Тема: Косинус разности и косинус суммы двух углов.

План урока.

1. Обобщение теоретического материала по теме «Тригонометрические функции произвольного угла».

2. Изучение нового материала по теме «Косинус разности и косинус суммы двух углов».

3. Закрепление изученного материала, отработка практических навыков решения заданий по теме «Косинус разности и косинус суммы двух углов».

4. Исследовательская работа в группах.

5. Представление аналитического  решения поставленных задач.

6. Анализ результатов и выводы.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний;

Цели урока:

·             познакомить учащихся с выводом формулы для вычисления косинуса суммы и разности двух аргументов; обеспечить овладение основными алгоритмическими приемами применения  формулы для вычисления косинуса суммы и разности двух аргументов при упрощении выражений; формирование умения переносить знания  в новую ситуацию;

·             развивать логическое мышление, математическую речь, вычислительные навыки;

·        формирование умения  работать в группе.

Ход урока.

1. Организационный момент. (Слайд 1)

Здравствуйте, друзья! Этот урок алгебры у Вас проведу я. Меня зовут Владимир Владимирович Тюпин. Я учитель математики гимназии №19.

    «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».

Анатоль Франс (1844–1924)

2. Мотивация урока. (Слайд 2)

Ещё Платон говорил: «Человек, способный к математике, изощрён во всех науках».

Как вы понимаете это высказывание?

Таким образом, мы сегодня будем размышлять,  искать простые и красивые решения,  развивать логическое мышление,  правильно и последовательно рассуждать, тренировать память, внимание.

3. Актуализация опорных знаний.

На предыдущих уроках Вы изучали «Тригонометрические функции синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла»

Ребята, давайте вспомним основные понятия, изученные в этом разделе (Слайд 3)

Рассмотрим  т. В на единичной окружности, соответствующую углу

А сейчас давайте с Вами повторим некоторые табличные значения для синуса и косинуса (Слайд 4)

Замечательно! Мы с Вами повторили определения тригонометрических функций, таблицу значений тригонометрических функций некоторых углов.

А как Вы сможете вычислить, например, . (Слайд5)

Давайте найдем данное значение в таблице Брадиса.

Мы видим, что значение содержит 4 цифры после запятой, следовательно данное значение точным считать нельзя.

А через какие табличные значения углов мы можем выразить ?

(Возможные варианты:  или ,)

Как вы думаете, как найти значение данного выражения?

Т.е чтобы найти значения косинусов этих углов мы должны представить их  в виде  или  

Давайте вместе попытаемся сформулировать тему нашего урока

(Косинус разности и суммы двух углов)

Абсолютно верно!

Спасибо!

Запишите в тетради сегодняшнее число 12.03.2013. (Слайд 6)

Сегодня на уроке мы начнем рассматривать «Формулы сложения» и давайте запишем тему урока «Косинус разности и косинус суммы двух углов».

Давайте с Вами повторим некоторые понятия, которые потребуются для работы над новой темой (Слайд 7)

1.     Что называется радиусом-вектором точки? (Это вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало – с началом координат)

2.     Как вычислить координаты вектора? (надо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала)

3.     Как найти угол между двумя векторами? (Надо построить им равные, имеющие общее начало)

И углом между векторами будет считаться меньший из получившихся углов

Далее Вам необходимо в кабинете найти  формулу, относящуюся к тому или иному утверждению, прикрепить на магниты её к доске и сформулировать данное утверждение.

4. Чему равна длина вектора?

5. Чему равно скалярное произведение векторов 

1. Назовите четные тригонометрические функции   

2. Назовите нечётные тригонометрические функции

Замечательно! Эти формулы нам потребуются при изучении нового материала и выполнении самостоятельной работы в группах

4. Изучение нового материала.

Дорогие ребята! А теперь перейдем к изучению нового материала. (Слайд 8)

      Обратимся к рисункам, которые лежат у Вас на столах
                                                                          
           Рис.1                                                                            Рис.2
          Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол α и на угол β (рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Отметим на рисунке 1 координаты точек А, В, С.

(Слайд 9) Рассмотрим векторы и  

Найдем скалярное произведение векторов и .

