Логотип Инфоурока

Получите 30₽ за публикацию своей разработки в библиотеке «Инфоурок»

Добавить материал

и получить бесплатное свидетельство о размещении материала на сайте infourok.ru

Инфоурок Математика КонспектыКонспекты "Системы линейных уравнений"

Конспекты "Системы линейных уравнений"

Скачать материал
Скачать тест к этому уроку
библиотека
материалов

Системы линейных уравнений



























Содержание




Введение


Гипотеза

СЛУ можно использовать в экономике для решения экономических задач

1 Метод нахождения неотрицательного решения СЛУ

    1. Что такое СЛУ

Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени. То есть система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре  это система уравнений видаhello_html_6f2d508b.png

Здесь {\displaystyle m}m — количество уравнений, а {\displaystyle n}n — количество переменных, {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}— неизвестные, которые надо определить, коэффициенты {\displaystyle a_{11},a_{12},\dots ,a_{mn}} и свободные члены {\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{m}} предполагаются известными. Индексы коэффициентов в системах линейных уравнений ({\displaystyle a_{ij}}) формируются по следующему соглашению: первый индекс ({\displaystyle i}i) обозначает номер уравнения, второй ({\displaystyle j}j) — номер переменной, при которой стоит этот коэффициент.

Система называется , если все её свободные члены равны нулю ({\displaystyle b_{1}=b_{2}=\dots b_{m}=0}), иначе — неоднородной. hello_html_17ce681.png

Квадратная система линейных уравнений — система, у которой количество уравнений совпадает с числом неизвестных ({\displaystyle m=n}m=n). Система, у которой число неизвестных больше числа уравнений является недоопределённой, такие системы линейных алгебраических уравнений также называются прямоугольными. Если уравнений больше, чем неизвестных, то система является переопределённой.



Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Решения считаются различными, если хотя бы одно из значений переменных не совпадает.

Система hello_html_m62c4b0b3.pngявляется совместной, так как она имеет, по крайней мере, одно решение hello_html_2ce69335.png, hello_html_m3f9a8c1f.png

Совместная система с единственным решением называется определённой, при наличии более одного решения — неопределённой.

Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных.

Равносильными называются две системы уравнений, если они имеют одно и тоже множество решений.

    1. СЛУ в алгебре и геометрии

Лине́йная а́лгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений, среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы, сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы, тензоры и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые относятся к полилинейной алгебре.

Линейная алгебра обобщена средствами общей алгебры, в частности, современное определение линейного (векторного) пространства опирается исключительно на абстрактные структуры, а многие результаты линейной алгебры обобщены на произвольные модули над кольцом. Более того, методы линейной алгебры широко используются и в других разделах общей алгебры, в частности, нередко применяется такой приём, как сведение абстрактных структур к линейным и изучение их относительно простыми и хорошо проработанными средствами линейной алгебры, так, например, реализуется в теории представлений групп. Функциональный анализ возник как применение методов математического анализа и линейной алгебры к бесконечномерным линейным пространствам, и во многом базируется на методах линейной алгебры и в дальнейших своих обобщениях. Также линейная алгебра нашла широкое применение в многочисленных приложениях (в том числе, в линейном программировании, в эконометрике) и естественных науках (например, в квантовой механике).


Слу в геометрии

hello_html_71eeaa97.gif                                      (3.4)

 

Каждое уравнение описывает прямую на плоскости; координаты точки пересечения указанных прямых являются решением системы (3.4).

Возможны три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости:

1)     прямые пересекаются, т.е. коэффициенты системы (3.4) не пропорциональны:

hello_html_5c85edf6.gif;                                             (3.5)

 

2)     прямые параллельны, т.е. коэффициенты системы (3.4) подчиняются условиям

hello_html_198c9795.gif;                                        (3.6)

 

3)     прямые совпадают, т.е. все коэффициенты пропорциональны

 

hello_html_m444775d9.gif.                                      (3.7)

 

Запишем определитель системы (3.4)

 

hello_html_140f25ed.gif.

 

Лишь при выполнении условия (3.5) определитель hello_html_m71004de.gif не равен нулю и система имеет единственное решение (прямые пересекаются в одной точке). В случаях отсутствия решений (прямые параллельны) или при бесконечном множестве решений (прямые совпадают) выполняются соответственно соотношения (3.6) и (3.7), из которых получаем hello_html_mf6077d8.gif.



    1. Методы нахождения неотрицательных (опорных) решений СЛУ


 Совокупность чисел альфа, взятых в определенном порядке, называют решением слау, если они будучи подставлены в уравнения системы на место соответствующих неизвестных, обращают все уравнения в тождества. Решение называется неотрицательным, если все его компоненты альфа неотрицательны. 

