- 05.12.2015
- 1640
- 0
Выбранный для просмотра документ раб.прогр.кинологи 2015.docx
Скачать материал "Конспекты уроков по темам 1 курса профессиональных учебных заведений"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок №01 НПО 1 курс.docx
Тема №1.
Развитие понятия о числе.
Урок №1.
Тема урока. Целые и рациональные числа.
Цель урока. Дать определение натуральных, целых и рациональных чисел. Показать правила математических действий с этими числами.
Ход урока.
1. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
2. Изучение нового материала.
1) Натуральные числа. Натуральные числа строятся конструктивно, начиная с единицы, прибавлением на каждом шаге одной единице: 1, 1+1, 1+1+1,…
Запись натуральных чисел имеет длинную историю.
Современное общество пользуется десятичной системой, в которой введены
10 цифр: 1, 2=1+1, 3=2+1,…, 9=8+1 и 0. Число, следующее за числом 9,
записывается в виде 10. Далее, считая десятками, сотнями (10*10), тысячами и
т.д., каждое натуральное число представляем в виде 
и
записываем последовательностью цифр 
Например: 
Существуют различные системы счисления. Так в информатике используется двоичная система счисления, где используются только две цифры – 0 и 1.
2) Целые числа. Получаются из натуральных добавлением нуля и отрицательных чисел.
- множество натуральных чисел, 
- множество целых чисел. 
т.е. это означает, что всякое натуральное
число одновременно есть целое.
Например: -2011; -456; -8; 0; 567 и т.д..
3) Рациональные числа. Положительные рациональные числа можно получить,
считая доли единицы: 
раз взятая 
доля единицы(
) есть
рациональное число. Его можно записать в виде обыкновенной дроби 
Одно и то же количество можно получить,
используя разные доли. Например, ясно, что 
одно
и то же. Две обыкновенные дроби 
равны между собой
(т.е. являются записями одного и того же рационального числа) тогда и только
тогда, когда совпадают натуральные числа 
Построив
положительные рациональные числа, к ним обычным образом добавляют отрицательные
и нуль. 
- множество рациональных чисел. Т.о. 
4) В множестве рациональных чисел определены две арифметические операции – сложение
и умножение, подчиняющиеся известным законам – переместительному
сочетательному 
Распределительному
Самостоятельно ответьте на вопросы: зачем людям понадобились числа? Почему можно пользоваться обыкновенными дробями при вычислениях с рациональными дробями? Как выполняют арифметические действия над обыкновенными дробями? (Сокращение дробей, сложение, вычитание, умножение, деление.
3. Решение примеров.
Учебник: стр.8, №№ 1(1),3),7)); 2(1),3),5)); 4.; 5.
4. Подведение итогов урока.
5. Задание на дом.
Учебник: гл.1, занятие 1, №№ 1(2),4),5),6)); 2(2),4));3.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок №02 НПО 1курс.docx
Урок №2.
Тема урока. Действительные числа.
Цель урока. Ввести понятие действительного числа. Действия с действительными числами.
Ход урока.
I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Повторение пройденного материала.
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения знаний (самостоятельная работа).
1 вариант. 2 вариант.
1. Найдите значения выражений:
1) 
; 2) 
; 3) 
1) 
2) 
3) 
2. Вычислить:
1) 
2) 
1)
2) 
3) 
4) 
3) 
; 4) 
III. Изучение нового материала.
1.Рациональных чисел недостаточно для решения задач измерения. Так диагональ квадрата с единичной стороной не может быть измерена, если использовать только рациональные числа(2,5т.л. до н.э.)
Для задач измерения можно выбрать стандартную величину - длину отрезка и задать числа геометрически – отрезками, а точнее их отношениями к выбранному единичному отрезку (единице масштаба). Если назвать числом отношение отрезка к единичному, то возникает задача записи числа. Удобна запись числа в виде десятичной дроби, отражающей некоторый процесс измерения.
Измеряя диагональ квадрата со стороной 1, мы сначала отложим целый
единичный отрезок и получим число 1. В остатке будем откладывать деся-
тую часть единичного отрезка. Она отложится 4 раза, и останется отрезок
длины, меньшей 
.
Получим десятичную дробь 1,4. Затем делим
снова на 10 частей, откладываем новый отрезок в остатке и записываем
результат. Получим последовательность десятичных дробей с увеличива-
ющимся количеством знаков после запятой: 1; 1.4; 1,41; 1,414; 1,4142;… .
Эту последовательность удобно представить в виде одной беско-
нечной десятичной дроби 1,414213562373095…, которую и можно считать
числом. Итак, по определению действительное число – это бесконечная
непериодическая десятичная дробь.
2. Конечная десятичная дробь. Рациональное число, представленное
Дробью, в знаменателе которой стоят только двойки и пятерки, запишется
конечной десятичной дробью, так как на каком-то шаге десятичный процесс измерения закончится – некоторая доля единичного отрезка отложится в остатке целое число раз.
Например: 
Если у некоторой несократимой дроби
в знаменателе есть простые числа,
отличные от 2 и 5, то процесс десятичного измерения станет периодическим, и
цифры (одна или несколько) начнут периодически повторяться.
Например: 
3. Иррациональные числа – это числа, не являющиеся рациональными. Они записываются бесконечными непериодическими десятичными дробями.
Например: 
.
Объединение множества рациональных
и иррациональных чисел образует множество действительных чисел R.
(
).
4. Зачем понадобились действительные числа, и хватает ли их для решения задач?
Добавление к рациональным числам иррациональных чисел было вызвано необходимостью измерения длины любых отрезков. С помощью так построенных действительных чисел можно измерять многие другие величины, которые были названы скалярными.
5. Почему диагональ квадрата со стороной , равной единице, нельзя измерить рациональным числом?
6. Действия над действительными числами.
Бесконечная десятичная дробь – это последовательность приближений конечными десятичными дробями к данному действительному числу. Для выполнения арифметических операций над ними эти операции делаются с конечными десятичными дробями.
Например:
. Получим:
и так далее.
Аналогично 
(с помощью калькулятора).
Действительные числа можно
изобразить точками на числовой оси. Если два числа 
b изображены точками 
на
числовой оси, то расстояние между А и В равно модулю разности чисел a u b: 
Свойства: 
Iv. Закрепление пройденного материала.
1. Ответить на вопросы.
1) Всякое ли целое число является рациональным? (Да)
2) Является ли число 
иррациональным?
(Нет)
3) Всегда ли сумма рациональных чисел является рациональным числом? (Нет. Сумма периодических дробей.)
4) Может ли при сложении иррациональных чисел получиться рациональное число? (Нет)
5) Может ли частное от деления рационального числа на иррациональное быть рациональным числом? (Нет)
6) Всегда ли квадрат иррационального числа является
рациональным числом? (Нет. 
). 
2. Решение примеров.
1) Приведите примеры рациональных и иррациональных чисел.
2) Укажите рациональные и иррациональные числа: 
3) Верно ли, что: а) 
. б) 
в) 
4) Сравните: 
5) Какие из чисел больше: 
6) Найдите расстояние между точками М и К координатной прямой, если: а) М(7,45) и К(1,15);
б) М(
7) Какая из точек C или D координатной прямой ближе к точке M , если: а) C(4,514), D(-1,9368…), M(1,304); б) C(-2,4815…), D(11,454), M(4,586).
8) Найдите приближенное значение выражения a+b, где a=59,678… u b=2,0610… .
9) Найдите приближенное значение выражения a-b, где a=59,678… u b=43,123… .
10) Найдите приближенное значение длины окружности,
радиус которой равен 4,5 см (
3,14).
11) Найдите приближенное значение площади круга, если
радиус круга равен 10 м (
).
v. Задание на дом.
Учебник: занятие 2; упражнения 7,8.
vI. Подведение итогов урока.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок №03 НПО 1 курс.docx
Урок №3.
Тема урока. Арифметические действия с действительными числами. Изображение действительных чисел на числовой прямой.
Цель урока. Отработать умения и навыки арифметических действий с действительными числами. Научить изображать действительные числа на числовой прямой.
I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Повторение пройденного материала.
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала. Письменный опрос.
Самостоятельная работа.
1 вариант. 2 вариант.
1. Обратите обыкновенные дроби в десятичные периодические:
1) 
2. Ответить на вопрос: верно ли, что?
1) Каждое рациональное число является 1) Каждое действительное число
действительным. является рациональным.
2) Каждое иррациональное число является 2) Каждое действительное число
Действительным. является иррациональным.
3. Какая из точек C или D координатной прямой ближе к точке M, если:
III. Изучение нового материала.
1. Изображение действительных чисел на числовой прямой.
