Системы линейных уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

Введение. 1

1 Метод нахождения неотрицательного решения СЛУ.. 2

1.1    Что такое СЛУ.. 2

1.2    СЛУ в алгебре и геометрии. 3

1.3    Методы нахождения неотрицательных (опорных) решений СЛУ.. 3

1.4    Примеры задач на нахождение неотрицательных (опорных)  решений СЛУ.. 7

2    Решений экономических задач. 39

Заключение. 41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Гипотеза

СЛУ можно использовать в экономике для решения экономических задач

1 Метод нахождения неотрицательного решения СЛУ

1.1    Что такое СЛУ

Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени. То есть система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Здесь {\displaystyle m}m — количество уравнений, а {\displaystyle n}n — количество переменных, {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}— неизвестные, которые надо определить, коэффициенты {\displaystyle a_{11},a_{12},\dots ,a_{mn}} и свободные члены {\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{m}} предполагаются известными. Индексы коэффициентов в системах линейных уравнений ({\displaystyle a_{ij}}) формируются по следующему соглашению: первый индекс ({\displaystyle i}i) обозначает номер уравнения, второй ({\displaystyle j}j) — номер переменной, при которой стоит этот коэффициент.

Система называется , если все её свободные члены равны нулю ({\displaystyle b_{1}=b_{2}=\dots b_{m}=0}), иначе — неоднородной.

Квадратная система линейных уравнений — система, у которой количество уравнений совпадает с числом неизвестных ({\displaystyle m=n}m=n). Система, у которой число неизвестных больше числа уравнений является недоопределённой, такие системы линейных алгебраических уравнений также называются прямоугольными. Если уравнений больше, чем неизвестных, то система является переопределённой.

 

 

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Решения считаются различными, если хотя бы одно из значений переменных не совпадает.

Система является совместной, так как она имеет, по крайней мере, одно решение ,  

Совместная система с единственным решением называется определённой, при наличии более одного решения — неопределённой.

Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных.

Равносильными называются две системы уравнений, если они имеют одно и тоже множество решений.

1.2    СЛУ в алгебре и геометрии

Лине́йная а́лгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений, среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы, сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы, тензоры и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые относятся к полилинейной алгебре.

Линейная алгебра обобщена средствами общей алгебры, в частности, современное определение линейного (векторного) пространства опирается исключительно на абстрактные структуры, а многие результаты линейной алгебры обобщены на произвольные модули над кольцом. Более того, методы линейной алгебры широко используются и в других разделах общей алгебры, в частности, нередко применяется такой приём, как сведение абстрактных структур к линейным и изучение их относительно простыми и хорошо проработанными средствами линейной алгебры, так, например, реализуется в теории представлений групп. Функциональный анализ возник как применение методов математического анализа и линейной алгебры к бесконечномерным линейным пространствам, и во многом базируется на методах линейной алгебры и в дальнейших своих обобщениях. Также линейная алгебра нашла широкое применение в многочисленных приложениях (в том числе, в линейном программировании, в эконометрике) и естественных науках (например, в квантовой механике).

 

Слу в геометрии

                                      (3.4)

 

Каждое уравнение описывает прямую на плоскости; координаты точки пересечения указанных прямых являются решением системы (3.4).

Возможны три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости:

1)     прямые пересекаются, т.е. коэффициенты системы (3.4) не пропорциональны:

;                                             (3.5)

 

2)     прямые параллельны, т.е. коэффициенты системы (3.4) подчиняются условиям

;                                        (3.6)

 

3)     прямые совпадают, т.е. все коэффициенты пропорциональны

 

.                                      (3.7)

 

Запишем определитель системы (3.4)

 

.

 

Лишь при выполнении условия (3.5) определитель  не равен нулю и система имеет единственное решение (прямые пересекаются в одной точке). В случаях отсутствия решений (прямые параллельны) или при бесконечном множестве решений (прямые совпадают) выполняются соответственно соотношения (3.6) и (3.7), из которых получаем .

