Контрольная работа по теме "Дифференциальные уравнения"

Контрольная работа

Задача 1. Найти общее решение линейной однородной системы

Решение.

Составляем характеристическое уравнение заданной системы:

Подбором найдем действительный корень

Строим , где  - собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е  удовлетворяет системе .

Тогда

За  возьмем .

Строим , где  - собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е  удовлетворяет системе .

Тогда

Первое уравнение сократим на 2. Затем ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на 2i, а от третьего уравнения отнимем первое, умноженное на 2.

За  возьмем

Следовательно, ,

, ,  - фундаментальная система решений. Запишем общее решение исходной системы:

Ответ.  - общее решение линейной однородной системы

Задача 2. Найти общее решение линейной неоднородной системы методом неопределенных коэффициентов

Решение.

Составляем характеристическое уравнение заданной системы:

 или

,

Строим , где  - собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е  удовлетворяет системе .

Тогда

За  возьмем .

Строим , где  - собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е  удовлетворяет системе .

Тогда

За  возьмем .

,  - фундаментальная система решений. Запишем общее решение однородной системы:

Теперь найдем частное решение.

Правая часть имеет вид квазимногочлена

. Поскольку  не совпадает ни с одним из собственных значений, то частное решение будем искать в виде, аналогичном f(t), т.е. полагаем

Неизвестные A, B, C, D найдем методом неопределенных коэффициентов.

Подставляем в исходное неоднородное уравнение:

Частное решение имеет вид:

Тогда общее решение исходной неоднородной системы будет:

Ответ. - общее решение линейной неоднородной системы

Задача 3. Найти общее решение линейной неоднородной системы методом вариации произвольных постоянных

Решение.

Составляем характеристическое уравнение заданной системы:

,

Строим , где  - собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е  удовлетворяет системе .

Тогда

За  возьмем .

Строим , где  - собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е  удовлетворяет системе .

Тогда

За  возьмем .

,  - фундаментальная система решений. Запишем общее решение однородной системы:

В соответствии с методом вариации постоянных, будем считать, что C₁, C₂ являются функциями переменной t:

Подставим в систему:

Получим:

Тогда общее решение исходной неоднородной системы будет:

Ответ. - общее решение линейной неоднородной системы