Можно считать, что правые части всех уравнений неотрицательны. Последовательно исключая неизвестные, можно привести систему к предпочитаемому виду. Если после этого правые части всех уравнений полученных систем окажутся неотрицательными, то соответствующие базисные решения тоже будут неотрицательными. Следовательно, чтобы получить неотрицательные базисные решения слау, надо сделать так, чтобы свободные члены всех уравнений на всех этапах процесса исключения оставались неотрицательными. Для этого достаточно выбирать разрешающий элемент по определенным правилам. При переходе системы в другую систему используем формулы исключения: hello_html_7f60ee46.png,где r – номер разрешающего уравнения, s – номер разрешающей неизвестной, i не =r. hello_html_m30460082.png,i=r. hello_html_1f24ce09.png.hello_html_m5fc9183b.png. А – матрица коэффициентов, В – матрица свободных членов. Так как правые части уравнений должны быть неотрицательны и отбросив случай, когда правые части не изменяются, замечаем, что разрешающий элемент должен быть положительным: ars>0, т.е. в качестве разрешающей можно взять только такую неизвестную, при которой хотя бы в одном уравнении имеется положительный коэффициент. После должно быть выбрано разрешающее уравнение, исходя из условия: hello_html_1f24ce09.png>0, откуда следует:hello_html_m389f1eee.png. Правила выбора разрешающего элемента. В качестве разрешающей неизвестной можно принять любую неизвестную  при которой есть хотя бы один положительный коэффициент, а затем в качестве разрешающего уравнения следует взять то уравнение, которое соответствует наименьшему отношению свободных членов к соответствующим положительным коэффициентам при выбранной неизвестой в этих уравнениях. Если преобразования слау осуществляются методом Жордана-Гаусса с учетом правила выбора разрешающего элемента, то они называются симплексными, т.е. приводящими гарантированно к неотрицательному решению.

Вырожденная слау – система, у которой в каком-либо предпочитаемом виде хотя бы один свободный член = 0, у нее отношение b\а может быть одинаково в нескольких уравнениях.

Система не будет иметь ни одного неотрицательного решения, если в процессе симплексных преобразований в ней появится уравнение, в котором свободный член строго положителен, а среди коэффициентов при неизвестных нет ни одного положительного.

Если правые части всех уравнений полученных систем окажутся неотрицательными ,то соответственно базисные решения также будут неотрицательными. =>чтобы получить неотрицательные базисные решения СЛУ ,надо научиться вести процесс исключения неизвестных так, чтобы свободные члены всех уравнений на всех этапах этого процесса оставались неотрицательными. Для этого следует руководствоваться след правилам: 1)если в СЛАУ им отрицательные свободные члены, то все такие уравнения необходимы *(-1); 2)в качестве разрешающей принимать ту переменную, коэффициента при кот хотя бы в одном уравнении системы положителен; 3)для нахождения разрешающего уравнения находят тип отношений столбца свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца, в этом сл k-ое уравнение будет разрешающим

min(bi/aij>o)=bk/aij

Если хотя бы в одном из уравнений системы свободный член положителен, а все коэффициенты при неизвестных<0,то система неотрицательных решений не имеет. Преобразования системы в соответствии с этими правилами названия симплекс преобразованиями системы. Если указанный min достигается для нескольких уравнений системы, то такая система называются вырожденной. Необходим условием вырожденной системы является то, что свободный член хотя бы одного уровнения системы=0.

Опорные решения системы линейных уравнений

Применение математических методов в экономике приводит к необходимости отыскания неотрицательных решений системы  линейных уравнений, т.е. таких,  в которых hello_html_416e2659.gif.

При этом особое значение имеют неотрицательные базисные решения, которые принято называть опорными решениями.

Таким образом, у опорных решений все  базисные неизвестные должны иметь только неотрицательные значения.

Отсюда естественным образом получается один из способов отыскания опорных решений системы: из всех базисных решений выбрать одно, несколько или все (сколько требуется по условию задачи) неотрицательные решения (конечно, если они существуют в нужном количестве или вообще существуют).

Отсюда же видно, что число опорных решений системы  может быть значительно меньше числа базисных решений, т.е. пытаться предварительно отыскать все базисные решения – не слишком благодарная работа. Еще раз отметим, что в базисном решении системы значения базисных неизвестных равны свободным членам системы,  приведенной к единичному базису, и для того, чтобы базисное решение оказалось опорным, необходимо и достаточно, чтобы эти свободные члены были неотрицательными.

Поэтому задачу отыскания опорных решений системы естественно начать с того, чтобы сделать  все ее свободные члены неотрицательными (для этого каждое уравнение с отрицательным свободным членом достаточно умножить на (-1)).

Далее можно воспользоваться тем же алгоритмом приведения системы к единичному базису, что и при получении базисных решений, только его следует дополнить специальным правилом выбора ключевого элемента: ключевой столбец (допустим р-й) выбирается так, чтобы он имел хотя бы один положительный элемент hello_html_m525e8ac.gif, и составляются отношения hello_html_m10f484ca.gif свободных членов hello_html_m2434593c.gif  к соответствующим положительным элементам ключевого столбца; то уравнение (пусть q-е), для которого указанное отношение оказывается наименьшим, выбирается в качестве ключевого (ключевой строки).

Таким образомhello_html_m4c9f4323.gif (1)

После получения исходного (первого) опорного решения системы возникает вторая задача, как последовательно перейти от него к следующему, тоже опорному решению. Оказывается, для этого можно использовать алгоритм преобразования однократного замещения, дополненный этим же правилом (1) выбора ключевого элемента.

Преобразования системы с неотрицательными свободными членами к единичному базису, а также преобразования однократного замещения (и те, и другие), при которых выбор ключевого элемента производится по указанному правилу (1), принято называть симплексными преобразованиями.

Для симплексных преобразований справедлива следующая теорема:

Если все свободные члены уравнений системы неотрицательны, то после симплексных преобразований системы они останутся неотрицательными

Сформулированная теорема подтверждает правило отыскания опорного решения методом Жордана-Гаусса, состоящее в соблюдении следующих условий:

1)     все свободные члены уравнений системы должны быть неотрицательными; если есть хотя бы один отрицательный свободный член, то соответствующее ему уравнение нужно умножить на (-1);

2)     в базис можно ввести только то неизвестное, у которого есть хотя бы один положительный коэффициент;

3)     если при неизвестной, вводимой в базис, имеются положительные коэффициенты в нескольких уравнениях, то неизвестная вводится в базис в том     уравнении, которому соответствует наименьшее отношение свободных членов к этим положительным коэффициентам.


    1. Примеры задач на нахождение неотрицательных (опорных) решений СЛУ

Пример 1. Найдите опорное решение системы уравнений


hello_html_m1828ae44.gif

Решение.

Так как во втором уравнении свободный член  hello_html_m2fec5caf.gif, умножим это уравнение на (-1). Заполним исходную таблицу Гаусса.



Все свободные члены положительные. При неизвестной hello_html_m16564f34.gif есть положительные коэффициенты, значит, можно ее ввести в базис. Поскольку положительные коэффициенты при hello_html_m16564f34.gif присутствуют во всех трех уравнениях, следует найти (согласно формуле (1)) минимальное отношение свободных членов к этим положительным коэффициентам, т.е. hello_html_m7fa772c7.gif.

Это минимальное отношение соответствует как первой, так и третьей строке, следовательно, hello_html_m16564f34.gifможно вводить в базис как в первом уравнении, так и в третьем. Введем hello_html_m16564f34.gif в базис в первом уравнении: ключевой элемент hello_html_m79dbe322.gif, ключевая строка первая, ключевой столбец первый.

Составляем таблицу Гаусса I итерации.

При неизвестной  hello_html_m40b2880f.gif  есть положительные коэффициенты в первом и во втором уравнениях, причем во втором уравнении нет базисной переменной. Но hello_html_m40b2880f.gifможно ввести в базис только в том случае, если минимальное отношение свободных членов к положительным коэффициентам соответствует второму уравнению.

Находим  hello_html_m624da9f2.gif.

Отсюда следует, что  hello_html_m72108ff2.gif можно ввести в базис во втором уравнении.

Составляем таблицу Гаусса II итерации.


Итак, система приведена к единичному базису. Выпишем общее решение системы

hello_html_m7c9974f9.gif

и опорное решение hello_html_m14664b.gif.

 

Ответ : hello_html_m14664b.gif.




Пример 2. Найдите опорное решение системы уравнений

hello_html_797f9e96.gif  .

 

Решение.

Так как hello_html_m5d41a0a8.gif, то в таблицу исходной системы запишем результат умножения первого уравнения на (1).

неизвестную hello_html_m16564f34.gif нельзя ввести в базис, не выводя из него hello_html_m72108ff2.gif, т.к. hello_html_126799ac.gif, что соответствует второму уравнению.

Точно  так же нельзя ввести в базис неизвестную hello_html_184ee2a0.gif,  не выводя из него hello_html_m72108ff2.gif, т.к. hello_html_126799ac.gif приходится на второе уравнение. У неизвестной hello_html_2c6a835f.gif единственный положительный коэффициент также приходится на второе уравнение. У неизвестной  hello_html_m40b2880f.gif все коэффициенты отрицательные.

Поэтому мы не можем получить опорное решение системы, вводя в базис первой неизвестную hello_html_m72108ff2.gif. Этот вывод можно было бы сделать быстрее, заметив, что в третьей строке при положительном свободном члене hello_html_m5c3ffde9.gif нет ни одного положительного коэффициента при неизвестных.

Попытаемся начать приведение системы к единичному базису с других неизвестных.

Для неизвестной  hello_html_m16564f34.gif:  hello_html_1cd249d9.gif, поэтому вводим  hello_html_m16564f34.gif  в базис во втором уравнении.


При этом исходная таблица имеет вид:

В третьей строке таблицы I итерации
опять нет ни одного положительного коэффициента при неизвестных (при положительном свободном члене). Поэтому мы не можем получить опорные решения, вводя в базис первой неизвестную  hello_html_m16564f34.gif.

Для неизвестной hello_html_2c6a835f.gifhello_html_m7774e6ea.gif, поэтому вводим  hello_html_2c6a835f.gif в базис во втором уравнении. При этом исходная таблица имеет вид:

Таблица I итерации выглядит так:

Теперь ни hello_html_m16564f34.gif, ни  hello_html_m72108ff2.gif, ни hello_html_2c6a835f.gif нельзя  ввести в базис, не выводя из него hello_html_184ee2a0.gif.      Остается  единственная возможность: ввести в базис  hello_html_m40b2880f.gif в первом уравнении. Получим таблицу II итерации:


 Теперь в базис можно ввести лишь неизвестную hello_html_m16564f34.gif, но только убрав из него hello_html_184ee2a0.gif (так как hello_html_m2a9707d3.gif приходится на второе уравнение).

Мы исчерпали все допустимые возможности  выбора первой базисной неизвестной (и других)  и не смогли получить опорного решения. Следовательно, мы доказали, что данная система опорных решений не имеет.

Ответ: система не имеет опорных решений.

Пример 3. Найдите опорное решение системы

hello_html_4639faf9.gif .

 

Решение.

Заполним исходную таблицу Гаусса.

При неизвестной  hello_html_184ee2a0.gif есть два положительных коэффициента и так как hello_html_m44bcb369.gif, то ввести  hello_html_184ee2a0.gif  в  базис можно как в первом, так и в третьем уравнении. Введем  hello_html_184ee2a0.gif  в базис в первом уравнении.

Получим таблицу I итерации:

Теперь в базис можно вводить неизвестные  hello_html_m16564f34.gif,hello_html_m72108ff2.gif, hello_html_m40b2880f.gif, hello_html_2c6a835f.gif и только в третьем уравнении  (hello_html_m235b7d46.gif). Введем в базис  hello_html_m16564f34.gif  и  заполним таблицу II итерации:

Здесь во втором (единственном неиспользованном уравнении) положительный коэффициент только при  hello_html_2c6a835f.gif, но hello_html_710f4de.gif приходится на уже использованное третье уравнение. Поэтому будем пробовать вводить в базис второй неизвестной одну из неизвестныхhello_html_m72108ff2.gif, hello_html_m40b2880f.gif и hello_html_2c6a835f.gif (по очереди) и заполнять новые таблицы I и II итерации.Начнем с неизвестной hello_html_m72108ff2.gif:

итерации

i

Базис

hello_html_m16564f34.gif

hello_html_m72108ff2.gif

hello_html_m40b2880f.gif

hello_html_184ee2a0.gif

hello_html_2c6a835f.gif

hello_html_m2434593c.gif

hello_html_m223a406d.gif

I

1

hello_html_184ee2a0.gif

-1

-2

-2

1

0

1

-3

2

 

1

-1

0

0

2

4

6

3

 

1

3

4

0

1

0

9

II

1

hello_html_184ee2a0.gif

-hello_html_5c6b91cd.gif

0

hello_html_m55e3ebe5.gif

1

hello_html_m55e3ebe5.gif

1

3

2

 

hello_html_m3691a23e.gif

0

hello_html_m3691a23e.gif

0

hello_html_m40bc531.gif

4

9

3

hello_html_m72108ff2.gif

hello_html_5c6b91cd.gif

1

hello_html_m3691a23e.gif

0

hello_html_5c6b91cd.gif

0

3

Опять возникла та же ситуация: вводить в базис можно  hello_html_m16564f34.gif, hello_html_m40b2880f.gif и hello_html_2c6a835f.gif , но только в уже использованном третьем уравнении.

Результат повторился бы, если  бы вторую неизвестную  вводили в базис hello_html_m40b2880f.gif или hello_html_2c6a835f.gif (читателю предоставляется возможность убедиться в этом самостоятельно).

Возникает предположение об отсутствии опорных решений у данной системы. И это действительно лишь предположение: в отличие от примера 2 мы рассмотрели не все допустимые возможности выбора базисных неизвестных (ведь первой неизвестной могла быть выбрана не только hello_html_184ee2a0.gif, а и любая из остальных). Конечно, можно было бы продолжить процесс симплексных преобразований исходной системы.

Но мы поступим иначе. Обратим внимание на третье уравнение системы, полученной после первого симплексного преобразования:

hello_html_m3a56fae0.gif.

Все его коэффициенты неотрицательны, а свободный член  равен нулю. Поэтому, если система и имеет хотя бы одно неотрицательное решение, то в нем обязательно должно  быть hello_html_m30a3a9d4.gif и hello_html_m6a037135.gif. В противном случае (если  хотя бы одна из перечисленных переменных отлична от нуля, т.е. положительна) равенство невозможно (его левая часть будет положительной, а правая равна 0).

Остается проверить, имеет ли система неотрицательные решения, у которых

hello_html_m456bc59f.gif.

Подставляя указанные значения неизвестных в исходную систему, получим систему трех уравнений относительно неизвестной  hello_html_184ee2a0.gif:

hello_html_m24e82532.gif hello_html_2320fdfd.gif

Она, очевидно, несовместна. Следовательно, заданная система действительно не имеет опорных решений.

Ответ: система не имеет опорных решений.

 

Пример 4. Найдите опорное решение системы

hello_html_3da16f17.gif.

Решение.

Сразу замечаем, что во втором уравнении системы свободный член равен нулю, а  все коэффициенты при переменных неположительны. Умножим это уравнение на (-1) (при этом свободный член останется равным нулю, т.е. неотрицательным):  hello_html_m4ad2e25c.gif.

В этом уравнении свободный член равен нулю, а все коэффициенты при переменных неотрицательны. Отсюда следует, что если существует опорное решение данной системы, то в нем hello_html_m456bc59f.gif. Подставляя в систему эти значения переменных, для неизвестного hello_html_184ee2a0.gif  получаем систему двух уравнений

hello_html_6c9fc692.gif  hello_html_m52965cb3.gif 

из которой находим hello_html_m3abd145e.gif.

Таким образом единственное опорное решение данной системы hello_html_5f223687.gif.

Ответ: hello_html_5f223687.gif.

 

Примеры 3 и 4 показывают, что отыскание опорных решений системы, имеющей (или приобретающей) хотя бы один нулевой свободный член требует повышенного внимания и особой аккуратности. Поэтому (если, конечно, это представляется возможным) следует такой ситуации избегать.

Заметим, что, как и раньше, таблицы Гаусса исходной системы и всех последующих итераций удобно записывать в виде одной большой таблицы, причем теперь (для симплексных преобразований) мы дополним ее столбцом отношений свободных членов к нужным положительным элементам столбцов с переменными (т.е. к положительным элементам будущих ключевых столбцов).

Пример 5. Найдите опорное решение системы

hello_html_57cfc750.gif.

Решение.