 

 

1.3    Методы нахождения неотрицательных (опорных) решений СЛУ

 

 Совокупность чисел альфа, взятых в определенном порядке, называют решением слау, если они будучи подставлены в уравнения системы на место соответствующих неизвестных, обращают все уравнения в тождества. Решение называется неотрицательным, если все его компоненты альфа неотрицательны. 

Можно считать, что правые части всех уравнений неотрицательны. Последовательно исключая неизвестные, можно привести систему к предпочитаемому виду. Если после этого правые части всех уравнений полученных систем окажутся неотрицательными, то соответствующие базисные решения тоже будут неотрицательными. Следовательно, чтобы получить неотрицательные базисные решения слау, надо сделать так, чтобы свободные члены всех уравнений на всех этапах процесса исключения оставались неотрицательными. Для этого достаточно выбирать разрешающий элемент по определенным правилам. При переходе системы в другую систему используем формулы исключения: ,где r – номер разрешающего уравнения, s – номер разрешающей неизвестной, i не =r. ,i=r. .. А – матрица коэффициентов, В – матрица свободных членов. Так как правые части уравнений должны быть неотрицательны и отбросив случай, когда правые части не изменяются, замечаем, что разрешающий элемент должен быть положительным: ars>0, т.е. в качестве разрешающей можно взять только такую неизвестную, при которой хотя бы в одном уравнении имеется положительный коэффициент. После должно быть выбрано разрешающее уравнение, исходя из условия: >0, откуда следует:. Правила выбора разрешающего элемента. В качестве разрешающей неизвестной можно принять любую неизвестную  при которой есть хотя бы один положительный коэффициент, а затем в качестве разрешающего уравнения следует взять то уравнение, которое соответствует наименьшему отношению свободных членов к соответствующим положительным коэффициентам при выбранной неизвестой в этих уравнениях. Если преобразования слау осуществляются методом Жордана-Гаусса с учетом правила выбора разрешающего элемента, то они называются симплексными, т.е. приводящими гарантированно к неотрицательному решению.

Вырожденная слау – система, у которой в каком-либо предпочитаемом виде хотя бы один свободный член = 0, у нее отношение b\а может быть одинаково в нескольких уравнениях.

Система не будет иметь ни одного неотрицательного решения, если в процессе симплексных преобразований в ней появится уравнение, в котором свободный член строго положителен, а среди коэффициентов при неизвестных нет ни одного положительного.

Если правые части всех уравнений полученных систем окажутся неотрицательными ,то соответственно базисные решения также будут неотрицательными. =>чтобы получить неотрицательные базисные решения СЛУ ,надо научиться вести процесс исключения неизвестных так, чтобы свободные члены всех уравнений на всех этапах этого процесса оставались неотрицательными. Для этого следует руководствоваться след правилам: 1)если в СЛАУ им отрицательные свободные члены, то все такие уравнения необходимы *(-1); 2)в качестве разрешающей принимать ту переменную, коэффициента при кот хотя бы в одном уравнении системы положителен; 3)для нахождения разрешающего уравнения находят тип отношений столбца свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца, в этом сл k-ое уравнение будет разрешающим

min(b_i/a_ij>o)=b_k/a_ij

Если хотя бы в одном из уравнений системы свободный член положителен, а все коэффициенты при неизвестных<0,то система неотрицательных решений не имеет. Преобразования системы в соответствии с этими правилами названия симплекс преобразованиями системы. Если указанный min достигается для нескольких уравнений системы, то такая система называются вырожденной. Необходим условием вырожденной системы является то, что свободный член хотя бы одного уровнения системы=0.

Опорные решения системы линейных уравнений

Применение математических методов в экономике приводит к необходимости отыскания неотрицательных решений системы  линейных уравнений, т.е. таких,  в которых .

При этом особое значение имеют неотрицательные базисные решения, которые принято называть опорными решениями.

Таким образом, у опорных решений все  базисные неизвестные должны иметь только неотрицательные значения.

Отсюда естественным образом получается один из способов отыскания опорных решений системы: из всех базисных решений выбрать одно, несколько или все (сколько требуется по условию задачи) неотрицательные решения (конечно, если они существуют в нужном количестве или вообще существуют).

Отсюда же видно, что число опорных решений системы  может быть значительно меньше числа базисных решений, т.е. пытаться предварительно отыскать все базисные решения – не слишком благодарная работа. Еще раз отметим, что в базисном решении системы значения базисных неизвестных равны свободным членам системы,  приведенной к единичному базису, и для того, чтобы базисное решение оказалось опорным, необходимо и достаточно, чтобы эти свободные члены были неотрицательными.

Поэтому задачу отыскания опорных решений системы естественно начать с того, чтобы сделать  все ее свободные члены неотрицательными (для этого каждое уравнение с отрицательным свободным членом достаточно умножить на (-1)).

Далее можно воспользоваться тем же алгоритмом приведения системы к единичному базису, что и при получении базисных решений, только его следует дополнить специальным правилом выбора ключевого элемента: ключевой столбец (допустим р-й) выбирается так, чтобы он имел хотя бы один положительный элемент , и составляются отношения  свободных членов   к соответствующим положительным элементам ключевого столбца; то уравнение (пусть q-е), для которого указанное отношение оказывается наименьшим, выбирается в качестве ключевого (ключевой строки).

Таким образом      (1)

После получения исходного (первого) опорного решения системы возникает вторая задача, как последовательно перейти от него к следующему, тоже опорному решению. Оказывается, для этого можно использовать алгоритм преобразования однократного замещения, дополненный этим же правилом (1) выбора ключевого элемента.

Преобразования системы с неотрицательными свободными членами к единичному базису, а также преобразования однократного замещения (и те, и другие), при которых выбор ключевого элемента производится по указанному правилу (1), принято называть симплексными преобразованиями.

Для симплексных преобразований справедлива следующая теорема:

Если все свободные члены уравнений системы неотрицательны, то после симплексных преобразований системы они останутся неотрицательными

Сформулированная теорема подтверждает правило отыскания опорного решения методом Жордана-Гаусса, состоящее в соблюдении следующих условий:

1)     все свободные члены уравнений системы должны быть неотрицательными; если есть хотя бы один отрицательный свободный член, то соответствующее ему уравнение нужно умножить на (-1);

2)     в базис можно ввести только то неизвестное, у которого есть хотя бы один положительный коэффициент;

3)     если при неизвестной, вводимой в базис, имеются положительные коэффициенты в нескольких уравнениях, то неизвестная вводится в базис в том     уравнении, которому соответствует наименьшее отношение свободных членов к этим положительным коэффициентам.

 

1.4    Примеры задач на нахождение неотрицательных (опорных)  решений СЛУ

Пример 1. Найдите опорное решение системы уравнений

Решение.

Так как во втором уравнении свободный член  , умножим это уравнение на (-1). Заполним исходную таблицу Гаусса.

 

 

i	Базис
1		1	-2	1	2	-1	1	2
2		1	-1	2	-1	-1	2	2
3		2	0	1	-2	-1	2	2

Все свободные члены положительные. При неизвестной  есть положительные коэффициенты, значит, можно ее ввести в базис. Поскольку положительные коэффициенты при  присутствуют во всех трех уравнениях, следует найти (согласно формуле (1)) минимальное отношение свободных членов к этим положительным коэффициентам, т.е. .

Это минимальное отношение соответствует как первой, так и третьей строке, следовательно, можно вводить в базис как в первом уравнении, так и в третьем. Введем  в базис в первом уравнении: ключевой элемент , ключевая строка первая, ключевой столбец первый.

Составляем таблицу Гаусса I итерации.

i	Базис
1		1	-2	1	2	-1	1	2
2		0	1	1	-3	0	1	0
3		0	4	-1	-6	1	0	-2

 

При неизвестной    есть положительные коэффициенты в первом и во втором уравнениях, причем во втором уравнении нет базисной переменной. Но можно ввести в базис только в том случае, если минимальное отношение свободных членов к положительным коэффициентам соответствует второму уравнению.

Находим  .

Отсюда следует, что   можно ввести в базис во втором уравнении.

Составляем таблицу Гаусса II итерации.

 

i	Базис
1		1	2	0	-4	0	1	0
2		0	1	1	-3	0	1	0
3		0	5	0	-9	1	1	-2

Итак, система приведена к единичному базису. Выпишем общее решение системы

и опорное решение .

 

Ответ : .

 

 

 

Пример 2. Найдите опорное решение системы уравнений

  .

 

Решение.

Так как , то в таблицу исходной системы запишем результат умножения первого уравнения на (1).

i	Базис
1		3	0	-1	3	-1	2	6
2		2	1	-1	2	2	1	7
3		0	0	-2	-1	0	3	0

 

неизвестную  нельзя ввести в базис, не выводя из него , т.к. , что соответствует второму уравнению.

Точно  так же нельзя ввести в базис неизвестную ,  не выводя из него , т.к.  приходится на второе уравнение. У неизвестной  единственный положительный коэффициент также приходится на второе уравнение. У неизвестной   все коэффициенты отрицательные.

Поэтому мы не можем получить опорное решение системы, вводя в базис первой неизвестную . Этот вывод можно было бы сделать быстрее, заметив, что в третьей строке при положительном свободном члене  нет ни одного положительного коэффициента при неизвестных.

Попытаемся начать приведение системы к единичному базису с других неизвестных.

Для неизвестной  :  , поэтому вводим    в базис во втором уравнении.

 

При этом исходная таблица имеет вид:

i	Базис
1		1	-1	0	1	-3	1	-1
2		2	1	-1	2	2	1	7
3		2	1	-3	1	2	4	7

В третьей строке таблицы I итерации

i	Базис
1		0			1	-3
2		1			2	2
3		0	1	-3	1	2	4	7

опять нет ни одного положительного коэффициента при неизвестных (при положительном свободном члене). Поэтому мы не можем получить опорные решения, вводя в базис первой неизвестную  .

Для неизвестной : , поэтому вводим   в базис во втором уравнении. При этом исходная таблица имеет вид:

i	Базис
1		1	-1	0	1	-3	1	-1
2		2	1	-1	2	2	1	7
3		2	1	-3	1	2	4	7

 

Таблица I итерации выглядит так:

i	Базис
1		0	-		0	-4		-
2		1		-	1	1
3		1		-	0	1

Теперь ни , ни  , ни  нельзя  ввести в базис, не выводя из него .      Остается  единственная возможность: ввести в базис   в первом уравнении. Получим таблицу II итерации:

 

i	Базис
1		0	-3	1	0	-8	1	-9
2		1	-1	0	1	-3	1	-1
3		1	-7	0	0	-19	6	-19

 

 Теперь в базис можно ввести лишь неизвестную , но только убрав из него  (так как  приходится на второе уравнение).

Мы исчерпали все допустимые возможности  выбора первой базисной неизвестной (и других)  и не смогли получить опорного решения. Следовательно, мы доказали, что данная система опорных решений не имеет.

Ответ: система не имеет опорных решений.

Пример 3. Найдите опорное решение системы

 .

 

Решение.

Заполним исходную таблицу Гаусса.

 

При неизвестной   есть два положительных коэффициента и так как , то ввести    в  базис можно как в первом, так и в третьем уравнении. Введем    в базис в первом уравнении.