Отложим на числовой оси числа: 
1) На числовой оси с помощью циркуля раствором, равным единичному отрезку,
слева от точки О, отложим точку А. Очевидно, этой точке отвечает число 
. Затем, не меняя раствора циркуля, от
точки А влево откладываем точку В, которой отвечает число 
. Также строим точку С, которой соответствует
число 
.
С В
А x
0
1 N
2) Воспользуемся теоремой Фалеса. Построим
произвольный угол КОN.
На стороне ON отложим с помощью циркуля отрезок OD, D
равный единичному отрезку. На стороне ОК отложим
три
произвольных равных отрезка длиной x. Тогда, по теореме A
Фалеса, 
Теперь соединим точки C и
D и
Построим отрезок АВ // CD. Тогда по теореме Фалеса
O x
I x B x C
Учтем, что OD=1 и
получим ОА=
Затем возьмем числовую ось и с помощью циркуля А 0 1
перенесем отрезок ОА влево от начала
отсчета. I I
I
3) Воспользуемся теоремой Пифагора. Построим прямой
угол А 1
KON и на его сторонах отложим единичные отрезки ОА и ОВ.
Тогда по теореме Пифагора длина отрезка
АВ=
Затем на числовой оси с помощью циркуля перенесем отрезок АВ,
отложив его справа, от начала отсчета.
Из рассмотренного примера видно, что только с помощью 1 К
циркуля и линейки без делений можно строить на числовой оси 0 В
целые, рациональные и иррациональные числа.
2. Сравнение действительных чисел.
Из двух действительных чисел больше то число,
0 1 
которое
располагается правее на числовой прямой. х
Бесконечные десятичные дроби сравнивают по тем же
правилам, что и конечные десятичные дроби.
Например: 1) Сравним числа 
Цифра сотых у первого
числа больше, чем у второго 
> 
, следовательно 3,176…>3,168… .
2) 
запишем в виде бесконечной десятичной
дроби: 
тогда 
<
или
<
3) -3,148… и -3,148. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше, поэтому
-3,148… < -3,148.
3. Действия с действительными числами.
Мы уже говорили, что действительные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить (делитель не равен нулю). Действия с действительными числами обладают теми же свойствами, что и действия с рациональными числами. При выполнении действий с действительными числами их заменяют приближенными значениями. Повышая точность приближенных значений, получают более точное значение результата.
Например: 1) Найдем приближенное значение суммы чисел 
Возьмем приближенные значения слагаемых с точностью до 0,1: 
, тогда
Если взять приближение до 0,01 (
), то
получим: 
И т.д., увеличивая точность приближения.
2) Найти длину окружности и площадь круга радиуса 
м. Пусть 
(м);
(м).
Iv. Задание на уроке.
1. Какие из чисел больше: 1) 3,6(27) или 3,627; 2) -0,(66) или -0,66;
3) 
или 2,6668; 4) -0,318 или 
5) или 1,41421;
6) 1,4(14) или ?
2. Расположите в порядке возрастания числа: 4,62; 3,(3); -2,75…; -2,63… .
3. Расположите в порядке убывания числа: 1,371…; 2,065; 2,056…; 1,(37); -0,078… .
4. Какие целые числа расположены между числами: 1) -3,168… и 2,734…; 2) -5,106… и -1,484… ?
5. Найдите приближенное значение выражения 
, где 
, округлив предварительно 
1) до 0,1; 2) до 0,01; 3) до 0,001.
6. Найдите приближенное значение выражения 
, где 
, округлив предварительно 1) до 0,1; 2) до 0,01.
7. Изобразить действительные числа на числовой оси: 1) 
v. Домашняя самостоятельная работа №1.
1. Сравните числа: 1) 9,835… и 9,847…; 2) -1,(27) и -1,272; 3) 
и 2,142; 4) 1,(375) и 
2. Какая из точек координатной прямой С или D ближе к точке М, если: 1) С(5,145), D(-0, 3686…),
М(2,403); 2) С(-3,8154…), D(9,545), М(3,854).
3. Найдите приближенное значение выражения , где 
, округлив предварительно 1) до 0,1; 2) до 0,01; 3) до 0,001.
4. Найдите приближенное значение длины окружности и площади круга, если
R=7м (число 
округлите до сотых).
5. Изобразите действительные числа на числовой оси: 1) -4; 2) 
; 3) 
vI. Подведение итогов урока.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок №04 НПО 1курс.docx
Урок №4.
Тема урока. Стандартный вид числа.
Цель урока. Получить навыки записи чисел в стандартном виде. Рассмотреть действия с числами в стандартном виде.
Ход урока.
I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Повторение и закрепление пройденного материала.
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).
1 вариант. 2 вариант.
1.Сравните числа.
1) 2,(75) и 2,75; 2) -3,(54) и -3,54; 1) 3,(16) и 3,16; 2) -1,(67) и -1,67;
3) 8,724… и 8,725… . 3) 5,0547… и 5,0545… .
2. Найдите приближенное значение выражения
.
.
3. Изобразите на числовой прямой действительное число:
.
.
III. Изучение нового материала.
Стандартный вид числа.
1. В окружающем нас мире встречаются объекты, характеристики
которых измеряются как очень большими, так и очень малыми числами.
Например, масса Земли выражается огромным числом 
грамм.
Масса атома водорода – очень маленьким числом 
грамма.
В таком (обычно десятичном) виде неудобно запоминать, читать и
записывать, выполнять над ними какие либо действия. Поэтому принято записывать
число 
в виде 
.
Например: 
и т.д. Для удобства сравнения
чисел принято числа записывать в едином стандартном виде. Для этого при
записи числа выбирают множитель
в
промежутке 
<10. Например: 
, при этом множитель 
<10 .
Определение. Стандартным видом числа называют его запись в виде 
<10 и n -
целое число. Число n называют
порядком числа .
Пример 1. В стандартном виде масса Земли составляет 
Масса атома водорода равна 
Таким образом порядок
числа, выражающего в граммах массу Землю, равен 27, а порядок числа,
выражающего в граммах массу атома водорода, равен 21. Заметим, что различие в
массах Земли и атома водорода составляет 48 порядков, то есть масса Земли
больше массы атома водорода 
раз.
Порядок числа дает представление о его величине(то есть
о том, насколько велико или мало это число). Например, если порядок числа L равен 2, то само число L находится в промежутке 
<1000. Если порядок
числа L равен -3, то само число L находится
в промежутке 0,001≤L<0,01.
Большой положительный порядок показывает, что число очень велико. Большой по модулю отрицательный порядок показывает, что число очень мало.
Пример 2. Представим в стандартном виде число L=387000.
Пример 3. L
2. Действия с числами в стандартном виде.
1) Сложим числа 
2) Вычтем те же числа: 
3) Умножим те же числа: 
4) Разделим эти числа: 
Заметим, что результаты вычислений записываются в стандартном виде.
Iv. Контрольные вопросы.
1. Как записать число L в стандартном виде?
2. Как определить порядок числа L?
v. Задание на уроке.
1. Представить в стандартном виде числа: 1) 1,083 000 000 000; 2) 0,000 000 000 3; 3) 4350000;
4) 0,000508.
2. Назовите порядок числа: 1) 
3. Запишите в стандартном виде числа: 1) 52 000 000; 2)
40,44; 3) 0,000 000 35; 4) 
;
6) 1024000; 7) 21,56; 8) 
4. Выразите: 
5. Выполните действия: 
6. Какой путь пройдет свет за 
7. Масса Юпитера 
, масса Венеры 
Что меньше: масса Венеры или масса
Юпитера и во сколько раз? Результаты округлите до единици.
vI. Домашняя самостоятельная работа.
1. Представить в стандартном виде числа: 1) 2180 000; 2) 675 000 000; 3) 0,00281;
4) 
6) 6000 000; 7) 0,85; 8) 0,000 004; 9)
0,000 282. 10) 
2. Выразите: 
3) Выполните действия: 
vII. Подведение итогов урока.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок №05 НПО 1курс.docx
Урок №5.
Тема урока. Решение задач на проценты.
Цель урока. Развить умения и навыки решения задач на проценты.
Ход урока.
I. Организационный момент. Сообщение цели и темы урока.
II. Повторение и закрепление пройденного материала.
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения пройденного материала (письменный опрос).
1 вариант.
1. Как записать число L в стандартном виде?
2. Запишите в стандартном виде число: 1) 7350000; 2) 0,0000365; 3) 638
3. Выполните действия и запишите ответ в стандартном виде: 
2 вариант.
1. Как определить порядок числа L?
