Контрольная работа по математической статистике для студентов технического университета в 2х вариантах с решениями

Вариант №2

Задача №1

            Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки взято 130 из 2000 упаковок, содержащихся в партии, и получены следующие данные об их весе:

Вес упаковки (гр.)	Менее 975	975-1000	1000-1025	1025-1050	Более 1050	Всего
Число упаковок	6	38	44	34	8	130

            Найти:

            А) границы, в которых с вероятностью 0,9901 заключен средний вес упаковок в партии;

            Б) вероятность того,  что доля упаковок, вес которых менее 1000 г, во всей партии отличается от доли таких упаковок в выборке не более чем 0,05 (по абсолютной величине)

            В) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего веса упаковок во всей партии можно гарантировать с вероятностью 0,95.

Решение.

            Находим выборочную среднюю .

Примечание:            В случае незамкнутых интервалов, они заменяются на интервалы той же длины, что и остальные интервалы выборки.

(962,5*6+987,5*38+1012,5*44+1037,5*34+1062,5*8)=1012,5

                        Находим выборочную дисперсию  = 615,3846

            Находим среднюю квадратическую ошибку выборки для доли:

- для бесповторной выборки

Здесь w – выборочная доля деталей в выборке, вес которых меньше 1000 г.

= 0,3385

            N – объем генеральной совокупности (в нашем случае – 2000)

0,04013

            Находим доверительную вероятность того,  что доля упаковок, вес которых менее 1000 г, во всей партии отличается от доли таких упаковок в выборке не более чем 0,05 (по абсолютной величине)

            Найдем границы, в которых с вероятностью 0,9901 заключен средний вес упаковок в партии.

            По таблицам значений функции Лапласа находим: Ф(t)=0,9901  2,58

            Интервальные оценки для средней находятся  по формулам:

            Получаем :

 =

            Найдем объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего веса упаковок во всей партии можно гарантировать с вероятностью 0,95.

            Объем бесповторной выборки определяется по формуле:

                  

           

            Ответ:  

А) границы, в которых с вероятностью 0,9901 заключен средний вес упаковок в партии: 

 Б)  вероятность того,  что доля упаковок, вес которых менее 1000 г, во всей партии отличается от доли таких упаковок в выборке не более чем 0,05 (по абсолютной величине) равна 0,7887

В) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего веса упаковок во всей партии можно гарантировать с вероятностью 0,95 равен 77.

Задача №2

            Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки взято 130 из 2000 упаковок, содержащихся в партии, и получены следующие данные об их весе:

Вес упаковки (гр.)	Менее 975	975-1000	1000-1025	1025-1050	Более 1050	Всего
Число упаковок	6	38	44	34	8	130

            Требуется используя критерий  Пирсона при уровне значимости a=0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X – вес упаковок – распределена по нормальному закону. Построить на одном графике гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение.

            Используем данные, полученные в предыдущем задании:

1012,5

= 615,3846

Примечание:  В принципе в качестве дисперсии нормального закона распределения следует взять исправленную выборочную дисперсию. Но т.к. количество наблюдений – 130 достаточно велико, то подойдет и “обычная” .

            Таким образом, теоретическое нормальное распределение имеет вид:

            подставляем  а = 1012,5     = 615,3846  24,8069

            Для расчета вероятностей p_i попадания случайной величины в интервал [x_i ; x_i+1] используем функцию Лапласа:

            в нашем случае получаем:

            Примечание: Такие симметричные вероятности получились из-за того, что по нашим начальным условиям выборочная средняя попала точно в середину среднего интервала выборки.

            Составим таблицу:

i	Интервал [xi ; xi+1]	Эмпирические частоты ni	Вероятности pi	Теоретические частоты npi	(ni-npi)2
1	Менее 975	6	0,0597	7,761	3,101	0,3996
2	975-1000	38	0,2431	31,603	40,922	1,2949
3	1000-1025	44	0,3829	49,777	33,374	0,6705
4	1025-1050	34	0,2431	31,603	5,746	0,1818
5	Более 1050	8	0,0597	7,761	0,057	0,0073
		130	0,9885	128,5

            Итого, значение статистики .

            Определим количество степеней свободы по формуле: .

            m – число интервалов (m = 5)

            r – число параметров закона распределения (в нормальном распределении r = 2)

            Т.е. k = 2.

            Соответствующее критическое значение статистики

            Поскольку , гипотеза о нормальном распределении с параметрами

            N(1012,5; 615,3846) согласуется с опытными данными.

            Ниже показана гистограмма эмпирического распределения и соответствующая нормальная кривая.

Задача №3

            Распределение 50 компаний по ежемесячным затратам на рекламу Х (тыс.руб) и объему выручки от продаж Y (млн.руб)  представлено в таблице:

            Необходимо:

            1. Вычислить групповые средние   и   и построить эмпирические линии регрессии.

            2. предполагая, что между переменными Х и Y  существует линейная корреляционная зависимость:

                        а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии;

                        б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости 0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

                        в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний объем выручки от продаж при ежемесячных затратах на рекламу в размере 2,4 тыс.руб

Решение.

            Находим групповые средние по формулам:

 ;  ;

            , - середины соответствующих интервалов.

 =

=

Групповые средние:

     

     

     

     

      

                                           

            Полученные по формулам значения заносим в таблицу:

            Для нахождения уравнений регрессии вычисляем необходимые суммы:

             2.1*6+2.3*10+2.5*16+2.7*11+2.9*7 =

              

            30*2+34*5+38*11+42*14+46*12+50*6 =

           

            = 5295,6

           

           

           

           

           

           

           

Получаем искомые уравнения регрессии:

Ниже представлены графики полученных уравнений регрессии совместно с соответствующей эмпирической регрессией

            Находим коэффициент корреляции  радикал берем со знаком  + , т.к коэффициенты  и  положительны.

            Оценим значимость коэффициента корреляции.

По таблице критерия Стьюдента для уровня значимости 0,05 находим

            Т.к. , то коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. Связь тесная и прямая.

            По найденному уравнению регрессии находим:

 млн.руб

Ответ:                Групповые средние:

     

     

     

     

      

                                            

            Уравнения регрессии:

            Коэффициент корреляции:

Краткое описание документа:

Целью данной работы является практическое закрепление знаний о понятиях математической статистики.

Математическая статистика — наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (напр., оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).