Получим таблицу I итерации:

 

Теперь в базис можно вводить неизвестные  ,, ,  и только в третьем уравнении  (). Введем в базис    и  заполним таблицу II итерации:

Здесь во втором (единственном неиспользованном уравнении) положительный коэффициент только при  , но  приходится на уже использованное третье уравнение. Поэтому будем пробовать вводить в базис второй неизвестной одну из неизвестных,  и  (по очереди) и заполнять новые таблицы I и II итерации.Начнем с неизвестной :

№ итерации	i	Базис
I	1		-1	-2	-2	1	0	1	-3
	2		1	-1	0	0	2	4	6
	3		1	3	4	0	1	0	9
II	1		-	0		1		1	3
	2			0		0		4	9
	3			1		0		0	3

Опять возникла та же ситуация: вводить в базис можно  ,  и  , но только в уже использованном третьем уравнении.

Результат повторился бы, если  бы вторую неизвестную  вводили в базис  или  (читателю предоставляется возможность убедиться в этом самостоятельно).

Возникает предположение об отсутствии опорных решений у данной системы. И это действительно лишь предположение: в отличие от примера 2 мы рассмотрели не все допустимые возможности выбора базисных неизвестных (ведь первой неизвестной могла быть выбрана не только , а и любая из остальных). Конечно, можно было бы продолжить процесс симплексных преобразований исходной системы.

Но мы поступим иначе. Обратим внимание на третье уравнение системы, полученной после первого симплексного преобразования:

.

Все его коэффициенты неотрицательны, а свободный член  равен нулю. Поэтому, если система и имеет хотя бы одно неотрицательное решение, то в нем обязательно должно  быть  и . В противном случае (если  хотя бы одна из перечисленных переменных отлична от нуля, т.е. положительна) равенство невозможно (его левая часть будет положительной, а правая равна 0).

Остается проверить, имеет ли система неотрицательные решения, у которых

.

Подставляя указанные значения неизвестных в исходную систему, получим систему трех уравнений относительно неизвестной  :

 

Она, очевидно, несовместна. Следовательно, заданная система действительно не имеет опорных решений.

Ответ: система не имеет опорных решений.

 

Пример 4. Найдите опорное решение системы

.

Решение.

Сразу замечаем, что во втором уравнении системы свободный член равен нулю, а  все коэффициенты при переменных неположительны. Умножим это уравнение на (-1) (при этом свободный член останется равным нулю, т.е. неотрицательным):  .

В этом уравнении свободный член равен нулю, а все коэффициенты при переменных неотрицательны. Отсюда следует, что если существует опорное решение данной системы, то в нем . Подставляя в систему эти значения переменных, для неизвестного   получаем систему двух уравнений

   

из которой находим .

Таким образом единственное опорное решение данной системы .

Ответ: .

 

Примеры 3 и 4 показывают, что отыскание опорных решений системы, имеющей (или приобретающей) хотя бы один нулевой свободный член требует повышенного внимания и особой аккуратности. Поэтому (если, конечно, это представляется возможным) следует такой ситуации избегать.

Заметим, что, как и раньше, таблицы Гаусса исходной системы и всех последующих итераций удобно записывать в виде одной большой таблицы, причем теперь (для симплексных преобразований) мы дополним ее столбцом отношений свободных членов к нужным положительным элементам столбцов с переменными (т.е. к положительным элементам будущих ключевых столбцов).

Пример 5. Найдите опорное решение системы

.

Решение.

Таблица 1

 

В результате симплексных преобразований (в таблицах Гаусса) система приведена к единичному базису. Общее решение системы имеет вид:

 ,   .

Ответ: .

Пример 6. Найдите все опорные решения системы

 

Решение.

Таблица 2

 

 

В последнем столбце таблицы 2 указаны четыре опорных решения данной системы, соответствующие таким  парам базисных переменных:  ; ; ; ; при этом буква   означает номер переменной, вводимой в базис на следующей итерации, а буква - номер уравнения, в котором это происходит.