Таблица 1

итерации

i

Базис

hello_html_m16564f34.gif

hello_html_m72108ff2.gif

hello_html_m40b2880f.gif

hello_html_184ee2a0.gif

hello_html_2c6a835f.gif

hello_html_m2434593c.gif

hello_html_430595a9.gif

hello_html_m76288ba9.gif

Исходная

система

1

 

1

-2

1

2

-1

1

2

 

2

 

-1

1

-2

1

1

2

2

 

3

 

2

0

1

2

-1

2

6

 

I

1

 

0

-1

-1

3

0

3

4

 

2

hello_html_2c6a835f.gif

-1

1

-2

1

1

2

2

 

3

 

1

1

-1

3

0

4

8

 

II

1

 

0

-1

-1

3

0

3

4

1

2

hello_html_2c6a835f.gif

0

2

-3

4

1

6

10

hello_html_4f6a3475.gif

3

hello_html_m16564f34.gif

1

1

-1

3

0

4

8

hello_html_76adb1da.gif

III

1

hello_html_184ee2a0.gif

0

-hello_html_m24e10698.gif

-hello_html_m24e10698.gif

1

0

1

hello_html_76adb1da.gif

 

2

hello_html_2c6a835f.gif

0

hello_html_5e90162f.gif

-hello_html_7328fdf.gif

0

1

2

hello_html_631af9a1.gif

 

3

hello_html_m16564f34.gif

1

2

0

0

0

1

4

 

 

В результате симплексных преобразований (в таблицах Гаусса) система приведена к единичному базису. Общее решение системы имеет вид:

hello_html_m7094bf13.gif ,   hello_html_7f1396e3.gif.

Ответ: hello_html_7f1396e3.gif.

Пример 6. Найдите все опорные решения системы

 

hello_html_m60bf3fcb.gif

Решение.

Таблица 2

 

итерации

i

Базис

hello_html_m16564f34.gif

hello_html_m72108ff2.gif

hello_html_m40b2880f.gif

hello_html_184ee2a0.gif

hello_html_m2434593c.gif

hello_html_430595a9.gif

hello_html_m76288ba9.gif

Опорные решения

Исходная

система

1

hello_html_m16564f34.gif

1

0

1

2

4

6

 

hello_html_2e5b6504.gifhello_html_30d34e87.gif

2

hello_html_m72108ff2.gif

0

1

2

1

12

16

 

I

1

hello_html_m16564f34.gif

1

hello_html_fa2e9c1.gif

0

hello_html_m3cf6e849.gif

10

14

4

hello_html_m2b0dd757.gifhello_html_69ebef7e.gif

2

hello_html_m40b2880f.gif

0

hello_html_fa2e9c1.gif

1

hello_html_fa2e9c1.gif

6

8

12

II

1




0

1

4


20


2



1

0

4


10

III

1

hello_html_184ee2a0.gif

hello_html_fa2e9c1.gif

0

hello_html_fa2e9c1.gif

1

2

3

 

hello_html_25a1d104.gif

2

hello_html_m72108ff2.gif

hello_html_fa2e9c1.gif

1

hello_html_m3cf6e849.gif

0

10

13

 

 

В последнем столбце таблицы 2 указаны четыре опорных решения данной системы, соответствующие таким  парам базисных переменных hello_html_m7aef1179.gif; hello_html_m3798bdb0.gif; hello_html_42784e2.gif; hello_html_4b7658e0.gif; при этом буква  hello_html_2174edaa.gif означает номер переменной, вводимой в базис на следующей итерации, а буква hello_html_288a8401.gif- номер уравнения, в котором это происходит.

Заметим, что базисных решений эта система имеет hello_html_m44647b7f.gif. Среди четырех полученных опорных решений отсутствуют решения с базисными переменными hello_html_m33ff77ae.gif и hello_html_m399d8fde.gif.

Анализ таблицы 2 показывает, что эти пары переменных нельзя ввести в базис при симплексных преобразованиях системы. При этом III итерация  дала последнее опорное решение hello_html_m5ede46a8.gif. Если теперь выбрать hello_html_dcc4d36.gif, то получим hello_html_m36f70222.gif и придем  к базису, состоящему из векторов hello_html_15aedd23.gif, а такой базис уже фигурировал в исходной системе. Выбирая hello_html_5e20a371.gif, найдем hello_html_633e0430.gif и получим базис, участвовавший во II итерации.

Ответ: hello_html_37339ab.gif, hello_html_m2b0dd757.gif, hello_html_55bcb17b.gif, hello_html_m1ab35b27.gif.

 

Пример 7. Найдите все опорные решения системы

hello_html_m22eab68.gif .

Решение.

Таблица 3

 

 

итерации

i

Базис

hello_html_m16564f34.gif

hello_html_m72108ff2.gif

hello_html_m40b2880f.gif

hello_html_184ee2a0.gif

hello_html_2c6a835f.gif

hello_html_m2434593c.gif

hello_html_430595a9.gif

hello_html_m76288ba9.gif

Опорные решения

Исходная

система

1

hello_html_m16564f34.gif

1

0

0

2

1

5

7

 

hello_html_m3accf0d2.gifhello_html_759558da.gif

2

hello_html_m72108ff2.gif

0

1

0

1

3

3

6

1

3

hello_html_m40b2880f.gif

0

0

1

0

2

4

7

2

 

hello_html_m298c6cd3.gif

2

hello_html_2c6a835f.gif

0

0

hello_html_fa2e9c1.gif

0

1

2

hello_html_m6930ce6.gif

 

3

hello_html_184ee2a0.gif

0

1

hello_html_4f6a3475.gif

1

0

3

hello_html_158c795c.gif

 

III

1

hello_html_m72108ff2.gif

hello_html_fa2e9c1.gif

1

hello_html_m7331e6c0.gif

0

0

hello_html_fa2e9c1.gif

hello_html_3b4e19cd.gif

 

hello_html_m3a416ec1.gifhello_html_m15c86bac.gif

2

hello_html_2c6a835f.gif

0

0

hello_html_fa2e9c1.gif

0

1

2

hello_html_m6930ce6.gif

7

3

hello_html_184ee2a0.gif

hello_html_fa2e9c1.gif

0

hello_html_m6fcd8e77.gif

1

0

hello_html_m6930ce6.gif

hello_html_m7097399.gif

21

IV

1

hello_html_m72108ff2.gif

hello_html_fa2e9c1.gif

1

0

0

hello_html_m3cf6e849.gif

hello_html_m2a081d95.gif

hello_html_m8dad27f.gif

 

hello_html_3166e91c.gif

2

hello_html_m40b2880f.gif

0

0

1

0

2

4

7

 

3

hello_html_184ee2a0.gif

hello_html_fa2e9c1.gif

0

0

1

hello_html_fa2e9c1.gif

hello_html_m3cf6e849.gif

hello_html_m6930ce6.gif

 

 

После проведения IV итерации получено последнее (пятое) опорное решение. В самом деле, если выбрать  hello_html_dcc4d36.gif, то получим hello_html_m46a471b0.gif и базис из векторов  hello_html_m12dc3279.gif, но к нему уже была приведена исходная система. Если же взять hello_html_4a30d3ca.gif, то получим hello_html_633e0430.gif и базис, участвовавший в III итерации.

 

Ответ: hello_html_mdb784b5.gif, hello_html_m63b48b8b.gif, hello_html_m5cd8b5ee.gif,

hello_html_m5acc653e.gif hello_html_m5526db93.gif.

 

Пример 8. Найдите общее и опорное решение системы. Перейдите от одного опорного решения к другому.

 

hello_html_32ee463d.gif .

Решение.

Таблица 4

 

итерации

i

Базис

hello_html_m16564f34.gif

hello_html_m72108ff2.gif

hello_html_m40b2880f.gif

hello_html_184ee2a0.gif

hello_html_2c6a835f.gif

hello_html_m2434593c.gif

hello_html_430595a9.gif

hello_html_6b4ac3c5.gif

Опорные решения

Исходная

система

1

 

1

2

2

1

2

1

1

1

 

2

 

2

1

1

3

1

2

6

1

3

 

1

2

1

2

1

2

7

2

I

1

hello_html_m16564f34.gif

1

2

2

1

2

1

1

 

 

2

 

0

5

5

5

3

0

8

0

3

 

0

4

3

3

3

1

8

hello_html_1c07dc42.gif

II

1

hello_html_m16564f34.gif

1

0

0

1

hello_html_6f99b2bf.gif

1

hello_html_705262e6.gif

 

 

2

hello_html_m72108ff2.gif

0

1

1

1

hello_html_1df1be1b.gif

0

hello_html_m56a0cb1.gif

 

3

 

0

0

1

1

hello_html_1df1be1b.gif

1

hello_html_m56a0cb1.gif

 

III

1

hello_html_m16564f34.gif

1

0

0

1

hello_html_6f99b2bf.gif

1

hello_html_m97d531d.gif

 

hello_html_6660d98f.gifhello_html_m3c15a672.gif

2

hello_html_m72108ff2.gif

0

1

0

0

hello_html_m572cdcae.gif

1

hello_html_m50d44fc0.gif

 

3

hello_html_m40b2880f.gif

0

0

1

1

hello_html_1df1be1b.gif

1

hello_html_m56a0cb1.gif

 

IV

1

hello_html_184ee2a0.gif

1

0

0

1

hello_html_6f99b2bf.gif

1

hello_html_m97d531d.gif

 

hello_html_m313f98cd.gif

2

hello_html_m72108ff2.gif

0

1

0

0

hello_html_m572cdcae.gif

1

hello_html_m50d44fc0.gif

 

3

hello_html_m40b2880f.gif

1

0

1

0

hello_html_m74d0d298.gif

2

hello_html_m50e4b35f.gif

 

 

Из таблицы III итерации выписываем общее решение (которому соответствует первое опорное решение hello_html_m5d6683fc.gif):

hello_html_m71bff2b7.gif .

 

Можно  было бы выписать общее решение из таблицы IV итерации  (которому соответствует второе опорное решение hello_html_m24e243b6.gif):

 

hello_html_m6671617e.gif  .

 

Ответ: общее решение системы

hello_html_m71bff2b7.gif  hello_html_m52965cb3.gif

опорные решения hello_html_m34d4737e.gif, hello_html_6347b90.gif.

Пример 9. Найдите общее и опорное решение системы. Перейдите от одного опорного решения к другому:

 

hello_html_m381bbbba.gif  .

 

Решение.

Таблица 5

 

итерации

i

Базис

hello_html_m16564f34.gif

hello_html_m72108ff2.gif

hello_html_m40b2880f.gif

hello_html_184ee2a0.gif

hello_html_2c6a835f.gif

hello_html_m2434593c.gif

hello_html_430595a9.gif

hello_html_6b4ac3c5.gif

Опорные решения

Исходная

система

1

 

2

1

3

1

1

1

3

1

 

2

 

1

1

1

2

2

2

3

1

3

 

2

1

1

1

2

1

6

1

I

1

hello_html_184ee2a0.gif

2

1

3

1

1

1

3

 

 

2

 

5

3

7

0

0

0

9

0

3

 

4

0

2

0

3

0

9

0

 

Умножим 2еуравнение

на (-hello_html_7c2eab98.gif)

2

 

9

3

0

0

hello_html_3c905f9b.gif

0

hello_html_ce50791.gif

 

3

hello_html_m40b2880f.gif

2

0

1

0

hello_html_m69aa2541.gif

0

hello_html_60d1b6f0.gif

 

II'

1

hello_html_184ee2a0.gif

4

1

0

1

hello_html_35c2e09.gif

1

hello_html_3c905f9b.gif

1

 

2

 

3

1

0

0

hello_html_35c2e09.gif

0

hello_html_459fff06.gif

0

3

hello_html_m40b2880f.gif

2

0

1

0

hello_html_m69aa2541.gif

0

hello_html_60d1b6f0.gif

 

III

1

hello_html_184ee2a0.gif

1

0

0

1

0

1

3

 

hello_html_5d35357f.gif

2

hello_html_m72108ff2.gif

3

1

0

0

hello_html_35c2e09.gif

0

hello_html_459fff06.gif

 

3

hello_html_m40b2880f.gif

2

0

1

0

hello_html_m69aa2541.gif

0

hello_html_60d1b6f0.gif

 

 

Общее решение имеет  вид

hello_html_11e9f009.gif hello_html_2320fdfd.gif

В опорном решении  hello_html_m5d6683fc.gif равными нулю оказались не только свободные переменные hello_html_m16564f34.gif и hello_html_2c6a835f.gif, но и две базисные - hello_html_m72108ff2.gif и hello_html_m40b2880f.gif. Этот результат мы могли получить и раньше, обратив внимание, что в третьей строке I итерации симплексной таблицы 5 все коэффициенты оказались неотрицательными при нулевом свободном члене. Из уравнения hello_html_2c1b82df.gif следует: hello_html_2b4a403.gif. Теперь система  относительно остальных неизвестных hello_html_m72108ff2.gif и hello_html_184ee2a0.gif записывается в виде

hello_html_109f76ca.gif  hello_html_m52965cb3.gif

откуда  hello_html_38afab0d.gif и hello_html_m33b54b5c.gif.

Поэтому единственное неотрицательное  решение исходной системы есть hello_html_m70039009.gif.

Ответ: общее решение системы

hello_html_11e9f009.gif  ,

единственное опорное решение  hello_html_3002b2f5.gif.

 

Пример 10. Найдите опорное решение системы и перейдите от одного решения к другому. Выпишите общее решение системы.

hello_html_4ffd96f6.gif .

Решение.

Таблица 6

 

итерации

i

Базис

hello_html_m16564f34.gif

hello_html_m72108ff2.gif

hello_html_m40b2880f.gif

hello_html_184ee2a0.gif

hello_html_2c6a835f.gif

hello_html_m2434593c.gif

hello_html_430595a9.gif

hello_html_m76288ba9.gif

Исходная

система

1

 

2

1

2

0

2

3

2

hello_html_4f6a3475.gif

2

 

2

1

1

2

2

2

4

1

3

 

1

2

1

1

1

0

2

 

I

1

 

0

0

1

2

4

1

2

 

2

hello_html_m16564f34.gif

1

hello_html_fa2e9c1.gif

hello_html_fa2e9c1.gif

-1

1

1

2

1

3

 

0

hello_html_4f6a3475.gif

hello_html_fa2e9c1.gif

2

2

1

0

hello_html_fa2e9c1.gif

II

1

 

0

3

0

2

0

3

2

 

2

hello_html_m16564f34.gif

1

hello_html_m46863c6.gif

hello_html_3b4e19cd.gif

0

0

hello_html_fa2e9c1.gif

2

 

3

hello_html_2c6a835f.gif

0

hello_html_3b4e19cd.gif

hello_html_m6fcd8e77.gif

1

1

hello_html_fa2e9c1.gif

0

 

 

Замечаем, что в первой строке таблицы II итерации все коэффициенты  не положительны при положительном свободном члене. Соответствующее уравнение имеет вид hello_html_3c06cd17.gif.

Это уравнение (а вместе с ним и вся полученная после второго симплексного преобразования система уравнений) не имеет неотрицательных решений.

Следовательно, исходная система опорных решений не имеет.

Теперь, отказавшись от требования неотрицательности  переменных, найдем общее решение системы, введя в III итерации в число базисных переменных  hello_html_m72108ff2.gif  в первом уравнении (hello_html_m36b3f372.gif).



итерации

i

Базис

hello_html_m16564f34.gif

hello_html_m72108ff2.gif

hello_html_m40b2880f.gif

hello_html_184ee2a0.gif

hello_html_2c6a835f.gif

hello_html_m2434593c.gif

hello_html_430595a9.gif

III

1

hello_html_m72108ff2.gif

0

1

0

hello_html_51338fb6.gif

0

1

hello_html_51338fb6.gif

2

hello_html_m16564f34.gif

1

0

hello_html_3b4e19cd.gif

hello_html_29d48d0b.gif

0

hello_html_9a3771d.gif

hello_html_mf4cfd82.gif

3

hello_html_2c6a835f.gif

0

0

hello_html_m6fcd8e77.gif

hello_html_fa2e9c1.gif

1

hello_html_m6fcd8e77.gif

hello_html_fa2e9c1.gif

 





Ответ: общее решение системы имеет вид:

hello_html_m7591ea3b.gif   ,

опорных решений нет.


  1. Решений экономических задач

Пример1:  Пусть  фирма  (Х)  выпускает  товары  3  видов  (P1,  P2,  P3)  и  использует  сырье  2  видов  (S1,  S2),  нормальный  расход  будет  равен: 

А  =  hello_html_m2cc8a43e.gif,  С  =  (6070170).  Стоимость  единицы  каждого  вида  сырья  (денежных  единиц)  представлена  матрицей:  В  =hello_html_18d3f7cb.gif

Решая  данную  задачу  аналитическим  способом  мы  получаем,  что  затраты  первого  сырья  будут  равны:  hello_html_m4fc697e2.gif  =  8*60  +  5*70+9*170  =  2360  единиц;

Затраты  второго  сырья  будут  равны:  hello_html_m3b2710c8.gif  =  6*60  +  8*70+4*170  =  1600  (единиц); 

Следовательно,  матрица  затрат  сырья  S  может  быть  записана  следующим  способом:  =  С*А  ,  где  S  —  это  затраты  на  сырье;  С  —  это  заказ;  A  —  это  матрица  производства. 

Тогда:  S  =hello_html_m2cc8a43e.gif  *  (60  70170)  =  (2360  1600). 

 

Общая  стоимость  сырья  будет  равна:  Q=  2360*75+1600*  35=  233000. 

Денежная  единица  может  быть  также  записана  и  в  матричном  виде:

Q=  S*B  =  (CA)B=(233000),  где  Q  —  общая  стоимость;  B  —  стоимостью  единицы  сырья;  а  S  —  затраты  на  сырье. 

Использование  матриц  в  экономике  не  может  происходить  без  матриц  Абеля.  Именно  они  позволяютрассмотреть  нужную  отрасль  компании  и  привести  ее  к  критериям  выбора  правильной  конкурентоспособности. 

Пример2:

Завоз  определенных  товаров  на  1  склад  можно  представить  следующей  матрицей:hello_html_33cc8379.gif=hello_html_m733fd8c2.gif.  Завоз  товаров  на  2  склад  представить  в  виде  матрицы:hello_html_mf83727c.gif=hello_html_4f008c8e.gif

 

 

Нужно  найти  сумму  завоза  всех  товаров;  найти  сумму  годового  завоза,  если  производится  ежемесячный  завоз  идентичных  партий  товара. 

Решение: 

Найдём  суммарный  завоз:hello_html_33cc8379.gif hello_html_mf83727c.gif hello_html_m733fd8c2.gif  +  hello_html_4f008c8e.gif  =  hello_html_m54da993e.gif

Найдём  годовой  завоз:  12*(hello_html_33cc8379.gif hello_html_m2c647932.gif  =  hello_html_296fb7bb.gif

 

Ответ:  hello_html_m54da993e.gif hello_html_30b6034e.gif
Таким  образом,  матрицы  можно  эффективно  использовать  не  только  в  науке,  но  и  применять  их  на  практике  в  крупных  предприятиях  для  решения  современных  экономических  задач.  Матричный  метод  позволяет  упростить  работу  человека,  уменьшить  количество  критериев  и  альтернатив  для  выбора  и  получать  выгодные  варианты  решения  для  выхода  из  различных  экономических  ситуаций.  Также  с  помощью  матричного  метода  человек  получает  готовый  и  обоснованный  ответ  в  виде  рейтинга  альтернатив  по  всем  критериям.  Изучая  матричный  метод  и  чаще  его  практикуя  в  решении,  можно  добиться  положительных  результатов  в  кратчайшие  сроки  и  поднять  экономику  на  новый  уровень 

























Заключение

Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени. То есть система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре  это система уравнений видаhello_html_6f2d508b.png

Лине́йная а́лгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений

СЛАУ в геометрии

Каждое уравнение описывает прямую на плоскости

 Совокупность чисел альфа, взятых в определенном порядке, называют решением слау, если они будучи подставлены в уравнения системы на место соответствующих неизвестных, обращают все уравнения в тождества. Решение называется неотрицательным, если все его компоненты альфа неотрицательны. 

Можно считать, что правые части всех уравнений неотрицательны. Последовательно исключая неизвестные, можно привести систему к предпочитаемому виду. Если после этого правые части всех уравнений полученных систем окажутся неотрицательными, то соответствующие базисные решения тоже будут неотрицательными. Следовательно, чтобы получить неотрицательные базисные решения слау, надо сделать так, чтобы свободные члены всех уравнений на всех этапах процесса исключения оставались неотрицательными.

Одним из основных методов решения экономических задач является матричный метод. На данный момент особенно актуально использование матриц для создания баз данных, ведь вся информация обрабатывается и хранится в матричной форме.

Матрица — это прямоугольная таблица, представляющая собой совокупность строк и столбцов. Размерностью матрицы называется величина m×n, где m-число строк, n-число столбцов.

Таким образом, в математике появился раздел, который называется матричной алгеброй. Матричная алгебра имеет очень важное значение в экономике. Обуславливается это тем, что матричный метод позволяет в достаточно простой и понятной форме записывать различные экономические процессы и объекты. Одним из примеров может послужить таблица распределения ресурсов по различным отраслям.




Данная таблица может быть записана в виде матрицы

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате, решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Гипотеза

Т.К. СЛУ можно решить матричным способом а матрицу можно использовать в экономике то значит СЛУ тоже можно использовать в экономике для решения сложных экономических задач.

  • Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
    Пожаловаться на материал
Скачать материал
Скачать тест к этому уроку
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Скачать материал
Скачать тест к этому уроку

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.