Контрольная работа № 8 по теме «Отыскание наибольшего и наименьшего значений» (2 ЧАСА)

Контрольная работа № 8   (2 часа)

Цели: выявление знаний учащихся, проверка степени усвоения ими изученного материала; развитие навыков самостоятельной работы.

Вариант 1

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции.

а)  на отрезке [0; 1];

б)  на отрезке [–p; 0].

2. Найдите диагональ прямоугольника наибольшей площади, вписанного в прямоугольный треугольник с катетами 18 см и 24 см и имеющего с ним общий прямой угол.

3. Исследуйте функцию  на монотонность и экстремумы.

4. При каких значениях параметра а уравнение  имеет три корня?

Вариант 2

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции.

а)  на отрезке [–2; 1];

б)  на отрезке

2. В прямоугольном треугольнике с катетами 36 и 48 на гипотенузе взята точка. Из неё проведены прямые, параллельные катетам. Получился прямоугольник, вписанный в данный треугольник. Где на гипотенузе надо взять точку, чтобы площадь такого прямоугольника была наибольшей?

3. Исследуйте функцию  на монотонность и экстремумы.

4. При каких значениях параметра а уравнение  имеет два корня?

Вариант 3

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции.

а)  на отрезке [0; 3];

б)  на отрезке

2. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 15 см. Каковы должны быть их длины, чтобы гипотенуза треугольника была наименьшей?

3. Исследуйте функцию  на монотонность и экстремумы.

4. При каких значениях параметра а уравнение  имеет менее трех корней?

Вариант 4

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции.

а)  на отрезке [–2; 2];

б)  на отрезке

2. Периметр равнобедренного треугольника равен 18 см. Какими должны быть его стороны, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

3. Исследуйте функцию  на монотонность и экстремумы.

4. При каких значениях параметра а уравнение  имеет более одного корня?

Решение вариантов контрольной работы

Вариант 1

1. а)    [0; 1]

       

       

       

       

        у (0) = 10

       

Ответ:

б)     [–p; 0].

   

   

   

   

   

Ответ:

2.                              

Пусть дан прямоугольный , в котором  АВ = 18, АС = 24. Пусть AKMN – прямоугольник, вписанный в .

1) Оптимизируемая величина – площадь прямоугольника AKMN. Обозначим её буквой S.

Пусть KM = х, тогда NС = 24 – х. Треугольники АВС и NMС подобны. Составим пропорцию:

Откуда

Выразим площадь прямоугольника AKMN:

2)

Найдем производную полученной функции:

 х = 12

3) При х = 12 функция достигает наибольшего значения. Найдем стороны прямоугольника AKMN:

По теореме Пифагора найдем диагональ прямоугольника:

Ответ: 15 см.

3.

1) Если  то

    Если  то

Получим:

2) х = 0 – критическая точка.

Найдем стационарные точки:

3)

4.  – 3 корня.

Решим это уравнение графически. Построим график функции

Прямая у = а будет пересекать график этой функции в трёх точках, если

Ответ:

Вариант 2

1. а)  [–2; 1]

       

       

       

            или     х + 1 = 0

         х = 0             х = –1

Ответ:

б)

   

   

   

   

   

   

   

   

Ответ:

2.                                 

Пусть дан прямоугольный треугольник АВС, в котором   Пусть AKMT – прямоугольник, вписанный в D АВС.

1) Оптимизируемая величина – площадь прямоугольника AKMT. Обозначим её буквой S.

Пусть KM = х, тогда ТС = 48 – х. Треугольники АВС и СТМ подобны. Составим пропорцию:

Находим, что

Выразим площадь прямоугольника AKMT:

2)

Найдем производную полученной функции:

 х = 24

3) При х = 24 функция принимает наибольшее значение. Значит, KM = 24 см. Это говорит о том, что точку М нужно взять на середине гипотенузы.

Ответ: на середине.

1) Если  то

    Если  то

Получим:

2) х = 0 – критическая точка.

Найдем стационарные точки:

                              функция монотонно возрастает

3)

4. ,  два корня.

Построим график функции

Прямая у = а будет пересекать график этой функции ровно в двух точках, если  или

Ответ:

Вариант 3

1. а) , [0; 3]

       

       

       

                 или    

          х = 0                       

         0; 2 Î [0; 3]

Ответ:

б)

Ответ:

2.                                     

Пусть дан прямоугольный D АВС, в котором  и

АВ + АС = 15.

1) Оптимизируемая величина – гипотенуза D АВС, обозначим её буквой с.

Пусть один из катетов равен х см, тогда второй катет равен (15 – х) см.

Выразим гипотенузу треугольника:

2) Найдем производную полученной функции:

3) При х = 7,5 функция достигает наименьшего значения. Значит, катеты должны быть равны по 7,5 см.

Ответ: 7,5 см и  7,5 см.

3.

1) Если  то

    Если  то

Получим:

2) х = 0 – критическая точка.

Найдем стационарные точки:

3) 

4. , менее трех корней.

Построим график функции

Прямая у = а будет пересекать график этой функции менее чем в трех точках, если

Ответ:

Вариант 4

1. а) , [–2; 2]

       

       

       

       

       

Ответ:

б)

   

   

   

   

               или       

   

                                             

Ответ:

2.                                     

Пусть дан D АВС, в котором АВ = ВС и периметр которого равен 18.

1) Оптимизируемая величина – площадь треугольника. Обозначим её буквой S.

Пусть АВ = ВС = х см, тогда  см и  см. Из D СНВ найдём ВН:

Выразим площадь D АВС:

2) Найдём производную полученной функции:

3) При х = 6 функция принимает наибольшее значение. Значит, стороны треугольника должны быть равны по 6 см, то есть D АВС – равносторонний.

Ответ: 6 см, 6 см, 6 см.

3.

1) Если  то

    Если  то

Получим:

2) х = 0 – критическая точка.

Найдем стационарные точки:

3) 

4. , более одного корня.

Построим график функции

Прямая у = а будет пересекать график этой функции более чем в одной точке, если

Ответ: