Контрольная работа по теме: "Производная. Применение производной."
Предпросмотр материала:
Контрольная работа по теме: Производная. Применение производной.
Вариант 1
Часть 1. Теоретические вопросы (1 балл каждый)
1. Сформулируйте необходимое условие экстремума функции.
2. Как по знаку производной определить промежутки возрастания функции?
Часть 2. Практические задания
Задание 1 (3 балла). Найдите
интервалы монотонности и точки экстремума функции:
f(x) = x³ - 6x² + 9x + 5
Задание 2 (3 балла). Найдите
наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
f(x) = 2x³ - 9x² + 12x - 5 на
отрезке [0; 3]
Задание 3 (4 балла). Исследуйте
функцию (укажите промежутки возрастания/убывания, экстремумы):
f(x) = x⁴ - 8x² + 3
Вариант 2
Часть 1. Теоретические вопросы (1 балл каждый)
1. Сформулируйте достаточное условие возрастания функции на интервале.
2. Как по знаку производной определить точки минимума функции (достаточное условие)?
Часть 2. Практические задания
Задание 1 (3 балла). Найдите
интервалы монотонности и точки экстремума функции:
f(x) = -x³ + 3x² + 9x - 4
Задание 2 (3 балла). Найдите
наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2 на
отрезке [-1; 4]
Задание 3 (4 балла). Исследуйте
функцию (укажите промежутки возрастания/убывания, экстремумы):
f(x) = 3x⁵ - 5x³
Решения и критерии оценивания
Критерии:
· За верно решенную задачу Части 1 – 1 балл.
· За верно найденную производную в практических заданиях – 1 балл.
· За правильное решение и верный ответ – баллы, указанные в задании.
· Оценка «3»: 4-6 баллов.
· Оценка «4»: 7-9 баллов.
· Оценка «5»: 10-12 баллов.
Решения для Варианта 1:
Задание 1.
f(x) = x³ - 6x² + 9x + 5
1. Находим производную: f'(x) = 3x² - 12x + 9.
2. Приравниваем к нулю: 3x² - 12x + 9 = 0 => x² - 4x + 3 = 0 => x₁ = 1, x₂ = 3.
3. Исследуем знак f'(x) на интервалах: (-∞; 1), (1; 3), (3; +∞).
o На (-∞; 1): f'(0)=9 >0 → функция возрастает.
o На (1; 3): f'(2)=12-24+9=-3 <0 → функция убывает.
o На (3; +∞): f'(4)=48-48+9=9 >0 → функция возрастает.
4. Точка x=1 – точка максимума, f_max
= f(1) = 1 - 6 + 9 + 5 = 9.
Точка x=3 – точка
минимума, f_min = f(3) = 27 - 54 + 27 + 5 = 5.
Ответ: Возрастает на (-∞; 1] и [3; +∞), убывает на [1; 3]. x_max=1, x_min=3.
Задание 2.
f(x) = 2x³ - 9x² + 12x - 5 на [0; 3]
1. Находим производную: f'(x) = 6x² - 18x + 12.
2. Приравниваем к нулю: 6x² - 18x + 12 = 0 => x² - 3x + 2 = 0 => x₁ = 1, x₂ = 2. Оба корня принадлежат отрезку.
3. Находим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
o f(0) = -5
o f(1) = 2 - 9 + 12 - 5 = 0
o f(2) = 16 - 36 + 24 - 5 = -1
o f(3) = 54 - 81 + 36 - 5 = 4
4. Выбираем наибольшее и наименьшее: f_наим = f(0) = -5, f_наиб = f(3) = 4.
Ответ: f_наим = -5, f_наиб = 4.
Задание 3.
f(x) = x⁴ - 8x² + 3
1. Производная: f'(x) = 4x³ - 16x = 4x(x² - 4) = 4x(x - 2)(x + 2).
2. Критические точки: x = -2, x = 0, x = 2.
3. Исследуем знак f'(x):
o (-∞; -2): f'(-3)=4*(-3)*отриц*отриц >0? Проверим: 4*(-3)*(9-4)=-12*5<0 → убывает.
o (-2; 0): f'(-1)=4*(-1)*(1-4)=(-4)*(-3)=12>0 → возрастает.
o (0; 2): f'(1)=4*1*(1-4)=4*(-3)=-12<0 → убывает.
o (2; +∞): f'(3)=4*3*(9-4)=12*5>0 → возрастает.
4. Экстремумы:
o x=-2 – точка минимума, f_min = 16 - 32 + 3 = -13.
o x=0 – точка максимума, f_max = 0 - 0 + 3 = 3.
o x=2 – точка минимума, f_min = 16 - 32 + 3 = -13.
Решения для Варианта 2:
Задание 1.
f(x) = -x³ + 3x² + 9x - 4
1. f'(x) = -3x² + 6x + 9.
2. -3x² + 6x + 9 = 0 => x² - 2x - 3 = 0 => x₁ = -1, x₂ = 3.
3. Исследуем знак f'(x):
o (-∞; -1): f'(-2)=-12-12+9=-15<0 → убывает.
o (-1; 3): f'(0)=9>0 → возрастает.
o (3; +∞): f'(4)=-48+24+9=-15<0 → убывает.
4. x=-1 – точка минимума, f_min
= -(-1)+3*1+9*(-1)-4 = 1+3-9-4=-9.
x=3 – точка максимума, f_max = -27+27+27-4=23.
Ответ: Убывает на (-∞; -1] и [3; +∞), возрастает на [-1; 3]. x_min=-1, x_max=3.
Задание 2.
f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2 на [-1; 4]
1. f'(x) = 3x² - 12x + 9.
2. 3x² - 12x + 9 = 0 => x² - 4x + 3 = 0 => x₁ = 1, x₂ = 3.
3. Значения функции:
o f(-1) = -1 - 6 - 9 + 2 = -14
o f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6
o f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2
o f(4) = 64 - 96 + 36 + 2 = 6
4. f_наим = f(-1) = -14, f_наиб = f(1) = f(4) = 6.
Ответ: f_наим = -14, f_наиб = 6.
Задание 3.
f(x) = 3x⁵ - 5x³
1. f'(x) = 15x⁴ - 15x² = 15x²(x² - 1) = 15x²(x - 1)(x + 1).
2. Критические точки: x = -1, x = 0, x = 1.
3. Исследуем знак f'(x):
o (-∞; -1): f'(-2)=15*4*(4-1)=60*3>0 → возрастает.
o (-1; 0): f'(-0.5)=15*0.25*(0.25-1)=3.75*(-0.75)<0 → убывает.
o (0; 1): f'(0.5)=15*0.25*(0.25-1)=3.75*(-0.75)<0 → убывает.
o (1; +∞): f'(2)=15*4*(4-1)=60*3>0 → возрастает.
4. x=-1 – точка максимума, f_max
= -3 + 5 = 2.
x=0 – не является точкой
экстремума (производная не меняет знак).
x=1 – точка минимума, f_min = 3 - 5 = -2.
Контрольная работа по теме: "Производная. Применение производной."
Что Вы хотите изменить?
Например: обновить оформление, добавить задания, изменить класс, сократить текст или адаптировать материал.
Что Вы хотите изменить?
Например: обновить оформление, добавить задания, изменить класс, сократить текст или адаптировать материал.
Найдите подходящий для Вас курс
В каталоге 7 827 курсов по разным направлениям
Другие материалы
-
"Решение задач с помощью линейных уравнений с одной переменной"
Учебник: «Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Тема: 8. Решение задач с помощью уравнений
-
"Решение задач с пощью линейных уравнений с одной переменной"
Учебник: «Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Тема: 8. Решение задач с помощью уравнений
Вам будут интересны эти курсы:
- Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
- Курс повышения квалификации «История и философия науки в условиях реализации ФГОС ВО»
- Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
- Курс повышения квалификации «Организация научно-исследовательской работы студентов в соответствии с требованиями ФГОС»
- Курс повышения квалификации «Организация практики студентов в соответствии с требованиями ФГОС медицинских направлений подготовки»
- Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
- Курс профессиональной переподготовки «Клиническая психология: организация реабилитационной работы в социальной сфере»
- Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
- Курс профессиональной переподготовки «Организация и предоставление туристских услуг»
- Курс профессиональной переподготовки «Политология: взаимодействие с органами государственной власти и управления, негосударственными и международными организациями»
- Курс профессиональной переподготовки «Техническая диагностика и контроль технического состояния автотранспортных средств»