функциональные экономико-математические модели. Структурные модели исследуют состав системы, взаимосвязи ее элементов. Функциональные модели позволяют анализировать поведение системы в различных ситуациях безотносительно к ее внутренней структуре.

Экономико-математические модели используются преимущественно для планирования или прогнозирования состояния системы на будущее. В этом случае модель должна показать, как будет протекать экономический процесс, если в его основу положить определенную систему экономических предпосылок. Правильность выбора предпосылок в моделях планирования и прогнозирования играет особо важную роль.

Наряду с использованием в предсказательных целях экономико-математические модели применяются для описания реально существовавших или существующих экономических процессов. Выделяют экономико-математические модели описательные и оптимизационные.

Описательные модели экономических систем представляют собой формализованную с помощью математического аппарата экономическую задачу и используются для более глубокого изучения состояния системы и взаимосвязи ее элементов. К ним относятся, например, матричные модели межотраслевых балансов народного хозяйства и экономического района, производственные функции и т.д. При определенных исходных данных задачи модели данного типа позволяют получить единственное решение. Основной недостаток этих моделей – отсутствие условия нахождения наилучшего (оптимального) решения.

Оптимизационные модели отражают в математической форме смысл экономической задачи, и отличительной особенностью этих моделей является наличие условия нахождения оптимального решения. Эти модели при определенных исходных данных задачи позволяют получить множество решений и обеспечивают выбор оптимального решения. Модели определения оптимальной производственной программы, модели оптимального смешивания компонентов, оптимального раскроя, оптимального размещения предприятий некоторой отрасли на определенной территории, модели транспортной задачи хорошо зарекомендовали себя на практике.

Большое количество моделей, применяемых в экономике, содержит линейные зависимости. Линейные модели получили наибольшее распространение, так как для них разработаны универсальные и эффективные методы решения. Зависимости в экономике носят в основном нелинейный характер. Например, увеличение выпуска продукции на предприятии в определенное количество раз не означает, что затраты на производство этой продукции должны увеличиваться во столько же раз.

Поэтому, когда в целях упрощения модели нелинейные зависимости заменяются линейными, экономический смысл модели может быть искажен.

Экономико-математические модели делятся на статические и динамические. Статические описывают свойства моделируемого объекта, отнесенные к определенному моменту времени, динамические позволяют исследовать изменение экономического процесса на протяжении определенного отрезка времени.

Экономико-математические модели разделяются также на детерминистические (определенные), вероятностные и учитывающие неопределенность.

В детерминистических моделях все параметры и внешние переменные определены с вероятностью единица. Эти модели лишь приближенно отображают действительность, так как любой реальный объект подвергается воздействию случайных факторов.

В вероятностных моделях часть или все параметры и внешние переменные характеризуются соответствующим распределением вероятностей. Эти модели базируются на теории вероятностей.

Для определения исходных данных моделей, учитывающих неопределенность, законы теории вероятностей неприменимы.

Существуют и другие принципы классификации моделей.

Имитационное моделирование применяется к процессам, в ход которых может время от времени вмешиваться человеческая воля. Человек, руководящий операцией, может в зависимости от сложившейся обстановки, принимать те или другие решения, подобно тому, как шахматист, глядя на доску, выбирает свой очередной ход. Затем приводится в действие математическая модель, которая показывает, какое ожидается изменение обстановки в ответ на это решение и к каким последствиям оно приведет спустя некоторое время. Следующее «текущее решение» принимается уже с учетом реальной новой обстановки и т.д. В результате многократного повторения такой процедуры руководитель как бы «набирает опыт», учится на своих и чужих ошибках и постепенно выучивается принимать правильные решения – если не оптимальные, то почти оптимальные.

Определение понятия «имитационное моделирование».

В современной литературе не существует единой точки зрения по вопросу о том, что понимать под имитационным моделированием. Так существуют различные трактовки:

- в первой – под имитационной моделью понимается математическая модель в классическом смысле;

- во второй – этот термин сохраняется лишь за теми моделями, в которых тем или иным способом разыгрываются (имитируются) случайные воздействия;

- в третьей – предполагают, что имитационная модель отличается от обычной математической более детальным описанием, но критерий, по которому можно сказать, когда кончается математическая модель и начинается имитационная, не вводится.

Основные этапы построения экономико – математических моделей.

Использование компьютера для исследования информационных моделей различных объектов и систем позволяет изучать их изменения в зависимости от тех или иных параметрах. Процесс разработки моделей и их исследование можно разделить на несколько этапов.

  1. Построение описательной информационной модели.

Описательная модель выделяет существенные с точки зрения целей проводимого исследование параметры объекта, а несущественными пренебрегает:

    1. Определяется объект исследования – экономика государства в целом, отрасль, предприятие, цех, некоторый социально-экономический процесс, технолого – экономический процесс и т.п.

    2. Формулируется цель исследования.

    3. В рассматриваемом экономическом объекте выделяются структурные и функциональные элементы и выделяются наиболее существенные качественные характеристики этих элементов, влияющие на достижение поставленной цели.

    4. Вводятся символические обозначения для учитываемых характеристик экономического объекта. Определяется, какие из них будут рассматриваться как зависимые величины, какие как независимые; какие как неизвестные (искомые), а какие как известные.

2.Формализация модели.

На этом этапе описательная модель преобразовывается в информационную и записывается с помощью какого-либо формального языка. В такой модели присутствуют формулы, уравнения и т. п. Иногда используют приближенные математические методы, позволяющие получить результат с некоторой точностью.

3.Построение модели.

На этом этапе информационная модель преобразуется на язык, понятный ПК (либо кодируется одним из языков программирования, либо строится в приложении)

4.Компьютерный эксперимент.

На этом этапе происходит проверка работы модели на ПК. Если с использованием языка программирования, то программа запускается на выполнение. Если модель выполнена в одном из приложений, то, например, строятся диаграммы, графики, запросы и т. п.

5.Анализ полученных результатов и корректировка исследуемой модели.

В случае если результаты получены не те, которые ожидались, то значит, в построении модели на одном из этапов была допущена ошибка. В этом случае надо провести корректировку модели.

Процесс моделирования обладает цикличностью, т.е. указанные этапы процесса, начиная с первого, могут быть неоднократно повторены. Каждый цикл уточняет и расширяет информацию об оригинале, приводит к постепенному совершенствованию модели.


Контрольные вопросы

  1. Что такое модель и моделирование? Роль моделирования в практической деятельности человека.

  2. Назовите типы моделей и дайте им краткую характеристику. Приведите примеры моделей каждого типа.

  3. К какому типу моделей относятся графики функциональных зависимостей, чертежи, структурные схемы управления предприятиями, организациями?

  4. Какие виды аналогии (сходства) оригинала и модели существуют? Охарактеризуйте каждый вид сходства.

  5. Что представляют собой экономико-математические модели? На каких уровнях народнохозяйственной иерархии и для каких целей они применяются?

  6. Как классифицируются экономико-математические модели?

  7. Какие этапы включает процесс экономико-математического моделирования?


1.1.2. Классификация экономико-математических методов

Мы знаем, что на третьем этапе моделирования – получаем решение с помощью построенной модели.

Первая задача этого этапа – сбор и обработка исходной, достоверной информации.

Другая задача этого этапа – выбор метода получения решения.

Математические модели, созданные для целей экономики, изучаются специальной научной дисциплиной, получившей название «экономико-математические методы».

Экономико-математические методы представляют собой инструментальный набор, с помощью которого экономисты, бизнесмены, менеджеры, стремясь добиться наилучшего эффекта, «обрабатывают» свой материал.

В 1938 г. к двадцатипятилетнему профессору Ленинградского университета Леониду Витальевичу Канторовичу обратились представители фанерного треста с необычной для того времени просьбой. Требовалось рассчитать наивыгоднейшее распределение работы восьми станков при условии, что известна производительность каждого станка по каждому из пяти видов материалов.

Наука к тому времени не располагала методами для подобных решений. И молодому ученому ничего не оставалось, как придумать свой метод решения «станковой» задачи».

Ученый нашел общий метод решения целого ряда важнейших экономико-производственных проблем. Новый метод, названный линейным программированием, дал ответ на вопрос, как управлять предприятием, чтобы обеспечить максимально возможную прибыль.

За разработку метода ЛП и экономических моделей академик Л.В. Канторович совместно с американским профессором К. Купмансом в 1975 г. получил Нобелевскую премию по экономике.

Математическое программирование – сейчас один из основных методов обоснования производственно-экономических решений.

Каждый из экономико-математических методов, подобно разнообразным инструментам, находящимся в распоряжении специалиста имеет свою область применения.

1. Элементарная арифметика и алгебра (уравнения, функции и графики) применяются для экономических расчетов, связанных с определением долей, процентов материальных ресурсов, составлением пропорций, счетом денег, вычислением прибыли, налогов, рентабельности и т.д.

2. Арифметические и геометрические прогрессии позволяют вести расчеты, связанные с последовательностями экономических показателей и объектов (например, так называемые «пирамиды»).

3. Комбинаторика дает возможность определять результаты, возникающие при различных сочетаниях экономических объектов, их перестановках и размещениях.

4. Геометрия предназначена для вычислений, связанных с пространственными отношениями и формами объектов, интересующих экономиста.

5. Логика позволяет оценить экономическую ситуацию с точки зрения истинности или ложности используемой информации, разобраться в запутанных обстоятельствах, найти рациональный выход из затруднительного положения.

6. Линейное программирование предназначено для выработки оптимального решения экономической задачи для случая, когда ее условия и имеющиеся ограничения описываются уравнениями или неравенствами 1-й степени.

7. Нелинейное программирование служит для выработки оптимального решения экономической задачи в том случае, если ее условия и ограничения описываются уравнениями или неравенствами 2-й и более степени.

8. Динамическое программирование дает возможность выбора оптимального плана многоэтапных действий, в которых результат каждого последующего этапа зависит от предыдущего.

9. Теория вероятностей обосновывает экономические расчеты, связанные с явлениями случайного характера.

10. Математическая статистика обеспечивает сбор, обработку и анализ экономических статистических материалов.

11. Теория массового обслуживания (теория очередей) дает расчеты производственно-экономических показателей и выработку необходимых рекомендаций для массовых повторяющихся процессов обслуживания.

12. Метод статистических испытаний (Монте-Карло) служит для производства экономических расчетов, связанных с явлениями случайного характера, на основе искусственно произведенных статистических материалов.

13. Теория игр служит для выработки экономических решений в условиях неопределенности, неясности ситуации, вызванной сознательными, злонамеренными действиями конфликтующей стороны.

14. Теория статистических решений применяется для выработки экономических решений в условиях неопределенности, вызванной объективными обстоятельствами, которые либо неизвестны, либо носят случайный характер.

15. Сетевое планирование применяется для составления и реализации рациональных планов ведения экономических операций, предусматривающих решение задачи в кратчайший срок и с наилучшими результатами.

Применение экономико-математических методов на практике

Для решения конкретных практических экономических задач можно рекомендовать такую последовательность:

1. Уясняем задачу – ее экономический смысл. На этой основе устанавливаем цель решения.

2. Оцениваем экономическую ситуацию – определяем, от чего зависит достижение установленной цели.

3. Выбираем численный показатель, от которого достижение цели зависит в первую очередь.

4. Строим математическую модель решения, устанавливающую количественные зависимости выбранного показателя от условия задачи. Для этого подбираем соответствующий экономико-математический метод.

5. С помощью математической модели и найденного экономико-математического метода решаем задачу.

6. Проверяем правильность найденного решения.

Рассмотрим практическое применение экономико-математических методов на примере. Вам предлагают купить товар весом 100 тонн. Взвешивание производилось некоторое время тому назад, и при этом было определено процентное содержание в товаре жидкости, которое составляло 99 %. На момент покупки, за счет усушки, доля жидкости уменьшилась до 96 %. Необходимо рассчитать, сколько весит предлагаемый товар.

1. Экономический смысл задачи в том, что, рассчитывая уменьшение веса товара за счет усушки, мы не располагаем прямыми данными об уменьшающемся весе товара. Цель решения – определить, насколько снизился вес за счет усушки, по косвенным данным о сокращении процентного содержания в товаре жидкости.

2. Снижение веса зависит от изменения количества испаряющейся в процессе усушки жидкости, что отражается в сокращении ее процентного содержания в товаре.

3. Основным показателем снижения веса товара является его абсолютное изменение, а не изменение процентного содержания жидкости. Ибо изменение содержания жидкости на определенный процент вовсе не означает, что и вес товара изменится на тот же процент.

4. Математическая модель должна установить зависимость абсолютного изменения веса товара при усушке от изменения процентного содержания воды.

Поскольку в нашей задаче речь идет об определении процентов и пропорций, в качестве экономико-математического метода целесообразно избрать арифметику и алгебру.

В соответствии с алгебраическими правилами обозначим через х искомый вес товара при втором замере содержания жидкости и составим очевидное уравнение, которое и будет математической моделью нашей задачи:

hello_html_1e56b9ef.gif(*)

Здесь 1 тонна – это вес сухого остатка – не испаряемой части товара, одинаковой для первого и второго замера. Этот вес определяется по результатам первого замера содержания жидкости:

100 т – 99 % от 100 т = 1 т.

5. Решая уравнение (*), получим:

х = hello_html_m5cdca4d1.gif

6. Производим проверку правильности решения:

Замер

Сухой остаток

Жидкость

Всего

%

вес, т.

%

вес, т.

%

вес, т.

1-й

1

1

99

99

100

100

2-й

4

1

96

24

100

25

В рассмотренном примере нет необходимости производить оптимизацию. Требуется лишь произвести правильный расчет необходимого показателя – получить единственно возможное решение.


Тема 1.2 Методы прогнозирования

План:

1.2.1 Классификация методов прогнозирования

1.2.2 Прогнозирование с помощью временных рядов

1.2.3 Метод проецирования линейного тренда

1.2.4 Использование встроенных функций Excel для прогнозирования

1.2.5 Корреляция и регрессия


1.2.1 Классификация методов прогнозирования

Методы прогнозирования

Прогнозирование – это метод, в котором используются как накопленный в прошлом опыт, так и текущие допущения насчет будущего с целью его определения. Если прогнозирование выполнено качественно, результатом станет картина будущего, которую можно вполне использовать как основу для планирования.

1. Неформальные методы.

Вербальная информация – информация, получаемая из радио- и телепередач, от потребителей, поставщиков, конкурентов, на торговых совещаниях, в профессиональных организациях, от юристов, бухгалтеров и финансовых ревизоров, от консультантов.

Письменная информация. Источники письменной информации о внешнем окружении – это газеты, торговые журналы, информационные бюллетени, профессиональные журналы и годовые отчеты.

Промышленный шпионаж. Шпионаж – это не новость в жизни корпорации. Иногда он оказывается успешным способом сбора данных о действиях конкурентов, и эти данные затем использовались для переформулирования целей организации. Руководители обязаны защищать данные, имеющие статус интеллектуальной собственности.

2. Количественные методы прогнозирования можно использовать для прогнозирования, когда есть основание считать, что деятельность в прошлом имела определенную тенденцию, которую можно продолжать в будущем, и когда имеющейся информации достаточно для выявления статистически достоверных тенденций или зависимостей.

Методы количественного прогнозирования:

1) Анализ временных рядов основан на допущении, согласно которому случившееся в прошлом дает достаточно хорошее приближение в оценке будущего.

2) Казуальное (причинно-следственное) моделирование используется в ситуациях с более чем одной переменной. Казуальное моделирование – это попытка спрогнозировать то, что произойдет в подобных ситуациях, путем исследования статистической зависимости между рассматриваемым фактором и другими переменными.

3. Качественные методы прогнозирования. Когда количество информации недостаточное, или руководство не принимает сложный метод, или количественная модель получается чрезмерно дорогой, руководство может прибегнуть к качественным методам прогнозирования.

Мнение жюри. Этот метод прогнозирования заключается в соединении и усреднении мнений экспертов в релевантных сферах (релевантный – способный служить для различения языковых единиц). Неформальной разновидностью этого метода является «мозговой штурм», во время которого участники сначала пытаются генерировать как можно больше идей. Только после прекращения процесса генерирования, некоторые идеи подвергаются оценке. Это может отнимать много времени, но зачастую дает полезные результаты, особенно когда организация нуждается во множестве новых идей и альтернатив.

Совокупное мнение сбытовиков. Опытные торговые агенты часто прекрасно предсказывают будущий спрос. Они близко знакомы с потребителями и могут принять в расчет их недавние действия быстрее, чем удастся построить количественную модель. Кроме того, хороший торговый агент на определенном временном отрезке зачастую «чувствует» рынок, по сути дела, точнее, чем количественные модели.

Модель ожидания потребителя. Как можно судить по названию, модель ожидания потребителя является прогнозом, основанным на результатах опроса клиентов организации. Их просят оценить собственные потребности в будущем, а также новые требования. Собрав все полученные таким путем данные и сделав поправки на пере- или недооценку исходя из собственного опыта, руководитель зачастую оказывается в состоянии точно предсказать совокупный спрос.

Метод экспертных оценок. Этот метод в принципе представляет собой процедуру, позволяющую группе экспертов приходить к согласию. Эксперты, практикующие в самых разных, но взаимосвязанных областях деятельности, заполняют подробный вопросник по поводу рассматриваемой проблемы. Они записывают также свои мнения о ней. Каждый эксперт затем получает свод ответов других экспертов, и его просят заново рассмотреть свой прогноз и, если он не совпадает с прогнозами других, объяснить, почему это так. Процедура повторяется обычно три или четыре раза, пока эксперты не приходят к единому мнению. Анонимность экспертов является очень важным моментом.


1.2.2 Прогнозирование с помощью временных рядов

Временным рядом называется последовательность значений некоторого показателя во времени (например, объемов продаж). Существует два вида рядов: моментальные и интервальные.

Если временной ряд моментальный, то показатели х1, х2, . . . ,хn относятся к определенным моментам времени t1, t2, . . . , tn (t1< t2 < . . . < tn ) или к определенным интервалам (промежуткам) времени: [t1,t2], (t2,t3], . . . , (tn-1,tn].

Временные ряды обычно задаются при помощи таблицы:

Моменты времени или

интервалы времени

t1

t2

. . .

tn

[t1,t2]

(t2,t3]

. . .

(tn-1,tn]

Значение показателя

х1

х2

. . .

хn

Развитие процессов, реально наблюдаемых в жизни, складывается из некоторой устойчивой тенденции (тренда) и некоторой случайной составляющей, которая выражается в колебании значений показателя вокруг тренда.

Линия тренда «в среднем» наименее уклоняется от массива точек (ti, xi) i=1, 2, . . . , n заданного временным рядом. Кривые тренда сглаживают динамический ряд значений показателя, выделяя общую тенденцию. Выбор кривой тренда (является трудной задачей) во многом определяет результаты прогнозирования.

hello_html_4f7c44ba.gifhello_html_m7a5ae923.gif

Рассмотрим три метода прогнозирования на основе анализа временных рядов:

  • метод подвижного (скользящего) среднего;

  • метод экспоненциального сглаживания;

  • метод проецирования тренда.

При их рассмотрении будем пользоваться одним и тем же моментальным временным рядом.

Пример. Предположим, что объемы продаж описываются в течение недели таким временным рядом:

День недели

понедельник

вторник

среда

четверг

пятница

суббота

воскресенье

Количество

проданной

продукции

10

6

5

11

9

8

7

или по-иному:

t

1

2

3

4

5

6

7

x

10

6

5

11

9

8

7

1. Метод простого скользящего среднего состоит в том, что расчет показателя на прогнозируемый момент времени строится путем усреднения значений этого показателя за несколько предшествующих моментов времени.

Для вычисления объема продаж на четверг берут фактические данные за три предыдущих дня – понедельник, вторник, среду – и найдем их среднее арифметическое:hello_html_m57c320a1.gif Аналогично находим прогнозируемый объем продаж на пятницу: hello_html_m733dfa65.gif и т.д. Получим следующую таблицу:

t

1

2

3

4

5

6

7

8

x

10

6

5

11

9

8

7

-

f

-

-

-

7

7,33

8,33

9,33

8

по этой таблице построим график, на котором одна линия соответствует реальным значения, а другая – прогнозируемым.


hello_html_239038f0.gif


Расчетная формула для определения прогнозируемой величины hello_html_cc32300.gif, (1)

где xk-i – реальное значение показателя в момент времени tk-i; N – число предшествующих моментов времени, используемых в расчетах; fk – прогноз на момент времени tk. В нашем примере N=3.

2. Метод взвешенного подвижного (скользящего) среднего.

Влияние используемых реальных показателей оказывается неодинаковым, при этом обычно более свежие данные имеют больший вес. Математическая модель этого метода такова:

hello_html_m32f8303a.gif

(2)

Здесь xk-i – реальное значение показателя в момент времени tk-i; N – число предшествующих моментов времени, используемых в расчетах; fk – прогноз на момент времени tk; wk-i – вес, с которым используется показатель xk-i при расчете.

Замечание:

Вес – всегда положительное число. В случае, когда все веса одинаковые, мы получим формулу (1).


В нашем примере будем считать, что при составлении прогноза на завтрашний день объем продаж имеет вес = 60, вчерашних – 30, позавчерашних – 10.


hello_html_3789e5ab.gif


Остальные значения прогнозной величины находим аналогично. Получим такую таблицу:

t

1

2

3

4

5

6

7

8

x

10

6

5

11

9

8

7

-

f

-

-

-

5,8

8,7

9,2

8,6

7,5


hello_html_2235c680.gif


3. Метод экспоненциального сглаживания имеет такую математическую модель:

hello_html_70729024.gif(3)

При расчете этим методом учитывается отклонение предыдущего прогноза от реального показателя.

xk-1 –реальное значение показателя в момент времени tk-1;

fk – прогноз на момент времени tk;

- постоянная сглаживания.

Замечание:

0 < < 1 определяет степень сглаживания и обычно выбирается универсальным методом проб и ошибок.

Рассмотрим тот же пример, положив =0,2 и считая, что прогноз на понедельник = 8.

f2 = 8+0.2(10-8) = 8.4 и т.д. Получим следующую таблицу:

t

1

2

3

4

5

6

7

8

x

10

6

5

11

9

8

7

-

f

8

8,4

7,92

7,34

8,07

8,26

8,21

7,93

hello_html_6b4e03c5.gif

Замечание:

При решении реальной задачи прогнозирования временной ряд складывается постепенно и реальное значение показателя на рассчитываемый момент нам заранее неизвестно. Тем не менее, прежде чем заглянуть в будущее посредством одного из этих методов, обычно проводятся расчеты с полным временным рядом, описывающим некоторый промежуток времени в прошлом. Это делается, чтобы

  • подобрать подходящее значение N и сравнить результаты прогнозирования с реальными данными (метод простого скользящего среднего);

  • подобрать подходящие значения N и весов и сравнить результаты прогноза с реальными данными (метод взвешенного скользящего среднего);

  • подобрать подходящие значения постоянной сглаживания и сравнить результаты прогноза с реальными данными (метод экспоненциального сглаживания).



1.2.3 Метод проецирования линейного тренда

Компьютерная модель – это инструмент экономиста для анализа и подготовки прогнозов и планов. Компьютерная модель задает программные правила получения решения.

Модель элементарного объекта – это математическое выражение, связывающее входные (независимые) переменные с выходными (зависимыми) переменными с помощью математических операций и параметров. Для вычисления показателей прогнозов и планов необходимо в виде исходных данных иметь численные значения параметров.

Параметры экономической модели – это постоянные величины, связывающие зависимые переменные (функции) с влияющими на них независимыми переменными (факторами, аргументами).

Например, зависимость объема продаж от затрат на рекламу можно выразить функцией (моделью)

Y = a1 X + a0,

где Y –объем продаж, зависимая переменная (функция),

X – затраты на рекламу, независимая переменная (фактор),

a1 и a0 – параметры модели.

Для установления параметров прогнозирующих и плановых моделей чаще всего используются нормативные, экспертные и статистические методы.

Нормативы задаются законами, например, ставки налогообложения; административными и регулирующими органами, например, нормы амортизации и сроки строительства, коэффициенты ликвидности и риска активов банков, страховых компаний и пенсионных фондов.

Экспертные методы используют субъективные заключения авторитетов, экспертов-профессионалов в данной отрасли. Не исключаются рекомендации гадалок, колдунов и гороскопа.

Статистические методы наиболее научно обоснованы и обеспечены методиками и компьютерными программами. Они применяются, когда удается собрать статистическую числовую информацию об экономических показателях. Предыдущие методы также используют статистический материал, например, нормативы регулирования деятельности банков международной торговли, установленные Базельским комитетом Кука, разработаны на основе анализа балансов и портфелей множества обанкротившихся банков.

Метод проецирования (линейного) тренда основан на построении прямой, которая «в среднем» наименее уклоняется от массива точек, заданного временным рядом.

Эта прямая ищется в виде ati+b. Чтобы найти коэффициенты a и b, нужно решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

hello_html_m3e323e45.gif


Например, имеются данные о том как от затрат на рекламу зависит объем продаж некоторого товара. Построив (рассчитав) линию тренда, можно предсказать какой ожидается объем продаж при заданных затратах на рекламу или определить, какие средства необходимо затратить на рекламу, чтобы обеспечить заданный объем продаж.

Затраты на рекламу

Объем продаж

hello_html_4ab39ece.pnghello_html_4ab39ece.pnghello_html_4ab39ece.pnghello_html_4ab39ece.png







3500

16523








10073

6305








11825

1769








33550

30570








37200

7698








55400

9554








55565

54154








68501

54450








71000

47800








82107

74598








83100

25257








90496

80608








100000

40800








102100

63200








132222

69675








136297

98715








139114

75886








165575

83360








Если нужно определить, какой ожидается объем продаж, если имеется возможность вложить в рекламу 110 000 у.д.е., то нужно подставить в уравнение линии тренда вместо х значение = 110 000, получим у=0,5459*110000+5090,9=64920.

Если нужно определить, какие средства необходимо затратить на рекламу, чтобы обеспечить заданный объем продаж, поступим так. Выразим х через у из нашего уравнения и подставим заданное значение у. Найдем х.


1.2.4 Использование встроенных функций Excel для прогнозирования

Описание использования функции ПРЕДСКАЗ из категории Статистичеких функций.

Вычисляет или предсказывает будущее значение по существующим значениям. Возвращает значение линейного тренда. Предсказываемое значение — это y-значение, соответствующее заданному x-значению. Известные значения — это x- и y-значения, а новое значение предсказывается с использованием линейной регрессии. Эту функцию можно использовать для предсказания будущих продаж, потребностей в оборудовании или тенденций потребления.

Синтаксис

ПРЕДСКАЗ (x; известные_значения_y; известные_значения_x)

x  — это точка данных, для которой предсказывается значение.

Известные_значения_y  — это зависимый массив или интервал данных.

Известные_значения_x  — это независимый массив или интервал данных.

Описание использования функции ТЕНДЕНЦИЯ из категории Статистических функций

Возвращает значения в соответствии с линейным трендом. Аппроксимирует прямой линией (по методу наименьших квадратов) массивы известные_значения_y и известные_значения_x. Возвращает значения y, в соответствии с этой прямой для заданного массива новые_значения_x.

Синтаксис

ТЕНДЕНЦИЯ (известные_значения_y; известные_значения_x; новые_значения_x; конст)

Известные_значения_y — множество значений y, которые уже известны для соотношения y = mx + b.

  • Если массив известные_значения_y имеет один столбец, то каждый столбец массива известные_значения_x интерпретируется как отдельная переменная.

  • Если массив известные_значения_y имеет одну строку, то каждая строка массива известные_значения_x интерпретируется как отдельная переменная.

Известные_значения_x — необязательное множество значений x, которые уже известны для соотношения y = mx + b.

  • Массив известные_значения_x может содержать одно или несколько множеств переменных. Если используется только одна переменная, то известные_значения_y и известные_значения_x могут иметь любую форму, при условии, что они имеют одинаковую размерность. Если используется более одной переменной, то известные_значения_y должны быть вектором (то есть интервалом высотой в одну строку или шириной в один столбец).

  • Если известные_значения_x опущены, то предполагается, что это массив {1;2;3;...} такого же размера, как и известные_значения_y.

Новые_значения_x — новые значения x, для которых ТЕНДЕНЦИЯ возвращает соответствующие значения y.

  • Новые_значения_x должны содержать столбец (или строку) для каждой независимой переменной, как и известные_значения_x.

Таким образом, если известные_значения_y — это один столбец, то известные_значения_x и новые_значения_x должны иметь такое же количество столбцов. Если известные_значения_y — это одна строка, то известные_значения_x и новые_значения_x должны иметь такое же количество строк.

  • Если новые_значения_x опущены, то предполагается, что они совпадают с известные_значения_x.

  • Если опущены оба массива известные_значения_x и новые_значения_x, то предполагается, что это массив {1;2;3;...} такого же размера, что и известные_значения_y.

Конст - логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа b была равна 0.

  • Если конст имеет значение ИСТИНА или опущено, то b вычисляется обычным образом.

  • Если конст имеет значение ЛОЖЬ, то b полагается равным 0, и значения m подбираются таким образом, чтобы выполнялось соотношение y = mx.

Цель работы: на основе заданных статистических данных научиться строить прогноз методом линейного тренда на основе функций ЭТ Excel.

Лабораторная среда – это персональный компьютер, операционная система Windows, табличный процессор Excel.

Последовательность выполнения работы:

1. На основе модели зависимости объемов продаж от затрат на рекламу создать модель зависимости объемов продаж от цены товара.

2. На основе новой двухфакторной модели сделать прогноз по объему продаж при заданном значении затрат на рекламу с помощью различных функций ЭТ Excel.

3. На основе новой двухфакторной модели сделать прогноз по объему продаж при заданном значении цены товара с помощью различных функций ЭТ Excel и на основе полученного уравнения линии тренда.



1.2.5 Корреляция и регрессия

При изменении сразу двух случайных величин Х и У исходными данными являются пары чисел (точки)

(x1, y1), (x2, y2), . . . ,(xn, yn),

где n – число испытаний.

Являются ли величины Х и У независимыми? Если между ними есть некоторая зависимость, то какова она?

Существует простой способ определения степени коррелированности случайных величин. Он основан на вычислении коэффициента корреляции r.

Коэффициент корреляции обладает следующим свойством:

-1 r 1.

При этом, чем ближе r к нулю, том слабее корреляция. И наоборот, чем ближе r к 1 или -1, тем сильнее корреляция, т.е. зависимость между Х и У близка к линейной. Если r в точности равно 1 или -1, то все точки лежат на одной прямой.

Коэффициент корреляции отражает степень линейной зависимости между величинами.


Приведем формулы для вычисления r:

hello_html_21e3dca.gifhello_html_m323ed640.gifhello_html_1010e279.gifhello_html_m65eee693.gif


hello_html_230e38a9.gifhello_html_d346e05.gif


Регрессия.

Если зависимость между величинами Х и У близка к линейной, то можно отыскать функцию y = ax + b, которая наилучшим образом выражает зависимость У от Х.

Для определения такой функции пользуются методом наименьших квадратов. Для этого находят минимум функции:

hello_html_619de592.gif, дифференцируя ее по a и по b. Каждая частная производная равна нулю:


hello_html_12990b2f.gifимеет единственное решение hello_html_m3e10044e.gifhello_html_3e4bcd37.gif

Найдя таким образом значения a и b, мы получим прямую, которая наилучшим образом выражает статистическую связь между величинами Х и У.

Полученная прямая называется прямой регрессии У на Х.

Проблема:

Перед администрацией некоторого крытого стадиона, где проходят матчи, концерты и другие мероприятия, должна оценить какое количество зрителей придет. Это необходимо для оптимальной организации работы различных вспомогательных служб. Один из подходов к решению этой проблемы – учет предыдущего опыта. Можно предположить, что окончательное число зрителей сильно зависит от того, сколько билетов продано за сутки до мероприятия.

Пример: Пусть опыт первых пяти мероприятий этого года таков:

Число билетов, проданных накануне (в тыс.)

3,5

4,6

5,8

4,2

5,2

Число зрителей (в тыс.)

8,1

9,4

11,3

6,9

9,7

Каков коэффициент корреляции?

Если его значение близко по модулю к 1, то каково уравнение прямой регрессии?

