Контрольная работа по дисциплине "Линейная алгебра"

Контрольная работа

1. Решить систему уравнений методом Гаусса.

Решение.

Запишем расширенную матрицу системы:

Первую строку умножим на (-3) и прибавим ко второй строке:

Первую строку умножим на (-2) и прибавим к третьей строке:

Первую строку умножим на (-1) и прибавим к четвертой строке:

Вторую и третью строку меняем местами:

Вторую строку умножим на (4) и прибавим к третьей строке:

Вторую строку умножим на (-1) и прибавим к четвертой строке:

Третью строку делим на (-3), четвертую – на 3:

Четвертую строку умножим на (-4) и прибавим к третьей:

Третью строку умножим на (-2) и прибавим к четвертой:

Преобразованная матрица имеет треугольный вид, причем ранг матрицы  равен рангу расширенной матрицы  ().

Следовательно, согласно теореме Кронекера-Капелли, система совместна и имеет единственное решение, которую находим, выполняя обратный ход.

Выполняем обратный ход метода Гаусса.

Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице:

Из последнего уравнения найдем: .

Подставив полученное решение в третье уравнение, определим:

Из второго уравнения получаем:

Из первого уравнения:

Таким образом,

Ответ:

2. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период между двумя отраслями промышленности в условных единицах. Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если объем выпуска конечного продукта первой отрасли возрастет на 20%:

Отрасль	Потребление		Конечный продукт	Валовой выпуск
	1	2
1	15 000	5 000	80 000	100 000
2	8 000	12 000	180 000	200 000

Решение.

Общая структура межотраслевого баланса

Тогда вектор конечной продукции:

Коэффициенты прямых затрат вычисляются по формуле:

.

Тогда матрица коэффициентов прямых затрат имеет вид:

По заданному изменению новый вектор валового выпуска имеет вид:

Новый вектор конечного продукта можно найти из соотношения:

Ответ: Необходимый объем валового выпуска первой отрасли 92000 у.е., второй отрасли 183200 у.е.

3.Известны координаты вершин треугольника АВС: А(-3; -2); В(14; 4); С(6; 8). Найти:

1. уравнения всех сторон в общем виде;
2. уравнение высоты AN₁ в общем виде;
3. расстояние от точки С до прямой АВ;
4. уравнение прямой СС₁, проходящей параллельно АВ;
5. длину стороны АВ.

Решение.

1) АВ: ,

АС: ,

ВС: ,

2) Направляющий вектор высоты AN₁ совпадает с нормальным вектором прямой ВС:

= {1; 2}

Тогда уравнение высоты AN₁:

3) расстояние от точки С до прямой АВ

4) Нормальный вектор прямой СС₁ совпадает с нормальным вектором прямой АВ:

= {6; -17}

Тогда уравнение прямой СС₁:

5) Длину стороны АВ найдем как длину вектора :

Ответ: 1) , ,

2)

3)

4)

5)

4. Построить кривые по заданным уравнениям:

.

Решение.

 - уравнение окружности с центром в точке (-3,5) и с радиусом 2.

 - уравнение эллипса с центром в точке (0,0), большая полуось равна 7, малая полуось равна 2.

Для построения эллипса в системе координат :

1) отмечаем центр эллипса ;

2) проводим через центр  оси симметрии эллипса;

3) строим пунктиром основной прямоугольник эллипса с центром  и сторонами  и  параллельными осям симметрии;

4) изображаем сплошной линией эллипс, вписывая его в основной прямоугольник так, чтобы эллипс касался его сторон в точках пересечения прямоугольника с осями симметрии.

 - уравнение гиперболы с центром в точке , действительная полуось равна 5, мнимая полуось равна 4. Асимптоты гиперболы .

Для построения гиперболы в системе координат :

1) отмечаем центр гиперболы ;

2) проводим через центр  оси симметрии гиперболы;

3) строим пунктиром основной прямоугольник гиперболы с центром  и сторонами  и  параллельными осям симметрии;

4) проводим через противоположные вершины основного прямоугольника пунктиром прямые, являющиеся асимптотами гиперболы, к которым неограниченно близко при бесконечном удалении от начала координат приближаются ветви гиперболы, не пересекая их;

5) изображаем сплошной линией ветви гиперболы.

 - уравнение параболы с вершиной в точке , а уравнение директрисы .

Для построения параболы в системе координат :

1) отмечаем вершину параболы ;

2) проводим через вершину  ось симметрии параболы;

3) изображаем сплошной линией параболу, направляя её ветвь, с учётом того, что параметр параболы , в положительную сторону оси .

5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:

Решение.

Множество собственных чисел матрицы совпадает с множеством корней характеристического уравнения матрицы : , а множество собственных векторов, отвечающих собственному числу , совпадает с множеством ненулевых решений матричного уравнения: , определяемым методом Гаусса.

Составляем характеристическое уравнение матрицы :

.

Записываем его в виде алгебраического уравнения и находим действительные корни (среди них могут быть и кратные):

, , . Таким образом, собственными числами матрицы  являются: , , .

Составляем матричное уравнение для нахождения собственных векторов , отвечающих собственному числу :  или , записываем его в виде системы линейных уравнений:  и решаем методом Гаусса. Полученная система эквивалентна системе . Система имеет бесконечно много решений. Для записи её общего решения указываем базисные и свободные неизвестные. Выбираем в качестве базисной – неизвестные , тогда свободными будут неизвестные . Свободным неизвестным придаём произвольные постоянные значения: , где  и выражаем через них значение базисных неизвестных . Тогда общее решение системы, задающее множество всех собственных векторов , отвечающих собственному числу , будет иметь вид: , .

Пусть , тогда

Пусть , тогда

Составляем матричное уравнение для нахождения собственных векторов , отвечающих собственному числу :  или , записываем его в виде системы линейных уравнений:  и решаем методом Гаусса. Полученная система эквивалентна системе . Система имеет бесконечно много решений. Для записи её общего решения указываем базисные и свободную неизвестные. Выбираем в качестве базисных – неизвестные , тогда свободной будет неизвестная . Свободной неизвестной придаём произвольное постоянное значение: , где  и выражаем через неё значение базисных неизвестных  . Тогда общее решение системы, задающее множество всех собственных векторов , отвечающих собственному числу , будет иметь вид: , .

Пусть , тогда

Составляем матричное уравнение для нахождения собственных векторов , отвечающих собственному числу :  или , записываем его в виде системы линейных уравнений:  и решаем методом Гаусса. Полученная система эквивалентна системе . Система имеет бесконечно много решений. Для записи её общего решения указываем базисные и свободную неизвестные. Выбираем в качестве базисных – неизвестные , тогда свободной будет неизвестная . Свободной неизвестной придаём произвольное постоянное значение: , где  и выражаем через неё значение базисных неизвестных  . Тогда общее решение системы, задающее множество всех собственных векторов , отвечающих собственному числу , будет иметь вид: , .

Пусть , тогда

Ответ:

, ,

, ,

,