Заметим, что базисных решений эта система имеет . Среди четырех полученных опорных решений отсутствуют решения с базисными переменными  и .

Анализ таблицы 2 показывает, что эти пары переменных нельзя ввести в базис при симплексных преобразованиях системы. При этом III итерация  дала последнее опорное решение . Если теперь выбрать , то получим  и придем  к базису, состоящему из векторов , а такой базис уже фигурировал в исходной системе. Выбирая , найдем  и получим базис, участвовавший во II итерации.

Ответ: , , , .

 

Пример 7. Найдите все опорные решения системы

 .

Решение.

Таблица 3

 

 

 

 

После проведения IV итерации получено последнее (пятое) опорное решение. В самом деле, если выбрать  , то получим  и базис из векторов  , но к нему уже была приведена исходная система. Если же взять , то получим  и базис, участвовавший в III итерации.

 

Ответ: , , ,

,  .

 

Пример 8. Найдите общее и опорное решение системы. Перейдите от одного опорного решения к другому.

 

 .

Решение.

Таблица 4

 

 

Из таблицы III итерации выписываем общее решение (которому соответствует первое опорное решение ):

 .

 

Можно  было бы выписать общее решение из таблицы IV итерации  (которому соответствует второе опорное решение ):

 

  .

 

Ответ: общее решение системы

  

опорные решения , .

Пример 9. Найдите общее и опорное решение системы. Перейдите от одного опорного решения к другому:

 

  .

 

Решение.

Таблица 5

 

 

 

Общее решение имеет  вид

 

В опорном решении   равными нулю оказались не только свободные переменные  и , но и две базисные -  и . Этот результат мы могли получить и раньше, обратив внимание, что в третьей строке I итерации симплексной таблицы 5 все коэффициенты оказались неотрицательными при нулевом свободном члене. Из уравнения  следует: . Теперь система  относительно остальных неизвестных  и  записывается в виде

  

откуда   и .

Поэтому единственное неотрицательное  решение исходной системы есть .

Ответ: общее решение системы

  ,

единственное опорное решение  .

 

Пример 10. Найдите опорное решение системы и перейдите от одного решения к другому. Выпишите общее решение системы.

 .

Решение.

Таблица 6

 

 

Замечаем, что в первой строке таблицы II итерации все коэффициенты  не положительны при положительном свободном члене. Соответствующее уравнение имеет вид .

Это уравнение (а вместе с ним и вся полученная после второго симплексного преобразования система уравнений) не имеет неотрицательных решений.

Следовательно, исходная система опорных решений не имеет.

Теперь, отказавшись от требования неотрицательности  переменных, найдем общее решение системы, введя в III итерации в число базисных переменных    в первом уравнении ().

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: общее решение системы имеет вид:

   ,

опорных решений нет.

 

2           Решений экономических задач

Пример1:  Пусть  фирма  (Х)  выпускает  товары  3  видов  (P1,  P2,  P3)  и  использует  сырье  2  видов  (S1,  S2),  нормальный  расход  будет  равен: 

А  =  ,  С  =  (6070170).  Стоимость  единицы  каждого  вида  сырья  (денежных  единиц)  представлена  матрицей:  В  =. 

Решая  данную  задачу  аналитическим  способом  мы  получаем,  что  затраты  первого  сырья  будут  равны:    =  8*60  +  5*70+9*170  =  2360  единиц;

Затраты  второго  сырья  будут  равны:    =  6*60  +  8*70+4*170  =  1600  (единиц); 

Следовательно,  матрица  затрат  сырья  S  может  быть  записана  следующим  способом:  =  С*А  ,  где  S  —  это  затраты  на  сырье;  С  —  это  заказ;  A  —  это  матрица  производства. 

Тогда:  S  =  *  (60  70170)  =  (2360  1600). 

 

Общая  стоимость  сырья  будет  равна:  Q=  2360*75+1600*  35=  233000. 