По определению скалярного произведения векторов:
 = х₁х_{2 +} y₁y₂. (1)
          Выразим скалярное произведение  через тригонометрические функции углов α и β. Из определения косинуса и синуса следует, что
х₁ = R cos α, y₁ = R sin α, х₂ = R cos β, y₂ = R sin β.
Подставив значения х₁, х₂, y₁, y₂ в правую часть равенства (1), получим:
= R²cos α cosβ + R²sin α sinβ = R²(cos α cosβ + sin α sinβ).

(Слайд 10)
С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторов имеем:
= cos BOC = R²cos BOC.
Угол ВОС между векторами и может быть равен α - β (рис.1) или (рис.2) за угол ВОС примем наименьший из образовавшихся углов - (α - β).

В любом из этих случаев cos BOC = cos (α - β).

(Слайд 11)  Поэтому   = R² cos (α - β).
Т.к.   равно также R²(cos α cosβ + sin α sinβ), то
cos(α - β) = cos α cosβ + sin α sinβ.

cos(α + β) = cos(α - (-β)) = cos α cos(-β) + sin α sin(-β) = cos α cosβ - sin α sinβ.
Значит,  cos(α + β) = cos α cosβ - sin α sinβ.

4. Закрепление изученного материала.

Ребята, давайте вернёмся к тому примеру, с которого мы начали свою работу (Слайд 12)

1. Вычислить: 1) cos15⁰.       

  2) Воспользуемся тем, что 15⁰ = 45⁰ - 30⁰;

cos15⁰ = cos(45⁰ - 30⁰) = cos45⁰·cos30⁰  + sin 45⁰·sin30⁰ =  .

2. Вычислить:  (Слайд 13) 

1) cos37⁰cos8⁰ – sin37⁰sin8⁰;   

Решение: 1) cos37⁰cos8⁰ – sin37⁰sin8⁰ = cos(37⁰ + 8⁰) = cos45⁰ =

2) cos107⁰cos17⁰ + sin107⁰sin17⁰.

Решение:

2) cos107⁰cos17⁰ + sin107⁰sin17⁰ = cos(107⁰  - 17⁰) = cos90⁰ = 0.

5. Самостоятельная работа.  (Слайд 14)

А теперь поработаем в группах. На столах у каждой группы в конвертах лежит задание. Каждое задание состоит из двух частей. Вам предстоит вычислить значение косинуса одного из не табличных углов, а во втором задании упростить выражение и выбрать правильный вариант ответа, предложенный ниже. После чего один представитель от каждой группы должен внести эти результаты в компьютер, тем самым проверить правильность выполнения задания. Каждый учащийся в группе получит отметку, зависящую от того, насколько удачно сработает его группа.

Вариант 1

Вычислите, не пользуясь таблицей или калькулятором .

Упростите выражение и выберите правильный вариант ответа из ниже приведённых.

.

Вариант 2

Вычислите, не пользуясь таблицей или калькулятором .

Упростите выражение и выберите правильный вариант ответа из ниже приведённых.

.

6.  Результаты самостоятельной работы

7. Домашнее задание. Подведение итогов урока. (Слайд 15)

 Выучить п.9.1,теорема 1 и 2 с выводом Решить № 9.3, № 9.10(а), № 9.12 (в,г)

 Рефлексия:

Рефлексия.

1)    Комфортно ли Вам было сегодня на уроке?

Мне тоже, потому что я старался лететь вместе с Вами!

Давайте вместе с Вами подведём итоги нашего урока.

а) Сегодня на уроке мы повторили…

б) Сегодня на уроке мы изучили…

И в качественного беспристрастного помощника у нас сегодня выступал компьютер.

Дорогие друзья, это был первый урок по теме «Формулы сложения». На следующих уроках Вы продолжите работу по этой теме. (Слайд 16)

Я надеюсь, что сегодня на уроке вы насыщались новыми знаниями с аппетитом! Спасибо за урок!

2.  Вычислить:   , если известно, что . Решение:   

. По условию аргумент y принадлежит второй четверти, а в ней синус положителен. Поэтому из равенства     находим, что   .  

   .

Самостоятельная работа

Самостоятельная работа

Рис 1                                                                                                                                    Рис 2

Рис. 1                                                                                                                          Рис.2