Получив уравнение прямой регрессии, мы можем делать прогноз величины У, подставляя в него значение Х.

Число билетов, проданных накануне (в тыс.) -Х

3,5

4,6

5,8

4,2

5,2

hello_html_m242f2f98.gif=23,30

Число зрителей (в тыс.) - У

8,1

9,4

11,3

6,9

9,7

hello_html_m42c71a3b.gif45,40

hello_html_me828eaa.gif

12,3

21,2

33,6

17,6

27,0

hello_html_m5b89da1a.gif=111,73

hello_html_m463da9bc.gif

65,6

88,4

127,7

47,6

94,1

hello_html_7a0545de.gif=423,36

hello_html_2867b708.gif

28,4

43,2

65,5

29,0

50,4

hello_html_m17e304e9.gifhello_html_2867b708.gif=216,55


hello_html_m49a70d77.gifhello_html_2101c3e9.gifhello_html_m3ba15339.gif


hello_html_5eac8393.gifhello_html_m3054977c.gifhello_html_53715d78.gif


hello_html_m574e4a5a.gifhello_html_m3be833af.gif


Уравнение прямой регрессии: y = 1,58 x + 1,72

Подставим в него значение х = 4300 и получим: у = 1,58*4,3 + 1,72 = 8,514 тыс.

РАЗДЕЛ 2 ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ



Тема 2.1 Использование графических средств в экономических задачах

План:

2.1.1 График спроса и предложения. Равновесие на конкурентном рынке

2.1.2 Построение графика бюджетной линии



2.1.1 График спроса и предложения. Равновесие на конкурентном рынке

Определение проблемы

Основоположник ценовой теории Альфред Маршалл (1842-1924) полагал, что большинство экономических процессов можно объяснить в терминах равновесной рыночной цены. Цена устанавливается при взаимодействии спроса и предложения. Теории хороши во всех учебниках, но и через 80 лет после Альфреда богатейшая и грамотнейшая ОРЕС, регулируя предложение, не может установить приемлемые потребителям и производителям цены на нефть.

Обычно на бумаге или доске чертят пересечение линий спроса и предложения в зависимости от цены товара. Смещают линии, меняют их крутизну, наблюдают точки новых равновесий. Объясняют ножницы дефицита, инфляцию, перепроизводство и др.

Словарная модель

Проблемная система: товар, цены, поставщики, покупатели.

Поставщики поставляют на рынок товар. Чем больше рыночная цена, тем больше поставщиков и товара.

Потребители покупают товар. Чем меньше цена, тем больше покупателей и покупок.

Товар на рынке характеризуется двумя параметрами: количеством и ценой.

Математическая модель

Для первоначального изучения выбирается очень грубая модель: линейная, без запасов, случайностей, прогнозов и прочих затемняющих факторов.

Функция зависимости спроса от цены

Dmd=D0-KdPrc,

где: Dmd – спрос за текущий интервал времени;

D0 – спрос при нулевой цене;

Kd – крутизна линии спроса;

Prc – цена товара.

Линия зависимости предложения от цены

Spl = S0 + KsPrc,

где: Spl – предложение за текущий интервал времени;

S0 – предложение при нулевой цене;

Ks – крутизна линии предложения;

Prc - цена товара.

Входные данные:

Цена за одну порцию,

усл. ден. ед.

Количество порций мороженого, покупаемых за один день (величина спроса)

Количество порций мороженого, предлагаемых за один день (величина предложения)

600

60

-

650

35

25

700

25

40

750

15

50

800

10

60

Пути решения задачи:

По имеющимся данным строим в Excel точечный график спроса и предложения. Затем строим линии тренда для спроса и предложения. Для каждой линии тренда можно легко получить уравнение.

Таким образом, все коэффициенты математической модели нами определены.

Решая систему уравнений, найдем точку пересечения – равновесную цену.

-hello_html_415ff266.gif
0,24х+197=0,29х-168 отсюда
х=689, у=-0,24х+197=-0,24*689+197=32 у=32.

Выходные данные:

Цена, соответствующая точке на графике, находящейся в пересечении линий спроса и предложения, называется равновесной. В данном случае она равняется 689 у.д.ед. Это та цена, по которой будет осуществляться купля-продажа товара при данных спросе и предложении, которые равны 32 порциям.

Анализ результатов:

Затоваривание появляется в том случае, когда продавец устанавливает цену выше равновесной. Образующийся при этом промежуток между линиями спроса и предложения показывает, какое количество предлагаемого продавцом по данной цене товара не обеспечивается спросом покупателя. Это и есть величина затоваривания. Так, к примеру, если начать продавать мороженое по цене 750 у.д.ед. за порцию, то спрос упадет до 17 порций, а предложение вырастет до 50 порций. Разность (50-17) и показывает величину затоваривания: 33 порции.

Дефицит появляется в том случае, когда продавец устанавливает цену ниже равновесной. Образующийся при этом промежуток между линиями предложения и спроса показывает, какого количества товара не хватает, чтобы удовлетворить спрос.

Это и есть дефицит. Так, например, если начать продавать мороженое по цене 637,5 у.д.ед., то спрос повысится до 44 порций, а предложение упадет до 17 порций. Разность (44-17) и показывает величину дефицита: 27 порций.

Анализ результатов делаем, подставляя в соответствующее уравнение цену выше равновесной, затем ниже равновесной.



2.1.2 Построение графика бюджетной линии

Определение проблемы. Имея определенную сумму бюджета, можно купить некоторое количество одного товара и некоторое количество другого товара. (Товаров может быть не два вида, а больше. С целью упрощения модели берем два вида). Цены товаров различные. Встает вопрос, как быстро определить, какое количество одного товара можно дополнительно купить, отказавшись от некоторого количества другого товара. И все это, не выходя из бюджета. Второй вопрос, на которой также нужно найти ответ – что произойдет при увеличении (уменьшении) суммы бюджета. И, третий вопрос – что произойдет при изменении цен товаров?

Входные данные:

S - сумма бюджета;

РА - цена товара А;

РБ - цена товара Б.

Выходные данные:

х – количество товара А;

у – количество товара Б.

Математическая модель:

РА*х+РБ*у = S

Графическая модель:

Представлена графиком функции у(х)=(S-РА*х)/РБ, который называется график бюджетной линии.

Исследование модели.

1. С помощью графика определяем, какое количество товара А и Б можно купить не выходя из бюджета.

2. Изменяя сумму бюджета (увеличивая или уменьшая), смотрим, что происходит с графиком.

3. Изменяя цены товаров А и Б, смотрим, что происходит с графиком.

hello_html_m5ed24cad.gif


Тема 2.2 Имитационное моделирование как компьютерный эксперимент

План:

2.2.1 Имитационные модели налогообложения

2.2.2 Определение точки безубыточности

2.2.3 График производственных возможностей



2.2.1 Имитационные модели налогообложения

Определение проблемы:

Государство стремится увеличить налоги, чтобы наполнить бюджет для выполнения своих социально-экономических и оборонных функций.

Бизнес жалуется, что налоговое бремя велико и налоговые ставки надо уменьшить.

Экономисты утверждают, что большие налоги сдерживают развитие экономики, а значит и будущее выполнение бюджета.

Проблема: теория и практика не знают величину приемлемой для всех налоговой ставки.

Задача: обосновать величину налоговой ставки.

Рабочая гипотеза. Поступления в бюджет за определенный период времени будут наибольшими не при максимальной, а при оптимальной для бюджета ставке налога. То есть с ростом налоговой ставки поступления в бюджет будут увеличиваться, а затем уменьшаться.

Цель: исследовать зависимость поступлений в бюджет от величины налоговой ставки.

Лабораторная модель.

Уточнение и ограничение проблемы. Несмотря на массу налогов и терминов, источником развития бизнеса и источником налогового наполнения бюджета в конечной инстанции является прибыль, т.е. превышение доходов над расходами.

Выделение проблемной системы (объекты и функции).

Законодатель объявляет ставку налога.

Бюджет получает налоговые отчисления от прибыли предприятий.

Предприятия по налоговой ставке на прибыль отчисляют средства в бюджет.

Словарная модель.

Государство объявляет ставку налога на прибыль и получает от фирм средства в бюджет. Фирмы обладают собственным капиталом, производят прибыль, отчисляют по налоговой ставке средства в бюджет. Постналоговая прибыль как нераспределенная прибыль полностью включается в собственный капитал фирмы, Дивиденды не выплачиваются, никаких других отчислений от прибыли не производится. Вся прибыль распределяется только на два потока: в бюджет, а остаток в собственный капитал фирмы.

Математическая модель.

Сумма налоговых поступлений в бюджет за моделируемый период представлена формулой:

hello_html_m1d54ed55.gif

где BDt – сумма поступивших в бюджет средств от начала моделирования к концу года t, руб.;

PRFt – доналоговая прибыль (profit), полученная предприятием за год t, руб./год;

TXRT – ставка налога на прибыль (tax rate);

t – время, год.

tb – начальный год моделирования;

tf – последний год моделирования.

Капитализируемый предприятием за период моделирования остаток прибыли

hello_html_5e62069c.gif

Прибыль за t год

hello_html_m4f0875be.gifгде RN - рентабельность капитала предприятия. Задается как параметр предприятия, исходное данное.

Компьютерную модель можно представить в виде Excel таблицы-схемы с введенными для вычислений формулами, отражающими вычисление показателей за один год.

Метод решения.

Выполняется имитационное моделирование процесса развития предприятия и накопление налоговых средств в бюджете во времени.

Исходные данные для параметров, переменных и показателей модели.

В качестве исходных данных задаются числовые значения:

  • налоговой ставки;

  • рентабельности;

  • начального капитала фирм;

  • интервала моделирования.

Однофакторный имитационный эксперимент.

  1. Исследовать зависимость налоговых поступлений в бюджет (BD) за фиксированный период времени от величины налоговой ставки на прибыль предприятий TXRT.

  2. Пронаблюдать изменение показателей предприятия и бюджета во времени:

    • рост поступлений прибыли;

    • отчислений по налогу в бюджет;

    • капитализацию нераспределенной прибыли предприятием.

  1. Устанавливать различные ставки налога и повторять выполнение п.2 и 3.

Анализ.

По мере увеличения ставки поступления в бюджет увеличиваются, а затем уменьшаются. Имеется ярко выраженный максимум, т.е. оптимальная для бюджета ставка налога. Имитация подтверждает и уточняет логическую словарную модель здравого смысла: отнимешь в налоги много сегодня, значит, лишишь бизнес развития и завтра получишь в бюджет меньше или вообще ничего не получишь.

Двухфакторный имитационный эксперимент.

Поставим такую цель: исследовать зависимость бюджетно-оптимальной ставки от эффективности работы фирмы.

Метод решения

В качестве показателя эффективности выберем рентабельность, т.е. отношение доналоговой прибыли к капиталу.

Создадим на основе предыдущей модели новую двухфакторную модель. Будем изменять параметр рентабельности фирмы и ставку налога, и каждый раз запускать модель «Однофакторный имитационный эксперимент». Полученное значение поступлений в бюджет запишем каждый раз в таблицу.