Денежная  единица  может  быть  также  записана  и  в  матричном  виде:

Q=  S*B  =  (CA)B=(233000),  где  Q  —  общая  стоимость;  B  —  стоимостью  единицы  сырья;  а  S  —  затраты  на  сырье. 

Использование  матриц  в  экономике  не  может  происходить  без  матриц  Абеля.  Именно  они  позволяютрассмотреть  нужную  отрасль  компании  и  привести  ее  к  критериям  выбора  правильной  конкурентоспособности. 

Пример2:

Завоз  определенных  товаров  на  1  склад  можно  представить  следующей  матрицей:=.  Завоз  товаров  на  2  склад  представить  в  виде  матрицы:=. 

 

 

Нужно  найти  сумму  завоза  всех  товаров;  найти  сумму  годового  завоза,  если  производится  ежемесячный  завоз  идентичных  партий  товара. 

Решение: 

Найдём  суммарный  завоз:+  =    +    =  

Найдём  годовой  завоз:  12*(+    =  

 

Ответ:  ,  . 
Таким  образом,  матрицы  можно  эффективно  использовать  не  только  в  науке,  но  и  применять  их  на  практике  в  крупных  предприятиях  для  решения  современных  экономических  задач.  Матричный  метод  позволяет  упростить  работу  человека,  уменьшить  количество  критериев  и  альтернатив  для  выбора  и  получать  выгодные  варианты  решения  для  выхода  из  различных  экономических  ситуаций.  Также  с  помощью  матричного  метода  человек  получает  готовый  и  обоснованный  ответ  в  виде  рейтинга  альтернатив  по  всем  критериям.  Изучая  матричный  метод  и  чаще  его  практикуя  в  решении,  можно  добиться  положительных  результатов  в  кратчайшие  сроки  и  поднять  экономику  на  новый  уровень 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени. То есть система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Лине́йная а́лгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений

СЛАУ в геометрии

Каждое уравнение описывает прямую на плоскости

 Совокупность чисел альфа, взятых в определенном порядке, называют решением слау, если они будучи подставлены в уравнения системы на место соответствующих неизвестных, обращают все уравнения в тождества. Решение называется неотрицательным, если все его компоненты альфа неотрицательны. 

Можно считать, что правые части всех уравнений неотрицательны. Последовательно исключая неизвестные, можно привести систему к предпочитаемому виду. Если после этого правые части всех уравнений полученных систем окажутся неотрицательными, то соответствующие базисные решения тоже будут неотрицательными. Следовательно, чтобы получить неотрицательные базисные решения слау, надо сделать так, чтобы свободные члены всех уравнений на всех этапах процесса исключения оставались неотрицательными.

Одним из основных методов решения экономических задач является матричный метод. На данный момент особенно актуально использование матриц для создания баз данных, ведь вся информация обрабатывается и хранится в матричной форме.

Матрица — это прямоугольная таблица, представляющая собой совокупность строк и столбцов. Размерностью матрицы называется величина m×n, где m-число строк, n-число столбцов.

Таким образом, в математике появился раздел, который называется матричной алгеброй. Матричная алгебра имеет очень важное значение в экономике. Обуславливается это тем, что матричный метод позволяет в достаточно простой и понятной форме записывать различные экономические процессы и объекты. Одним из примеров может послужить таблица распределения ресурсов по различным отраслям.

 

 

 

Ресурсы	Отрасли экономики
	Промышленость	Сельское хозяйство	Торговля
Трудовые ресурсы	4,8	6,7	7,1
Водные ресурсы	3,1	2,5	5,8
Электроэнергия	5,6	4,3	3,4

Данная таблица может быть записана в виде матрицы

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате, решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Гипотеза

Т.К. СЛУ можно решить матричным способом а матрицу можно использовать в экономике то значит СЛУ тоже можно использовать в экономике для решения сложных экономических задач.