2. Записать в стандартном виде число: 1) 253000; 2) 0,0000476; 3) 
3. Выполните действия и запишите ответ в стандартном виде: 
III. Изучение нового материала.
1. Отношение чисел и однородных величин. Проценты.
При сравнении двух чисел и однородных величин иногда нужно узнать во сколько раз одно число больше (меньше) другого или, какую часть одно число составляет от другого. Например, 15 составляет 1/3 часть от 45, или 45 больше 15 в 3 раза. В этом случае говорят: «Отношение 15 к 45 равно 1/3», «отношение 45 к 15 равно 3».
Определение. Отношением числа а к числу b называется частное чисел а и b.
Например: 12:10=1,2; 3:7=3/7.
Отношением называют не только результат деления одного числа на другое, но и само выражение. Например, отношение 12:10; 3:7. Числа, входящие в отношение, называются членами отношения. В математике, физике и других науках часто используют отношения однородных величин. Отношением величины а к величине е (того же рода) называется число, которое получается
при измерении величины а ,если за единицу измерения принять величину е. Отношение однородных величин равно отношению чисел, получившихся при измерении этих величин одной и той же единицей; оно не зависит от выбора единицы измерения. Например, масштаб карты 1:2000000. Это отношение означает, что на карте расстояние в 20 км изображается отрезком длиной 1 см.
Можно рассматривать отношения разнородных величин, например отношение пути ко времени, отношение массы к объему и т.д. Такие отношения представляют собой новую величину: скорость, плотность и т.д. Такие отношения зависят от выбора единиц измерения.
Например: найдем скорость движения поезда, если поезд прошел 360 км за 3 ч.
Отношение двух чисел часто выражают в сотых долях.
Определение. Сотую часть числа называют процентом.
Например: 
0,8 равно 80 сотым. Данное
отношение составляет 80%. Говорят, что число 4 составляет 80% от числа 5. Чтобы
выразить отношения двух чисел в процентах, надо значение этого отношения
умножить на100. Пусть отношение числа 
к
числу 
равно 
Тогда 
2. Решение задач на проценты.
Рассмотрим три основные задачи на проценты.
Задача 1. Нахождение процентов отношения чисел. Из группы в 25 человек на занятиях присутствовало 22 человека. Сколько процентов учащихся присутствовало на занятиях?
Решение. Так как 
то r
Ответ: 88%.
Задача 2. Нахождение числа по данным процентам данного числа. При перегонке нефти получается 30% керосина. Сколько керосина получится при перегонке 360 т нефти?
Решение. r=30, b=360, 
т. Ответ: 108 т
керосина.
Задача 3. Нахождение числа по его процентам. За один час машина прошла 48 км, что составляет 12% всего пути. Каков весь путь?
Решение. Так как r=12,
а=48, то 
Ответ: 400км.
Рассмотрим решение более сложных задач.
Задача 4. Турист прошел весь маршрут за три дня. В первый день он прошел 30% всего пути, во второй – 60% остатка, после чего ему осталось пройти на 1км меньше, чем он прошел в первый день. Какова длина всего маршрута?
Решение. Пусть длина
всего маршрута х км. Тогда в первый день турист прошел 0,3х
км (30% от х составляет 0,3х), и после первого дня
остаток пути составил 0,7х км (х - 0,3х=0,7х). Во
второй день турист прошел 0,42х км (60% от 0,7х составляют
0,6•0,7х=0,42х) и ему
оставалось пройти в третий день 0,28х км (0,7х –
0,42х=0,28х). По условию задачи турист в третий
день прошел на 1 км меньше, чем в первый день. Значит, 
Ответ:
50 км.
Задача 5. Цена товара повысилась на 25%. На сколько процентов надо снизить новую цену товара, чтобы получить первоначальную цену?
Решение. Пусть - первоначальная цена товара. После
повышения цены товар стал стоить 
Найдем отношение
первоначальной цены товара к его новой цене и выразим это отношение в
процентах: 
Значит, новую цену товара надо снизить на
20%
(100% - 80% = 20%).
Задача 6. Свежие грибы содержат по весу 90% воды, а сухие – 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих грибов?
Решение. По условию
свежие грибы содержат 90% воды. Поэтому 22 кг свежих грибов без воды имеют вес
2,2 кг (т.е. 10% от 22 кг). Так как сухие грибы содержат воду (12%), то 2,2 кг
составляют 88% от всех сухих грибов, полученных из 22 кг свежих грибов. Отсюда 
сухих грибов из
22 кг свежих.
Задача 7. После двух последовательных снижений цен на одно и тоже число процентов цена товара снизилась с а рублей до b рублей (b<a). На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз?
Решение. Пусть х
– искомое число процентов. Тогда в первый раз цена товара снизилась на 
и его новая цена будет 
Во второй раз цена товара снизится на 
и цена товара после двух снижений будет 
По условию она равна рублей: 
Так
как 
<100, то 
или 
Iv. Задание в классе.
Задача 1. Из 2000 зерен пшеницы взошло 1800 зерен. Чему равен процент всхожести семян?
(r % - всхожесть, тогда 
).
Задача 2. Чертеж
составлен в масштабе 2:5. Чему будет равна длина болта на чертеже,
если натуральная длина болта 60 мм? (х мм – длина болта на
чертеже, тогда х:60=2:5,
).
Задача 3. Мясо при
варке теряет 35% своей массы. Сколько получится вареного мяса из 2 кг сырого?
Сколько потребуется сырого мяса для получения 2,6 кг вареного? [Пусть
из 2кг сырого мяса получится х кг вареного, тогда х:2=65:100
(т.к. при варке сохраняется 65% массы), отсюда 
Пусть
для получения 2,6 кг вареного мяса потребуется у кг сырого, Тогда
].
Задача 4. Стоимость товара в первый раз снизилась на а %, во второй раз – на b % от новой цены. В каких случаях в результате стоимость товара стоила 60% исходной цены? (Пусть х – цена товара после двух понижений, тогда х составляет 60%). 1) а=20%; b=20%; 2) a=20%; b=25%; 3) a=25%; b=20%;
4) a=40%; b=0; 5) a=66
; b=10% ?
Задача 5. Цену товара сначала снизили на 20%, а затем новую цену снизили еще на 15% и, наконец, после перечета, произвели снижение еще на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?
Задача 6. Ленту длиной 1,98 м разрезали на две части так, что одна часть оказалась на 20% длиннее другой. Найти длину каждой части.
Задача 7. Объем монтажных работ увеличился на 80%. На сколько процентов надо увеличить число рабочих, чтобы выполнить работу за то же время, если производительность труда при этом будет увеличена на 20%?
v. Домашняя самостоятельная работа.
1. На карте расстояние между двумя пунктами равно 3,5 см. Каково расстояние между этими пунктами в действительности, если масштаб карты 1:2 000 000?
2. Рабочий изготовил 480 деталей, выполнив задание на 120%. Сколько деталей изготовил бы рабочий, если бы он выполнил задание на 110%?
3. Найти 110% от 47 руб. 20 коп.; 80% от 1ч.15мин.
4. Найти число, если 35% его составляет 63.
vI. Подведение итогов урока.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок №06 НПО 1курс.docx
Урок №6.
Тема урока. Приближенное значение. Абсолютная и относительная погрешности.
Цель урока. Дать определение приближенного значения числа, абсолютной и относительной погрешности. Рассмотреть практическое применение таких понятий
Ход урока.
I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Повторение и закрепление пройденного материала.
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач)
2, Контроль усвоения материала. Самостоятельная работа.
1 вариант.
1. Товар со скидкой в 12% был продан за 44 рубля. Какова первоначальная стоимость товара?
2. В 20 л. Раствора, содержащего 4% соли, добавили 15 л. Воды. Какова стала концентрация соли в новом растворе?
3. Найти 120% от 56 руб. 40 коп; 60% от 1 часа 30 минут.
2 вариант.
1. Цена товара снизилась на 20%. На сколько процентов надо повысить новую цену товара, чтобы получить его первоначальную стоимость?
2. В сберкассу на срочный вклад было положено 500 рублей (через год размер вклада увеличивается на 3%). Какая сумма будет на сберкнижке через 2 года?
3. Найти 105% от 52 руб. 60 коп; 70% от 1 часа 30 минут.
III. Изучение нового материала.
1. Приближенное значение. Пусть дано число х.
Определение. Число а называется приближенным значением числа х, вычисленным с точностью до
h > 0, если выполняется неравенство Iх – аI < h.
Разность Iх – аI называется погрешностью, а h – оценка погрешности приближенного вычисления
2. Относительная погрешность.
Пусть а является приближенным значением величины х, вычисленным с погрешностью h, т.е.
Iх – аI = h.
Определение. Отношение погрешности к приближенному значению, т. е.
число 
называется относительной погрешностью вычисления.
Например. Расстояние от Земли до Солнца приблизительно равно 
Погрешность
<0,0007.
Относительную погрешность указывают в процентах.
3. Стандартная запись.
Приближенные значения величины часто указывают в так называемой стандартной
записи: 
<
. Число а –
мантисса числа х; к – порядок.
Точное значение величины заменяют её приближенным значением для вычисления и записи измерений, т. к. невозможно предельно точно измерить те или иные величины. Точная информация бывает излишней – нам часто достаточно знать лишь порядок числа, степень его близости к более простым записям чисел.
4. Погрешность суммы. Если 
<
<
<
При сложении приближенных значений складываются оценки погрешностей, и оценка погрешности суммы тем самым увеличивается.
5. Погрешность произведения. Если а и b – приближенные значения величин х и у и нам известны оценки погрешностей
<
<
Получим, что 
<
Видим, что оценки погрешностей 
приходится умножать на
значения самой величины (или близкой к ней).
6. Описание точности вычислений.
1) «Плюс – минус». Часто пишут 
<
<
или 
< 1.
16 – приближенное значение температуры; 1 – оценка
погрешности. 
.
2) «С точностью до…». Площадь комнаты равна 
с точностью до двух десятых 
<
<
<
Можно записать 
Площадь
вычислена с оценкой погрешности в 
т.е. 9%.
3) «Лежать между». Пусть скорость автомобиля лежит между 50 и 60 км/ч, т.е. 50 < v <60, тогда
V =55
5 км/ч и 
- 9% относительная
погрешность.
Обобщение понятий относительной и абсолютной погрешности приближенного значения чисел.
Причиной приближенных значений физической величины является несовершенство методов измерений таких величин. Например: по радиоактивному распаду элементов был определен возраст существования Земли (~ 4,5 млрд лет) и наблюдаемой Вселенной (около 15 млрд лет).
Рассмотрим способы записи приближенных
чисел. Длина рельса равна 1200 см с точностью до 2 см, т.е. точное значение
длины L (в см) может
отличаться от приближенного значения, равного 1200 не более чем на 2: 1200 – 2 
В физических и математических таблицах и справочниках приближенные значения записывают так, чтобы погрешность не превосходила единицы последнего разряда. В таких случаях говорят, что число записано верными числами.
Верной цифрой приближенного значения называют цифру любого разряда, если абсолютная погрешность не превосходит единицы этого разряда.
Например: приближенное значение возраста Земли (в млрд лет)
равно 4,5. В записи 4,5 все цифры верные. Последняя цифра записана в разряде
десятых, значит абсолютная погрешность меньше или равна 0,1, т.е. t = 4,50,1.
Пример 1. 
Оценим абсолютную
погрешность приближенного значения массы Земли. 5,976 – все цифры
верные. Последняя цифра является тысячной, тогда 
Если число записано в стандартном виде 
и в множителе все
цифры верные (мантисса), то такая запись позволяет оценить относительную
погрешность.
Пример 2. Оценим относительную погрешность r приближенного значения массы Земли.
<
Видно,
что относительная погрешность меньше единицы последнего разряда в записи
множителя 5,976.
Аналогично, если 
<
10 и множитель записан верными числами), то
относительная погрешность приближенного значения не превосходит единицы
разряда, в котором записана последняя из этих цифр.
Iv. Решение задач.
1. Округлите числа 17,26; 12,034; 8,654 до десятых и найдите абсолютную погрешность каждого из приближенных значений.
2. Найдите h значения, полученного в результате округления чисел: 1) 9,87 до единицы; 2) 124 до десятков; 3) 0,453 до десятых; 4) 0,198 до сотых.
3. При выполнении вычислений дробь 
заменили десятичной дробью 0,14. Какова
абсолютная погрешность этого приближения?
4. В каких границах заключено число у,
если: 1) у =
5) Округлите число 2,525 до десятых. Найдите относительную погрешность приближения, полученного при округлении.
6) Поверхность Земли равна 
(с
точностью до 
). Оцените относительную погрешность
приближенного значения.
v. Домашняя самостоятельная работа.
1. Число 5,84 округлить до десятых долей с недостатком и с избытком. В каждом случае найти абсолютную погрешность приближения.
2. Найти абсолютную погрешность округления числа 
с избытком и с недостатком.
3. Найти число 
, если
его приближенное значение 
и абсолютная
погрешность 
(Т.к. 
).
4. Обратить число 
в
десятичную дробь и округлить её соответственно до десятых, сотых, тысячных. В
каждом случае найти абсолютную погрешность. (Если 
, то
округление будет:
0,3; 0,33; 0,333. 
. То
есть с увеличением точности вычислений 
уменьшается).
5. На упаковке товара указано, что его масса равна 
. В каких границах заключена масса этого
товара?
6)Округлите число 2,525 до десятых. Найдите относительную погрешность приближения, полученного при округлении.
7. Выполняя лабораторную работу по определении
плотности железа, ученик получил результат 
.
Вычислите относительную погрешность результата(табличное значение 
).
8. Измерили величину человеческого волоса d и
расстояние от Земли до Луны 
. Получили
мм с точностью до 0,1
мм и 
км с точностью до 500 км. Сравните
качество измерений, оценив относительные погрешности.
vI. Подведение итогов урока.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок №07 НПО 1курс.docx
Урок №7.
Тема урока. Комплексные числа.
Цель урока. Ввести понятие комплексного числа. Рассмотреть арифметические действия с ними и их графическое изображение.
Ход урока.
I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Повторение и закрепление пройденного материала.
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).
1 вариант. 2 вариант
1) Число записано верными цифрами. Оцените абсолютную и относительную погрешность приближенного значения этого числа.
23,48. 35,28.
2) Представьте дробь в виде десятичной дроби. Округлите эту дробь до тысячных. Найдите абсолютную и относительную погрешность приближения.
III. Изучение нового материала.
1. Комплексные числа.
Определение. Комплексным числом называется число вида 
,
где 
- действительные числа, а 
- символ, называемый мнимой
единицей.
С – множество комплексных чисел. Если 
Если 
комплексное
число, тогда 
При этом 
-
действительная часть числа , 
- мнимая часть числа .
2. Правила сложения и умножения комплексных чисел.
Правило сложения: 
.
По правилу умножения 
,
т.е. квадрат мнимой единицы равен действительному числу (-1).
Правило умножения. При умножении комплексных чисел раскрывают скобки по
обычным правилам и заменяют 
.
Важно: 
3. Сопряженные комплексные числа.
Комплексные числа 
называются сопряженными друг с другом.
Их произведение равно действительному положительному числу 
.
Если 
и
можно записать тождество: 
. Отсюда ясно, что
число 
является обратным для числа 
Умея вычислять обратное число, можно
поделить одно комплексное число на другое (отличное от нуля).
4. Изображение комплексного числа. Рис.1
Число 
можно
изобразить точкой плоскости с координатами
(
) (на рисунке (1) точка
). При таком изображении сложению
комплексных чисел соответствует сложение радиус – векторов (рис.2).
Сопряженные числа z=a+bi и z=a-bi изображаются точками, симметричными Рис.2
относительно оси абсцисс (рис.3). Число 
, являющееся расстоянием от точки, z1 Z1+z2
изображающей число z (от точки М), до начала координат, называется модулем
комплексного числа и обозначается IzI. Z2
Отметим простые тождества: 
Рис.3
5. С использованием комплексных чисел у математиков появились новые b z
возможности. 1) стало возможным находить корни любых алгебраических урав-
нений. Например, по теореме Гаусса (основная теорема алгебры) всякое алгебра-
ическое уравнение имеет хотя бы один комплексный корень.
2) Преобразование плоскости (параллельный
перенос, поворот, гомотетия, -b 
осевая симметрия и их комбинации) записываются как
некоторые простые
операции над комплексными числами
3) Колебательные процессы в механике и физике (распространение звуковых и световых волн, электромагнитные явления, свойства переменного тока) изучаются проще с использованием комплексных чисел.
6. С
помощью комплексных чисел удобно задавать геометрические фигуры на плоскости.
Теорема. Модуль разности двух комплексных чисел равен
расстоянию между точками, изображающими эти
числа(рис.4).
На рисунке видно, что векторы, соединяющие точку z2 c точкой z1,
и начала координат с точкой 
, равны между собой.
Поэтому число 
равное
расстоянию от точки
до начала координат,
равно расстоянию между
точками 
, что и
требовалось доказать.
7. Вычисления с
комплексными числами.
1) Арифметические действия:
2) Запись уравнений различных кривых с использованием геометрической интерпретации модуля разности двух комплексных чисел: а) Окружность радиуса R с центром в начале координат (z=R).
б) Окружность радиуса R с центром в точке z0 (Iz-z0I=R).
3) Эллипс определяется как геометрическое
место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух точек плоскости
постоянна: 
4. Степени мнимой единицы.
Рассмотрим степени мнимой единицы: 
Если выписать все значения степеней числа , то мы получим последовательность: 
Значения степеней числа повторяются с периодом равным 4. Таким
образом, если показатель степени числа делится
на 4, то значение степени равно 1; если при делении показателя степени на 4 в
остатке получится 1, то значение степени равно ; -
остаток 2 – степень равна -1, остаток 3 – значение степени 
. Пользуясь этим, можно вычислить любую
степень числа.
Например. Найти 
Решение: 28 = 4 ·
7 (нет остатка); 33 = 4 · 8 + 1; 135 = 4 · 33 +
3. Соответственно получим: 
Iv. Задание для решения в классе.
1. Вычислите. 
2. Разложите на линейные множители: 
3. Изобразите на плоскости множество комплексных чисел, удовлетворяющих следующим условиям:
1) 
(окружность, радиус
которой равен 3 с центром в начале координат).
2) 
(окружность с центром
в точке с координатами (0;-1), R=2).
4. Построить радиус – вектор, соответствующий
комплексным числам: 1) 
5) Вычислить: 1) 
v. Домашняя самостоятельная работа.
1. Даны комплексные числа 
2.Вычислить: 
3. Вычислить: 
4. Изобразить на плоскости числа: 
vI. Подведение итогов урока.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок №08 НПО 1курс.docx
Урок №8.
Тема урока. Прямая и обратная пропорциональность и их графики.
Цель урока. Повторить изученный материал. Вспомнить определение прямой и обратной пропорциональности. Построить графики прямой и обратной пропорциональности.
Ход урока.
I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Ответы на вопросы по теме.
1. Прямая пропорциональность и её график.
Определение. Прямой пропорциональностью называется функция,
которую можно задать формулой вида 
- независимая
переменная, k – не равное нулю число (коэффициент прямой пропорциональности).
Пример 1: 
, где 
-
объем железного кубика (
), 
- масса (г), 
- плотность железа.
Если 
Отсюда функцию 
называют прямой пропорциональностью.
Пример 2: 
Пример 3: 
Пример 4: 
длина окружности, 
радиус, 
коэффициент
пропорциональности.
Графиком прямой пропорциональности является прямая,
проходящая через начала координат.
Свойства функции 
.
1) Функция монотонная. Если 
>
0 – возрастает; если < 0 – убывает.
2) Если х=0, у=0.
Для построения графика функции 
достаточно
найти координаты любой точки графика этой функции, отличной от нуля, затем
соединить эту точку с точкой О(0;0).
Задачи.
1) Являются ли прямой пропорциональностью функции: 
2) 
Найти 
, если 
3) Построить графики функций: 
4) Принадлежат ли графику функции 
точки 
5) Известно, что график прямой пропорциональности
проходит через точку 
Проходит ли этот график через
точку 
2. Обратная пропорциональность и её график.
Определение. Обратной пропорциональностью
называется функция которую можно задать формулой вида 
где
- независимая переменная, 
- не равное нулю число.
Свойства.
1) 
- все числа, кроме
нуля (
.
2) Если 
, то есть отношение
двух произвольных значений аргумента равно обратному отношению соответствующих
значений функции (обратная пропорциональность).
Примеры: 1) 
где m – масса товара, N – сумма в рублях, P – стоимость 1 килограмма.
Графиком обратной
пропорциональности является гипербола,
которая состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала
координат.
Функция 
- нечетная: 
При >0 – функция
убывает; при 
<0 – возрастает,
следовательно функция монотонная, зависит от .
Решение примеров.
1) 
. Найти 
2) 
. Найти 
.
3) 
. Найти 
. Принадлежит ли графику этой функции
точки: 
.
4) Прямоугольный параллелепипед со сторонами основания
и 
,
высотой 
имеет объем, равный 
. Выразите формулой зависимость 
от 
.
Является ли эта зависимость обратной пропорциональностью? Постройте график.
5) Задайте формулой обратную пропорциональность, зная,
что её график проходит через точку: 
.
III. Домашняя самостоятельная работа.
1. Известно, что точка Р(-9;18) принадлежит графику
функции . Найдите .
2. Принадлежит ли графику функции 
точка: а) А(40;0.025); б) В(0,016;6,25);
в) С(0,03125;32); г) D(0,125;0,8)?
3. Известно, что график функции проходит через точку А(10;2,4). Проходит
ли график этой функции через точку: а) В(1;24); б) С(
;
в) D(-2;12)?
4. Найдите область определения функции и постройте её
график: 
.
5. Докажите, что функция 
,
является обратной пропорциональностью, и укажите коэффициент обратной
пропорциональности.
Iv. Подведение итогов урока.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок №09 НПО 1 курс.docx
Урок № 9
Тема урока. Квадратичная и кубическая функции и их графики.
Цель урока. Повторить свойства и построение графиков квадратичной и кубической функций.
Ход урока.
I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Повторение и закрепление пройденного материала.
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).
1 вариант.
1) При каком значении а точка А(а;-1,4) принадлежит графику прямой пропорциональности у=3,5х?
2) Известно, что точки А(а;
и В(843;b) принадлежат графику обратной пропорциональности у=
. Найдите а и b.
3) Постройте графики функций: а) у = -
; б) у = 
.
2 вариант.
1) При каком значении а точка А(а;-1,3) принадлежит графику прямой пропорциональности у=2,6х?
2) Известно, что точки А(а;- 
) и В(954;b) принадлежат графику обратной пропорциональности у=
. Найти а и b.
3) Постройте графики функций: а) 
; б) 
.
III. Изучение нового материала.
1. Свойства и график функции
.
Функцию называют квадратичной
(
, a,b,c – заданные числа.
Пусть b=0,
c=0, тогда 
.
Графиком такой функции называется парабола: 1) если х=0, то
у=0;
2) График симметричен относительно оси ОУ; точка с координатами (0;0) является вершиной
параболы; 3) График функции при а>1
можно получить растяжением параболы в а раз
вдоль оси ОУ (сжатие – при 0 < а < 1).
Свойства функции .
1) 
. Экстремум функции достигается
при х=0.
2) Функция четная, так как 
.
3) Функция возрастает при а>0 на интервале 
убывает на интервале 
.
Если а>0, ветви параболы направлены вверх, если а<0 – вниз.
Рассмотрим функцию 
. Графиком такой
функции является парабола с вершиной в
точке с координатой 
и осью
симметрии – прямой, проходящей через её вершину
параллельно оси ОУ. Эту параболу можно получить
сдвигом параболы вдоль оси х на 
единиц вправо, если > 0,
и влево, если < 0.
Пусть в функции коэффициенты 
,
Тогда функция имеет вид
. Графиком такой функции
является парабола с вершиной в точке с координатами (0;с) и
осью у. Эту параболу можно получить сдвигом параболы вдоль оси у на 
единиц вверх,
если с>0, и вниз, если с<0.
Рассмотрим общий случай: .
Выделяя в трехчлене полный квадрат, запишем функцию в виде 
.
Графиком квадратного трехчлена является парабола с вершиной в
точке 
и осью
параболы – прямой, проходящей через её вершину параллельно оси у. Если а > 0 – ветви параболы
направлены вверх, если а < 0 – вниз.
Абсциссу параболы можно найти по формуле 
, тогда 
.
Замечание: 
Решение примеров.
1) Постройте график функции 
.
Решение.
2) 
Корни 
3) 
2. Свойства и график функции 
.
График функции называется
кубической параболой.
1)
.
2) - нечетная. 
график
функции симметричен относительно начала координат.
3) Функция возрастает при а > 0; убывает при а < 0.
При а >1 – график растягивается вдоль оси у; при 0 < а < 1 – сжимается.
Постройте графики следующих функций: 
Iv. Задание на уроке.
1) Найти наибольшее значение функции 
.
2) Найти наименьшее значение функции 
.
3) Построить графики функций: 
v. Домашняя самостоятельная работа.
1. Постройте график функции и опишите её свойства: 
2. Найти наибольшее значение функции 
.
3. Найти наименьшее значение функции 
.
vI. Подведение итогов урока.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок №10 НПО 1 курс.docx
Урок № 10.
Тема урока. Степень с натуральным и целым показателем, действия со степенями, свойства степеней.
Ход урока,
I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
1. Повторение и закрепление пройденного материала.
2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).
1 вариант.
1) Построить график функции 
.
2) При каком значении 
выражение 
принимает наибольшее значение?
2 вариант.
1)
Построить график функции 
.
2)
При каком значении выражение 
принимает наименьшее значение?
III. Изучение нового материала.
1. Степень числа с натуральным показателем.
2. Степень числа с целым показателем.
3. Свойства степеней с целыми показателями.
4. Геометрическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия это последовательность, каждый член которой, начиная
со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q, называемому
знаменателем прогрессии. Другими словами. Геометрическая прогрессия, заданная
первым
членом 
и рекуррентным соотношением 
позволяющим найти
любой её член, зная предыдущий.
Формула
общего члена: 
Сумма
первых членов: 
Iv. Решение примеров.
1.
Упростить выражение 
2.
Расположить степени в порядке возрастания: 
Приведем
все степени к
одинаковому
основанию: 
Так как число 2>1 и 
для любого 
, то
отсюда
3.
Определить параметры прогрессии. В геометрической прогрессии 
Найти 
1)
Вычислим знаменатель прогрессии: 
2)
Найдем 
3)
4.
Определить сумму вклада. Банк начисляет по вкладу ежегодно 
. В конце года
процент
добавляется к вкладу. Каков будет вклад через лет?
Обозначим
исходный вклад через 
. В конце года он станет равным 
Таким
образом, вклад через год получается умножением на число 
Геометрическая
прогрессия 
дает последовательность вкладов на
каждый
год. Тогда 
Эта формула называется формула
сложных процентов.
v. Задание в классе.
1. Вычислить:
2.
Упростить: 
: 
3. Какое из чисел больше:
4.
Найдите из уравнения: 
5.
Первый член геометрической прогрессии 
равен 1, 
При каком
наименьшем
член
станет
больше двух?
Решение.
6.
Определите по графику, для каких значение функции 
больше или равны
значению
функции 
7.
Каково множество значений функции 
при 
8.
Найдите наименьшее и наибольшее значение функции 
на
промежутке 
.
vI. Домашняя самостоятельная работа.
1. Упростить выражение:
1)
2.
1) Вычислите сумму первых четырех членов геометрической прогрессии 
.
2) Разность между седьмым и пятым членами геометрической прогрессии равна 
.
Вычислите её пятый член, если знаменатель прогрессии 
.
vII. Подведение итогов урока.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок №11 НПО 1 курс.docx
Урок № 11.
Тема урока. Корень n – ой степени. Свойства корней.
Цель урока. Повторить определение корня n – ой степени и его свойства.
Ход урока.
I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Повторение и закрепление пройденного материала.
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач)
2. Контроль усвоения пройденного материала (самостоятельная работа).
1 вариант.
1)
Упростить выражение: 
5
2)
Вычислить шестой член геометрической прогрессии 
.
2 вариант.
1)
Упростить выражение: 
.
2)
Вычислите пятый член геометрической прогрессии 
.
III. Изучение нового материала.
1. Корень n – ой степени.
Определение. Корнем n – ой степени из числа а называется
число b, такое, что 
Корень
n – ой степени из числа а – это корень уравнения 
При а
> 0 для любого n из N и
n > 1 существует единственный положительный корень n – ой степени из числа а.
Обозначается:
радикал
.
Если
При n – нечетном 
существует
корень n – ой степени из
отрицательного
числа (- а); то есть 
.
Например: 
Количество корней: 1) n – четное: а) нет корней при а < 0; б) один корень х =0 при а = 0;
в) два корня 
при а > 0.
2) n – нечетное: один корень при любом а.
2. Свойства радикалов.
1)
Итак. Извлечение корня n – ой степени – это операция, обратная возведению в степень
положительного
числа: 
при 
.
Например: объем
куба V с ребром а равен кубу числа а : 
Обратно, 
Iv. Решение примеров.
1. Упростить:
2. Какие из следующих чисел являются рациональными:
Решение.
- иррациональное.
- рациональное.
- рациональное.
- рациональное.
3. Всегда ли верны равенства: 
?
Решение:
4. Вычислите: 
5. Какие из чисел больше: 
> 
<
0,
< 
.
6.Упростить выражение:
v. Подведение итогов урока.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок №12 НПО 1 курс.docx
Урок № 12.
Тема урока. Степень с рациональным и действительным показателем.
Цель урока. Повторить свойства степеней с рациональным и действительным показателем.
Ход урока.
I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Повторение и закрепление пройденного материала.
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач)
2. Контроль усвоения пройденного материала (самостоятельная работа).
1 вариант.
1)
Сократить дробь 
2)
Сравните 
3)
Вычислите 
4)
Найдите значение выражения: 
2 вариант
1)
Сократить дробь
2)
Сравните 
3)
Вычислите 
4)
Найдите значение выражения: 
III. Изучение нового материала (повторение).
1. Степени 
при
различных заданиях числа 
.
1)
- целое число, тогда 
2)
- рациональное число. 
По определению 
3)
- произвольное действительное число,
заданное последовательностью рациональных приближений 
. Числа 
Последовательность 
является
последовательностью приближений к некоторому числу 
,
которое и принимается за степень 
Например.
Вычислим
Данная последовательность
определяет
некоторое число , которое и является степенью
числа 
: 
.
2. Свойства степеней.
Iv. Задание в классе.
1.
Вычислить: 
2.
Приведение к одинаковому основанию: 
3.
Преобразуйте выражение: 
4.
Решение простейших уравнений: 
Решение примеров: учебник, стр.34, №№1,2,3,4,5,6.
v. Домашняя самостоятельная работа.
1.
Вычислите: 
2.
Сравните: 
3. Упростите выражения:
vI. Подведение итогов урока.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок №13 НПО 1 курс.docx
Урок №13.
Тема урока. Решение задач на действия со степенями и корнями.
Цель урока. Обобщение понятие степени и корня с любым действительным показателем. Отработка умений и навыков в решении задач со степенями и корнями.
Ход урока.
I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Решение примеров.
1. Решение примеров на применение свойств степеней с рациональным показателем.
1) Вычислить: 
3) 
1-ое действие: 
2-ое действие: 
3-е действие : 
: 
2. Упростить выражение: 1) 
если
Данное выражение имеет смысл при
Получим:
3. Доказать, что 
делится на 33.
Решение: 
4. Доказать иррациональность числа 
.
Решение. 1) Допустим, что рациональное число,
тогда 
где 
-
целые числа, причем 
Дробь 
будем
считать несократимой. Согласно определения
корня 
Тогда
или 
тоже делится на 3: 
Следовательно дробь 
сократима, что противоречит условию,
следовательно
иррациональное число.
Замечание. Если квадрат целого числа делится на 3, то и само число делится на 3.
5. Упростите выражение: 
6. При каких значениях
верны равенства:
1) 
Решение. 1) 
Равенство верно для любого 
.
3) 
что верно для любого 
5) 
7. Упростить выражение 
Решение. Заметим, что 
По определению модуля
 |
-1 0 1
8. Доказать, что верно неравенство 
Решение. Внесем множители под знак корня и запишем исходное неравенство так:
> 
Это неравенство верное, оно получается сложением двух верных
неравенств: 
9.Расположите в порядке возрастания числа: 
Решение. Заметим, что 
Сравним числа 
Приведем их к общей степени корня 6: 
> 
Сравним теперь 
Итак, 
10. Найти значение выражения 
Решение. 
При 
,
III. Самостоятельная работа.
1 вариант.
1. Упростить 
2. Сравнить 
3. Вычислить 
4. Сравнить 
2 вариант.
1. Упростить 
2. Сравнить 
Iv. Подведение итогов урока.
3. Вычислить 
4. Сравнить 
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок №14 НПО 1 курс.docx
Урок №14.
Тема урока. Логарифмы и их свойства.
Цель урока. Дать определение логарифма. Изучить свойства логарифмов. Рассмотреть решение примеров с использованием свойств логарифмов.
Ход урока.
I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Изучение нового материала.
1. Определение логарифма.
Определение. Логарифмом числа 
по
основанию 
называется такое число 
, что
, то есть показатель степени, в которую
надо возвести основание, чтобы получить число .
Обозначается 
. Читается «логарифм по
основанию .
Например: 
Если основание 
, то такой логарифм числа называется десятичным и обозначается 
Например: 
не имеет смысла, так как уравнения 
не имеют корней.
2. Свойства логарифмов.
|
Свойства степеней |
Свойства логарифмов |
|
|
|
3. Основное логарифмическое тождество.
Равенство 
выражают одну и ту же связь
между числами 
Подставляя в равенство представление числа в виде логарифма, получим основное
логарифмическое тождество:
|
|
Подставляя в равенство 
представление
в виде степени, получим еще одно
тождество:
|
|
4. Переход к новому снованию.
Логарифмы чисел по разным основаниям пропорциональны друг другу:
коэффициент пропорциональности: 
или 
называют модулем перехода от
одного основания логарифма к другому. В частности, 
т.к.
5. Доказательства правил логарифмирования.
1) Обозначим 
По основному логарифмическому
тождеству имеем 
Перемножим эти равенства: 
По определению логарифма 
тогда 
2) Доказательство формулы для модуля перехода. Прологарифмируем
основное логарифмическое тождество 
по основанию .
Читают: логарифм числа по новому
основанию равен логарифму числа по старому основанию, деленному на логарифм
нового основания по старому основанию. Коэффициент пропорциональности можно
записать в виде: 
(положите в формуле 
).
6. Рассмотрим примеры.
1) 
.
2) Логарифмирование. Дано: 
. Найти: 
.
Решение. 
.
3) Потенцирование (нахождение выражения по его логарифму). Определение. Действие, обратное логарифмированию, называется потенцированием. Оно состоит в отыскании числа по известному значению его логарифма с заданным основанием.
4) Переход к одному основанию. Дано: 
.
Перейдем к основанию 2. Решение. Заметим, что 
- это
поможет устно находить модуль перехода. 
.
III. Решение примеров.
Учебник, задание 4, стр. 37, №№ 1 – 6.
Iv. Подведение итогов урока.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок №15 НПО 1курс.docx
Урок №15
Тема урока. Правила логарифмирования.
Цель урока. Научить решать задачи с использованием правил логарифмирования.
Ход урока.
I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Повторение и закрепление пройденного материала.
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач)
2. Контроль усвоения пройденного материала (устный опрос).
· Сформулируйте определение логарифма.
· Как называется логарифм по основанию десять?
· Перечислите свойства логарифмов.
· Сформулируйте основное логарифмическое тождество.
· Покажите правило перехода к новому основанию логарифма.
· Докажите одно из правил логарифмирования.
· Как называется действие обратное логарифмированию?
III. Примеры решения с помощью правил логарифмирования.
1. Прологарифмировать
выражение: 1) 
.
Решение. 
Здесь и в следующих примерах основания логарифма мы не пишем, т.к. полученное равенство справедливо при любом основании.
2) 
. Решение. 
.
3) 
. Решение.
По данному результату логарифмирования мы можем найти исходное выражение. Это действие называется потенцированием.
2. По известному логарифму числа х найти это число:
1) 
.
2) 
. 
3) 
.
Решить самостоятельно.
1.
Прологарифмировать выражения: 
.
2. Потенцировать
выражения: 1) 
.
2) 
.
3.
Прологарифмировать по основанию 10 выражение: 
.
Решение. 1) 
.
.
(Здесь использовали
логарифмическое тождество 
).
Решение третьего примера:
.
V. Домашняя самостоятельная работа.
1. Прологарифмировать выражения: 
2. Вычислить :
.
Найти 
. Решение: 1 способ. 
.
2 способ. 
.
Решить уравнение: 
Решение: 
.
.
3. Пропотенцировать
выражение: 1) 
2) 
.
4.
Прологарифмировать по основанию 10: 
.
VI. Подведение итогов урока.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок №16.НПО 1 курс.docx
Урок №16.
Тема урока. Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики.
Цель урока. Рассмотреть графики и свойства логарифмической и показательной функций. Связь логарифмической и показательной функций с физическими и другими процессами.
Ход урока.
I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Повторение и закрепление пройденного материала.
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).
1 вариант.
1) Найдите значение числового выражения: 
2) Вычислить без таблицы и калькулятора: 
3) Прологарифмируйте по основанию 2 выражение:
2 вариант
1) Найдите значение числового выражения: 
б) 
2. 2) Вычислить без таблицы и калькулятора: 
б) 
3) Прологарифмируйте по основанию 5 выражение:
III. Изучение нового материала.
1. Одна зависимость – три функции.
Рассмотрим три переменных 
связанные зависимостью 
Пусть 
тогда 
Меняя произвольно 
,
получим показательную функцию.
Пусть в выражении 
функционально
зависит от 
, тогда 
Меняя 
,
получим логарифмическую функцию 
Если в формуле 
положим
, где 
фиксированное
число, получим степенную функцию 
или 
2.
Свойства и график показательной функции 
.
1) Область определения: множество всех
действительных чисел 
.
2) Монотонность: при 
функция
возрастает, при 
-
убывает.
3) Положительность: значения функции положительны.
4) Область значений: все положительные числа,
т.е. интервал 
Графики показательной функции:
у
у
у=(1/10)х
у=10х
у=(1/2)х
у=ах ,а>1 у=ах ,0<a<1
 |
-1
1 x
-1 1 x
3.
Свойства и график логарифмической функции 
.
1) 
2) Промежутки постоянного знака – при а>1: у=0 при х=1; у<0 при 0<x<1; y>0 при x>1;
при 0<a<1: y<0 при x>1; y>0 при 0<x<1.
3) Монотонность: функция при a>1 возрастает на всей области определения,
при 0<a<1 – убывает.
4) Область значений: множество всех действительных чисел R.
График логарифмической функции:
У
у
1 х 1 х
4. Примеры различных процессов, которые описываются с помощью показательной и логарифмической функций.
1) Полет ракеты переменной массы. Формула
Циолковского 
где 
-
скорость вылетающих газов, 
- стартовая масса
ракеты, - коэффициент.
- невелика. Логарифм
растет очень медленно, и для того чтобы достичь космической скорости,
необходимо сделать большим отношение 
, т.е. почти всю
стартовую массу отдать под топливо.
2) Звукоизоляция стен измеряется по формуле: 
где 
-
давление звука до поглощения, - давление звука до
поглощения, 
- давление звука, прошедшего стену,
- некоторая константа
равная 20 дб. Если 
дб, то 
т.е.
стена снижает давление звука в 10 раз (деревянная дверь).
3) Радиоактивный распад. Изменение массы
радиоактивного вещества происходит по формуле 
где - масса вещества в момент времени 
- масса вещества в момент времени 
(период полураспада).
4) Рост народонаселения. Изменение численности населения в стране на отрезке времени
где 
- число людей при 
- число людей в момент времени 
- константа.
5) Барометрическая формула. Давление воздуха
убывает с высотой (при постоянной температуре) по закону 
где -
давление на уровне моря
- давление на высоте 
- константа, зависящая от температуры.
При 
5.
Симметрия графиков функций 
Графики этих функций симметричны друг другу
относительно прямой 
. Возмем точку 
на графике функции 
. По условию 
. Тогда
и точка 
лежит
на графике функции . Точки 
симметричны
друг другу относительно прямой .
У
1
d
P
0
c Q
1 а а>1 х c d
IV. Решение примеров.
1. Укажите, какие из следующих показательных
функций возрастают, а какие убывают на всей числовой оси: 
2. Постройте графики следующих функций: 
3. Найдите наименьшее и наибольшее значения функций, заданных на промежутке:
.
4. Найдите область определения следующих
функций: 
5. Найдите область значений функций, заданных
на промежутке. 
V. Подведение итогов урока.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок №17,НПО 1 курс.docx
Урок №17.
Тема урока. Решение задач на свойства показательной функции.
Цель урока. Рассмотреть способы решения задач на свойства показательной функции.
Ход урока.
I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Повторение и закрепление пройденного материала.
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (устный опрос).
1) Дайте определение показательной функции.
2) Назовите область определения и область допустимых значений показательной функции.
3) Чему равна функция 
,
если 
?
4) Укажите промежутки монотонности функции при 
для 
и 
.
5) Укажите поведение графика функции, если 
и .
6) Постройте схематично график функции когда и .
III. Решение задач.
1. Постройте график функции: 1) 
, 2) 
.
У
 |
1
1
0 1
Х х
2. Найти наименьшее и наибольшее значения
функции 
на промежутке:
1) 
; 2) 
.
3. Найти наибольшее значение функции 
.
Решение. Находим вершину параболы 
. Это означает, что степень числа 2 не может
превосходить числа 6 (коэффициент при неизвестном х2 меньше 0).
Таким образом
Наибольшее значение данной функции 
.
4. Перечислите свойства функции и постройте её график:
1) 
.
5. Найти область значений функции: 
.
6. Сравнить числа: 
.
Решение. 1) 
> 1.
2) 
< 
,т.к.
> 2,8 
< .
3) 
т.к. 
.
7. Вычислите: 
.
8. Упростите выражения: 
.
9. Укажите, какая из данных функций является
возрастающей, какая – убывающей на множестве R: 
.
10. Решите графически уравнения: 
.
IV. Домашняя самостоятельная работа
1. Перечислите свойства функции и постройте её график:
.
2. Найдите область значений функции: 
.
3. Сравните числа: 
.
4. Вычислите: 
.
5. Упростите выражение: 
6. Укажите, какая из данных функций является возрастающей, какая –
убывающей на множестве R: 
.
7. Решите графически уравнения: 
V. Подведение итогов урока.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок №18 НПО 1 курс.docx
Урок № 18.
Тема урока. Решение задач на свойства логарифмической функции.
Цель урока. Рассмотреть решение задач на свойства логарифмической функции.
Ход урока.
I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Повторение и закрепление пройденного материала.
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (устный опрос).
1) Сформулируйте определение логарифмической функции.
2) Назовите область определения и область допустимых значений логарифмической функции.
3) При каких значениях 
функция
равна нулю и равна единице?
4) Укажите промежутки моно тонности логарифмической функции.
5) Постройте схематично график функция, если 
.
6) Постройте схематично график функция, если 
.
7) Какие логарифмы называют десятичными?
III. Решение задач.
1. Найдите область определения функции: 
Решение. 
.
. Решение. 
.
.
2. Сравните числа: 
Решение. 
Решить в классе.
1. Найдите область определения выражений:
2. Сравните числа: 
3. Перечислите основные свойства функции и постройте её график:
4. Найдите значение выражения: 
5. Решите уравнение: 
6. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке:
IV. Домашняя самостоятельная работа.
1. Найдите область
определения функции:
2. Постройте графики
функций: 
3. Найдите
наименьшее значение функции 
4. Вычислите 
V. Подведение итогов урока.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок №19 НПО 1 курс.docx
Урок №19.
Тема урока. Показательные уравнения.
Цель урока. Научить решению показательных уравнений.
Ход урока.
I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Повторение и закрепление пройденного материала.
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).
1 вариант.
1. Изобразите схематично график функции: 
.
2. Сравните числа: 
.
3. Изобразите схематично график функции: 
.
4. Найдите область определения функции: 
2 вариант.
1. Изобразите схематично график функции:
.
2. Сравните числа:
.
3. Изобразите схематично график функции: 
.
4. Найдите область определения функции:
III. Изучение нового материала.
Определение. Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.
Рассмотрим простейшее показательное уравнение 
или 
уравнение 
не
имеет решений. Для того, чтобы найти корень уравнения ,
надо 
представить в виде 
решение
(корень) уравнения 
Геометрический смысл решения уравнения : 
У
у
0 с х с 0 х
Решение примеров.
1. 
2. 
3. 
4. 
Обозначим 
через 
, тогда
5. 
. Приведем степени к
основанию 3: 
6. 
Разделим обе части
равенства на 
>
для
любого х), получим
.
7. 
.
8. 
. Запишем уравнение в
виде 
.
9. 
.
10. Логарифмирование обеих частей уравнения. Применение основного логарифмического тождества.
1) 
. Прологарифмируем обе
части уравнения по основанию 10, получим:
.
2) 
. По свойству логарифма
, тогда 
11.
Способ группировки. 
IV. Решение примеров в классе.
Учебник, стр. 46, №1.
V. Домашняя самостоятельная работа.
1. Решите уравнения: 
VI. Подведение итогов урока.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок №20 НПО 1 курс.docx
Урок № 20.
Тема урока. Решение показательных неравенств.
Цель урока. Рассмотреть способы решения показательных неравенств.
Ход урока.
I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Повторение и закрепление пройденного материала.
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).
1 вариант.
Решите уравнения: 
2 вариант.
Решите уравнения: 
III. Изучение нового материала.
Решение простейших показательных неравенств
основано на известном свойстве функции 
: эта
функция возрастает при 
и убывает при 
.
Пример 1. 
. Пользуясь тем, что
, запишем 
.
Показательная функция 
убывает 
,
следовательно, данное неравенство равносильно неравенству 
Ответ: 
.
2. 
>
возрастает, т.к. 6 > 1, следовательно 
.
3. 
Сделаем замену 
тогда 
Следовательно,
решением данного неравенства являются числа 
,
которые удовлетворяют неравенствам 
, и только такие
числа. Но
убывает, т.к. 
,
следовательно, решением неравенства будут числа , которые удовлетворяют неравенству 
. Ответ: 
.
4. 
.
Ответ: 
.
5. 
. Ответ: 
.
6. 
<
. Пусть 
, тогда 
< 
<
<
или
Ответ 
7. 
Воспользуемся
преобразованием: 
.
Ответ: 
Решите самостоятельно: 1) 
8. 
Согласно
преобразованию: 
(2).
Имеем: 
Первая система
равносильна двум системам, а вторая – решений не имеет, то есть: 
Ответ: 
IV. Задание в классе.
1. Решите неравенства: 
2. Учебник, стр. 47,№2.
V. Домашняя самостоятельная работа.
Решите показательные неравенства: 
VI. Подведение итогов урока.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок №21 НПО 1 курс.docx
Урок 21.
Тема урока. Решение логарифмических уравнений.
Цель урока. Рассмотреть способы решения логарифмических уравнений. Научить обучающихся алгоритму решения логарифмических уравнений.
Ход урока.
I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Повторение и закрепление пройденного материала.
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).
1 вариант.
Решить неравенства: 
2 вариант.
Решить неравенства: 
III. Изучение нового материала.
Рассмотрим простейшее
логарифмическое уравнение 
. Логарифмическая
функция возрастает (или убывает) на промежутке 
и
принимает на этом промежутке все действительные значения. По теореме о корне
следует, что для любого 
данное уравнение
имеет, и притом только одно, решение. Из определения логарифма числа сразу
следует, что 
является таким решением.
Пример 1. 
2. 
Это уравнение определено для тех значений
, при которых выполнены неравенства: 
Это уравнение равносильно уравнению 
- не удовлетворяет неравенству 
, данное уравнение корней не имеет.
3. 
не является решением. Ответ: 2.
4. 
если 
не является корнем уравнения. Ответ: 5.
Определение. Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное находится под знаком логарифма.
Такие уравнения решаются с помощью определения логарифма, теорем о логарифмах и утверждения, что если положительные числа равны, то равны и их логарифмы при данном основании и, обратно, если равны логарифмы чисел при данном основании, то равны и соответствующие им числа.
Необходимо учитывать,
что для любого 
логарифмы отрицательных чисел и
нуля не существуют.
5. 
Подставим 
.
Уравнения: 
- отрицательны, следовательно - посторонний корень, а уравнение не
имеет решений.
6. 
посторонний корень, так как при 
, логарифмы этих выражений не существуют.
Ответ: 
7. 
Проверка: 
Ответ: 5.
8. 
Обозначим 
тогда 
или
Логарифмическое уравнение можно решать одновременно с нахождением области определения соответствующего логарифма.
9. 
10. 
11. 
Потенцируем: 
12. 
Ответ: 0,05; 0,2.
13. 
Используем
формулу: 
Приведем левую часть к основанию 3:
Таким образом 
14. 
По формуле 
преобразуем
левую часть уравнения к основанию 2: 
Тогда
Ответ: 
IV. Задание в классе.
Учебник, стр. 47, №3.
V. Домашняя самостоятельная работа.
Решите логарифмические уравнения:
6) 
VI. Подведение итогов урока.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок №22 НПО 1 курс.docx
Урок № 22.
Тема урока. Решение логарифмических неравенств.
Цель урока. Научить решению логарифмических неравенств.
Ход урока.
I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Повторение и закрепление пройденного материала.
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).
1 вариант.
Решите
логарифмические уравнения: 
2 вариант.
Решите
логарифмические уравнения: 
III. Изучение нового материала.
Неравенства вида 
, где 
называется
простейшим логарифмическим неравенством.
Имеют место следующие равносильные преобразования:
Решение примеров.
1. 
Очевидно , что 
Используя равносильные преобразования(1)и(2), получим:
Ответ: 
2. 
логарифмическая функция убывает на 
Из (1)
Ответ : 
(Напомним: 
).
3. 
Из (3), следует:
Ответ: 
.
4. 
Запишем неравенство в виде 
Ответ: 
5. 
Ответ: 
6. 
Ответ: 
7. 
8. 
9.
При 
решите самостоятельно.
IV. Задание в классе.
Учебник, стр. 47, № 4.
V. Домашняя самостоятельная работа.
Решите логарифмические неравенства:
VI. Подведение итогов урока.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 663 647 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Сколяр Юрий Алексеевич. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
5 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.