Затем построим графики зависимости поступлений в бюджет от ставки налога для различных значений рентабельности. Проведем исследование графиков.

Анализ результатов

Чем выше рентабельность банка, тем ярче выражена оптимальная ставка налогообложения. С ростом рентабельности оптимальная ставка уменьшается, стремясь к фиксированной величине, на нашем графике, примерно, к 23%. Более отчетливо движение оптимальной ставки видно в таблице, где максимальные поступления в бюджет окружены рамками.

hello_html_m532e5e1a.png

Возможные управленческие решения

Анализ результатов имитации будет неожиданным для стран с прогрессивным налогообложением сверхприбылей корпораций: чем выше рентабельность, тем выгоднее бюджету уменьшить ставку налога. Фирмы с низкой рентабельностью целесообразно облагать более высокими налогами. Выбраковывать, как это делает крестьянин с малопродуктивным скотом, а заводы – с неэффективным оборудованием. Разумеется, урожай не собирают, пока он не созрел и молодым фирмам необходим льготный период.


hello_html_6e549c95.png


2.2.2 Определение точки безубыточности

Модель «ТОЧКА БЕЗУБЫТОЧНОСТИ»

Задача: Сколько единиц товара необходимо реализовать, чтобы получить доход,

покрывающий все издержки. (Определить точку безубыточности)







Данные для расчета:




Общие:





1. Издержки -

12 000 000



2. Расходы на реализацию -

4 500 000



3. Общие фиксированные расходы -

16 500 000



На единицу продукции:




1. Доходы

5250



2. Материалы

860



3. Оплата труда

1150



4. Издержки

250



5. Расходы на реализацию

60



6. Общие переменные расходы

2320








РЕШЕНИЕ




1. Занести данные в рабочий лист Excel:





B

C

D


1

Фирма "Континент"


2

 

 

 


3

 

 

 


4

 

Общие

На единицу


5

Доходы

29 564 846,42р.

5 250,00р.


6

Материалы

 

860,00р.


7

Оплата труда

 

1 150,00р.


8

Издержки

12 000 000,00р.

250,00р.


9

Расходы на реализацию

4 500 000,00р.

60,00р.


10

 

 

 


11

Общие фиксированные расходы

16 500 000,00р.

 


12

Общие переменные расходы

 

2 320,00р.


13

 

 

 


14

Всего единиц

5 631,40

 


15

Точка безубыточности

0,00р.

 


В ячейку С5 (общие доходы) ввести формулу = D5 * C14

C14 – количество единиц товара

Точка безубыточности рассчитывается по формуле: = С5 - (С11 + (D12 * С14))

1. В меню Сервис выбрать команду Подбор параметра. На экране появится диалоговое окно

2. В поле Установить в ячейке заносится ссылка на ячейку С15, где хранится формула, которая используется при подборе параметра:

Общие доходы - Общие расходы = конкретное значение.

3. Значение - это тот результат, который нам желательно получить. В примере это 0, поскольку для точки безубыточности

Общие доходы - Общие расходы = 0.

4. В поле Изменяя значение ячейки указываем С14.

5. Мы хотим варьировать это значение до получения такого количества произведенных единиц, которое обеспечит достижение точки безубыточности. В этом поле необходимо указать ячейку, на которую ссылается формула ячейки Установить в ячейке.

6. Подбор параметра будет перебирать числа в ячейке Изменяя значения ячейки до тех пор, пока не получит в ячейке Установить в ячейке именно то значение, которое указано в поле Значение.

7. Щелкаем по кнопке ОК. Когда Подбор параметра находит подходящее значение, на экране появляется диалоговое окно Результат подбора параметра, в котором можно увидеть результаты.

Если продать 5631 единиц или меньше, компания окажется в убытке. Точке безубыточности соответствует значение 5631,399. Таким образом, продажа 5632-ой единицы продукции позволит нам получить прибыль.

В формулах определения точки безубыточности есть две части: функция расходов и функция доходов.

Функция расходов выглядит так:

Общие расходы = Общие фиксированные расходы + (Общие переменные расходы * количество единиц)

Функция доходов выглядит так:

Общие доходы = Цена единицы * Количество единиц

Мы достигаем точки безубыточности, когда Общие расходы = Общие доходы (или: Общие доходы - Общие расходы = 0)


2.2.3 График производственных возможностей

Цель работы: Определение степени эффективности бизнеса с помощью графика производственных возможностей

Описание проблемы: По данным работы предприятия, которое выпускает два вида продукции, нужно определить степень эффективности бизнеса для любых новых заказов прежде, чем за них браться.

Входные данные:

1. Производственные возможности. Это двумерный массив. Каждая пара значений – это производственные возможности данного предприятия.

2. Новый заказ – пара значений, которая подвергается анализу.

Выходные данные:

Оценка введенного заказа (неэффективный бизнес; эффективный бизнес; невозможный бизнес).

Графическая модель:

По входным данным строим в Excel точечный график (вид- точки, соединенные сглаженной прямой). Достраиваем «треугольник» с помощью инструмента Линия на панели инструментов Рисование.

Точки, соответствующие новым заказам, добавляем в тот же график как Ряд2 (вид графика – отдельные точки).

Математическая модель: Если введенная точка попадает на линию производственных возможностей, то она соответствует эффективному бизнесу.

Если введенная точка попадает внутрь «треугольника», образованного линией производственных возможностей и линиями, параллельными осям координат, то это неэффективный бизнес.

Если введенная точка находится за пределами «треугольника» производственных возможностей, то такой бизнес – невозможный.

Анализ:

На основании математической модели выполняем анализ. Результаты анализа отражаем на графике с помощью инструмента Надпись на панели инструментов Рисование.

Пример.

Малое предприятие способно произвести в день:

либо 70 кг вареной и 20 кг копченой колбасы;

либо 60 кг вареной и 45 кг копченой колбасы;

либо 50 кг вареной и 65 кг копченой колбасы;

либо 30 кг вареной и 85 кг копченой колбасы;

либо 10 кг вареной и 92 кг копченой колбасы.

Определить степень эффективности бизнеса для следующих заказов на продукцию предприятия:

а) 70 кг вареной и 40 кг копченой колбасы;

б) 55 кг вареной и 55 кг копченой колбасы;

в) 30 кг вареной и 65 кг копченой колбасы.

Анализ модели

Из графика наглядно видно, что заказ «а» соответствует невозможному бизнесу, т.к. соответствующая точка оказывается вне пределов линии производственных возможностей. Заказ «б» отвечает эффективному бизнесу – соответствующая точка лежит на кривой производственных возможностей. Заказ «в» приводит к возможному, но не эффективному бизнесу – точка оказывается внутри линии производственных возможностей.

hello_html_m7e373d7c.gif


























РАЗДЕЛ 3 ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ



Тема 3.1 Задачи линейного программирования

План:

3.1.1 Линейное программирование

3.1.2 Технология решения задач линейного программирования с помощью инструмента Поиск решения Excel


3.1.1 Линейное программирование

Математическое программирование представляет собой математическую дисциплину, занимающуюся изучением экспериментальных задач и разработкой методов их решения.

В математическом программировании решаются задачи на экстремум, т.е. задачи, в которых необходимо максимизировать или минимизировать некоторую функцию.

В общем виде математическая постановка экстремальной задачи состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой функции f(x1, x2, …,xn), при условиях gi(x1, x2,…,xn) bi (i=1,…,m), где f и gi – функции; bi – некоторые действительные числа.

Задачи математического программирования делятся на линейные и нелинейные.

Линейные задачи – это задачи, в которых все функции f и gi являются линейными.

Математическая модель – это описание количественных закономерностей данного процесса с помощью математических выражений.

При составлении математической модели реальный процесс упрощается, т.е. во внимание принимаются только те параметры, которые существенны для данного процесса.

Цель задачи формируется в виде специальной функции, которая называется целевой функцией.

Совокупность системы ограничений и целевой функции образует модель задачи линейного программирования.

Математическая модель задачи строится в следующем порядке:

1) формулировка цели задачи

2) выбор и обозначение переменных

3) формулировка цели задачи

4) составление системы ограничений на параметры

Пример задач линейного программирования

1. Задача о формировании производственной программы.

Компания производит полки для ванных комнат двух размеров – А и В. Агенты по продаже считают, что в неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м2 материала, а для полки типа В – 3 м2 материала. Компания может получить до 1200 м2 материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин. работы оборудования, а для изготовления одной полки типа В – 30 мин. Оборудование можно использовать 160 час. в неделю. Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 долл., а от полок типа В – 4 долл., то сколько полок надо выпускать в неделю, чтобы получить максимальную прибыль?

Какова в этом случае будет максимальная прибыль?

Составим математическую модель:

1) составить программу производства, обеспечивающую максимальную прибыль

2) Пусть х1 – количество полок вида А (штук)

х2 – количество полок вида В (штук)

3) f – прибыль от продажи данного количества полок (С1, С2)

f = 3*х1 + 4*х2 max

4) 2*х1+3*х2 1200 (ограничение по материалу)

0,2*х1+0,5*х2 160 (ограничение по времени работы оборудования)

х1+х2 550 (ограничение по сбыту)

х1 0, х2 0 (количество не может быть отрицательным)

х1, х2 – целые числа (полки не продают половинками)


Общая и основная задачи линейного программирования (ЗЛП)

Общей ЗЛП называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции.

hello_html_4bfd6007.gif(1) при условиях

hello_html_2f8ca106.gif(2)

hello_html_m7dd82137.gif(3)

hello_html_76ad37f6.gif(4) , где aij, bi, cj – заданные постоянные величины.

Функция (1) называется целевой функцией, а условия (2) – (4) ограничениями данной задачи.

Стандартной ЗЛП называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции (1) при выполнении условий (2) и (4).

Основной ЗЛП называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции (1) при выполнении условий (3) и (4).

Совокупность чисел х = (х1, х2, …,xn), удовлетворяющих ограничениям задачи (2) и (4) называется допустимым решением (или планом).

План х* = (х*1, х*2, …,x*n), при котором целевая функция (1) принимает свое максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным.

Значение целевой функции (1) при плане х будем обозначать f(x). Следовательно, х* - оптимальный план задачи, если для любого х выполняется условие f(x) f(x*).


3.1.2 Технология решения задач линейного программирования с помощью инструмента Поиск решения Excel

Инструмент Поиск решения может применяться для решения задач, которые включают много изменяемых ячеек, и помогают найти комбинации переменных, которые устанавливают целевую ячейку в требуемое значение (например, минимальное или максимальное). Он также позволяет задавать одно или несколько ограничений – условий, которые должны выполняться при поиске решений.

С помощью инструмента Поиск Решений можно, например, решать такие задачи:

  • транспортная задача;

  • задача о назначениях;

  • составление оптимального плана производства;

  • решение систем нелинейных уравнений.

Формулировка задачи

Прежде чем обращаться к инструменту Поиск Решения, нужно проанализировать задачу и построить математическую модель. Для построения модели необходимо:

1) определить переменные модели;

2) выбрать целевую функцию;

3) задать ограничения, которым должны удовлетворять переменные.

При подготовке рабочего листа к решению задачи нужно:

1) отвести диапазон ячеек для хранения переменных величин;

2) в отдельную ячейку ввести функцию цели. Функция цели всегда зависит от переменных, поэтому в ячейке с целевой функцией будут использованы ссылки на ячейки, где хранятся переменные;

3) подготовить значения и формулы для задания ограничений. Поскольку ограничения накладываются на переменные, то в формулах для задания ограничений будут использованы ссылки на ячейки, где хранятся переменные.

Элементы диалогового окна Поиск решения.

После построения математической модели можно обратиться к средству Поиск решения. Для этого нужно воспользоваться командой Сервис/Поиск решения. (Если эта команда недоступна, то нужно вызвать диалоговое окно Надстройки с помощью команды Сервис/Надстройки и установить флажок Поиск решения). На экране появится окно Поиск решения.

hello_html_6100eab4.png

В поле Установить целевую нужно указать ссылку на ячейку с целевой функцией. Если перед вызовом инструмента Поиск решения выделить ячейку с целевой функцией (рекомендуется), то это поле будет уже заполнено.

Ниже расположены элементы управления – переключатели, - позволяющие задать, какое значение целевой функции должно быть достигнуто при решении задачи: минимальное, максимальное или некоторое конкретное значение.

Поле Изменяя ячейки позволяет задать диапазон, в котором располагаются неизвестные величины, влияющие на целевую функцию.

Список Ограничения представляет все ограничения, накладываемые на переменные. Чтобы ввести очередное ограничение, нужно нажать кнопку Добавить. На экране появится диалоговое окно.

hello_html_m35bbca6.png

Поле Ссылка на ячейку предназначено для указания ссылки на ячейки, где хранятся переменные или формулы, используемые для задания ограничений. В поле Ограничение можно задать константу, ссылку на ячейки со значениями или формулами. Значение из полей Ссылка на ячейку и Ограничение сравниваются с помощью операции (“>=”, “<=”, ”=”, “цел”, “двоич”), которую можно выбрать из списка, расположенного между этими двумя полями.

Кнопка Изменить диалогового окна Поиск решения позволяет модифицировать выделенное в списке Ограничения отдельное ограничение.

Кнопка Удалить диалогового окна Поиск Решения позволяет удалить выделенное ограничение.

После того как все данные для инструмента Поиск решения будут заданы, следует воспользоваться кнопкой Выполнить. Если решение будет найдено, Excel выдаст об этом сообщение, и результаты расчета задачи будут размещены в соответствующие ячейки. Если решение не может быть найдено, то Excel также выдаст об этом сообщение.

Элементы диалогового окна «Параметры поиска решения»

Можно изменять условия и варианты поиска решения для линейных и нелинейных задач, а также загружать и сохранять оптимизируемые модели.

Значения и состояния элементов управления, используемые по умолчанию, подходят для решения большинства задач.

Максимальное время

Служит для ограничения времени, отпускаемого на поиск решения задачи. В поле можно ввести время (в секундах) не превышающее 32767; значение 100, используемое по умолчанию, подходит для решения большинства простых задач.

Число итераций

Служит для управления временем решения задачи, путем ограничения числа промежуточных вычислений. В поле можно ввести время (в секундах) не превышающее 32767; значение 100, используемое по умолчанию, подходит для решения большинства простых задач.

Точность

Служит для задания точности, с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным границам. Поле должно содержать десятичную дробь от 0 (нуля) до 1. Чем больше десятичных знаков в задаваемом числе, тем выше точность — например, число 0,0001 представлено с более высокой точностью, чем 0,01.

Допустимое отклонение

Служит для задания допуска на отклонение от оптимального решения, если множество значений влияющей ячейки ограничено множеством целых чисел. При указании большего допуска поиск решения заканчивается быстрее.

Сходимость

Когда относительное изменение значения в целевой ячейке за последние пять итераций становится меньше числа, указанного в поле Сходимость, поиск прекращается. Сходимость применяется только к нелинейным задачам, условием служит дробь из интервала от 0 (нуля) до 1. Лучшую сходимость характеризует большее количество десятичных знаков — например, 0,0001 соответствует меньшему относительному изменению по сравнению с 0,01. Лучшая сходимость требует больше времени на поиск оптимального решения.

Линейная модель

Служит для ускорения поиска решения линейной задачи оптимизации.

Показывать результаты итераций

Служит для приостановки поиска решения для просмотра результатов отдельных итераций.

Автоматическое масштабирование

Служит для включения автоматической нормализации входных и выходных значений, качественно различающихся по величине — например, максимизация прибыли в процентах по отношению к вложениям, исчисляемым в миллионах рублей.

Значения не отрицательны

Позволяет установить нулевую нижнюю границу для тех влияющих ячеек, для которых она не была указана в поле Ограничение диалогового окна Добавить ограничение.

Оценка. Служит для указания метода экстраполяции — линейная или квадратичная — используемого для получения исходных оценок значений переменных в каждом одномерном поиске.

Линейная. Служит для использования линейной экстраполяции вдоль касательного вектора.

Квадратичная. Служит для использования квадратичной экстраполяции, которая дает лучшие результаты при решении нелинейных задач.

Производные

Служит для указания метода численного дифференцирования — прямые или центральные производные — который используется для вычисления частных производных целевых и ограничивающих функций.

Прямые. Используется в большинстве задач, где скорость изменения ограничений относительно невысока.

Центральные. Используется для функций, имеющих разрывную производную. Данный способ требует больше вычислений, однако его применение может быть оправданным, если выдается сообщение о том, что получить более точное решение не удается.

Метод

Служит для выбора алгоритма оптимизации — метод Ньютона или сопряженных градиентов — для указания направление поиска.

Метод Ньютона. Реализация квазиньютоновского метода, в котором запрашивается больше памяти, но выполняется меньше итераций, чем в методе сопряженных градиентов.

Метод сопряженных градиентов. Реализация метода сопряженных градиентов, в котором запрашивается меньше памяти, но выполняется больше итераций, чем в методе Ньютона. Данный метод следует использовать, если задача достаточно велика и необходимо экономить память, а также если итерации дают слишком малое отличие в последовательных приближениях.

Загрузить модель

Служит для отображения на экране диалогового окна Загрузить модель, в котором можно задать ссылку на область ячеек, содержащих загружаемую модель.

Сохранить модель

Служит для отображения на экране диалогового окна Сохранить модель, в котором можно задать ссылку на область ячеек, предназначенную для хранения модели оптимизации. Данный вариант предусмотрен для хранения на листе более одной модели оптимизации — первая модель сохраняется автоматически.



Тема 3.2 Графическая модель задач линейного программирования

Графическим методом можно решать в основном, задачи линейного программирования, имеющие две переменные.

В случае трех переменных графический метод становится менее наглядным, а при большем числе переменных – невозможным.

Решим графическим методом задачу линейного программирования с двумя переменными:

f = x1 – 3x2 min

10x1 + 3x2 ≥ 30

1 + х2 3

    • x1 + x2 ≤ 4

x1 + x2 ≤ 10

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Начнем решение задачи с построения области ее допустимых решений.

В первую очередь отобразим в прямоугольной системе координат условия неотрицательности переменных.

В двумерном пространстве уравнению соответствует прямая, а неравенству – плоскость, лежащая по одну сторону от прямой.

Построим прямые х1 = 0, х2 = 0, которые лежат на границах полуплоскостей и совпадают с осями координат.

Полуплоскости х1> 0, х2>0 лежат соответственно справа от оси ОХ2 и выше оси ОХ1.

Множество точек, удовлетворяющих одновременно неравенствам х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, представляет собой пересечение построенных плоскостей вместе с границами прямых и совпадают с точкой первой четверти.

Теперь рассмотрим остальные ограничения.

Построим по порядку прямые:

10х1 + 3х2 = 30 (I)

1 + х2 = 3 (II)

х1 – х2 = 4 (III)

х1 + х2 = 10 (IV)

Определим, с какой стороны от этих прямых лежат полуплоскости, точки которых удовлетворяют соответственно строгим неравенствам:

10х1 + 3х2 > 30

1 + х2 > 3

х1 – х2 < 4

х1 + х2 < 10

Сторона, в которой располагается полуплоскость от прямой, указывается стрелками.

Убедиться в том, с какой стороны от прямой лежит полуплоскость, точки которой удовлетворяют заданному неравенству, можно путем подстановки координат точек одной или другой полуплоскости в неравенство.

Когда прямая, ограничивающая полуплоскость не проходит через начало координат, удобнее всего подставлять точку (0, 0).

Если координаты точки удовлетворяют неравенству, то эта точка лежит в полуплоскости, соответствующей данному неравенству. В противном случае неравенству будет соответствовать другая полуплоскость.

Есть и другой способ определения полуплоскости. Если коэффициент при х2 в ограничении – положительный, то неравенству «>» соответствует полуплоскость, лежащая выше граничной прямой, а неравенству «<» - полуплоскость, лежащая ниже граничной прямой. Если коэффициент при х2 в ограничении – отрицательный, то наоборот.

Например, неравенству х1 – х2 < 4 соответствует полуплоскость, лежащая выше прямой х1 – х2 = 4 (прямая III), а неравенству х1 + х2 < 10 соответствует полуплоскость, лежащая ниже прямой х1 + х2 = 10 (прямая IV).

Аналогично неравенству 10х1 + 3х2 > 30 соответствует полуплоскость, лежащая выше прямой 10х1 + 3х2 = 30 (прямая I), а неравенству -х1 + х2 > 3 соответствует полуплоскость, лежащая ниже прямой II: - х1 + х2 > 3.

Область определения будет представлять собой пересечение всех построенных полуплоскостей – многоугольник ABCDE. Каждая точка этого многоугольника, включая и точки на его границах, будет удовлетворять ограничениям, заданным в условиях задачи.

hello_html_1ebc291a.jpg

I прямая: 10х1 + 3х2 = 30

проходит через точки:

х1 = 0 2 = 30 х2 = 10 (0; 10) и

х2 = 0 10х1 = 30 х1 = 3 (3; 0)

I прямая пересекает координат оси в точках: (0; 10) и (3; 0)

II прямая: - х1 + х2 = 3

проходит через точки:

х1 = 0 х2 = 3 (0; 3) и

х2 = 0 х1 = -3 (-3; 0)

II прямая пересекает координат оси в точках: (0;3) и (-3; 0)

III прямая: х1 – х2 = 4

проходит через точки:

х1 = 0 х2 = - 4 (0; -4) и

х2 = 0 х1 = 4 (4; 0)

III прямая пересекает координат оси в точках: (0;-4) и (4; 0)

IV прямая: х1 + х2 = 10

проходит через точки:

х1 = 0 х2 = 10 (0; 10) и

х2 = 0 х1 = 10 (10; 0)

IV прямая пересекает координат оси в точках: (0;10) и (10; 0)

Следующим этапом построим целевую функцию, присвоим ей назначение = 0 и построим прямую х1 – 3х2 = 0.

Прямая проходит через точки (3; 1) и (0; 0)

Прямая х1 – 3х2 = 0 проходит через начало координат. Ее можно построить и следующим образом.

Легко заметить, что в левой части стоит скалярное произведение векторов hello_html_59d10189.gif= (1; 3) и hello_html_5e61a38e.gif= (х1; х2). Если скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Построим вектор hello_html_59d10189.gif (он проходит через начало координат и точку (1; -3)).

Перпендикулярно ему проведем прямую. Это и будет прямая х1 – 3х2 = 0

Вектор hello_html_59d10189.gif всегда показывает направление возрастания значения целевой функции, а противоположный ему вектор (-hello_html_59d10189.gif) – направление убывания целевой функции.

Если передвигать прямую (х1 – 3х2 = 0) по области определения параллельно самой себе в направлении вектора hello_html_59d10189.gif, то значения целевой функции будут возрастать.

Передвижение в направлении вектора (-hello_html_59d10189.gif) дает убывание значения целевой функции. Передвижение на графике прямой равносильно изменению значения в уравнении х1 – 3х2=b.

Каждому значению b соответствует новая прямая. Получаемые прямые параллельны между собой и называются линиями уровня. Особенность линии уровня состоит в том, что целевая функция принимает на ней одинаковые значения.

Целевая функция достигает своего минимального значения в точке В многоугольника, а максимального – в точке D.

Итак, оптимальному решению задачи соответствует точка В, которая лежит на пересечении прямых II и IV, т.е. для определения координат точки В решим систему:


-hello_html_m75e445b2.gif х1 + х2 = 3 (II)

х1 + х2 = 10 (IV)


х1 = х2 – 3 х2 – 3 + х2 = 10 2 = 13 х2 = 6hello_html_231d22ba.gif;

х1 = 3hello_html_231d22ba.gif

f min = 3hello_html_231d22ba.gif - 3*hello_html_1584d8b3.gif = -16

Ответ: f min = -16 при х1 = 3hello_html_231d22ba.gif, х2 = 6hello_html_231d22ba.gif.


Тема 3.3 Свойства решений задачи линейного программирования

Все допустимые планы задачи ЛП образуют так называемую область определения задачи.

Примем без доказательства следующую теорему:hello_html_m5005c239.gif

Т. Область определения задачи линейного программирования представляет собой выпуклое множество


Определение 1. Множество называется выпуклым, если ему вместе с двумя производными точками принадлежит и прямолинейный отрезок, их соединяющий.

Например, множество планов разобранной нами задачи – ABCDE является выпуклым. Множество на этом рисунке:

Выпуклым не является












Определение 2. Множество называется замкнутым, если ему принадлежат все граничные точки.

Замкнутое множество может быть ограниченным и неограниченным.

hello_html_578a0951.jpg

Ограниченное замкнутое множество

Неограниченное замкнутое множество

Множество планов задачи линейного программирования представляет собой замкнутый выпуклый многогранник, вершины которого являются его угловыми точками.

Прямая, плоскость, полуплоскость, пространство, полупространство угловых точек не имеют.hello_html_m2cd72260.gif

Т. Целевая функция задачи линейного программирования достигает своего экстремального значения в угловой точке многогранника решений. Если целевая функция принимает экстремальное значение более чем в одной угловой точке, то она достигает того же значения в точке, лежащей на соединяющем их отрезке.

В двумерном пространстве утверждение второй части теоремы будет иметь место, если f = с1х1 + с2х2 = 0 при передвижении по области определения в необходимом направлении совпадет с одной из граничных прямых области. Такое совпадение возможно только при равенстве угловых коэффициентов данных прямых.

Если целевая функция достигает своего экстремального значения в одной угловой точке, то задача имеет единственное оптимальное решение. Если более чем в одной точке – то задача имеет бесконечное число оптимальных решений.

Множество планов задачи линейного программирования может быть:

  1. замкнутым ограниченным – в этом случае задача обязательно имеет одно или бесконечное число оптимальных решений;

  2. замкнутым неограниченным – в этом случае задача имеет одно или бесконечное число решений, либо вообще не имеет оптимального решения, когда в силу неограниченности множества значение целевой функции неограниченно.

  3. пустым – в этом случае задача допустимых решений не имеет, т.к. не существует точек, удовлетворяющих всем ограничениям одновременно.

Кроме того, область определения задачи линейного программирования может быть представлена точкой, отрезком, лучом.



РАЗДЕЛ 4 ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ



Тема 4.1 Двойственные задачи

План:

4.1.1. Двойственные задачи линейного программирования (ЛП)

4.1.2 Экономический смысл переменных двойственных задач


4.1.1. Двойственные задачи линейного программирования (ЛП)

Каждой задаче ЛП, которую назовем исходной, можно поставить в соответствие некоторую другую задачу ЛП, называемую двойственной. Вместе взятые, эти задачи образуют пару взаимно-двойственных задач и любую из них можно рассматривать как исходную.

Решая одну из этих задач, можно получить решение и другой задачи.

Двойственная задача – это вспомогательная задача ЛП, получаемая с помощью определенных правил непосредственно из условий исходной.

Правила построения двойственных задач:

  1. Если целевая функция f в исходной задаче максимизируется, то целевая функция z двойственной задачи минимизируется, и наоборот.

  2. Количество ограничений (m) исходной задачи равно количеству переменных двойственной, а количество переменных (n) исходной равно количеству ограничений двойственной. Переменные двойственной задачи обозначим через yi (i=1,…,m)

  3. Поскольку переменные исходной задачи связаны с ограничениями двойственной, каждой переменной xj 0 соответствует в двойственной задаче ограничение вида (если zmax) или (если zmin), и наоборот.

  4. Каждой переменной xj не ограниченной по знаку, соответствует ограничение вида = двойственной задачи, и наоборот.

  5. Свободные члены ограничений исходной задачи bi (i=1,…,m) в двойственной задаче являются коэффициентами при переменных yi (i=1,…,m) в целевой функции, а коэффициенты cj (j=1,…,n) при переменных xj (j=1,…,n) в целевой функции исходной задачи являются свободными членами ограничений двойственной.

  6. Матрица А коэффициентов при неизвестных в ограничениях исходной задачи в двойственной транспонируется.

Рассмотрим в общем виде одну из частных задач ЛП, которую будем считать исходной:

f=c1x1+c2x2+ . . . cnxn max

a11x1+a12x2+ . . . +a1nxn b1

a21x1+a22x2+ . . . +a2nxn b2

. . . . .. . . . . . . . . . . . . .

am1x1+am2x2+ . . . +amnxn bm


Двойственная к этой задаче будет иметь вид:

z=b1y1+b2y2+ . . . +bmym min

a11y1+a21y2+ . . . +am1yn c1

a12y1+a22y2+ . . . +am2yn c2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a11y1+a21y2+ . . . +am1yn cn

Если применить правила построения двойственных задач к двойственной задаче, то получим исходную задачу. Таким образом, исходная задача и двойственная к ней образуют пару взаимно-двойственных задач.

Пара взаимно двойственных задач является симметричной, если отсутствует ограничение вида «=».


4.1.2 Экономический смысл переменных двойственных задач

Рассмотрим задачу об использовании ресурсов, сущность которой состоит в следующем. Предприятию необходимо изготовить два вида продукции: Р1 и Р2 с использованием трех видов ресурсов: R1, R2, R3, количество которых ограничено.

Известны:

- запас ресурса каждого вида на предприятии (R1-36, R2-20, R3-40) – количество каждого вида ресурса, расходуемое на изготовление единицы продукции;

- доход от реализации каждого вида продукции (Р1 – 12 у.д.е. и Р2 – 15 у.д.е.)

Для изготовления единицы продукции вида Р1 требуется следующее количество ресурсов: R1 – 6, R2 – 4, R3 – 4 единицы ресурсов.

Для изготовления единицы продукции вида Р2 требуется следующее количество ресурсов: R1 – 6, R2 – 2, R3 – 8 единиц ресурсов.

Требуется определить количество продукции каждого вида (x1 и x2), которое обеспечит предприятию максимальный доход.

Математическая модель этой задачи имеет вид:

f = 12x1 + 15x2 max

hello_html_m7cf52f4d.gif

x1 0, x2 0

Предположим теперь, что по какой-то причине предприятие отказывается от производства данной продукции и решает продать имеющиеся ресурсы.

Естественно, что предприятие желает получить за эти ресурсы не меньше той суммы, которую оно получило бы при продаже готовой продукции, а покупатель ресурсов заинтересован уплатить за них как можно меньше.

Встает вопрос, по какой же цене продавать ресурсы?

Введем следующие обозначения:

y1 – цена единицы ресурса R1;

y2 – цена единицы ресурса R2;

y3 – цена единицы ресурса R3.

Цель, которую ставит покупатель ресурсов, отразится в целевой функции задачи.

Её смысл состоит в минимизации стоимости всех видов ресурсов:

z = 36y1 + 20y2 + 40y3 min.

В ограничениях задачи необходимо отразить тот факт, что предприятие должно получить в случае продажи ресурсов не меньше той суммы, которую бы оно получило от реализации продукции:

6y1 + 4y2 + 4y3 12,

6y1 + 2y2 + 8y3 15.

Смысл первого ограничения – цена ресурсов, идущих на изготовление единицы продукции Р1 (левая часть неравенства), должна быть не меньше дохода (12 у.д.е.) от реализации продукции Р1.

Второе ограничение имеет аналогичный смысл только для единицы продукции Р2.

И последнее, цена единицы сырья должна быть величиной не отрицательной, т.е. y1 0, y2 0, y3 0.

В целом данная задача может быть представлена моделью:

z = 36y1 + 20y2 + 40y3 min.

6y1 + 4y2 + 4y3 12,

6y1 + 2y2 + 8y3 15,

y1 0, y2 0, y3 0.

Получили пару взаимно-двойственных задач (симметричных).

Экономический смысл переменных двойственных задач состоит в относительной оценке ресурсов данного предприятия. Оценки являются относительными, т.к. одни и те же ресурсы для разных предприятий составляют различную ценность.

С двойственными оценками часто приходится встречаться в быту, например, если вы покупаете в столовой или кафе сырые продукты (куры, мясо, рыба и т.п.) или в мастерской по ремонту очков – стёкла, то цена этих продуктов и стёкол будет несколько выше цены, за которую эти товары можно купить в магазине.

Каждое предприятие старается получить за данные товары не меньше той суммы, которую бы оно получило при изготовлении блюд из этих продуктов и вставке стёкол в оправу.

С математической точки зрения за исходную и двойственную может быть принята любая из пары взаимно-двойственных задач, но на практике обычно считаются двойственными те задачи, в которых определяются значения цен и других стоимостных показателей.


Тема 4.2 Модель транспортной задачи

Математическая постановка задачи

Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из m пунктов отправления в n пунктов назначения.

При этом в качестве критерия оптимальности обычно берется либо минимальное время перевозок груза, либо минимальная стоимость перевозок.

Рассмотрим транспортную задачу, в качестве критерия оптимальности которой взята минимальная стоимость перевозки всего груза.

Введем обозначение:

Cij - тарифы перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения;

ai – запасы груза в i-м пункте отправления;

bj – потребности в грузе в j-м пункте назначения;

xij – количество единиц груза, перевезенного из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения.

Тогда математическая постановка транспортной задачи состоит в определении минимального значения функции

hello_html_m497708f1.gif(1) при условиях:

hello_html_3b498fc.gif(2)

hello_html_m7b13b26f.gif (3)

hello_html_m49002d9a.gif(4)

Всякое неотрицательное решение систем линейных уравнений (2) и (3), определяемое матрицей х=(хij), называется планом транспортной задачи.

План x*=(x*ij), при котором функция (1) принимает свое минимальное значение, называется оптимальным планом транспортной задачи.

Общее наличие груза у поставщиков равно hello_html_2b40d79e.gif, а общая потребность в грузе в пунктах назначения hello_html_1f54b927.gif.

Если hello_html_2b40d79e.gif=hello_html_1f54b927.gif (4), то модель транспортной задачи называется закрытой (сбалансированной), в противном случае – открытой.

Пример транспортной задачи

Предполагается, что с двух складов развозят товары по трем магазинам, стоимости перевозок единицы продукции заданы в виде таблицы (руб.)

Магазин № 1

Магазин № 2

Магазин № 3

Склад № 1

10

18

15

Склад № 2

16

20

10


Постройте транспортную задачу, если на 1-м складе хранится 120 ед. продукции, на 2-м – 160 единиц, в 1-й магазин требуется доставить 70 единиц продукции, во 2-й – 80, в 3-й – 100 единиц продукции соответственно.

Математическая модель

1) Цель задачи – так составить план перевозок, чтобы минимизировать общую стоимость перевозок

2) Количество переменных равно произведению числа складов на число магазинов.

С1 – количество единиц продукции, доставленной с 1-го склада в 1-й магазин

С2 – количество единиц продукции, доставленной с 1-го склада во 2-й магазин

С3 – количество единиц продукции, доставленной с 1-го склада в 3-й магазин

С4 – количество единиц продукции, доставленной со 2-го склада в 1-й магазин

С5 – количество единиц продукции, доставленной со 2-го склада во 2-й магазин

С6 – количество единиц продукции, доставленной со 2-го склада в 3-й магазин

3) Выразим в виде целевой функции общую стоимость перевозок: f(C1,C2,C3,C4,C5,C6)=10*С1+18*С2+15*С3+16*С4+20*С5+10*С6 min

4) Количество продукции на складах = 120+160 = 280 единиц.

Количество продукции, которую необходимо доставить = 70+80+100=250.

280 > 250, следовательно данная задача – открытая.


Составим ограничения по складам, исходя из того, что со склада нельзя забрать больше продукции, чем там находится:

С1 + С2 + С3 120

С4 + С5 + С6 160

Составим ограничения по магазинам, исходя из того, что в магазин нельзя привести продукции меньше, чем указано в заявке:

С1 + С4 70

С2 + С5 80

С3 + С6 100

Исходя из здравого смысла:

С1 0, С2 0, С3 0, С4 0, С5 0, С6 0

С1 – целое число, С2 – целое число, С3 – целое число, С4 – целое число,

С5 – целое число, С6 – целое число,


Тема 4.3 Задачи о назначениях

Задача о назначениях:

Пусть имеется n работников и n рабочих мест (работ).

Известно время, которое затрачивает каждый работник на выполнение каждого вида работ.

Требуется так распределить работников по рабочим местам, чтобы каждый работник был назначен на одну работу, каждая работа выполнялась одним работником при минимальном времени выполнения всеми работниками всех работ.

Сотрудники

Задания

Т1

Т2

Т3

Т4

Т5

М1

10

5

9

18

11

М2

13

19

6

12

14

М3

3

2

4

4

5

М4

18

9

12

17

15

М5

11

6

14

19

10

Составим математическую модель для данной задачи:

1. Введем переменные С1 : С25. Каждая переменная соответствует определенной клетке в таблице и принимает значение = 1, если данный работник выполняет данную работу, или = 0 если данный работник не выполняет данную работу.

Каждая переменная исполняет роль признака, выполняет данный работник указанную работу или нет (1 – выполняет, 0 – не выполняет).

Количество переменных в задаче о назначениях, как и в транспортной задаче, определяется произведением числа строк в таблице на число столбцов.

С1 – признак того, что М1 выполняет задание Т1;

С2 – признак того, что М1 выполняет задание Т2;

С3 – признак того, что М1 выполняет задание Т3;

С4 – признак того, что М1 выполняет задание Т4;

С5 – признак того, что М1 выполняет задание Т5;

С6 – признак того, что М2 выполняет задание Т1;

С7 – признак того, что М2 выполняет задание Т2;

С8 – признак того, что М2 выполняет задание Т3;

С9 – признак того, что М2 выполняет задание Т4;

С10 - признак того, что М2 выполняет задание Т5;

С11 - признак того, что М3 выполняет задание Т1;

С12 - признак того, что М3 выполняет задание Т2;

С13 - признак того, что М3 выполняет задание Т3;

С14 - признак того, что М3 выполняет задание Т4;

С15 - признак того, что М3 выполняет задание Т5;

С16 - признак того, что М4 выполняет задание Т1;

С17 - признак того, что М4 выполняет задание Т2;

С18 - признак того, что М4 выполняет задание Т3;

С19 - признак того, что М4 выполняет задание Т4;

С20 - признак того, что М4 выполняет задание Т5;

С21 - признак того, что М5 выполняет задание Т1;

С22 - признак того, что М5 выполняет задание Т2;

С23 - признак того, что М5 выполняет задание Т3;

С24 - признак того, что М5 выполняет задание Т4;

С25 - признак того, что М5 выполняет задание Т5.


2. Сформулируем цель задачи и составим целевую функцию:

F = 10*C1+5*C2+9*С3+18*С4+11*С5+13*С6+19*С7+6*С8+12*С9+14*С10+3*С11+2*С12+

4*С13+4*С14+5*С15+18*С16+9*С17+12*С18+17*С19+15*С20+11*С21+6*С22+

14*С23+19*С24+10*С25

Целевая функция определяет время, затрачиваемое всеми работниками на выполнение всех работ. Это время должно быть минимальным.

(Если в условии задачи указана производительность труда каждого рабочего, то постановка задачи будет отличаться тем, что целевая функция будет выражать общую суммарную производительность всех рабочих и, естественно, что производительность должна быть максимальной).

3. Количество ограничений – сумма числа строк и числа столбцов в таблице.

Получим ограничения исходя из условий, гарантирующих прикрепление каждого исполнителя к одной работе, записываются в виде:

C1+C2+C3+C4+C5=1

C6+C7+C8+C9+C10=1

C11+C12+C13+C14+C15=1

C16+C17+C18+C19+C20=1

C21+C22+C23+C24+C25=1

Условия, гарантирующие закрепление за каждой работой одного исполнителя, имеют вид:

C1+C6+C11+C16+C21=1

C2+C7+C12+C17+C22=1

C3+C8+C13+C18+C23=1

C4+C9+C14+C19+C24=1

C5+C10+C15+C20+C25=1

Условия того, что каждая переменная является двоичным признаком выполнения данной работы данным исполнителем (1 – выполняется, 0 – не выполняется) выразим в виде:

С1 : С25 – двоичные числа.

В качестве изменяемых ячеек указывают адреса ячеек, входящих в формулу целевой функции.


ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА


1. Абчук В. А. Экономико-математические методы: элементарная математика и логика. Методы исследования операций / В. А. Абчук.– СПб.: Союз, 1999. С. 14 – 30


2. Бережная Е. В. Математические методы моделирования экономических систем : учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. / Е. В. Бережная, В. И. Бережной. — М.: Финансы и статистика, 2006. – С. 432


3. Власов М. П. Моделирование экономических процессов : учебное пособие; М. П. Власов, П. Д. Шимко. - Ростов н/Д: «Феникс», 2005. – С. 409


4. Глушаков, С. В. Microsoft Excel 2007. Лучший самоучитель. – изд. 2-е, доп. и переработ / С. В. Глушаков, А. С. Сурядный– М.: АСТ: АСТ МОСКВА, 2008. – С. 416 – (Учебный курс).


5. Грицюк С. Н. Математические методы и модели в экономике: учебник / С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко. - Ростов н/Д : Феникс, 2007. – С. 348


6. Елиферов В. Г. Процессный подход к управлению. Моделирование бизнес-процессов : 7 изд / В. Г. Елиферов, В. В. Репин.; РИА Стандарты и качество, 2009 - 408 с.


7. Экономическая информатика / под ред. В. П. Косарева. - М.: Финансы и статистика, 2004. С. 292-311


8. Куликов Ю. Г. Экономико-математические методы и модели : учебное пособие для практических занятий (раздел «Линейное программирование») / Ю. Г. Куликов. - М. : Московский психолого-социальный институт; Воронеж: Издательство НПО «МОДЭК», 2000 г. (Серия «Библиотека экономиста») С. 25-50


9. Малик Г. С. Основы экономики и математические методы в планировании : Учебник для техникумов / Г. С. Малик. - М.: Высшая школа, 1988. С. 16-29; С. 112-117


10. Уэйн Л. Винстон. Microsoft Excel: анализ данных и построение бизнес - моделей/ Пер. с англ. / Уэйн Л. Винстон. – М.: Издательско–торговый дом «Русская редакция», 2005. – С. 576 : ил. С. 116-121, 167-198, 285-300,378-388.


11. Харвей, Грег. Microsoft Office Excel 2007 для «чайников». : Пер. с англ. / Харвей, Грег. – М. : ООО «И.Д. Вильямс», 2007. – С. 336. + С. 8 цв. ил.


12. Холи Р. Excel, Трюки / Р. Холи, Д. Холи. – СПб.: Питер, 2008. – С. 287 : ил.


13. Цисарь И. Ф. Лабораторные работы на персональном компьютере : учебное пособие для студентов экономических специальностей / И. Ф. Цисарь. – М.: Издательство «Экзамен», 2002. С. 36-52; С. 56-66; С. 112-119


14. Шикин Е.В. Математические методы и модели в управлении. – Е. В. Шикин, А. Г. Чхартишвили. - М., Дело, 2000. [3] С. 190-208; С. 266-292



Автор
Дата добавления 20.10.2016
Раздел Другое
Подраздел Конспекты
Просмотров119
Номер материала ДБ-277679
Получить свидетельство о публикации

"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх