Консультация
по математике для 11 класса. Шаройко Н. И. - учитель ИСОШ № 3
Тема:
СТЕПЕНИ И КОРНИ.
Цель:
подготовка к ЕНТ.
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Корень
–ой степени и его
свойства
Определение:
Корнем -ой степени (
– натуральное число,
отличное от 1) из числа 
называется такое число 
, -ая степень которого
равна числу .
, где 
.
Определение:
Арифметическим корнем -ой степени от отрицательного числа называется
неотрицательное число , -ая степень которого
равна числу .
Свойства:Для
положительных чисел 
при 
для корней –ой, 
ой степени
1. 
; 2.
;
3.
= 
; 4.
= 
;
5.
= 
;
6. 
= 
.
Степень
с рациональным показателем
Определение: Степенью
числа 
с рациональным показателем 
называется значение корня –ой степени из числа 
.
= 
.
Свойства: Для любых
чисел , для любых целых чисел 
1.
; 2.
;
3. 
; 4.
;
5. 
; 6.
, то 
при 
;
при 
.
Свойства: Для 
и любых рациональных чисел 
1.
; 2.
;
3. 
; 4.
;
5. 
; 6.
- рациональное число и 
, то
при r
при r
7.
для рациональных чисел из неравенства r
, получаем 
при , 
, при .
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Корень
–ой степени и его
свойства
Пример 1. Вычислите:
а)
; б) 
; в)
; г) 
.
Решение:
а) = 
и = -, так как 
= 
и 
= .
Ответ:
и -
б) = 3, так как 
=
27.
Ответ: 3
в) = -
, так как 
= -
.
Ответ: -
г) = 4, так как 
=
64.
Ответ: 4
Пример 2. Найдите значение
выражения:
а)
; б) 
· 
в)
г) 
д) 
е) 
ж)
· 
Решение:
а)
= 
· 
= 2 · 5 = 10
Ответ:
10
б)
· = 
= 
= 2
Ответ:
2
в) = 
= 
= 
Ответ:
г)
= 
= 2
Ответ:
2
д)
= 
) ³ = 2 ³ = 8
Ответ:
8
е)
= 
Ответ:
3
ж) · = 
= 
= 
= 
= 4
Ответ: 4
Пример 3.Вынесите
множитель из-под знака корня:
а)
б) 
в) 
Решение:
а)
= 
Ответ:
б)
= 
= 
Ответ:
в)
= 
= -2
Ответ:
-2
Пример 4.Внесите под знак
корня:
а)
б) 
в) 
Решение:
а)
, так как корень третьей степени, внесем
число 4 под корень с показателем 3.
= 
= 
Ответ:
б)
, так как - неотрицательное число и корень
четвертой степени, под знак корня внесем число с показателем 4.
= 
Ответ:
в)
, так как корень восьмой степени, внесем
число под корень с показателем 8.
= 
= 
Ответ:
Пример 5.
Освободите от иррациональности знаменатель дроби:
а)
б) 
в) 
Решение:
необходимо
умножить числитель и знаменатель на сопряженную дробь
а)
= 
= 
= 
= 
Ответ:
б)
= 
= 
= 
= 
Ответ:
в)
= 
= 
= 
= - 
Ответ:
Степень
с рациональным показателем
Пример
1. Представьте выражение в виде степени с
рациональным показателем:
а)
б) 
в)
Решение:
а)
= 
Ответ:
б)
= 
Ответ:
в)= 
Ответ:
Пример 2. Представьте
выражение в виде корня:
а)
б) 
в)
Решение:
а)
= 
Ответ:
б)
= 
= 
Ответ:
в) = 
Ответ:
Пример 3.Найдите значение
числового выражения:
а)
б) 
) в)
- 
Решение:
а)
= 
= 
= 2 · 5 = 10
Ответ:
10
б)
) = 
=
= 2 · 27 = 54
Ответ:
54
в) - = 9 + 
- 
= 9 + 27 – 5 = 31
Ответ:
21
Пример 4.Упростите
выражения:
а)
б) 
Решение:
а)
= 
= 
= 
Ответ:
б)
= 
= 
Ответ:
Пример 5.Сравните числа:
а)
б) 
Решение:
а)
, запишем 
в виде степени с рациональным
показателем: 
. Получаем
, так как 
Ответ:
б)
. Запишите эти числа в виде степеней с
одинаковыми показателем:
, 
, так как 8<9, получаем 
Ответ:
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Корень
–ой степени и его
свойства
1.
Вычислите:
а) 
б)
Ответ:
10 Ответ: 
и -
в)
г)
Ответ:
Ответ:
и -
2.
Найдите значение выражения:
а)
б)
· 
Ответ: 3 Ответ:
6
в)
г)
Ответ: 5 Ответ:
д)
е)
+ 
ж) 
· 
Ответ: 9 Ответ:
2 Ответ: 9
3.
Вынесите множитель из-под знака корня:
а)
б) 
Ответ: 
Ответ:
2
в)
г) 
Ответ: 
Ответ:
4.
Внесите под знак корня:
а)
б)
в)
Ответ: 
Ответ:
Ответ: 
5.
Освободите от иррациональности знаменатель дроби:
а)
б)
в)
Ответ:
Ответ:
Ответ:
г)
д)
Ответ:
Ответ:
Степень
с рациональным показателем
1.
Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:
а)
б)
в)
Ответ:
Ответ:
Ответ:
2.
Представьте выражение в виде корня:
а)
б)
в)
Ответ:
Ответ:
Ответ:
3.
Найдите значение числового выражения:
а) 
б)
в)
+19(-
Ответ:
10 Ответ:
Ответ:
32
4.
Упростите выражения:
а) 
б)
Ответ: 
Ответ:
в) 
·
Ответ:
5.
Сравните числа:
а) 
б)
в)
Ответ:
Ответ:
Ответ:
