Контрольная работа по математической статистике для студентов технического университета в 2х вариантах с решениями

DOCX

Вариант №2

Задача №1

Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки взято 130 из 2000 упаковок, содержащихся в партии, и получены следующие данные об их весе:

Вес упаковки

(гр.)

Менее

975

975-1000

1000-1025

1025-1050

Более

1050

Всего

Число упаковок

130

Найти:

А) границы, в которых с вероятностью 0,9901 заключен средний вес упаковок в партии;

Б) вероятность того, что доля упаковок, вес которых менее 1000 г, во всей партии отличается от доли таких упаковок в выборке не более чем 0,05 (по абсолютной величине)

В) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего веса упаковок во всей партии можно гарантировать с вероятностью 0,95.

Решение.

Находим выборочную среднюю .

Примечание: В случае незамкнутых интервалов, они заменяются на интервалы той же длины, что и остальные интервалы выборки.

(962,5*6+987,5*38+1012,5*44+1037,5*34+1062,5*8)=1012,5

Находим выборочную дисперсию = 615,3846

Находим среднюю квадратическую ошибку выборки для доли:

- для бесповторной выборки

Здесь w – выборочная доля деталей в выборке, вес которых меньше 1000 г.

= 0,3385

N – объем генеральной совокупности (в нашем случае – 2000)

0,04013

Находим доверительную вероятность того, что доля упаковок, вес которых менее 1000 г, во всей партии отличается от доли таких упаковок в выборке не более чем 0,05 (по абсолютной величине)

Найдем границы, в которых с вероятностью 0,9901 заключен средний вес упаковок в партии.

По таблицам значений функции Лапласа находим: Ф(t)=0,9901 2,58

Интервальные оценки для средней находятся по формулам:

Получаем :

Найдем объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего веса упаковок во всей партии можно гарантировать с вероятностью 0,95.

Объем бесповторной выборки определяется по формуле:

Ответ:

А) границы, в которых с вероятностью 0,9901 заключен средний вес упаковок в партии:

Б) вероятность того, что доля упаковок, вес которых менее 1000 г, во всей партии отличается от доли таких упаковок в выборке не более чем 0,05 (по абсолютной величине) равна 0,7887

В) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего веса упаковок во всей партии можно гарантировать с вероятностью 0,95 равен 77.

Задача №2

Вес упаковки

(гр.)

Менее

975

975-1000

1000-1025

1025-1050

Более

1050

Всего

Число упаковок

130

Требуется используя критерий Пирсона при уровне значимости a=0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X – вес упаковок – распределена по нормальному закону. Построить на одном графике гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение.

Используем данные, полученные в предыдущем задании:

1012,5

= 615,3846

Примечание: В принципе в качестве дисперсии нормального закона распределения следует взять исправленную выборочную дисперсию. Но т.к. количество наблюдений – 130 достаточно велико, то подойдет и “обычная” .

Таким образом, теоретическое нормальное распределение имеет вид:

подставляем а = 1012,5 = 615,3846 24,8069

Для расчета вероятностей p_i попадания случайной величины в интервал [x_i ; x_i₊₁] используем функцию Лапласа:

в нашем случае получаем:

Примечание: Такие симметричные вероятности получились из-за того, что по нашим начальным условиям выборочная средняя попала точно в середину среднего интервала выборки.

Составим таблицу:

i	Интервал [x_i ; x_i+1]	Эмпирические частоты n_i	Вероятности p_i	Теоретические частоты np_i	(n_i-np_i)²
1	Менее 975	6	0,0597	7,761	3,101	0,3996
2	975-1000	38	0,2431	31,603	40,922	1,2949
3	1000-1025	44	0,3829	49,777	33,374	0,6705
4	1025-1050	34	0,2431	31,603	5,746	0,1818
5	Более 1050	8	0,0597	7,761	0,057	0,0073
		130	0,9885	128,5

Итого, значение статистики .

Определим количество степеней свободы по формуле: .

m – число интервалов (m = 5)

r – число параметров закона распределения (в нормальном распределении r = 2)

Т.е. k = 2.

Соответствующее критическое значение статистики

Поскольку , гипотеза о нормальном распределении с параметрами

N(1012,5; 615,3846) согласуется с опытными данными.

Ниже показана гистограмма эмпирического распределения и соответствующая нормальная кривая.

Задача №3

Распределение 50 компаний по ежемесячным затратам на рекламу Х (тыс.руб) и объему выручки от продаж Y (млн.руб) представлено в таблице:

Необходимо:

1. Вычислить групповые средние и и построить эмпирические линии регрессии.

2. предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии;

б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости 0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний объем выручки от продаж при ежемесячных затратах на рекламу в размере 2,4 тыс.руб

Решение.

Находим групповые средние по формулам:

; ;

, - середины соответствующих интервалов.

Групповые средние:

Полученные по формулам значения заносим в таблицу:

Для нахождения уравнений регрессии вычисляем необходимые суммы:

2.1*6+2.3*10+2.5*16+2.7*11+2.9*7 =

30*2+34*5+38*11+42*14+46*12+50*6 =

= 5295,6

Получаем искомые уравнения регрессии:

Ниже представлены графики полученных уравнений регрессии совместно с соответствующей эмпирической регрессией

Находим коэффициент корреляции радикал берем со знаком + , т.к коэффициенты и положительны.

Оценим значимость коэффициента корреляции.

По таблице критерия Стьюдента для уровня значимости 0,05 находим

Т.к. , то коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. Связь тесная и прямая.

По найденному уравнению регрессии находим:

млн.руб

Ответ: Групповые средние:

Уравнения регрессии:

Коэффициент корреляции:

Краткое описание материала

Целью данной работы является практическое закрепление знаний о понятиях математической статистики.

Математическая статистика — наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (напр., оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

Контрольная работа по математической статистике для студентов технического университета в 2х вариантах с решениями

Математика

Другие методич. материалы

(1 оценка)

20.12.2014

2688

Файл будет скачан в формате:

DOCX

Автор материала

Фадеева Наталья Олеговна

учитель математики

На сайте: 10 лет и 6 месяцев
Всего просмотров: 150592
Подписчики: 0
Всего материалов: 22

150592
просмотров
22
материалов
0
подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Фадеева Наталья Олеговна.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.