Контрольная работа "Основы теории вероятности и математической статистики"

Наименование: Контрольная работа №.10.

Учебная дисциплина: математика

Группы: РН-02, ТОЭ-02.

Вариант 1

Задача 1.

Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?

Решение:

Т.к. известно, что двое мальчиков войдут в команду, то остается отобрать 3 из 8. Для выборки важен только состав (по условию все члены команды не различаются по ролям). Следовательно, выборки – сочетания из n различных

элементов по m элементов, их число:  Cnm  =

n!

, где n!= 1

× 2

× 3 ×... × n , при

m!×(n - m)!

n=8, m=3.

6 × 7 × 8

C3  =

8!

=

8!

=

= 56 .

8

3!×(8 - 3)!

3!×5!   1× 2 × 3

Ответ:  56 способов сформировать команду.

Задача 2.

 На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из которых запрещает дальнейшее движение автомашины с вероятностью 0,5. Найти ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки. Чему равны математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины?

Решение:

Пусть X – дискретная случайная величина, равная числу светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки, она может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4.

Случайная величина X принимает значение равное 0, если автомобиль попал на запрещающий сигнал на первом же светофоре, вероятность этого P ( X = 0) = 0, 5 .

Случайная величина X принимает значение равное 1, если автомобиль проехал на первом светофоре и попал на запрещающий сигнал на втором светофоре, вероятность этого

P ( X = 1) = 0,5 × 0,5 = 0, 25 .

Случайная величина X принимает значение равное 2, если автомобиль проехал на первом и втором светофоре и попал на запрещающий сигнал на третьем светофоре, вероятность этого P ( X = 2) = 0, 5 × 0, 5 × 0, 5 = 0,125 .

Случайная величина X принимает значение равное 3, если автомобиль проехал на первом, втором и третьем светофоре и попал на запрещающий сигнал на четвертом светофоре, вероятность этого P ( X = 3) = 0, 5 × 0, 5 × 0,5 × 0,5 = 0,5⁴ = 0, 0625 .

Случайная величина X принимает значение равное 4 если автомобиль проехал на всех 4 светофорах, вероятность этого P ( X = 4) = 0, 5⁴ = 0, 0625 .

Таким образом, закон распределения случайной величины X  имеет вид:

	xi	0	1	2		3	4
	pi	0,5	0,25	0,125		0,0625	0,0625
Расчеты произведены правильно, так как сумма ∑ pi						= 1 .

Математическое ожидание:

M ( X ) = _∑x_i p_i  = 0 × 0,5 + 1× 0, 25 + 2 × 0,125 + 3 × 0, 0625 + 4 × 0, 0625 = 0, 9375 .

Дисперсия:

D ( X ) = _∑( x_i ) ²  p_i  - (M ( X ))²  =

= 0² × 0, 5 + 1² × 0, 25 + 2² × 0,125 + 3² × 0, 0625 + 4² × 0, 0625 - 0, 9375²  » 1, 434.

Задача 3.

 Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий.

Решение. 

По условию дано: .

По теореме сложения вероятностей

Вариант 2

Задача 1

В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

Решение:

Способ 1. В одной игре участвуют 2 человека, следовательно, нужно вычислить, сколькими способами можно отобрать 2-х человек из 15, причем порядок в таких парах не важен. Воспользуемся формулой для нахождения числа сочетаний (выборок, отличающихся только составом) из n различных

элементов по m элементов

Cnm  =

n!

, где n!= 1× 2 × 3 ×... × n , при n=15, m=2.

m!×(n - m)!

C 2

=

15!

=

15!

=

14

×15

= 105 .

15

2!×(15 - 2)!

2!×13!

1

× 2

В процессе решения исключили 13! из15!, т.е. сократили произведение 15!= 1× 2 × 3 ×... ×15 на 13!= 1× 2 × 3 ×... ×13 , остались после сокращения множители 14 и

15).

Способ 2. Первый игрок сыграл 14 партий (с2-м, 3-м, 4-м, и так до 15-го), 2-ой игрок сыграл 13 партий (3-м, 4-м, и т.д. до 15-го, исключаем то, что с первым партия уже была), 3-ий игрок − 12 партий, 4-ый − 11 партий, 5 – 10 партий, 6 – 9 партий, 7 – 8 партий, 8 – 7 партий,

9 – 6

10 – 5

11 – 4

12 – 3

13 – 2 14 – 1, а 15-ый уже играл со всеми.

Итого: 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105 партий

Ответ:  105 партий.

Задача 2.

Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти дисперсию этой случайной величины.

Решение:

Введем дискретную случайную величину X = (Число промахов). X может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4.

Найдем соответствующие вероятности.

X = 0 , если охотник попал в дичь при первом выстреле, поэтому P ( X = 0) = 0, 7 .

X = 1 , если охотник не попал в дичь при первом выстреле и попал в дичь при втором выстреле, поэтому P ( X = 1) = 0,3 × 0, 7 = 0, 21 .

X = 2 , если охотник не попал в дичь при первом выстреле и втором выстреле, и попал в дичь при третьем выстреле, поэтому P ( X = 2) = 0, 3 × 0,3 × 0, 7 = 0, 063 .

X = 3 , если охотник не попал в дичь при первом, втором и третьем выстреле, и попал в

дичь при четвертом выстреле, поэтому P ( X = 3) = 0, 3× 0,3 × 0,3								× 0, 7 = 0, 0189 .
X = 4 , если охотник не попал в дичь при первом, втором, третьем и четвертом выстрелах,
поэтому P ( X = 4) = 0, 3 × 0,3 × 0, 3 × 0,3 = 0, 0081.
Закон распределения X :
xi		0		1		2	3		4
pi		0,7		0,21		0,063	0,0189		0,0081
Найдем числовые характеристики с.в. X .
Математическое ожидание:
M ( X ) = ∑xi pi		= 0 × 0, 7 + 1× 0, 21 + 2 × 0, 063 + 3× 0, 0189 + 4 × 0, 0081 = 0, 4251.

   Дисперсия:

D( X ) = _∑x_i² p_i - (M ( X ))² =0 × 0,7 +1× 0, 21+ 4 × 0,063 + 9 × 0,0189 +16 × 0,0081- 0,4251² »0,581.

  Задача 3.

 Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

Решение: 

По условию дано: .

Получаем:

Вариант 1

Задача 1.

Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?

Задача 2.

 На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из которых запрещает дальнейшее движение автомашины с вероятностью 0,5. Найти ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки. Чему равны математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины?

Задача 3.

 Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий.

Вариант 2

Задача 1

В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

Задача 2.

Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти дисперсию этой случайной величины.

Задача 3.

 Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.